函数的单调性第一课时
1 第1课时 函数的单调性(共44张PPT)
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
函数的单调性(第一课时)
几何特征 在单调区间上，增函数的图象是上升的， 在单调区间上，增函数的图象是上升的，
减函数的图象是下降的. 减函数的图象是下降的
思考
那么二次函数在R上具有单调性吗？ 那么二次函数在 上具有单调性吗？ 上具有单调性吗
注：
1.函数的单调性也叫函 函数的单调性也叫函 数的增减性 2.函数的单调性是对某个区间而言 . 它是一个局部概念. 的,它是一个局部概念.
∴ f ( x1 ) > f ( x2 )
1 所以函数 f ( x) = 在(0,+ x
上是减函数. 上是减函数 ∞)上是减函数
1 1 x2 − x1 f ( x1 ) − f ( x2 ) = − = x1 x2 x1 x2
< x2 则:
课堂小结， 课堂小结，知识再现
1、函数单调性是对定义域的某个区间而言 、 的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变 化的性质. 化的性质
观察图象回答： 增大时 的值怎么变化 增大时， 的值怎么变化？ 观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
y=x
f ( x1 )
O x1
x
观察图象回答： 增大时 的值怎么变化 增大时， 的值怎么变化？ 观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
y=x
f ( x1 )
O
x1
x
观察图象回答： 增大时 的值怎么变化 增大时， 的值怎么变化？ 观察图象回答：x增大时，y的值怎么变化？ y 2
y
100 80
60 40
20
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 艾宾浩斯遗忘曲线” 思考 艾宾浩斯遗忘曲线 从左至右是逐渐下降的，对此， 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？ 我们如何用数学观点进行解释？
函数的单调性第1课时
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
必修1
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
1．3 1．3.1
函数的基本性质 单调性与最大(小)值 函数的单调性
第பைடு நூலகம்1 课时
1 .理解单调函数的定义，理解增函数、减 课 函数的定义．(重点) 标 2 .掌握定义法判断函数单调性的步骤． (重 解 点) 读 3 .掌握求函数单调区间的方法(定义法、 图 象法)．(难点)
菜 单
2
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单
必修1
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
如图 1－3－1 是定义在区间[－4，7]上的函数 y＝f(x)的
[－1.5，3)，[5，6) 图象， 则函数 f(x)的单调增区间是______________________ ，
2 2 f(fx (1 x)1＝ )＝ x2 x， f(fx (2 x)2＝ )＝ x2 x， 当 当 x1 x< x2 x2 时 时 ， ， 有 有 f(fx (1 x)< f(fx (2 x)2． )． 1 1， 2 2， 1< 1)<
菜 单
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析
f(x)在区间 D 上是减函数
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
菜
单
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单
函数的单调性第一课时
y 1-
0
2
1 -
-
3 2
2
x
（1）根据函数说出函数的单调区间以及 函数在各单调区间内的单调性；
（2）写出函数的定义域和值域
2.研究一次函数y=kx+b的图像，指出 当k取何值时函数是减函数。
3.2.1 函数的单调性
课堂小结：
一、函数单调性的定义 二、判断函数单调性的两种方法：
（1）图像法 （2）定义法：4个步骤
下列有两个生活案例，用图像法简单来表示其中 的含义
（1）上午吃过上学， 每个同学都有感触，早 读课还感觉很饱，随着 时间的变化，大家的饥 饿感越来越强烈，尤其 是到了第四节课。
（2）现在每个同学都 会用手机，当手机充满 电后使用，随着时间的 变化，电池的电量逐渐 的消耗用完。
饥饿感h O
上升 趋势
观察函数图像
.
解:由图像可以看出，函数的增区间为（0,40），减区间为（40，60).
