函数单调性第一课时(公开课)
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函数的单调性与导数--公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
假如函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数旳单调区间。
2.怎样用定义判断函数旳单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表达高台跳水运动员旳高度 h 随时间 t 变化旳函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 旳图象, 图(2)表达高台跳水运动 员旳速度 v 随时间 t 变化旳函数 v(t)= -9.8t+6.5 旳图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间旳运动状态有什么区别?
二、讲授新课-----问题探究
观察下面某些函数旳图象, 探讨函数旳单调性与其导函数正负
旳关系.
y
（1）
y y=x （2）
y=x2o （3ຫໍສະໝຸດ yxoy=x3
y
（4）
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地，函数旳单调性与其导
函数旳正负有如下关系：
(x1，f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x旳单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数旳单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2－2lnx定义域为0,
h
(1)
2.怎样用定义判断函数旳单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表达高台跳水运动员旳高度 h 随时间 t 变化旳函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 旳图象, 图(2)表达高台跳水运动 员旳速度 v 随时间 t 变化旳函数 v(t)= -9.8t+6.5 旳图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间旳运动状态有什么区别?
二、讲授新课-----问题探究
观察下面某些函数旳图象, 探讨函数旳单调性与其导函数正负
旳关系.
y
（1）
y y=x （2）
y=x2o （3ຫໍສະໝຸດ yxoy=x3
y
（4）
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地，函数旳单调性与其导
函数旳正负有如下关系：
(x1，f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x旳单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数旳单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2－2lnx定义域为0,
h
(1)
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
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03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
函数的单调性(公开课课件)
04 函数单调性的应用举例
利用函数单调性求最值问题
极值问题
通过判断函数在某一点的单调性 ，可以确定该点是否为极值点， 从而求得函数的最值。
最值问题
利用函数在整个定义域上的单调 性，可以确定函数在定义域上的 最大值和最小值。
利用函数单调性解不等式问题
单调性比较法
通过比较两个函数的单调性，可以确定它们的大小关系，从而解决一些不等式问题。
02
建议学生多参与数学建模和数学竞赛等活动，提高数学应用发展
03
学生可以通过阅读数学期刊、参加学术会议等方式，了解数学
学科的最新发展动态和前沿研究领域。
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感谢您的观看
单调性分析法
利用函数的单调性，可以分析不等式的解集和边界情况。
利用函数单调性解决实际问题
优化问题
在经济学、金融学等领域中，经常需要解决一些优化问题，如最优化生产、最优化投资等。利用函数 单调性可以找到最优解或近似最优解。
决策问题
在企业管理、市场营销等领域中，经常需要做出一些决策，如选择最佳的营销策略、确定最优的产品 价格等。利用函数单调性可以分析不同决策方案的效果，从而做出更好的决策。
03 函数单调性的判定方法
导数法判定函数单调性
总结词
通过求导数判断函数的单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
举例
对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$，在$x > 0$时，$f'(x) > 0$，因此函数 $f(x)$在$x > 0$时单调递增。
3.2--3.2.1--第一课时-函数的单调性公开课
[做一做]
1．下列命题中真命题的个数为
()
①定义在(a，b)上的函数 f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当 x1<x2 时，有 f(x1)<f(x2)，那么 f(x)在(a，b)上单调递增； ②如果函数 f(x)在区间 I1 上单调递减，在区间 I2 上也单调递 减，那么 f(x)在区间 I1 和 I2 上就一定是减函数； ③∀x1，x2∈(a，b)，且 x1≠x2，当fxx11－－fx2x2<0 时，f(x)在 (a，b)上单调递减；
复合函数y＝f(g(x))的单调性 [问题探究]
[典例] 已知函数f(x)＝x－2 1，x∈[2,6]． (1)判断此函数在x∈[2,6]上的单调性； (2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．
[解] (1)函数f(x)＝x－2 1可分解为函数y＝u2和函数u＝x－1.
