高中数学必修2第2章 2.2.3直线与平面平行的性质同步练习题及答案.doc

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高中数学必修二2.2 直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案

si r2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定●知识梳理1简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a ∥αa ∥b●知能训练一．选择题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n2．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则（）A ．α内存在直线与l 异面B ．α内存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交3．如图，M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直；③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行．其中真命题是（）godfo rs A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点．P 在对角线BD 1上，且BP ＝BD 1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面APC ；（2）C 1Q ∥面APC ；（3）A ，P ，M 三点共线；（4）面MNQ ∥面APC ．正确的序号为（）A ．（1）（2）B ．（1）（4）C ．（2）（3）D ．（3）（4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ．12条B ．18条C ．21条D ．24条6．直线a ∥平面α，P ∈α，那么过P 且平行于a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1D 1C ．C 1D 1D ．A 1D9．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，若BC 1∥平面AB 1D 1，则等于（）A ．1/2B ．1C ．2D ．3re o od fo rs10．下面四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E ，F ，EF=，则下列结论中错误的是（）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值的中点，AA =AB=2．an d2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1符号表示：βa βb ∩ = β∥a b p α∥a α∥b α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3●知能训练一．选择题1．已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；③l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β；其中可以判定α∥β的是（）A．①B．②C．①③D．③2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系（）A．平行B．相交C．异面D．以上都不对h i n（1）求证：平面PCD ∥平面MBE ；（2）求四棱锥M-BCDE 的体积．2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质知识梳理1简记为：线面平行则线线平行。

人教A版必修2第二章2.2.3《直线与平面平行的性质》精选题高频考点(含答案)-1

人教A 版必修2第二章2.2.3《直线与平面平行的性质》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面 2．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，M N ，分别为AC PC ，上的点，且MN ∥平面PAD ，则（）A ．MN PD PB ．MN PA ∥C ．MN AD P D ．以上均有可能 3．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 上一点，且13AE ED =，F 为PC 上一点，当//PA 平面EBF 时，PF FC=（）A ．23B ．14C ．13D ．12 4．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，121AB BC AA ，===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（）A．3 BC．5 D．5 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则（）A ．115DG DD =B ．113AH HC = C ．114DG DD = D ．138AH HC = 6．如图，1111ABCD A B C D -是正方体，E 为棱1BB 上的动点（不含端点），平面11AC E 与底面ABCD 的交线为l ，则l 与AC 的位置关系是（）A ．异面B ．平行C ．相交D ．与E 点位置有关 7．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，下列命题中正确的有（） ①若m α⊥，m β⊥，则//αβ②若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n③若//m α，//m β，则//αβ④若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 8．已知//,a b αα⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（）A ．平行B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面 9．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =u u u r u u u u r ，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB P 面DEF ，则PC 的长度范围为（）A ．B ．5⎡⎢⎣C ．5⎡⎢⎣D ．5⎡⎢⎣10．如图，各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ，M ，N 中点S 111ABC A B C -的体积为（）A B C ．3 D ．11．点E ，F 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1PA ∥面AEF ，则1PA 的长度范围为（）A ．