数学高二-正态分布学案

正态分布学案

【学习目标】 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【重点难点】能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 【知识梳理】1．离散型随机变量的数学期望与方差 设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x1，x2，…，xn ，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.

(1)数学期望：E(X)＝_______________________叫做离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望)．

(2)方差：称D(X)＝_______________________叫做这个离散型随机变量X 的方差，其算术平方根D X 叫做离散性随机变量X 的标准差． 2．二点分布与二项分布、超几何分布的均值、方差

均值 方差

随机变量X 服从二点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p) X ～B(n ，p)

E(X)＝np D(X)＝np(1－p) X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布

E(X)＝nM N

3.正态分布(1)正态曲线的定义：正态变量概率密度曲线的函数表达式为：f(x)＝_________，x ∈R ，其中实数μ，σ是参数，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞.正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

(2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，并且关于______对称；②曲线在x ＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“_________________________； ③曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“_____”．σ_____，曲线越“瘦高”． (3)正态总体三个基本概率值

P(μ－σ

(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量( )

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小( ) (4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7( )

2．设随机变量X ～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p 的值是____ A ．0.2 B ．0.8 C ．0.2或0.8 D ．0.16 3．(2013·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为

X 1

2 3 P

35

310

110

则X 的数学期望E(X)＝( ) A.32 B ．2 C.5

2 D ．3

4．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝___________.

5．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次

品的次数，则D(X)＝________.

【合作探究】考向1 离散型随机变量的均值与方差 【例1】 (2013·浙江高考)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等

)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝5

9，求a ∶b ∶c.

变式训练1 (2014·无锡调研)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0，1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0)．

(1)求V ＝0的概率；

(2)求V 的分布列及数学期望E(V)．

变式训练2 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球

队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是1

3.

(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的数学期望和方差．

考向3 正态分布下的概率

【例3】 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2

变式训练3 若在本例中，条件改为“已知随机变量ξ～N(3,1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，”求P(ξ＞4)的值．

例4 (12·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：

降水

量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误

天数Y

0 2 6 10

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延误天数Y 的均值与方差；

(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．

【达标检测】

1．已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a 的值为( )

X

4

a

9

P 0.5 0.1 b

A.5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知X 的分布列为

X －1 0 1 P

12

13

16

则在下列式子中：①E(X)＝－13；②D(X)＝2327；③P(X ＝0)＝1

3

.

正确的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 3．(2014·济南质检)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 4．(2013·湖北高考改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.则p0的值为( ) A ．0.954 4 B ．0.682 6 C ．0.997 4 D ．0.977 2

5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为( )

A ．2.44

B ．3.376

C ．2.376

D ．2.4 6．(2013·湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A.126

125 B.6

5

C.168125

D.75

7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E(X)＞1.75，则p 的取值范围是________.

A.⎝⎛⎭⎫0，712

B.⎝⎛⎭⎫712，1

C.⎝⎛⎭⎫0，12

D.⎝⎛⎭

⎫1

2，1