[母题探究] 1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)的单调增区间为(－∞，3]，
求a的值．
解：由题意知－a－1＝3，即a＝－4. 2．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a
的取值范围． 解：由题意可以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
意”；由 f(x)＝1x，可知②是假命题；
∵fxx11－ －fx2x2<0 等价于[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0，而此式又等价于
fx1－fx2>0， x1－x2<0
或
fx1－fx2<0， x1－x2>0，
即 fx1>fx2， x1<x2
或
fx1<fx2， x1>x2，
∴f(x)在(a，b)上单调递减，③是真命题，同理可
5.3.1函数的单调性(第一课时)课件(人教版)
利用导数判断含参函数的单调性
例
2：函数
f
(
x
)
1 ＝ ax
2－(
a＋1)
x
＋lnx
，a>0，试讨论函数
f(
x
)
的单调性．
2
解：函数的定义域为(0，＋∞),
1 ax2－(a＋1)x＋1 (ax－1)(x－1)
f′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝
，
x
x
x
1
1
1
1，
①当 0<a<1 时， >1，∴x∈(0,1)和( ，＋∞)时，f′(x)>0；x∈ a 时，f′(x)<0，
a
a
1
1
0，
，1
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减，
利用导数判断含参函数的单调性
综上所述，
1
1
，＋∞
1，
当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和 a
上单调递增，在 a 上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
1
0，
，1
当 a>1 时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
RART 02
函数的单调性与导数
函数的单调性
思考：视察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
y y＝x
O
x
(1)
y
y＝x2
O
x
(2)
y
y＝x3
O
x
y y＝x-1
O
x
(3)
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
【课件】函数单调性第一课时课件
置上，虽然使得f(x1)<(fx2)，但显然此图
象表示的函数不是一个单调函数.
x0
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y=f（x）是增函数还是减函数?
解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
<x 1
x 2
2.作差变形 （一般地） 即作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解
、配方法、有理化等方法化为积商形式，向有利于判断
差的符号的方向变形，直到可以判断符号为止。
3.判定正负 确定f(x1)-f(x2)的正负
4.判断 根据定义作出结论
即“取值-作差-定号-判断”
例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
三、练习
(1)判断函数f (x) 1 在(,0)上是增函数还是减函
x
数 ? 并证明你的结论.
减函数
证明:设x1, x2是(,0)上任意的两个实数,且x1 x2
则：f (x1) f (x2 由x1, x2 (,0),
11
)
得x1xx12
x2 0
x2 x1 x1x2
又由x x ,得x x 0
g(x)在区间[ ,
),[
,
2 22 ]上是减函数，
2
22
在区间[ , ]上是增函数。
22
例2：证明函数f (x) 1 在(0,)上是减函数 x
证明:
设x 1
,
x 是(0, 2
)上任意的两个实数,
象表示的函数不是一个单调函数.
x0
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y=f（x）是增函数还是减函数?
解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
<x 1
x 2
2.作差变形 （一般地） 即作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解
、配方法、有理化等方法化为积商形式，向有利于判断
差的符号的方向变形，直到可以判断符号为止。
3.判定正负 确定f(x1)-f(x2)的正负
4.判断 根据定义作出结论
即“取值-作差-定号-判断”
例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
三、练习
(1)判断函数f (x) 1 在(,0)上是增函数还是减函
x
数 ? 并证明你的结论.