1,2⎡⎢⎣⎦B ．42⎡⎢⎣⎦C ．342⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ⊥AC ；②EP ∥BD ；③EP ∥平面SBD ；④EP ⊥平面SAC ，其中恒成立的为( )A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④13．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（）A ．异面B ．相交C ．不能确定D ．平行 14．如图所示，a P α，A 是α的另一侧的点，B C D a ∈，，，线段AB AC AD ，，分别交α于点EFG ，，，若445BD CF AF ===，，，则EG =（）A ．169B ．209C ．94D ．5415．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，AC 交BD 于点O ，E 为AD 中点，F 在PA 上，AP AF λ=，//PC 平面BEF ，则λ的值为（）A ．1B ．32C ．2D ．3 16．给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ；③若,,,//l m n l αββγγαγ===I I I ，则//m n ．其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．317．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当P A ∥平面EBF 时，PF FC＝（）A ．23B ．14C ．13D ．12 18．如果直线m//直线n ，且m//平面α，那么n 与α的位置关系是（） A ．相交 B ．n//α C ．n ⊂α D ．n//α或n ⊂α 19．若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是（）A ．直线a 上的点到平面α的距离相等B ．直线a 平行于平面α内的所有直线C ．平面α内有无数条直线与直线a 平行D ．平面α内存在无数条直线与直线a 所成的角为90o20．已知l ，m 为两条不同直线，α，β为两个不同平面.则下列命题正确的是（） A ．若l αP ，m α⊂，则l m PB ．若l αP ，m αP ，则l m PC ．若l α⊂，m β⊂，αβ∥，则l m PD ．若l αP ，l β∥，m αβ=I ，则l m P二、填空题21．如图,正方体1111ABCD A B C D -中, AB =点E 为11A D 的中点,点F 在11C D 上,若//EF 平面1ACB ,则EF =________．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD =______，1AH HC =______. 23．如图所示，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________．24．如图，E 是棱长为1正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则线段CE 的长度为___________．25．如图所示，四面体ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形．则直线CD 与平面EFGH 的关系是______．26．如图在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)AC BD ⊥①，AC BD =②，//AC ③截面PQMN ，④异面直线PM 与BD 所成的角为45o ．27．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，10SA SB SC ===，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H 且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB P 平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为______．28．已知l 、m 是两条直线，α是平面，若要得到“l ∥α”，则需要在条件“m ⊂α，l ∥m ”中另外添加的一个条件是______.29．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，EB ＝2DC ，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．则直线DP 与平面ABC 的位置关系是________．30．正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,点E 为AD 的中点,点F 在1CC 上,若//EF 平面1AB C ,则EF =_____.31．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，过11A B C ，，的平面与平面ABC 的交线为l ，则l 与直线11A C 的位置关系为________.32．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形，E F ，分别是侧棱11AA CC ，上的动点，且8AE CF +=，P 在棱1AA 上，且2AP =，若EF P 平面PBD ，则CF =________.33．如图所示，在三棱柱111ABC A B C 中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.34．如图（1）所示，已知正方形ABCD 中，E F ，分别是AB ，CD 的中点，将ADE V 沿DE 折起，如图（2）所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.35．已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥平面α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 是_______四边形.36．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．37．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：.① 四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；③存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值；④存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG P 平面1EBD ，也存在无数个点E ，对棱AD 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交.