变化的磁场和变化的电场

b b
i

(v B) dl
a

a EK dl

εi
(v B) dl
L

L EK dl
(导体不闭合) (导体闭合)
大学物理：变化的磁场和变化的电场
(4) 轴对称分布的变化磁场产生的感应电场
设内一部个磁半场径强为度R为B的，长若直载B流/螺t 为线大管于，零
dΦ BdS 2 R2 r 2 d y B
i

dΦ dt

2B
R2 r2 d y dt
2Bv R2 r2
方向由楞次定律确定
R b
B O r
v a
大学物理：变化的磁场和变化的电场
二. 感生电动势
1 涡旋电场（感生电场或有旋电场） 实验证明：当磁场变化时，静止导体中也出现感应电动势
大学物理：变化的磁场和变化的电场
§10.1 电磁感应
一. 电磁感应现象
电流的磁效应
电生磁
磁的电效应
v
N
法拉第的实验：
磁铁与线圈有相对运动，线圈中产生电流
I'
•• S 一线圈电流变化，在附近其它线圈中产生电流
电磁感应实验的结论
I (t) I'
当穿过一个闭合导体回路所限定的面积的磁
通量发生变化时，回路中就出现感应电流
例 在匀强磁场 B 中，长 R 的铜棒绕其一端 O 在垂直于
B 的平面内转动，角速度为
求 棒上的电动势
解 方法一 (动生电动势):
i

A(v
B)

dl
O
R
R
O vBdl O lBdl
BR2 方向 A O
2
O点电势高！
B v
Ol
dl
A
R

大学物理：变化的磁场和变化的电场

AK q EK dl


AK q

EK dl

对闭合电路 EK dl
大学物理：变化的磁场和变化的电场
三. 电磁感应定律
（1）法拉第的实验规律表达式 感应电动势的大小与通过导体
回路的磁通量的变化率成正比 负号表示电动势的方向
（2）电动势的大小
f

e(v
B)
—— 非静电力 FK
• 非静电场
EK

FK e

v
B
大学物理：变化的磁场和变化的电场
• 动生电动势
EK v B

i EK dl
(v
B)

dl
+
i

(v B)dl

-
动生电动势的方向
麦克斯韦提出： 无论有无导体或导体回路，变化的磁场都将在其周围空间产 生具有闭合电场线的电场，并称此为感生电场或有旋电场
涡旋电场的性质：

（1）涡旋电场的电力线是闭合线，非 保守力场 L EK dl 0
（2）涡旋电场对电荷有力的作用 FK qEK
（3）涡旋电场的存在不依赖导体
EK
解 大圆环在圆心处产生的磁场
B 0I
2r2
通过小线圈的磁通量
r2
r1
Φ
B
S

0I π
2r2
r12cos

0I π
2r2
r12cost
感应电动势 dΦ 0Iπ r12 sint
dt
2r2
大学物理：变化的磁场和变化的电场
例 在无限长直载流导线的磁场中，有一运动的导体线框， 导体线框与载流导线共面
Pext Fextv IBlv P 械能转换而来的
(4) 感应电动势做功，洛伦兹力不做功？
F V

(
f
f'
)

(v v'
)
f'
e
fv' f'v
evBv'ev' Bv 0
洛伦兹力做功为零
F
v' f
B v
V
大学物理：变化的磁场和变化的电场
v
B
v
B

0
dl
i 0
v
B

0
(v
B)

dl

0
大学物理：变化的磁场和变化的电场
(2) 对于运动导线回路，电动势存在于整个回路
i

(v
B) dl

B
(v
dl )