减函数
证明:设x1, x2是(,0)上任意的两个实数,且x1 x2
则：f (x1) f (x2 由x1, x2 (,0),
11
)
得x1xx12
x2 0
x2 x1 x1x2
又由x x ,得x x 0
g(x)在区间[ ,
),[
,
2 22 ]上是减函数，
2
22
在区间[ , ]上是增函数。
22
例2：证明函数f (x) 1 在(0,)上是减函数 x
证明:
设x 1
,
x 是(0, 2
)上任意的两个实数,
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
THANKS FOR WATCHING感Biblioteka 您的观看CHAPTER 03
函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
函数的单调性公开课课件
在函数值比较中的应用
1 2
利用单调性比较函数值大小
对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区 间内单调，则可以直接比较它们的大小。
确定函数值的范围
通过判断函数的单调性，可以确定函数在某个区 间内的取值范围。
3
举例
比较sin(π/4)和sin(π/6)的大小。由于正弦函数 在[0, π/2]区间内单调递增，因此sin(π/4) > sin(π/6)。
06
复合函数的单调性
复合函数的定义和性质
复合函数的定义
设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$， 函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$， 且$g(D_g) subseteq D_f$，则称函 数$y=f[g(x)]$为$x$的复合函数。
复合函数的性质
复合函数保持原函数的定义域、值域 、周期性、奇偶性等基本性质。
以直观地判断函数在各个 区间内的单调性。
判断单调区间
根据图像的形状和走势， 确定函数在各个区间内的 单调性。
图像的绘制
通过描点法、图像变换法 等方法，绘制出函数的图 像。
04
常见函数的单调性
一次函数
一次函数单调性
一次函数$f(x) = ax + b$（$a neq 0$）在其定 义域内单调增加或减少，取决于系数$a$的正负。
总结与展望
课程总结
函数的单调性定义
详细解释了函数单调性的定义，包括增函数、减函数以及常数函 数的特性。
判断函数单调性的方法
介绍了如何通过导数、二阶导数以及函数的图像来判断函数的单调 性。
函数单调性的应用
举例说明了函数单调性在解决实际问题中的应用，如优化问题、经 济学中的边际分析等。
函数的单调性(公开课课件)
1.3.1 函数的单调性
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的 记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到 了以下一些数据：
以上数据表明，记忆保留量y是
y
100
时间t的函数. 艾宾浩斯根据这
80
60
些数据描绘出了著名的“艾宾浩
40
20
斯遗忘曲线”,如图.
o1 2 3 t
思考1:观察“艾宾浩斯遗忘曲
y
y
4
o
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.从左至右图象—上——升— 2.在区间 (-∞, +∞)上，
随着x的增大，f(x)的值
随着
增大
————
1
x
-2 -1 O 1 2
1.(-∞,0]上从左至右图象 下降
当x增大时f(x)随着 减小
2.(0,+∞)上从左至右图象上升，
当x增大时f(x)随着增大
(1)f(x)x1
(2) f (x)x2
y
x
？ 函数y 1定义域为( ,0)(0, )
y1的单 x调减区间是_(___,_0_)_,__(_0_, __ )
x
x
y 1 x
讨论：根据函数单调性的定义
能 不 能 说 y1(x0)在 定 义 域 ( ,0) (0, )上 x
是 单 调 减 函 数 ?
y
f (x1)
f
(
x
)
1 x
f (x2)
xO 1 x 2 x
〔2〕 x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，那么 函数 f (x)在R上是增函数；
o
y
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的 记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到 了以下一些数据：
以上数据表明，记忆保留量y是
y
100
时间t的函数. 艾宾浩斯根据这
80
60
些数据描绘出了著名的“艾宾浩
40
20
斯遗忘曲线”,如图.
o1 2 3 t
思考1:观察“艾宾浩斯遗忘曲
y
y
4
o
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.从左至右图象—上——升— 2.在区间 (-∞, +∞)上，
随着x的增大，f(x)的值
随着
增大
————
1
x
-2 -1 O 1 2
1.(-∞,0]上从左至右图象 下降
当x增大时f(x)随着 减小
2.(0,+∞)上从左至右图象上升，
当x增大时f(x)随着增大
(1)f(x)x1
(2) f (x)x2
y
x
？ 函数y 1定义域为( ,0)(0, )
y1的单 x调减区间是_(___,_0_)_,__(_0_, __ )
x
x
y 1 x
讨论：根据函数单调性的定义
能 不 能 说 y1(x0)在 定 义 域 ( ,0) (0, )上 x
是 单 调 减 函 数 ?
y
f (x1)
f
(
x
)
1 x
f (x2)
xO 1 x 2 x
〔2〕 x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，那么 函数 f (x)在R上是增函数；
o
y
函数的单调性第一课时-高一数学必修一课件
基本初等函数单调性判断
2-2x
2
(4)y
＝
x
(3)y＝－x ＋2x
构建数学
定义域： R
定义域： R
y
y
1
2
x
1
2
x
f x 在区间 ，
1上单调递增
f x 在区间 ，
1上单调递减
单调增区间为： ，
1
单调减区间为： ，
1
f x 在区间1，
上单调递减
y5
文字语言
4
在y轴左侧，f(x)=x2图象下降的；即当
x≤0时，即f(x)随着x的增大而减小；
3
2
在y轴右侧，f(x)=x2图象上升的；即当
x>0时，即f(x)随着x的增大而增大.