练习：下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图 象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调 区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。
正确答案： 增区间为：[-2，1]，[3，5] 减区间为：[-5，-2]，[1，3]
单调区间的说明：
如果函数f(x)在区间(a,b)内是增函数（或减 函数），那么称函数f(x)在区间(a,b)内具有 单调性。区间(a,b)叫做函数f(x)的单调区间。
注意一点：函数f(x)的单调区间不仅是开区 间，也可以是闭区间、半开半闭区间。
3.2.1 函数的单调性 动脑思考 探索新知
函数单调性的判定方法
其图像为一条直线
列表：
1
x01 y -2 2
5.3.1函数的单调性(第一课时)课件(人教版)
利用导数判断含参函数的单调性
例
2：函数
f
(
x
)
1 ＝ ax
2－(
a＋1)
x
＋lnx
，a>0，试讨论函数
f(
x
)
的单调性．
2
解：函数的定义域为(0，＋∞),
1 ax2－(a＋1)x＋1 (ax－1)(x－1)
f′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝
，
x
x
x
1
1
1
1，
①当 0<a<1 时， >1，∴x∈(0,1)和( ，＋∞)时，f′(x)>0；x∈ a 时，f′(x)<0，
a
a
1
1
0，
，1
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减，
利用导数判断含参函数的单调性
综上所述，
1
1
，＋∞
1，
当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和 a
上单调递增，在 a 上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
1
0，
，1
当 a>1 时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
RART 02
函数的单调性与导数
函数的单调性
思考：视察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
y y＝x
O
x
(1)
y
y＝x2
O
x
(2)
y
y＝x3
O
x
y y＝x-1
O
x
(3)
函数单调性第一课时教学设计
函数单调性第一课时教学设计课题：函数的单调性（第一课时）1．教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数的单调性的方法．（2）过程与方法：从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，使学生领会数形结合的数学方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：使学生体验数学的严谨性，培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．2．教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性．教学难点利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．3．教学方法和教学手段探索发现法和运用多媒体教学．4．教学过程（一）问题情境（播放中央电视台天气预报的音乐）如图为兰州市2019年中秋这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？（二）定义形成1、单调增函数、单调减函数设函数)(x f y =的定义域为A ，区间I ?A ．如果对于区间I 内的任意两个值21,x x ，若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值21,x x ，若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间．2、单调性、单调区间若函数y = f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数)(x f y =在区间I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．（三）定义运用1、回到问题情境，提出问题：你能找出气温图中的单调区间吗？2、回顾初中学过的函数，说出所列举具体函数的单调区间，并判断函数在各区间上的单调性．运用函数单调性的定义，证明你判断的结论．（1）22+-=x y ；（2）322-+=x x y ；（3）xy 1=．运用实物投影，投影个别学生的证明，纠正出现的问题，规范证明的格式．请学生归纳运用定义法探求并证明函数单调性的步骤，投影演示：①取值；②作差变形；③定号；④判断．（四）问题讨论问题讨论函数1)(+=x x x f 的单调性．实际问题在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜．你能运用所学过的数学知识来解说这一现象吗？（五）课堂小结1、函数单调性的定义．2、判断、证明函数单调性的方法：图象、定义．（六）作业布置（1）阅读课本P34－35 例2（2）书面作业：课本P43 1、4、7课后尝试1、若定义在R 上的单调减函数)(x f 满足)3()1(a f a f -<+，你知道a 的取值范围吗？ 2、二次函数c bx x y ++=2在［0，＋∞）是增函数，你能确定字母b 的值吗？教学设计说明本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y 随x 的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1)(+=x x x f 在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．。
【课件】函数单调性第一课时课件
象表示的函数不是一个单调函数.
x0
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y=f（x）是增函数还是减函数?
解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
<x 1
x 2
2.作差变形 （一般地） 即作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解
、配方法、有理化等方法化为积商形式，向有利于判断
差的符号的方向变形，直到可以判断符号为止。
3.判定正负 确定f(x1)-f(x2)的正负
4.判断 根据定义作出结论
即“取值-作差-定号-判断”
例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
三、练习
(1)判断函数f (x) 1 在(,0)上是增函数还是减函
x
数 ? 并证明你的结论.