B
(vΔ
t

dl )/Δ
t

Φm
B dS
d m

dt
dΦm
dt
dΦm
dt
（3）确定电动势的方向的方法
I 规定绕行方向 L，电动势与该方向一致时为正，否则为负
II 确定 m 的正负
III 根据法拉第定律确定电动势的方向
大学物理：变化的磁场和变化的电场
B
n
B
B
n
Байду номын сангаасB
N
L S
Φ 0 dΦ 0 dt
如35
dΦm
dt
0
N
L n
S
Φ0 dΦ 0 dt
如 -3 -5
dΦm
dt
0
N
L S
Φ 0
dΦ 0 dt
如53
dΦm
dt
0
N
L n
S
Φ0
dΦ 0 dt
如 -3 -5
dΦm
大学物理：变化的磁场和变化的电场
第10章 变化的磁场和变化的电场
M.法拉第(1791~1869)伟大的物理学家、化学家、19世纪最伟大的 实验大师。右图为法拉第用过的螺绕环
大学物理：变化的磁场和变化的电场
电磁感应知识结构
变化磁场产生电场 法拉第电磁感应定律
按产生原 按激发方
因分类
式分类
变化电场产生磁场 位移电流
(v
B)

dl
方向
大学物理：变化的磁场和变化的电场
应用
注意两个角度
i

(v
B)

dl

a
B
l dlv
a
b vBdl vBl
b
磁场中的运动导线成为电源，非静电力是洛伦兹力
讨论

(v B) dl
dl
v
B
(1) 注意矢量之间的关系
垂直于磁场方向以速度 v 扫过磁场区
求 当导线距区域中心轴垂直距离为 r 时的动生电动势
解 方法一 ：动生电动势
i

b(v
B)

dl
a
b
a vBdl
vBab
2vB R2 r2
B
O
v
R
r
dl
b
a
大学物理：变化的磁场和变化的电场
方法二 ：法拉第电磁感应定律 在 dt 时间内导体棒切割磁场线
的恒量。求管内外的感应电场。

r
r
O
r R
i
L EK dl
EK
dl
L
R
i

dΦ dt
EK 2r
d
dt
B πr 2 cos
t
Bπ r2 t
EK

r 2
B t

感应电场方向为切向
r R i L EK dl EK 2r

dl
/ l
dt

0Iabv
2π l(l a)
大学物理：变化的磁场和变化的电场
§10.2 感应电动势
磁通量变化产生感应电动势可以分为三种情况
磁场不变，回路变化 磁场变化，回路不变 磁场变化，回路变化
磁通量变化 感应电动势
本节主要讨论前两种不同情况
• 相对于实验室参照系，若磁场不变，而导体回路运动
dt
dt
B
l
a

v
x(t) b
回路磁通量增加－＞电动势逆时针方向
若磁场变化 B B(t) B0t


dΦ dt

(B0lx

B0tlv )
大学物理：变化的磁场和变化的电场
例 两个同心圆环，已知 r1<<r2,大线圈中通
有电流 I ,当小圆环绕直径以 转动时
I
求 小圆环中的感应电动势
Bπ R2cosπ t
EK

R2 2r
B t
大学物理：变化的磁场和变化的电场
例 一被限制在半径为 R 的无限长圆柱内的均匀磁场 B ，
B 均匀增加，B 的方向如图所示。

求 导体棒MN、CD的感生电动势
解 方法一(用感生电场计算):
EK

r 2
dB dt
N
(r


R)

MN M EK dl 0
t2 t1
Iidt

Φ2 Φ1

1 R
dΦ

Φ1
Φ2
/
R
思考:非导体回路磁通量变化,是否产 生感应电动势,是否产生感应电流？
大学物理：变化的磁场和变化的电场
三. 楞次定律
1 感应电流的作用
磁通量变化 感应电动势 感应电流 感应电流也产生磁场 磁通量
2 楞次定律
闭合回路中的感应电流的方向总是企图使感应电流产生
方法二(法拉第电磁感应定律):
在 dt 时间内导体棒切割磁场线
d SB 1 R2d B
2
i

dΦ dt
1 BR2 d
2 dt
1 BR2
2
方向由楞次定律确定
B v
Ol
dl
A
d R

大学物理：变化的磁场和变化的电场
例 在半径为R 的圆形截面区域内有匀强磁场 B ，一直导线
过中心D直径的电动势D为0！
CD C EK dl C EKcosdl
M
C
L r dB o 2 dt
EK
q dl
由法拉第定律