其中真命题的是____________．（填出所有正确答案的序号）38．已正知方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AB 1D ，则线段PQ 长为______．39．设,a b 是平面M 外两条直线，且//a M ，那么//a b 是//b M 的________条件.40．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是平面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为________．三、解答题41．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，2AD =，3AB =，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PB 上一点（不与P 、B 重合），平面ADE 交棱PC 于点F .（1）求证：AD EF P ；（2）若二面角––B AC E ，求点B 到平面AEC 的距离. 42．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，且//BC AD ，2AD BC =，点Q 是线段AD 的中点，过BQ 的平面BQMN 交平面PCD 于MN ，且PQ AB ⊥，AP PD =，且120APD ∠=︒，24BD AB ==，30ADB ∠=︒.（1）求证：//BQ MN ；（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值.43．如图所示的一块木料中，棱BC 平行于面A C ''.（1）要经过面A C ''内的一点P 和棱BC 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？44．如图，已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA ，1CC 上的点，且1AE C F =.求证：四边形1EBFD 是平行四边形.45．如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 是PD 的中点、若M 是CD 上异于C ，D 的点，连接PM 交CE 于点G ，连接BM 交AC 于点H ，连接GH ，求证：GH //PB .46．已知如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点．（1）当1111A D D C 等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1？（2）若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．47．如图所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D 是BC 的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a ，平面ADC'∩平面A'B'C'=b ，判断直线a ，b 的位置关系，并证明．48．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且112BC AD ==，BC DC ⊥，60BAD ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，PAD ∆为等边三角形，M 是棱PC 上的一点，设PM k MC=（M 与C 不重合）.（1）当1k =时，求三棱锥M BCE -的体积；（2）若//PA 平面BME ，求k 的值.49．如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且::AE EB AH HD m ==，::CF FB CG GD n ==.（1）证明：E ，F ，G ，H 四点共面.（2）m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？50．如图，在四校锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面MAC ，PA PD ==4AB =.求证：M 为PB 的中点.参考答案1．A2．B3．B4．D5．D6．B7．A8．D9．B10．D11．B12．A13．D14．B15．D16．B17．D18．D19．B20．D21．222．163823．20 92425．平行26．①③④27．10 28．lα⊄29．平行3031．平行. 32．2. 33．平面1A EF 34．平行35．平行【答案】9 237．①②③④3839．充分不必要40．241．（1）证明见解析；（2.42．（1）证明见解析（243．（1）见解析（2）直线EF与平面AC平行直线,BE CF与平面AC相交. 44．证明见解析45．证明见解析46．（1）1；（2）1.47．直线a，b的位置关系是平行，证明见试题解析．48．（1）14；（2）1.49．（1）见解析（2）当m n时，四边形EFGH是平行四边形. 50．证明见解析。

2017-2018学年高中数学必修二练习：2-2 直线、平面平行的判定及其性质 2-2-3 含答案精品

第二章 2.2 2.2.3A级基础巩固一、选择题1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是导学号 09024417( A )A．AC∥截面BA1C1B．AC与截面BA1C1相交C．AC在截面BA1C1内D．以上答案都错误[解析] ∵AC∥A1C1，又∵AC⊄面BA1C1，∴AC∥面BA1C1.2．如右图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是导学号 09024418( B )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能[解析] ∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1，∴DE∥AB.3．下列命题正确的是导学号 09024419( D )A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线bB．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面αD．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点[解析] A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C 中，直线b 也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D 正确，故选D ．4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC 、AC 于点E 、F ，则导学号 09024420( B )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE[解析] ∵在▱AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，∴AM 綊BN ，∴MN 綊AB .又MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ，∴MN ∥EF ，∴EF ∥AB ，显然在△ABC 中EF ≠AB ，∴EF ≠MN ，∴四边形MNEF 为梯形．故选B ．5．如右图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是导学号 09024421( A )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定[解析] ∵EH ∥FG ，FG ⊂平面BCD ，EH ⊄平面BCD ， ∴EH ∥平面BCD .∵EH ⊂平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴EH ∥BD .6．已知正方体AC 1的棱长为1，点P 是面AA 1D 1D 的中心，点Q 是面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为导学号 09024422( C )A ．1B ． 2C ．22D ．32[解析] 由PQ ∥平面AA 1BB 知PQ ∥AB 1，又P 为AO 1的中点，∴PQ ＝12AB 1＝22.二、填空题7．如图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 分别交平面α于E 、F 、G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝__209__.导学号 09024423[解析] ∵a ∥α，α∩平面ABD ＝EG ，∴a ∥EG ，即BD ∥EG ， ∴EG BD ＝AF AF ＋FC ，则EG ＝AF ·BD AF ＋FC ＝5×45＋4＝209. 8．(2016·扬州高二检测)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若过A ，C ，B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是__l ∥A 1C 1__.导学号 09024424[解析] ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ∥平面A 1B 1C 1D 1.又平面ACB 1经过直线AC 与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线l ， ∴AC ∥l . 三、解答题9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，求证：AB ∥GH .导学号 09024425[解析] ∵E 、F 分别是AA 1和BB 1的中点，∴EF ∥AB . 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH . 又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ，∴AB ∥GH .10．四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，且AB ＝23CD .试问在PC 上能否找到一点E ，使得BE ∥平面PAD ？若能，请确定E 点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由.导学号 09024426[解析] 在PC 上取点E ，使CE PE ＝12，则BE ∥平面PAD .证明如下：延长DA 和CB 交于点F ，连接PF . 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝23CD .∴AB CD ＝BF FC ＝23， ∴BC BF ＝12. 又CE PE ＝12，∴△PFC 中，CE PE ＝BC BF， ∴BE ∥PF ，而BE ⊄平面PAD ，PF ⊂平面PAD . ∴BE ∥平面PAD .B 级素养提升一、选择题1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是导学号 09024427( D ) A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 平行 B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 相交 C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行 D ．过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行[解析] A 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能使这个平面与a 平行了． B 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能作一条直线与a ，b 相交． C 错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾．D 正确，在a 上任取一点A ，过A 点作直线c ∥b ，则c 与a 确定一个平面与b 平行，这个平面是唯一的．2．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a 、b 、c 、…，那么这些交线的位置关系为导学号 09024428( D )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或交于同一点[解析] 若l ∥平面α，则交线都平行；若l ∩平面α＝A ，则交线都交于同一点A .3．如图，在三棱锥S －ABC 中，E 、F 分别是SB 、SC 上的点，且EF ∥平面ABC ，则导学号 09024429( B )A ．EF 与BC 相交B ．EF ∥BC C ．EF 与BC 异面D ．以上均有可能[解析] ∵EF ⊂平面SBC ，EF ∥平面ABC ，平面SBC ∩平面ABC ＝BC ，∴EF ∥BC . 4．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；②⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m 、n 异面．其中假命题有导学号 09024431( C ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] ∵α∥β，∴α与β没有公共点．又∵m ⊂α，∴m 与β没有公共点， ∴m ∥β，故①正确，②③错误．二、填空题5．已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥平面α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 是__平行__四边形.