3.函数的单调性(北师大版国家级优质课一等奖)
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y
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x
引例1
引例2
y 1 y
yx
o 1 x -1 o
1
y x
x
函数
f ( x) x
的图象是上升的.
函数
f(x)x
的图象是下降的.
我们就说函数 f ( x ) x ( , ) 在区间 上是增加的.
我们就说函数 f(x) x 在区间 (, ) 上是减少的.
y
1 y x
x
1 (0, ) y 的单调减区间是 (, 0)和 x
讨论：根据函数单调性的定义
能不能说y 1 ( x 0)在定义域(, 0) (0, )上 x 是单调减函数?
？
例2
下面证明 f(x)= x在 (0, )是减函数。
证明：设x1，x2是区间(0, ＋∞)上的 任意两个实数，且 x1< x2 ， x2 x1 1 1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x1 x2
解：作出f (x)=3x +2的图像。 由图看出，函数的图像在R 上是上升的，函数是R上的 增函数
y
2
-1
0
x
例1 画出函数f (x)=3x +2的图像，判断它的
单调性，并加以证明。
证明：在R上任意取两个值 x1 , x 2 ，且 x1 x 2 ，
f ( x1 ) f ( x2 ) (3x1 2) (3x2 2)
1
x 2 x 2
当 x )< x 当x x1 <x x2 时， 都有 有ff (( x )< ff (( x )) 11 22 1< 2时，
x x
y
10 8 6 4 2 O -2
y f ( x)
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24 22 24
x
函数的单调递增区间有： [4，14] 和 [18，21]
∵ x1 x 2
取值 作差变形
3( x1 x2 )
3( x1 x2 ) 0
∴ x1 x2 0,
定号
∴ f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即 f ( x1 ) f ( x2 ).
∴ f ( x) 3x 2 在R上是单调增函数． 结论
例2
说出函数 y 1 (x≠0) 的 x 单调区间,并证明在该区间 上的单调性 。
又
1
x1 , x2 ( 0 , ), x1 x2 0 x1 x2 , x2 x1 0
f ( x1 ) f ( x2 ).
1 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上是减函数. x
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： ①取值： 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差：f(x1)－f(x2)； ③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式； ④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论：（即指出函数f(x) 在给定的区间D上 的单调性）．
引例2
y
y = x2
1·
O
· 1
x
（ ∞, 0 ] 此函数在区间 内是减少的， [0, +∞ ) 在区间 内是增加的。
y
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y f ( x)
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A
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-2
x
y
图象在区间A逐渐上升 区间A内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
N
？
对区间A内
x 1， x 2 ，
有f(x1)<f(x2)
A
M
当x1<x2时，
x1
x2
x
y y
图象在区间A逐渐上升
区间A内随着x的增大，y也增大
ff((x x22))
N N
？
对区间 x x， 对区间A A内 内 任意 x1 ， x2 1， 2， M AM A x 1 x
ff((x x11)) O O
函数的单调递减区间有： [0，4] ，[14，18]和 [21，23]
判断1：函数 f (x)= x2 在
,
是增加的；
y
函数的单调性是对定义域的某 个区间而言的，是一个局部概念.
y
f(2)
y x2
o x
判断2：定义在R上的函数 f (x) 满足f (2)> f(1)，则函数 f (x)
概念2
（1）如果函数 y =f(x)在定义域的某个子集上是增 加的或是减少的，那么就称函数 y =f(x)在这个子集 上具有单调性。
（2）如果函数y =f(x)在整个定义域内是
增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增
函数或减函数，统称为单调函数
例1
画出函数f (x)=3x +2的图像，判断它的单 调性，并加以证明。
在R上是增函数；
f(1) O 1 2
x
概念1
如果 y f ( x) 在区间A上是增加的或是减少的， 那么称A为单调区间
y
f(x2) f(x1)
y
f(x1) f(x2) x1 x2
O
x
O
x1
x2
x
在单调区间上， 如果函数是增加的，那么它的图象是 上升 的。 如果函数是减少的，那么它的图象是 下降 的。
回 顾 小 结
本节课主要学习了以下内容： 1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、判断单调性的方法：图象、定义; 4、证明函数单调性的步骤.