减函数
证明:设x1, x2是(,0)上任意的两个实数,且x1 x2
则：f (x1) f (x2 由x1, x2 (,0),
11
)
得x1xx12
x2 0
x2 x1 x1x2
又由x x ,得x x 0
g(x)在区间[ ,
),[
,
2 22 ]上是减函数，
2
22
在区间[ , ]上是增函数。
22
例2：证明函数f (x) 1 在(0,)上是减函数 x
证明:
设x 1
,
x 是(0, 2
)上任意的两个实数,
高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第一课时 函数的单调性》课件
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]且为增函数，若f(m)＞f(n)，则m，n满足什么
关系？
a≤m≤b， 提示：a≤n≤b，
m＞n
⇔f(m)＞f(n)．
(2)影响二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性的因素有哪些？ 提示：a 的正负及－2ba的大小．
【学透用活】 [典例3] (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________； ②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． (2) 若 函数 f(x) ＝ x2 ＋ ax ＋ b 在 区间 [1,2] 上不 单 调 ， 则 实 数 a 的取 值 范 围为 ________．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)．
()
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单
调递增．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C. 答案：C
[方法技巧] 1．图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 2．常见函数的单调区间 (1)y＝ax＋b，a>0 时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0 时，单调递减区 间为(－∞，＋∞)． (2)y＝ax，a>0 时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0 时，单调递 增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0 时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为 (m，＋∞)；a<0 时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．
5.3.1函数的单调性第一课时
学 习 目 标
01
通过具体函数的图象，发现函数的单调性与导数
的正负之间的关系，体会数形结合思想；（直观
想象）
02
能根据函数导数的正负判断函数的单调性，并会
求函数的单调区间，体会算法思想（数学运算）
单调性是函数的重要性质，它不仅反映了函数变化的趋势，还是研究函数极值与
最大(小)值的基础性问题。虽然可以通过函数图象的升降观察函数的单调性，但
当 ∈ 0, 时，ℎ′ > 0，
函数ℎ 的图像是“上升”的，函数ℎ 在 0, 内单调递增
当 ∈ , 时，ℎ′ < 0，
函数ℎ 的图像是“下降”的，函数ℎ 在 , 内单调递减
ℎ()
追问1
我们看到，函数ℎ 的单调性与ℎ′ 的正负有内在联系。
对于高台跳水问题是否有以下结论？
当1 < < 4时，′() > 0；
当 > 4或 < 1时，′() < 0；
当 = 4或 = 1时， ′ = 0；
试画出函数()图象的大致形状。
y
解答
在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
o 1
4
x
y
则在这区间内函数是增函数;
在区间 (-∞, 1)与(4, +∞) 内,f (x)<0,
A
B
D
）
C
D
02
函数 = ()的图像是下列四个图像之一，其导函数 = ′ 图
象如下右图所示，则该函数图象可能是（
B
）
例4、函数 = ()的图象如下右图所示，则 ′ < 0的
解集是（ B ）
教学课件：第一课时-函数的单调性
几何解释
在函数图像上，任意两点$x_1 <
x_2$，如果函数值$f(x_1)
<
f(x_2)$，则该函数图像在区间$I$
上呈上升趋势。
单调减函数
定义
如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减。
几何解释
在函数图像上，任意两点$x_1 < x_2$，如果函数值$f(x_1) > f(x_2)$，则该函 数图像在区间$I$上呈下降趋势。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果图像在某区间内呈上升趋势，则函数在该 区间内单调递增；如果图像在某区间内呈下降趋势，则函数在该区间内单调递减。
03 函数的单调性性质
单调函数的连续性
总结词
单调函数在其定义域内是连续的，即 函数图像在定义域内没有间断点。
详细描述
单调函数在其定义域内的每一点都是 连续的，这意味着函数值在定义域内 不会突然跳跃或中断。单调函数的图 像是一条连续的曲线。
单调函数的可导性
总结词
单调函数在其定义域内是可导的，即函数图像在定义域内没 有拐点。
详细描述
单调函数在其定义域内的每一点都是可导的，这意味着函数 值的变化率是恒定的。单调函数的导数要么恒大于等于零， 要么恒小于等于零。
单调函数的极值
总结词
单调函数在其定义域内没有极值点，即函数在单调区间内没有局部最大值或局部 最小值。
详细描述
由于单调函数的图像是一条连续的上升或下降曲线，因此在单调区间内，函数值 要么单调递增，要么单调递减，没有局部最大值或局部最小值。极值点只出现在 函数的拐点或定义域的边界上。
3.1.2函数的单调性(第1课时)课件-高一数学(人教B版必修第一册)
的斜率都大于 0 ,函数递减的充要条件是其图像上任意两
点连线的斜率都小于 0.