1
- 4 -3
-2
从左向右看
-1 0
1
2 3
4
-1
图像语言 上升或下降
x
如何用符号语言刻画函 数的单调性呢？
新知引入——二次函数f(x)=x2的单调性
新知学习：单调性的定义
特别地，当函数 () 在它的定义域上单调递减增时，我们就称它为增函数.
如：() = 就是在R上的增函数.
特别地，当函数 () 在它的定义域上单调递减减时，我们就称它为减函数.
如：() = −就是在R上的减函数.
注意：增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数
这时我们就说函数() = ||在区
间(−∞, ]上是单调递增的.
新知学习：单调性的定义
单调递增
单调性是局部性质
单调递减
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，
函数的单调性(公开课课件)
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
格单调的。
函数单调性的扩展
05
多变量函数的单调性
01 02
定义
对于多变量函数，如果函数在某个区域内的任意两点x1和x2，当x1<x2 时，函数值f(x1)<=f(x2)，则称函数在此区间内单调递增；反之，则称 函数在此区间内单调递减。
判断方法
通过求导数或求偏导数，判断函数的增减性。
03
应用
在经济学、物理学等领域中，多变量函数的单调性有着广泛的应用。
严格单调函数的反例
总结词
非严格单调函数
详细描述
严格单调函数在其整个定义域内单调递增或递减，没有拐点或水平切线。反例可以是通 过构造一个有拐点或水平切线的函数来证明。例如，函数$f(x) = x^3 + x$在$(-infty, +infty)$内是严格单调递增的，但如果在某点处添加一个水平切线，则该函数不再是严
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
函数单调性课件公开课
典型例题分析与解答
• 例题1：讨论函数$f(x) = |x| + x^2$的单调性。 • 解答：首先确定函数的定义域为全体实数。当$x \geq 0$时，$f(x) = x + x^2$，其导数为$f'(x) = 1 + 2x
\geq 1 > 0$，故在该区间内函数单调递增；当$x < 0$时，$f(x) = -x + x^2$，其导数为$f'(x) = -1 + 2x < 1 + 0 = -1 < 0$，故在该区间内函数单调递减。因此，函数$f(x) = |x| + x^2$在$x \geq 0$时单调递增，在 $x < 0$时单调递减。 • 例题2：判断分段函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \ 2x, & x > 1 \end{cases}$的单调性。 • 解答：当$x \leq 1$时，$f(x) = x^2$，其导数为$f'(x) = 2x$。由于在该区间内$2x \leq 2 < 0$不成立，故函 数在该区间内不单调；当$x > 1$时，$f(x) = 2x$，其导数为$f'(x) = 2 > 0$，故函数在该区间内单调递增。 因此，分段函数$f(x)$在$x \leq 1$时不单调，在$x > 1$时单调递增。同时注意到在分段点$x=1$处$f(1) = 1^2 = 1 < 2 \times 1 = 2$，不影响整体单调性判断。
分段函数单调性判断方法
逐段判断
对于分段函数，需要分别在每一 段上判断函数的单调性，并考虑
分段点处的函数值大小关系。
图像法
通过绘制分段函数的图像，可以直 观地判断函数的单调性。
函数的单调性(第一课时 课件
[1,+∞) (2)二次函数 y=﹣x2﹣2x+1 的单调递增区间是：
(-∞,1] (3)二次函数 y=x2﹣2ax+1 的单调递增区间是：
[a,+∞) (4)二次函数 y=ax2+bx+c 的单调递增区间是：
定义法证明单调性
例2、证明函数f ( x)=x3+3在( ,+)上是增函数.