导学号 09024432[解析] ∵AB ∥α，平面ABD ∩α＝FH ，平面ABC ∩α＝EG ，∴AB ∥FH ，AB ∥EG ，∴FH ∥EG ，同理EF ∥GH ，∴四边形EFHG 是平行四边形．6．(2016·成都高二检测)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形．E ，F 分别是侧棱AA 1、CC 1上的动点，AE ＋CF ＝8.P 在棱AA 1上，且AP ＝2，若EF ∥平面PBD ，则CF ＝__2__.导学号 09024433[解析] 连接AC 交BD 于O ，连接PO .因为EF ∥平面PBD ，EF ⊂平面EACF ，平面EACF ∩平面PBD ＝PO ，所以EF ∥PO ，在PA 1上截取PQ ＝AP ＝2，连接QC ，则QC ∥PO ，所以EF ∥QC ，所以EFCQ 为平行四边形，则CF ＝EQ ，又因为AE ＋CF ＝8，AE ＋A 1E ＝8，所以A 1E ＝CF ＝EQ ＝12A 1Q ＝2，从而CF ＝2.C 级能力拔高1．如图所示，一平面与空间四边形对角线AC 、BD 都平行，且交空间四边形边AB 、BC 、CD 、DA 分别于E 、F 、G 、H .导学号 09024434(1)求证：EFGH 为平行四边形； (2)若AC ＝BD ，EFGH 能否为菱形？(3)若AC ＝BD ＝a ，求证：平行四边形EFGH 周长为定值．[解析] (1)∵AC ∥平面EFGH ，平面ACD ∩平面EFGH ＝GH ，且AC ⊂面ACD ， ∴AC ∥GH ，同理可证，AC ∥EF ，BD ∥EH ，BD ∥FG . ∴EF ∥GH ，EH ∥FG .∴四边形EFGH 为平行四边形． (2)设AC ＝BD ＝a ，EH ＝x ，GH ＝y ，AH HD ＝m n. ∵GH ∥AC ，∴GH ︰AC ＝DH ︰DA ＝DH ︰(DH ＋HA )．即：y ︰a ＝n ︰(m ＋n )，∴y ＝nm ＋na . 同理可得：x ＝EH ＝mm ＋na . ∴当AC ＝BD 时，若m ＝n 即AH ＝HD 时，则EH ＝GH ，四边形EFGH 为菱形． (3)设EH ＝x ，GH ＝y ，H 为AD 上一点且AH ︰HD ＝m ︰n .∵EH ∥BD ，∴EH BD ＝AHAD.即x a ＝m m ＋n ，∴x ＝mm ＋na .同理：y ＝nm ＋n a ，∴周长＝2(x ＋y )＝2a (定值)．2．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 在何位置.导学号 09024435[解析] 若MB ∥平面AEF ，过F 、B 、M 作平面FBMN 交AE 于N ，连接MN 、NF .因为BF ∥平面AA 1C 1C ，BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AA 1C 1C ＝MN ，所以BF ∥MN .又MB ∥平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AEF ＝FN ，所以MB ∥FN ，所以BFNM 是平行四边形，所以MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1. 而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，所以MN ∥EC ，MN ＝12EC ＝1，故MN 是△ACE 的中位线．所以M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF .。

(word完整版)高一数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题

高一数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题b , all , all ，贝U a 与b 的位置关系是（答案：A .第3题.如图，已知点P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点， E , F 分别是PA , BD 上的点且PE ： EA BF : FD ，求证：EFll 平面PBC .a ， I m ， Ib ，且 m// ，求证：all b • 答案:证明：Imllm mll a a b I a 同理 mll bA . all bc. a , b 相交但不垂直 B . a bD . a , b 异面第1题.已知ICB答案：证明：连结 AF 并延长交BC 于M .连结PM ,••• ADll BC ，二雯，又由已知 FD FA 由平面几何知识可得 EFll PM ，又EF PE BF . PE MF EA FD ，…EA FA 'PBC , PM 平面 PBC ,••• EFll 平面 PBC .第4题.如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，E j F,是平面A,G上的线段，求证：ER//平D F i 面AC答案：证明：如图，分别在AB和CD上截取AE AE i , DF，连接EE i, FF i , EF ••••长方体AC i的各个面为矩形，••• AiEi平行且等于AE , D i F i平行且等于DF ,故四边形AEE1A1, DFF1D1为平行四边形.••• EE i平行且等于AA i , FF i平行且等于DD i •T AA|平行且等于DD i，二EE i平行且等于FF i ,四边形EFF i E i为平行四边形，E i F i// EF •T EF 平面ABCD , E i F i平面ABCD ,••• E i F i// 平面ABCD •第5题.如图，在正方形ABCD中，B D的圆心是A,半径为AB , BD是正方形ABCD的(1) 答案：证明：连接 BN 则由AD// BC ，得竺 ND NE • AN ..BN • ND ••• MN// ••• MN// PM MA PE , 平面 (2) 解：由 AN 并延长交BC 于E ，连接PE ,NEAN ' PM MA 'PE 平面PBC , MN 平面PBC ,又 PBC .PB BC PC 13，得 PBC 60 ;对角线，正方形以 AB 所在直线为轴旋转一周•则图中I ,n ，川三部分旋转所得几何体的体积之比为 ______________________ .答案：1：1：1第6题.如图，正方形 ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13, M , N 分别是PA , DB 上的点，且PM : MA BN ： ND 5： 8 .(1) 求证：直线MN//平面PBC ;(2) 求线段MN 的长.亠BE BN5565由知BE-13AD ND8，88，由余弦定理可得PE91••• MN—PE813答案：证明：连接 AC 、 BD 交点为 0 ,连接M0，贝U MO 为△ BDP 的中位线 ••• PD 〃 M0 •■/ PD 平面 MAC , M0 平面 MAC ，二 PD 〃平面 MAC .7• 求PD// 平面 MAC .ABCD 所在平面外一点, M 为PB 的中点, 第7题.如图，已知P 为平行四边形PMA第8题.如图，在正方体ABCD AiBGD i中，E , F分别是棱BC , CQ i的中点，求证: EF// 平面BB1D1D .