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
一般地, 若 是函数
的定义域的子集, 对任意
且
,记
(1) 恒成立; (2) 成立.
，
, 则:
在 上是增函数的充要条件是
在上
在 上是减函数的充要条件是
在 上恒
新知探索 知识点二：函数的平均变化率
【训练 1】(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是( )
A.y＝－1 B.y＝2x－1 C.y＝1－2x D.y＝(2x－1)2 x
【解析】对于 A，y＝－1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调
递增；对于 B，y＝2x－1 在 R 上单调递增；对于 C，y＝1
－2x 在 R 上单调递减；
对于
＝（x2－x1x）21（x22x2＋x1）.当 x1<x2<0 时，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数.当 0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)>f(x2).∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数.
【解析】∵f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)， ∴2m>－m＋9，即 m>3，故选 C.
课堂练习
【训练 3】定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x1，x2∈R(x1
≠x2)，有f（x2）x2－－fx（1 x1）<0，则(
)
A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)
1.3.1《函数的单调性》第一课时课件(新人教A版必修1)
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值 (0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则 V2 V1 k k 作差 p(V1 ) p(V2 ) k 变形 V1 V2 VV 1 2 由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0 又k>0,于是 p(V1 ) p(V2 ) 0
四.作业布置 书面作业：课本P32 练习：1、2、5 课堂作业：P39习题1.3A组第2题． 2(选做) 证明函数f(x)=x3 在(-∞，+∞) 上是增函数.
例1:
y
Y=2x+1
y
Y=(x-1)2-1
写 o x 出 函 数 增区间为 (, ) 的 单 y 1 调 y x 区 间
O
o
-1
2、由图象知：函数在 ,上不具有单调性。
y
o y x x
y
在(-∞,+∞) 是减函数 在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数 在 增函数 在 减函数
在(o y x x
∞,+∞)是
增函数
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是增函数
o
y o
o
y o
x
在 增函数 x 在 减函数
（三）归纳小结： 这节课我们学习了函数单调性的定义， 要特别注意定义中“给定区间”,“属于”,“任 意” “都有”这几个关键词语；在写单调区间时不 要 轻易用并集的符号连接； 1、函数的单调性一般是先根据图象判断，再 利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注 意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2、直接利用初等函数的单调区间。
函数的单调性第一课时-高一数学必修一课件
基本初等函数单调性判断
2-2x
2
(4)y
＝
x
(3)y＝－x ＋2x
构建数学
定义域： R
定义域： R
y
y
1
2
x
1
2
x
f x 在区间 ，
1上单调递增
f x 在区间 ，
1上单调递减
单调增区间为： ，
1
单调减区间为： ，
1
f x 在区间1，
上单调递减
y5
文字语言
4
在y轴左侧，f(x)=x2图象下降的；即当
x≤0时，即f(x)随着x的增大而减小；
3
2
在y轴右侧，f(x)=x2图象上升的；即当
x>0时，即f(x)随着x的增大而增大.
1
- 4 -3
-2
从左向右看
-1 0
1
2 3
4
-1
图像语言 上升或下降
x
如何用符号语言刻画函 数的单调性呢？
新知引入——二次函数f(x)=x2的单调性
新知学习：单调性的定义
特别地，当函数 () 在它的定义域上单调递减增时，我们就称它为增函数.
如：() = 就是在R上的增函数.
特别地，当函数 () 在它的定义域上单调递减减时，我们就称它为减函数.
如：() = −就是在R上的减函数.