作业： 课本第38页 习题2-3A组2，3，4，5
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函数
f ( x) x
的图象是上升的.
函数
f(x)x
的图象是下降的.
我们就说函数 f ( x ) x ( , ) 在区间 上是增加的.
我们就说函数 f(x) x 在区间 (, ) 上是减少的.
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1 y x
x
1 (0, ) y 的单调减区间是 (, 0)和 x
讨论：根据函数单调性的定义
能不能说y 1 ( x 0)在定义域(, 0) (0, )上 x 是单调减函数?
？
例2
下面证明 f(x)= x在 (0, )是减函数。
证明：设x1，x2是区间(0, ＋∞)上的 任意两个实数，且 x1< x2 ， x2 x1 1 1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x1 x2
解：作出f (x)=3x +2的图像。 由图看出，函数的图像在R 上是上升的，函数是R上的 增函数
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例1 画出函数f (x)=3x +2的图像，判断它的
单调性，并加以证明。
证明：在R上任意取两个值 x1 , x 2 ，且 x1 x 2 ，
f ( x1 ) f ( x2 ) (3x1 2) (3x2 2)
1
x 2 x 2
当 x )< x 当x x1 <x x2 时， 都有 有ff (( x )< ff (( x )) 11 22 1< 2时，
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y f ( x)
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函数的单调递增区间有： [4，14] 和 [18，21]
∵ x1 x 2
取值 作差变形
3( x1 x2 )
3( x1 x2 ) 0
∴ x1 x2 0,
定号
∴ f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即 f ( x1 ) f ( x2 ).
∴ f ( x) 3x 2 在R上是单调增函数． 结论
例2
说出函数 y 1 (x≠0) 的 x 单调区间,并证明在该区间 上的单调性 。
又
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x1 , x2 ( 0 , ), x1 x2 0 x1 x2 , x2 x1 0
f ( x1 ) f ( x2 ).
1 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上是减函数. x
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： ①取值： 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差：f(x1)－f(x2)； ③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式； ④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论：（即指出函数f(x) 在给定的区间D上 的单调性）．
引例2
y
y = x2
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（ ∞, 0 ] 此函数在区间 内是减少的， [0, +∞ ) 在区间 内是增加的。
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图象在区间A逐渐上升 区间A内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
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对区间A内
x 1， x 2 ，
有f(x1)<f(x2)
A
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当x1<x2时，
x1
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y y
图象在区间A逐渐上升
区间A内随着x的增大，y也增大
ff((x x22))
N N
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对区间 x x， 对区间A A内 内 任意 x1 ， x2 1， 2， M AM A x 1 x
ff((x x11)) O O
函数的单调递减区间有： [0，4] ，[14，18]和 [21，23]
判断1：函数 f (x)= x2 在
,
是增加的；
y
函数的单调性是对定义域的某 个区间而言的，是一个局部概念.
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y x2
o x
判断2：定义在R上的函数 f (x) 满足f (2)> f(1)，则函数 f (x)
概念2
（1）如果函数 y =f(x)在定义域的某个子集上是增 加的或是减少的，那么就称函数 y =f(x)在这个子集 上具有单调性。
（2）如果函数y =f(x)在整个定义域内是
增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增
函数或减函数，统称为单调函数
例1
画出函数f (x)=3x +2的图像，判断它的单 调性，并加以证明。
在R上是增函数；
f(1) O 1 2
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概念1
如果 y f ( x) 在区间A上是增加的或是减少的， 那么称A为单调区间
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f(x2) f(x1)
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f(x1) f(x2) x1 x2
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x2
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在单调区间上， 如果函数是增加的，那么它的图象是 上升 的。 如果函数是减少的，那么它的图象是 下降 的。
回 顾 小 结
本节课主要学习了以下内容： 1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、判断单调性的方法：图象、定义; 4、证明函数单调性的步骤.
作业： 课本第38页 习题2-3A组2，3，4，5