L
EK

dl

dm dt
d dt
B dS
S
大学物理：变化的磁场和变化的电场
感生电场与变化磁场之间的关系
L
EK

dl

S
B t
dS
讨论
(1) 感生电场是无源有旋场
感生电场 与静电场 的比较
场源 环流 通量
求 线框中的感应电动势
解 通过面积元的磁通量
dΦ BdS 0I bdx
2π x
Φ dΦ la 0I bdx
l 2π x

0 Ib
2π
ln
l
l
a

I
v
a
l
b x
dx
（方向顺时针方向）


dΦ dt

0 Ib
2π
dl / l
dt a
静电荷 变化的磁场 (磁生电) 静电场为保守场 感生电场为非保守场 静电场为有源场 感生电场为无源场(闭合电场线)
大学物理：变化的磁场和变化的电场
(2) 感生电场与磁场的变化率成左螺旋关系
空间存在变化磁场 B 0
t
在空间存在感生电场 EK
EK
B 0 t
(3) 既有动生、又有感生电动势，则总感应电动势为
dt
0




大学物理：变化的磁场和变化的电场
讨论
(1) 若回路是 N 匝密绕线圈 N dΦ d(NΦ) dΨ
dt
dt
dt
磁链 m Nm
每匝线圈产生的磁通量不同时， 磁链如何计算？
(2) 若闭合回路中电阻为R
Ii


R
dΦ Rdt

dqi dt
感应电荷 qi
（切割磁场线）— 动生电动势
• 相对于实验室参照系，若导体回路静止，磁场随时间变 化 — 感生电动势
大学物理：变化的磁场和变化的电场
一. 动生电动势
i

dΦ dt
i

dΦ dt

BdS dt

Bldx dt
Blv
I B
+
e v
l
f
x
-
单位时间内导线切割的磁场线数
• 电子受洛伦兹力
B
dS '/t

Φ /
t
(法拉第电磁感应定律)
大学物理：变化的磁场和变化的电场
(3) 感应电动势的功率
I
设电路中感应电流为I
P Ii IBlv
B
a Fm
Fext v
b
导线受安培力 Fm

IBl
导线匀速运动 Fext Fm
电路中感应电动势提供的电 能是由外力做功所消耗的机
大学物理：变化的磁场和变化的电场
2 感生电动势 涡旋电场力充当电源中的非静电力
在变化磁场激发的涡旋电场中
dAK FK dl qEK dl
当 q 沿 L 绕一周，涡旋电场所作的功

AK q L EK dl
感生电动势

A q
L EK dl
L


Φ B dS Bcos dS
B、S、θ 变
Φ变
产生电磁感应
大学物理：变化的磁场和变化的电场
二. 电动势
I
定义
将单位正电荷从电源负极推向电源
正极的过程中，非静电力所作的功
A B FK
AK
q
dAK
dq
电源
表征了电源非静电力作功本领的大小
• uAB uA uB • 反映电源将其它形式的能量转化为电 能本领的大小
的磁通量去补偿（反抗）引起感应电流的磁通量的变化
3 楞次定律的作用
B
楞次定律主要是用来确 定感应电动势的方向
N
S
大学物理：变化的磁场和变化的电场
例 匀强磁场中，导线可在导轨上滑动，当导线向右运动时
求 回路中感应电动势
解 在 t 时刻 Φ(t) Blx(t)
dΦ Bldx Blv
电动势的性质
（1）电动势与外电路及电路开、关无关
（2）电动势的方向从负极通过电源内部指向正极
（3）电动势是有正负的标量
+-
大学物理：变化的磁场和变化的电场
非静电场
可以认为：电源在其内部建立了一个非静电场
EK

FK q
类比静电场
Ee

Fe q
EK
非静电场和静电场一样对电荷作用，但它仅存在在电源内部