注意：增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数
这时我们就说函数() = ||在区
间(−∞, ]上是单调递增的.
新知学习：单调性的定义
单调递增
单调性是局部性质
单调递减
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，
函数的单调性(第一课时 课件
(-∞,1] (3)二次函数 y=x2﹣2ax+1 的单调递增区间是：
[a,+∞) (4)二次函数 y=ax2+bx+c 的单调递增区间是：
定义法证明单调性
例2、证明函数f ( x)=x3+3在( ,+)上是增函数.
解：任取x1，x2 ( ,+)，设x1<x2，
A 2、 下列函数，在区间(0,1)上是增函数的是（ ）
A. y | x | B. y 3 x
C. y 1 D. y x2 4 x
C 3、 函数y | x 2 | 在区间[3, 0]上是（ ）
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
四、课堂小结
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性 利用图象法观察单调性
当x<0时，f(x)=x2图象下降的， 即f(x)随着x的增大而减小；
f (x) x2
思考2:“当x<0时，f(x)随着x的增大而减小”,“x增大了”怎么用符
号语言来表示?“对应的函数f(x)减小了”呢？结合以下表格，你能给出
具体的描述吗？
x
... -5 -4 -3 -2 -1 ...
f(x)=x2 ... 25 16 9 4 1 ...
在[0,1]和(1, 2]这两个区间的并集(即[0, 2])上也是增函数。
(2)函数f(x)在区间A、B上均为增(减)函数，一般不能简单认为f(x)
在A ∪ B上是增(减)函数 ——单调区间之间不能用“∪”
3、函数f ( x)=x2在区间[1,3]上是增函数.
函数的单调性(第一课时)(Word)
函数的单调性（第一课时）【学习目标】1．了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法．2．能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点．【学习障碍】1．由于对单调性定义的理解不透，误认为它是一个整体性质，实质上是区间内的性质． 2．利用定义论证单调性时，推理过程不严密不规范． 3．函数单调性的应用意识不强．【学习策略】 Ⅰ．学习导引1．预习课本第P 58~59页2．本课时重点是单调性的概念，难点是判断函数的单调性．3．对于函数的单调性，要求①会用作差（商）法证明一些简单函数的单调性．②给出函数解析式时，会确定函数在其定义域内的单调区间．③会利用单调性作图．Ⅱ．知识拓宽应用函数的单调性可以求解不等式，求函数的最值等． Ⅲ．障碍分析1．若函数f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，f （x ）一定是D 1∪D 2上的增函数吗？ 单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．若 f （x ）在区间D 1、D 2上分别为增函数，但f （x ）不一定在区间D 1∪D 2上是增函数．例如y ＝－x 1在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数，但在（－∞，0）∪（0，＋∞）上不是增函数，f （1）＜f （－1）便是一例． 2．函数的单调性定义中的x 1，x 2能否用特殊值来代替？单调性是函数在某一区间上的“整体性质”，因此，定义中的x 1，x 2具有任意性，不能用特殊值替代．3．函数的单调性可解决什么样的问题？已知函数在某区间内的单调性，可以比较两个函数值的大小，也可用来求函数在某区 间内的值域或最大（小）值，这时常结合函数的图象，运用数形结合的思想方法．［例1］判断函数f （x ）＝x ＋x 1在区间（0，＋∞）上的单调性，并求出函数的值域．解：任取x 1，x 2∈（0，＋∞），且x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝（x 1＋11x ）－（x 2＋21x ）＝212121)1)((x x x x x x ⋅--∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0． 且当1≤x 1＜x 2时，x 1x 2－1＞0， 当0＜x 1＜x 2≤1时 x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0∴当x 1，x 2∈［1，＋∞］时，f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）∴函数y ＝x ＋x 1在区间（0，1）上是减函数，在区间［1，＋∞］上是增函数．易知y ＝x ＋x 1（x ＞0）时恒有y ＞0且当x ＝1时，y min ＝2． 从而值域为［2，＋∞）点评：函数y ＝x ＋x a（a ≠0）是一类经常用到的函数，当a ≠0时，它有两个减区间［－a ，0］，（0， a ）．同时有两个增区间［a ，＋∞），（－∞，－a ］． ［例2］判断下列函数的单调性（1）f （x ）＝－x 2＋3x －2；（2）f （x ）＝3|x |．解：（1）f （x ）＝－（x －23）2＋41∵f （x ）＝－（x －23）2＋41的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝23∴f （x ）在（－∞，23）上是增函数，在［23，＋∞］上是减函数．