函数的单调性第一课时

难点：利用导数的符号确定函数的单调区间.
情境设置
以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设
x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2) 的大小，或者 通过作图,借助图形的直观得到函数的单调区间.
单调性的概念 对于给定区间上的函数f(x):
1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当 x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上 是增函数（或单调递增函数）
如何？
2.在x＝1的左边函数图像上的各点
x
切线的倾斜角为 其斜率有什么特征？
(锐角/钝角)?
3.由导数的几何意义，你可以得到
什么结论？
4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导数.从函数y=x2-2x-1的图象可以看到:在区 间(1,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的 增大而增大,即y’>0时,函数在区间(1,+∞)内为增 函数;反之,在区间(- ∞,1)上,y’<0,函数递减.
知识提炼 在定函理数：y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2) 的一大般小地和，作函图数并y＝不f很（x容）易在.某如个果区利间用内导可数导：来判断函 数的单如调果性恒有就f比'(x较)简0 ，单则. f( x) 是增函数。
如果恒有 f '(x) 0，则 f( x) 是减函数。
练习
利用导数求函数单调区间的一般步骤：
（1）求函数f(x)的定义域
（2）求函数的导数f'(x)
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,在其定义域 内解不等式求自变量x的取值范围，即函 数的单调区间。
[练一练]:确定函数 f (x ) 2x 3 6x 2 7 ， 在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数?
解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
f '(x) 6x2 12x
y
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0 ∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
o
x
令6x2－12x<0,解得,0<x<2 ∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。
首页
源自文库
补充例题
0 x 1 2


0，1 2
上，f
x
是减函数。
知识延展型设a 0,求函数fx x lnx a,
x 0的单调区间.
解：f'(x) 1 1 ,(x 0) 2 x xa
a 0 ,x 0 令 f' ( x ) 0 即 1 1 0 2 x xa

1，0 2
和
12，

上，fx

是增函数。
12，

上，fx

是增函数。
令y' 4x2 1 0 x 4x2 1 0 x
0

x

1 2
或x

-
1 2

0，1 2
和
-
，
1 2
上，fx

是减函数。
令y' 4x2 1 0 x
教学目标
1.知识目标:掌握用导数的符号判别函数增减 性的方法,提高对导数与微分的学习意义的认识.
2.能力目标：训练解题方法，培养解题能力。
3.德育目标：能用普遍联系的观点看待事物， 抓住引起事物变化的主要因素。
4.美育目标：数学方法的广泛应用之美，数 学内容的统一性。
重点：利用导数的符号确定函数的单调区间。
2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当 x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间 上是减函数（或单调递减函数）
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减
的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做
f(x)的单调区间。
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区
间y 1 x
y
y x2 2x 1
y
y 3x
y
o
x
1
o
x
1
o
x
在（－ ∞ ，0）和 在（－ ∞ ，1）
（0, ＋∞）上分别 是减函数。但在定义 域上不是减函数。
上是减函数，在 （1, ＋∞）上是 增函数。
在(－ ∞,＋∞) 上是增函数
知识探究
y 1
o
1.在x＝1的左边函数图像的单调性
例如: 函数f(x)=x3在(-∞,+∞)内,当x=0时, f'(x)=0,
当x≠0时, f'(x)=3x2>0, y=f(x)在(-∞,+∞)内为增函数
例1.确定函数 f (x ) x 2 4x 5 在哪个区
间是减函数？在哪个区间上是增函数？
解: (1)求函数的定义域,函数f (x)
的定义域是(－ ∞,＋∞)
知识点提炼:
[定理]一般地，函数y＝f（x）在某个区 间内可导： 如果恒有 f’(x)>0 ，则 f(x)在是增函数。 如果恒有 f’(x)<0 ，则 f(x)是减函数. 如果恒有 f’(x)＝0 ，则 f(x)是常数。
求函数单调区间的步骤： （1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,在其定义 域内解不等式求自变量x的取值范围，即函数 的单调区间。
y
（2）求函数的导数 f ' (x ) 2x 4
（3）令 f '(x) 0 f '(x) 0在定
义域内解不等式，求自变量x
的取值范围，也即函数的单调
区间。
2
o
x
令2x－4>0,解得x>2∴x∈(2,＋∞)时，f ( x )是增函数 令2x－4<0,解得x<2∴x∈(-∞,2)时，f ( x )是减函数
如果恒有f '(x) 0，则f( x) 是常数。
注意：函数y=f(x)在某个区间内为常数，当且仅当 f'(x)=0在该区间内恒成立时，否则可能使f'(x)=0的点只 是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行），实际上， 若在某区间上有有限个点使f'(x)=0，在其余的点恒有 f'(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情况完全类似)
[练一练]:求函数y=2X2-lnx的单调区间。
解：易得y' 4x 1 4x2 1 另解：易得定义域为x 0
xx
令y' 4x2 1 0 x 4x2 1 0 x
1 x 0或x 1
2
2
令y' 4x2 1 0 x
x

1 2