解：任取x1，x2 ( ,+)，设x1<x2，
A 2、 下列函数，在区间(0,1)上是增函数的是（ ）
A. y | x | B. y 3 x
C. y 1 D. y x2 4 x
C 3、 函数y | x 2 | 在区间[3, 0]上是（ ）
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
四、课堂小结
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性 利用图象法观察单调性
当x<0时，f(x)=x2图象下降的， 即f(x)随着x的增大而减小；
f (x) x2
思考2:“当x<0时，f(x)随着x的增大而减小”,“x增大了”怎么用符
号语言来表示?“对应的函数f(x)减小了”呢？结合以下表格，你能给出
具体的描述吗？
x
... -5 -4 -3 -2 -1 ...
f(x)=x2 ... 25 16 9 4 1 ...
在[0,1]和(1, 2]这两个区间的并集(即[0, 2])上也是增函数。
(2)函数f(x)在区间A、B上均为增(减)函数，一般不能简单认为f(x)
在A ∪ B上是增(减)函数 ——单调区间之间不能用“∪”
3、函数f ( x)=x2在区间[1,3]上是增函数.
(-∞,1] (3)二次函数 y=x2﹣2ax+1 的单调递增区间是：
[a,+∞) (4)二次函数 y=ax2+bx+c 的单调递增区间是：
定义法证明单调性
例2、证明函数f ( x)=x3+3在( ,+)上是增函数.
解：任取x1，x2 ( ,+)，设x1<x2，
A 2、 下列函数，在区间(0,1)上是增函数的是（ ）
A. y | x | B. y 3 x
C. y 1 D. y x2 4 x
C 3、 函数y | x 2 | 在区间[3, 0]上是（ ）
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
四、课堂小结
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性 利用图象法观察单调性
当x<0时，f(x)=x2图象下降的， 即f(x)随着x的增大而减小；
f (x) x2
思考2:“当x<0时，f(x)随着x的增大而减小”,“x增大了”怎么用符
号语言来表示?“对应的函数f(x)减小了”呢？结合以下表格，你能给出
具体的描述吗？
x
... -5 -4 -3 -2 -1 ...
f(x)=x2 ... 25 16 9 4 1 ...
在[0,1]和(1, 2]这两个区间的并集(即[0, 2])上也是增函数。
(2)函数f(x)在区间A、B上均为增(减)函数，一般不能简单认为f(x)
在A ∪ B上是增(减)函数 ——单调区间之间不能用“∪”
3、函数f ( x)=x2在区间[1,3]上是增函数.
函数的单调性公开课课件
函数的单调性公开课 课件
目录
• 引言 • 函数单调性的判断方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 典型例题分析 • 课堂小结与思考题
CHAPTER 01
引言
函数的单调性定义
增函数
对于函数$f(x)$，如果在其定义域内的任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) leq f(x_2)$，则称$f(x)$ 在该定义域内是增函数。
导数非正 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非正，则该函数 在该定义域内单调减少。
单调函数的周期性
周期函数与非周期函数
单调函数可以是周期函数，也可以是非周期函数。周期函数具有重复出现的特性，而非 周期函数则不具有这种特性。
周期函数的单调性
如果一个周期函数在一个周期内单调增加（或减少），则在每个周期内都具有相同的单 调性。这意味着周期函数的图像在每个周期内都会重复相同的上升或下降趋势。
利用单调函数的性质，如增减性、连续性等，对函数值进行比较和估算。
在函数图像分析中的应用
利用函数的单调性判断函数图像的趋势
通过函数的单调性可以判断函数图像在某个区间内的上升或下降趋势，从而了解函数的整体性质。
单调函数的性质在函数图像分析中的应用
利用单调函数的性质，如拐点、极值点等，对函数图像进行进一步的分析和研究，如确定函数的最大值、 最小值等。
3
导数非负 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非负， 则该函数在该定义域内单调增加。
单调减函数的性质
函数值随自变量增大而减小 对于任意两个自变量的值x1和x2（x1 < x2），如果函数 f(x)在区间[x1, x2]内单调减少，则有f(x1) ≥ f(x2)。
目录
• 引言 • 函数单调性的判断方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 典型例题分析 • 课堂小结与思考题
CHAPTER 01
引言
函数的单调性定义
增函数
对于函数$f(x)$，如果在其定义域内的任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) leq f(x_2)$，则称$f(x)$ 在该定义域内是增函数。
导数非正 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非正，则该函数 在该定义域内单调减少。
单调函数的周期性
周期函数与非周期函数
单调函数可以是周期函数，也可以是非周期函数。周期函数具有重复出现的特性，而非 周期函数则不具有这种特性。
周期函数的单调性
如果一个周期函数在一个周期内单调增加（或减少），则在每个周期内都具有相同的单 调性。这意味着周期函数的图像在每个周期内都会重复相同的上升或下降趋势。
利用单调函数的性质，如增减性、连续性等，对函数值进行比较和估算。
在函数图像分析中的应用
利用函数的单调性判断函数图像的趋势
通过函数的单调性可以判断函数图像在某个区间内的上升或下降趋势，从而了解函数的整体性质。
单调函数的性质在函数图像分析中的应用