（2）f （x ）＝⎩⎨⎧<-≥)0(3)0(3x x x x ∴由f （x ）的图象可知，f （x ）在（－∞，0］上是减函数，在［0，＋∞）上是增函数． Ⅲ．思维拓展［例3］判定并证明下列函数在指定区间内的单调性 （1）y ＝－x 3＋1（x ∈R ）．（2）y ＝12+x －ax （a ∈［1，＋∞），x ∈［0，＋∞））．（1）解法一：在（－∞，＋∞）上任取x 1、x 2，使x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝（－x 13＋1）－（－x 23＋1）＝x 23－x 13＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12） ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0若x 1·x 2＞0，则x 22＋x 1x 2＋x 12＞0， 若x 1·x 2＝0，由x 1≠x 2，则x 12＋x 22＞0 也有x 22＋x 1x 2＋x 12＞0若x 1·x 2＜0，x 22＋x 1x 2＋x 12＝（x 1＋x 2）2－x 1x 2＞0 ∴对于任意的x 1＜x 2都有x 22＋x 1x 2＋x 12＞0∴f （x 1）－f （x 2）＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12）＞0即f （x 1）＞f （x 2） ∴y ＝f （x ）＝－x 3＋1在R 上是减函数．解法二：在（－∞，＋∞）上任取x 1、x 2，使x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝x 23－x 13＝（x 2－x 1）（x 22＋x 1x 2＋x 12）＝（x 2－x 1）［（x 2＋21x ）2＋43x 12］∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，且x 1，x 2不同时为零，∴（x 2＋21x ）2与43x 12不同时为零，即（x 2＋21x ）2＋43x 12＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2） ∴y ＝f （x ）＝－x 3＋1在R 上是减函数． （2）解：任取x 1，x 2∈［0，＋∞），且x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝（121+x －ax 1）－（122+x －ax 2） ＝（112221+-+x x ）－a （x 1－x 2）＝11))((22212121++++-x x x x x x －a （x 1－x 2）＝（x 1－x 2）（11222121++++x x x x －a ）∵x 1，x 2∈［0，＋∞］，且x 1＜1,122221+<+x x x ∴x 1＋x 2＜112221+++x x从而11222121++++x x x x ＜1，又a ∈［1，＋∞］∴11222121++++x x x x －a ＜0∴f （x 1）－f （x 2）＝（x 1－x 2）（ 11222121++++x x x x －a ）＞0即f （x 1）＞f （x 2）∴y ＝f （x ）＝12+x －ax （a ∈［1，＋∞））在区间［0，＋∞）上是单调减函数． 点评：证明函数单调性的一般步骤为：①取点 ②作差 ③变形 ④定号．Ⅴ．探究学习已知函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是减函数，且满足f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），f （2）＝91，试求不等式f （x ）f （3x 2－1）＜271的解集．参考答案：解：函数f （x ）在（－∞，＋∞）上是减函数且满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）∴f （2）＝f （1＋1）＝f （1）·（1）＝91＜f （1） ∴f （1）＝31由f （x ）·f （3x 2－1）＜271得f （x ＋3x 2－1）＜271而271＝31×91＝f （1）f （2）＝f （3）∴f （x ＋3x 2－1）＜f （3），x ＋3x 2－1＞3解得x ＜－34或x ＞1故所求不等式的解为{x |x ＜－34或x ＞1＝【同步达纲练习】一、选择题1．在区间（－∞，0）上为增函数的是A ．y ＝－（x ＋1）2B ．y ＝1＋x 2C ．y ＝x -1D ．y ＝x x-12．若函数f （x ）＝x 2＋2（a －1）x ＋2在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a 的取值范围是A ．a ≥3B ．a ≥－3C ．a ≤－3D ．a ≤5 3．函数y ＝245x x --的单调递增区间是A ．（－∞，－2）B ．［－5，－2］C ．（－2，＋∞）D ．［－2，1］ 4．已知函数y ＝f （x ）定义在［－2，1］上，且有f （－1）＞f （0），则下列判断正确的是A ．f （x ）必为［－2，－1］上的单调增函数B ．f （x ）不是［－2，－1］上的单调增函数C ．f （x ）必为［－2，－1］上的单调减函数D ．f （x ）不是［－2，－1］上的单调减函数二、填空题5．已知f （x ）在定义域内是减函数，且f （x ）＞0在其定义域内，y ＝a －f （x ）的单调性为______________函数．y ＝)(x f 的单调性为____________函数．6．