答案：证明：如图，取D I B I的中点0,连接OF , OB，1 1v OF平行且等于—EG , BE平行且等于一BG ,2 2二OF平行且等于BE，则OFEB为平行四边形，••• EF// BO .v EF 平面BB1D1D , BO 平面BB-i D1D ,••• EF// 平面BB1D1D .第9题.如图，在正方体ABCD ABQ1D1中，试作出过AC且与直线QB平行的截面,并说明理由.答案：解：如图，连接DB 交AC 于点0,取D i D 的中点M ，连接MA , MC ,则截面MAC 即为所求作的截面.v M0 D 1DB 的中位线，二 D 1B// MO . ••• DiB 平面 MAC , MO 平面 MAC ,••• D i B//平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线D “B 平行的截面.平面，则过b 与平行的平面（）E.有1个 D.有2个以上第10题.设a , b 是异面直线，aA.不存在答案：C.第11题•如图，在正方体ABCD ABCQ,中，求证：平面ABD//平面CDQ .nB i B A AA答案：证明：〃B,B丄D,DA,A A D,D 1 1四边形BB1D1D是平行四边形D1B1// DBDB 平面ABDD1B1平面A1BDD1B1// 平面A,BD同理B1C//平面ABDD1B11 B1平面B1CD1//平面A,BD .第12题.如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB , BC , CD上的点，且AM : MB CN：NB CP：PD .求证：(1) AC// 平面MNP , BD// 平面MNP ;(2)平面MNP与平面ACD的交线// AC .ACAM CNMB NB MN〃AC答案：证明：(1)AC 平面MNP AC// 平面MNP •MN 平面MNPCN CPNB PDPN// BDBD 平面MNP BD// 平面MNP •PN 平面MNP(2)设平面MNP I平面ACD PEAC 平面ACD PE// AC,AC// 平面MNP即平面MNP与平面ACD的交线// AC .第13题.如图，线段AB , CD所在直线是异面直线，E，F，G，H分别是线段AC，CB，BD，DA的中点.(1)求证：EFGH共面且AB //面EFGH ,CD // 面EFGH ;(2)设P , Q分别是AB和CD上任意一点，求证：PQ被平面EFGH平分.••• E , F , G , H 分别是AC , CB ,BD , DA的中点.，答案：证明: (1)••• EH// CD , FG// CD ,二EH// FG .因此，E , F , G , H 共面.••• CD// EH , CD 平面EFGH , EH 平面EFGH ,••• CD// 平面EFGH •同理AB// 平面EFGH .(2)设PQI 平面EFGH = N，连接PC，设PCI EF M .△ PCQ所在平面I平面EFGH = MN ,••• CQ〃平面EFGH , CQ 平面PCQ ,二CQ〃MN .••• EF是厶ABC是的中位线，••• M是PC的中点，贝U N是PQ的中点，即PQ被平面EFGH平分.第14题.过平面外的直线I，作一组平面与相交，如果所得的交线为a , b , c ,则这些交线的位置关系为（）A.都平行E.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或都交于同一点答案：D.第15题.a , b是两条异面直线，A是不在a , b上的点，则下列结论成立的是（）A.过A且平行于a和b的平面可能不存在E.过A有且只有一个平面平行于a和bc.过A至少有一个平面平行于a和b D.过A有无数个平面平行于a和b答案：A.第16题.若空间四边形ABCD的两条对角线AC , BD的长分别是8, 12,过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为 ________________ .答案：20.第17题.在空间四边形ABCD中，E , F , G , H分别为AB , BC , CD , DA上的一点，且EFGH 为菱形，若AC// 平面EFGH , BD// 平面EFGH , AC m , BD n , 则AE: BE .答案：m： n .88—a 2( x 2 2 x) 、3 a 2 1斗 gx 2时，S 最大值 '•3 2 a ,即当E 为AB 的中点时，截面的面积最大, 最大面积为第18题.如图，空间四边形 ABCD 的对棱AD 、BC 成60的角，且AD BC a ，平行于AD 与BC 的截面分别交 AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H . (1) 求证：四边形 EGFH 为平行四边形； (2) E 在AB 的何处时截面 EGFH 的面积最大？最大面积是多少？得 EH a(1 x). ax a(1 x) 答案：(1)证明：T BC// 平面ABC I 平面EFGH 平面EFGH EF , • BC// EF •同理 BC// GH , • EF// GH ，同理 EH// FG , •四边形EGFH 为平行四边形. (2)解： BC 平面ABC , HGF BC a , ••• AD 与 BC 成 60 角, 60 或 120 ••• EF ax , ，设 AE:AB ..EF ■ BC AE AB x ，由 ED BE …S 四边形EFGH EF EH sin 6Q D第19题.P 为△ ABC 所在平面外一点，平面/平面ABC , 交线段PA , PB , PC 答案：4： 25第20题.如图，在四棱锥P ABCD 中，ABCD 是平行四边形，M , N 分别是AB ,的中点. 求证：MN//平面PAD .答案：证明：如图，取 CD 的中点E ,连接NE , ME••• M , N 分别是AB , PC 的中点，••• NE// PD , ME// AD ,可证明NE 〃平面PAD , ME//平面PAD .又 NEI ME E ,•••平面MNE 〃平面PAD ,又MN 平面MNE , • MN//平面PAD .第21题.已知平面 /平面，AB , CD 是夹在两平行平面间的两条线段，A , C 在于 ABC' , PA ： AA 2 ■ 3，则 S A ABC ： S A ABC PC P M B内,B , C 在内，点E , F 分别在AB , CD 上，且AE : EB CF : FD m：n • 求证：EF//平面答案：证明：分AB , CD是异面、共面两种情况讨论.（1）当AB , CD共面时，如图（a ）•••// ，二AC// BD，连接E , F .••• AE：EB CF : FD，二EF// AC// BD 且EF , AC ，二EF// 平面（2）当AB , CD异面时，如图（b），过点A作AH// CD交于点H •在H上取点G，使AG：GH m：n，连接EF，由（1）证明可得GF// HD，又AG：GH AE：EB得EG// BH .二平面EFG// 平面//平面 .又EF 面EFG，二EF//平面b ，且 m/ ，求证：a// b • 答案:证明： I m// m m// a a//b I a同理 m// b MNPQ 的周长是（）•A. 4a E . 2a一 3a. ............ C. D.周长与截面的位置有关 2答案：E.第24题. .已知： 1 b , a//,a// ，则a 与b 的位置关系是（ ) A. a// b B.a b C. a 、 b 相交但不垂直D. a 、b 异面答案：A.第22题.已知 I 第23题.三棱锥A BCD 中，AB CDa ，截面MNPQ 与AB 、CD 都平行，则截面第25题.如图，已知点P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点，E 、F 分别是PA 、BD 上的点且PE : EA BF : FD ，求证：EF//平面PBC .答案：证明：如图，分别在 AB 和CD 上截得AE AE , , DF D .F ,，连接EE ,, FF ,,EF ••••长方体AC ,的各个面为矩形,答案：证明：连结 AF 并延长交连结PM , ••• AD// BC , PE 又由已知— EA .BF MF • FD FA 'BF .PE M F FD ， • • EA FA 由平面几何知识可得 EF// PM ,又 EF PBC , PM 平面 PBC ,••• EF// 平面 PBC •第26题.如图，长方体ABCDABQD ,中，EF 是平面AQ 上的线段，求证： E .F ,//平面ABCD •••• EE,平行且等于AA, , FF,平行且等于DD, •••• AA,平行且等于DD,，二EE,平行且等于FF,, 四边形EFF,E,为平行四边形,E1F1// EF .t EF 平面ABCD , E1 F-i 平面ABCD ,二E1F1// 平面ABCD .第27题.已知正方体ABCD A1B1C1D1,求证：平面AB-D i〃平面C-BD •答案：证明：因为ABCD AEGD j为正方体, 所以D1C1// A1B1, DQ A1B1•又AB// AB , AB A-B i,所以DQ〃AB, D1C1 AB ,所以D-C-BA为平行四边形.所以D-A// C-B •由直线与平面平行的判定定理得D i A// 平面GBD .同理D i B i〃平面C i BD，又D i AI D i B i D i , 所以，平面AB i D i//平面C i BD .第28题.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面. 如图，已知直线a , b平面，且a// b , a// , a , b都在夕卜.求证：b// .答案：证明：过a作平面，使它与平面相交，交线为c因为a// , a,I c ,所以a// c. 因为a// b, 所以b// c.又因为cb ,,第29题.如图，直线AA', BB', CC'相交于0 , AO AO , BO BO , CO C'O .求ABC// 平面A'BC '.答案：提示：容易证明AB// AB' , AC// AC' • 进而可证平面ABC//平面ABC '.第30题.直线a与平面平行的充要条件是（）A.直线a与平面内的一条直线平行E.直线a与平面内两条直线不相交C.直线a与平面内的任一条直线都不相交D.直线a与平面内的无数条直线平行答案：C.。

高一数学人教A版必修2同步课时作业2.2.3直线与平面平行的性质(有答案)

高一数学人教A 版必修2同步课时作业2.2.3直线与平面平行的性质一、选择题1.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, E 是棱AB 的中点, F 是侧面11AA D D 内一点,若平面 ,则//EF 平面11BB D D 则EF 长度的范围为( )A. 2,3⎡⎤⎣⎦B. 2,5⎡⎤⎣⎦C. 2,6⎡⎤⎣⎦D. 2,7⎡⎤⎣⎦2.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为( )A B ．1 C D ．23.如图 , P 是ABC △所在平面外一点, ,,E F G 分别在,,AB BC PC 上,且 2PG GC =,//AC 平面 EFG ,//PB 平面EFG ,则AEEB=( )A.12B.1C.32D.24.如果直线//a 平面α,那么直线a 与平面α内的( ) A.—条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交5.已知在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，点D 为11B C 的中点，若在棱AB 上存在一点P ，使得1//B P 平面ACD ，则1B P 的长度为（）A.2B.6C.3D.56.直线//a 平面α,α内有n 条直线交于一点,那么这n 条直线中与直线a 平行的( ) A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.没有7.设,?a b 是两条直线, ,αβ是两个平面,若//,,a a b αβαβ⊂⋂=,则平面α内与 b 相交的直线与a 的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面 8.已知直线//a 平面α,直线b ⊂平面α,则( ) A.//a bB.a 与b 异面C.a 与b 相交D.a 与b 无公共点二、填空题9.长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形,其侧面展开图是边长为8的正方形. ,E F 分别是侧棱11,AA CC 上的动点, 8AC CF +=.点P 在棱1AA 上,且2AP =,若//EF 平面PBD ,则CF =__________.10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E 为棱1CC 的中点，点M 在正方形11BCC B 内运动，且直线//AM 平面1A DE ，则动点M 的轨迹长度为____________．11.如图所示,直线//a 平面α,点A ∉平面α,并且直线a 和点A 位于平面α两侧,点,,,,,B C D a AB AC AD ∈分别交平面α于点,,E F G ,若4, 4,5BD CF AF ===,则 EG =___________.三、解答题12.如图所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形,点M 是棱PC 的中点.记平面ADM 与平面PBC 的交线是l ,试判断直线l 与BC 的位置关系,并加以证明.参考答案1.答案：C解析：如图所示：分别取棱1111,,A B A D AB 的中点,,P M N ,则平面F 与平面11DBB D 平行,因为//EF 平面11BB D D ,F 是侧面11AA D D 内一点, 所以F 点在MN 上运动,可知当F 与N 重合时, EF 取最小值,因为该正方体的棱长为2,∴EF EN =当F 与M 重合时, EF 取得最大值,此时EF EM ==所以EF 长度的范围为．2.答案：C解析：平面EFG 截正方体的截面为EFGHIJ ，如下图所示，因为直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，所以，1//D P 平面EFGHIJ ，易证：平面1//ACD 平面EFGHIJ ，三角形1PBB 的面积S ＝112PB BB ⨯⨯，1BB 的长度为2，是一定值，所以，当PB 最短时，S 最小，显然当P 与AC 中点O 重合时，PB 最短，三角形1PBB 的面积的最小值为122S ==3.