利用单调函数的性质，如拐点、极值点等，对函数图像进行进一步的分析和研究，如确定函数的最大值、 最小值等。
3
导数非负 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非负， 则该函数在该定义域内单调增加。
单调减函数的性质
函数值随自变量增大而减小 对于任意两个自变量的值x1和x2（x1 < x2），如果函数 f(x)在区间[x1, x2]内单调减少，则有f(x1) ≥ f(x2)。
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当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
当x1<x2时，
有f(x1)<f(x2)
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
对区间I内 任意 x1，x2 ，
0
工人数
2.整个上午（8:00~12:00）天气越来越暖，中午时分（ 12:00~13:00 ）一场暴风雨使 天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉. 画出这一天8:00~20:00期间气温关于时间函数的一个可能图像，并说明所画函数的单 调区间. 3.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函 数. y
y
y x2
o x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
合作交流：
例1、下图为函数 y = f x , x [4, 7] 的图像， 指出它的单调区间。 y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 -4
x
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 如果函数 f ( x ) 在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f ( x ) 在该区 间上为增函数；如果函数 f ( x ) 在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函 数 f ( x )在该区间上为减函数．
课堂效果提升：教材P39习题1.3A组第1题，第4题
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x 2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
-1
0
1
2
3
4
5
x
课堂小结：
增函数 图象
y2 y1
O
减函数
y1
y
x1 x2
y
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2
y2
x
O
x
图象 特征 数量 特征
上升 自左至右，图象____.
下降 自左至右，图象_______ .
增大 当任意 y随x的增大而_____. y1＜y2 x1＜x2时，都有_________
减小 y随x的增大而_______. 当任意 y1＞y2 x1＜x2时，都有________
4 3 2 1
0 4
0 4
函数 y x 在 [0, ) 上 y随x的增大 而增大，在 (, 0) 上y随x的增大而减小．
-4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 -4 2
x
1 y (0, ) 函数 上 y随x的增大而减 x在 小，在 (, 0)上y随x的增大而减小．
I x 1
都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，
x2
x
定 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为
增区间.
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， f (x)的单调
三．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
y
10 8 6 4
2
O -2 2 4
I
6 8 10 12
14 16
18
20
22 24
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
I x 1
函数的单调性
一、新课导入
下面是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
问题：观察图形，能得到什么信息？
二、归纳探索，形成概念 1 2 y x 2 , y x 2 , y x , y 问题1：分别作出函数 的图象，并且观察自变 x
量变化时，函数值有什么变化规律？
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
y
4 3 2 1
y
4 3
2 1 0 4
0
4
函数 y x 2 在整个定义域内 y随x的增 大而增大；
-4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 -4
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 -4
x
y
函数y - x 2 在整个定义域内 y随x的 增大而减小． y
4 3 2 1
3
-4 -3
-2 -1 o
-1.5
2 1 -1 -2
1 2 3 4 5 6 7x
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6] 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7] 注意：如果有多个单调区间，各区间之间用“ ”隔 开
，
学习效果展示：
练习1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 生产效率