函数y ＝x x+-11的减区间为______________．7．已知（－∞，a ）是函数f （x ）＝11-x （x ≠1）的反函数的一个单调递减区间，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题8．函数f（x）当x＞0时有意义，且满足f（2）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（1）求证：f（1）＝0．（2）求f（4）．（3）如果f（x）＋f（x－3）≤2，求x的取值范围．9．已知函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上是增函数，a和b为实数．（1）求证：命题“如果a＋b≥0，那么f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）”成立．（2）判断（1）的逆命题是否成立，并说明为什么．参考答案【同步达纲练习】一、1．D 提示：y ＝－（x ＋1）2在（－∞，0）上是先增后减的函数，y ＝1＋x 2，y ＝x-1在（－∞，0）上为减函数，故选D ．2．C 提示：由－2)1(2-a ≥4得a ≤－33．B 提示：由5－4x －x 2≥0得－5≤x ≤1且5－4x －x 2在［－5，－2］上是增函数，故y ＝245x x --的单调递增区间为［－5，－2］．4．B 提示：根据增函数的定义知选B二、5．增 减 提示：由定义知y ＝a －f （x ）为增函数y ＝)(x f 为减函数6．（－∞，－1）及（－1，＋∞） 提示：作出y ＝x x+-11的图象知减区间为（－∞，－1）及（－1，＋∞） 7．a ≤0 提示：由反函数图象可得a ≤0三、8．（1）由f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），令x ＝2，y ＝1，得f （2）＝f （2）＋f （1），∴f （1）＝0．（2）令x ＝y ＝2，∴f （4）＝f （2）＋f （2）＝2． （3）f （x ）＋f （x －3）＝f （x （x －3）），且f （4）＝2，∴f （x ）＋f （x －3）≤2＝f （4）可化为f （x （x －3））≤f （4）．依题有⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,4)3(,03,0x x x x 解得3＜x ≤4．9．（1）a ＋b ≥0，则a ≥－b 或b ≥－a ．∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，∴f（a）≥f（－b），f（b）≥f（－a），∴f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）．（2）逆命题为“若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0”．反证法：假设a＋b＜0，则a＜－b或b＜－a，依题有f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a），∴f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b），与已知矛盾，∴假设不成立，a＋b≥0．友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
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利用导数求函数单调区间的一般步骤：
（1）求函数f(x)的定义域
（2）求函数的导数f'(x)
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,在其定义域 内解不等式求自变量x的取值范围，即函 数的单调区间。
[练一练]:确定函数 f (x ) 2x 3 6x 2 7 ， 在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数?
知识点提炼:
[定理]一般地，函数y＝f（x）在某个区 间内可导： 如果恒有 f’(x)>0 ，则 f(x)在是增函数。 如果恒有 f’(x)<0 ，则 f(x)是减函数. 如果恒有 f’(x)＝0 ，则 f(x)是常数。
求函数单调区间的步骤： （1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,在其定义 域内解不等式求自变量x的取值范围，即函数 的单调区间。
间y 1 x
y
y x2 2x 1
y
y 3x
y
o
x
1
o
x
1
o
x
在（－ ∞ ，0）和 在（－ ∞ ，1）
（0, ＋∞）上分别 是减函数。但在定义 域上不是减函数。
上是减函数，在 （1, ＋∞）上是 增函数。
在(－ ∞,＋∞) 上是增函数
知识探究
y 1
o
1.在x＝1的左边函数图像的单调性
2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当 x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间 上是减函数（或单调递减函数）
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减
的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做
f(x)的单调区间。
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区
难点：利用导数的符号确定函数的单调区间.
