初等数论知识点汇总新选

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第一节 整数的p 进位制及其应用

正整数有无穷多个,为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数,人们发明了进位制,这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系,近几年来,国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现,比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节,我们着重介绍进位制及其广泛的应用。

基础知识

给定一个m 位的正整数A ,其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ,则此数可以简记为:021a a a A m m (其中01 m a )。

由于我们所研究的整数通常是十进制的,因此A 可以表示成10的1 m 次多项式,即

012211101010a a a a A m m m m ,其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且

01 m a ,像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。在我们的日常

生活中,通常将下标10省略不写,并且连括号也不用,记作021a a a A m m ,以后我们所讲述的数字,若没有指明记数式的基,我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及,整数的表示除了用十进制外,还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣,究其原因,主要是二进制只使用0与1这两种数学符号,可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断,所以二进制除了是一种记数方法以外,它还是一种十分有效的数学工具,可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性,我们给出正整数A 的p 进制表示:

012211a p a p a p a A m m m m ,其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且

01 m a 。而m 仍然为十进制数字,简记为p m m a a a A )(021 。

第二节 整数的性质及其应用(1)

基础知识

整数的性质有很多,这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性,质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。

1.整除的概念及其性质

在高中数学竞赛中如果不加特殊说明,我们所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数。 定义:设b a ,是给定的数,0 b ,若存在整数c ,使得bc a 则称b 整除a ,记作a b |,并称b 是a 的一个约数(因子),称a 是b 的一个倍数,如果不存在上述c ,则称b 不能整除a 记作b a 。

由整除的定义,容易推出以下性质:

(1)若c b |且a c |,则a b |(传递性质);

(2)若a b |且c b |,则)(|c a b 即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质,易知a b |及c b |,则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b 。更一般,若

n a a a ,,,21 都是b 的倍数,则)(|21n a a a b 。或着i b a |,则 n

i i i b c a 1

|其中

n i Z c i ,,2,1, ;

(3)若a b |,则或者0 a ,或者||||b a ,因此若a b |且b a |,则b a ; (4)b a ,互质,若c b c a |,|,则c ab |;

(5)p 是质数,若n a a a p 21|,则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个;特别地,若p 是质数,若n

a p |,则a p |;

(6)(带余除法)设b a ,为整数,0 b ,则存在整数q 和r ,使得r bq a ,其中b r 0,

并且q 和r 由上述条件唯一确定;整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商,数r 称为a 被b 除得的余数。注意:r 共有b 种可能的取值:0,1,……,1 b 。若0 r ,即为a 被b 整除的情形;

易知,带余除法中的商实际上为

b a (不超过b a

的最大整数),而带余除法的核心是关

于余数r 的不等式:b r 0。证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积,在较为初级的问题中,这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生,下面两个

分解式在这类论证中应用很多,见例1、例2。

若n 是正整数,则))((1221

n n n n n

n

y xy y x x

y x y x ;

若n 是正奇数,则))((1221

n n n n n

n

y xy y x x

y x y x ;(在上式中用y

代y )

(7)如果在等式

m

k k

n i i

b

a 1

1

中取去某一项外,其余各项均为c 的倍数,则这一项也是c 的

倍数;

(8)n 个连续整数中,有且只有一个是n 的倍数;

(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数,特别地,三个连续的正整数之积能被6整除;

2.奇数、偶数有如下性质:

(1)奇数 奇数=偶数,偶数 偶数=偶数,奇数 偶数=奇数,偶数 偶数=偶数,奇数

偶数=偶数,奇数 奇数=奇数;即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数,奇数个奇数的和、差仍为奇数,偶数个奇数的和、差为偶数,奇数与偶数的和为奇数,和为偶数;

(2)奇数的平方都可以表示成18 m 的形式,偶数的平方可以表示为m 8或48 m 的形式; (3)任何一个正整数n ,都可以写成l n m 2 的形式,其中m 为负整数,l 为奇数。 (4)若有限个整数之积为奇数,则其中每个整数都是奇数;若有限个整数之积为偶数,则这些整数中至少有一个是偶数;两个整数的和与差具有相同的奇偶性;偶数的平方根若是整数,它必为偶数。

3.完全平方数及其性质

能表示为某整数的平方的数称为完全平方数,简称平方数。平方数有以下性质与结论: (1)平方数的个位数字只可能是0,1,4,5,6,9;

(2)偶数的平方数是4的倍数,奇数的平方数被8除余1,即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1;

(3)奇数平方的十位数字是偶数;

(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6;

(5)不能被3整除的数的平方被3除余1,能被3整数的数的平方能被3整除。因而,平方数被9也合乎的余数为0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1,4,7;

(6)平方数的约数的个数为奇数;

(7)任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。 (8)设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂(2 k ),若(b a ,)=1,则b a ,都是整数的k 次方幂。一般地,设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂(2 k ),若c b a ,,, 两两互素,则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。 4.整数的尾数及其性质

整数a 的个位数也称为整数a 的尾数,并记为)(a G 。)(a G 也称为尾数函数,尾数函数具有以下性质:

(1) ))((a G G )(a G ;(2))(21n a a a G =)]()()([21n a G a G a G G ; (3) )(21n a a a G )]()()([21n a G a G a G G ;(4)0)10( a G ;

)()10(b G b a G ;

(5)若c b a 10 ,则)()(b G a G ;(6) N k a a G a G k

,),()(44;

(7) N r k a r k a G a

G r r

k ,,,40,0),()(4;

(8)

同为奇数时当同时为偶数时为奇数或为偶数,当是偶数为奇数,当212121421,),(,),(),()(121b b a G b b b b a G b b a G a

G b b n

b b

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