情境设置
以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设
x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2) 的大小，或者 通过作图,借助图形的直观得到函数的单调区间.
单调性的概念 对于给定区间上的函数f(x):
1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当 x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上 是增函数（或单调递增函数）
如果恒有f '(x) 0，则f( x) 是常数。
注意：函数y=f(x)在某个区间内为常数，当且仅当 f'(x)=0在该区间内恒成立时，否则可能使f'(x)=0的点只 是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行），实际上， 若在某区间上有有限个点使f'(x)=0，在其余的点恒有 f'(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情况完全类似)
知识提炼 在定函理数：y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2) 的一大般小地和，作函图数并y＝不f很（x容）易在.某如个果区利间用内导可数导：来判断函 数的单如调果性恒有就f比'(x较)简0 ，单则. f( x) 是增函数。
如果恒有 f '(x) 0，则 f( x) 是减函数。
例如: 函数f(x)=x3在(-∞,+∞)内,当x=0时, f'(x)=0,
当x≠0时, f'(x)=3x2>0, y=f(x)在(-∞,+∞)内为增函数
例1.确定函数 f (x ) x 2 4x 5 在哪个区
间是减函数？在哪个区间上是增函数？
解: (1)求函数的定义域,函数f (x)
的定义域是(－ ∞,＋∞)
解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
f '(x) 6x2 12x
y
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0 ∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
o
x
令6x2－12x<0,解得,0<x<2 ∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。
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补充例题
如何？
2.在x＝1的左边函数图像上的各点
x
切线的倾斜角为 其斜率有什么特征？
(锐角/钝角)?
3.由导数的几何意义，你可以得到
什么结论？
4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导数.从函数y=x2-2x-1的图象可以看到:在区 间(1,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的 增大而增大,即y’>0时,函数在区间(1,+∞)内为增 函数;反之,在区间(- ∞,1)上,y’<0,函数递减.
1，0 2
和
12，
上，fx
是增函数。
12，
上，fx
是增函数。
令y' 4x2 1 0 x 4x2 1 0 x
0
x
1
0，1 2
和
-
，
1 2
上，fx
是减函数。
令y' 4x2 1 0 x
[练一练]:求函数y=2X2-lnx的单调区间。
解：易得y' 4x 1 4x2 1 另解：易得定义域为x 0
xx
令y' 4x2 1 0 x 4x2 1 0 x
1 x 0或x 1
2
2
令y' 4x2 1 0 x
x
1 2
教学目标
1.知识目标:掌握用导数的符号判别函数增减 性的方法,提高对导数与微分的学习意义的认识.
2.能力目标：训练解题方法，培养解题能力。
3.德育目标：能用普遍联系的观点看待事物， 抓住引起事物变化的主要因素。
4.美育目标：数学方法的广泛应用之美，数 学内容的统一性。
重点：利用导数的符号确定函数的单调区间。
0 x 1 2
0，1 2
上，f
x
是减函数。
知识延展型设a 0,求函数fx x lnx a,
x 0的单调区间.
解：f'(x) 1 1 ,(x 0) 2 x xa
a 0 ,x 0 令 f' ( x ) 0 即 1 1 0 2 x xa
y
（2）求函数的导数 f ' (x ) 2x 4
（3）令 f '(x) 0 f '(x) 0在定
义域内解不等式，求自变量x
的取值范围，也即函数的单调
区间。
2
o
x
令2x－4>0,解得x>2∴x∈(2,＋∞)时，f ( x )是增函数 令2x－4<0,解得x<2∴x∈(-∞,2)时，f ( x )是减函数