答案：A解析：因为//AC 平面EFG ，AC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面EFG EF =，所以//AC EF ，所以AE CFEB FB=.因为//PB 平面EFG ，PB ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFG GF =，所以//PB GF ，所以CF CG FB GP =.又2PG GC =，所以12CG GP =，所以12AE EB =. 4.答案：D解析：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点， ∵直线//a 平面α,∴直线a 与平面α没有公共点，从而直线a 与平面α内任意一条直线都没有公共点，即不相交，故选D. 5.答案：D解析：如图，设点P 为AB 的中点，取11A B 的中点Q ，连接,AQ DQ ，则1//B P AQ , 又AQ ⊂平面AQD ,所以1//B P 平面AQD ,易知//AC DQ ，故平面AQD 与平面ACD 是同一个平面，所以1//B P 平面ACD ，此时1B P = D.6.答案：B解析：设这n 条直线的交点为P ,则点P 不在直线a 上,那么直线a 和点P 确定一个平面β,则点P 既在平面α内又在平面β内,则平面α与平面β相交.设交线为直线b ,则直线 b 过点P . 又直线//a 平面α,a ⊂平面β,平面α⋂平面b β=,则//a b 很明显这样作出的直线 b 有且只有一条,那么直线 b 可能在这n 条直线中,也可能不在,即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多一条. 7.答案：C解析：∵//,,a a b αβαβ⊂⋂= ∴//a b .∴平面α内与 b 相交的直线与a 异面. 8.答案：D 解析： 9.答案：2解析：连接AC 交BD 于点 O ,连接PO , 因为//EF 平面PBD ,EF ⊂平面EACF , 平面EACF ⋂平面PBD PO =,所以//EF PO .在1PA 上截取2PQ AP ==,连接QC ,则//QC PO ,所以//EF QC ,所以四边形EFCQ 为平行四边形, 则CF EQ =.又18,8AE CF AE A E +=+=, 所以11122A E CF EQ AQ ====. 故2CF =.10.答案：解析：设平面1DA E 与直线11B C 交于点F ，连接EF ，则F 为11B C 的中点．分别取1B B 、BC 的中点N 、O ，连接AN 、ON 、AO ，则∵1//A F AO ，//AN DE ，1A F ，DE ⊂平面1A DE ，AO ，AN ⊂平面ANO ， ∴1//A F 平面ANO ．同理可得//DE 平面ANO ，∵1A F 、DE 是平面1A DE 内相交直线，∴平面1//A DE 平面ANO ，所以//NO 平面1A DE ，∴M 的轨迹被正方形11BCC B 截得的线段是线段NO ，∴M 的轨迹被正方形11BCC B 截得的线段长NO =11.答案：209解析：由于点A 不在直线a 上，设点A 与直线a 确定一个平面β,则EG αβ=.由//a 平面α，得//EG a ，所以EG AFBD AC=，故5420549AF EG BD AC ⨯=⋅==+. 12.答案：//l BC解析：直线 //l BC .证明如下： ∵在正方形ABCD 中，//AD BC ， AD ⊄平面,PBC CB ⊂平面PBC ，∴//AD 平面PBC . 又平面ADM平面PBC l =，AD ⊂平面ADM ，∴////AD l BC .(如图，由点M 是棱PC 的中点，取PB 的中点N ，则MN 就是交线l )。

2018学年高二数学同步课堂必修二专题2.2.3 直线与平面

（时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面( ) A．只有一个 B．至多有两个C．不一定有 D．有无数个【答案】C【解析】P如果在这两条直线上则不存在2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．以上均可能【答案】D3．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°【答案】C4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．平行和异面【答案】A5．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A ．至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条 D ．没有6．如图所示，平面α∩β＝l 1，α∩γ＝l 2，β∩γ＝l 3，l 1∥l 2，下列说法正确的是( )A ．l 1平行于l 3，且l 2平行于l 3B ．l 1平行于l 3，且l 2不平行于l 3C ．l 1不平行于l 3，且l 2不平行于l 3D ．l 1不平行于l 3，但l 2平行于l 3 【答案】A二、填空题7．设M 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①M ∥n ；②M ∥α；③n ∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示) 【答案】①②⇒③(或①③⇒②) 解析设过M 的平面β与α交于l ． ∵M∥α，∴M∥l，∵M∥n，∴n∥l， ∵n ⊄α，l ⊂α，∴n∥α．8．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________．【答案】223a9．已知(如图)A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是______．【答案】平行四边形解析平面ADC∩α＝EF ，且CD∥α，得EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB． ∴GH∥EF，EG∥FH．∴四边形EFGH 是平行四边形．10．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝M ，BD ＝n ，当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝______．【答案】M∶n三、解答题11．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G 和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．【答案】证明如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP∥GH．12．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．。

【优质文档】人教A版必修2第二章2.2.3《直线与平面平行的性质》精选题高频考点(含答案)-2

① BM / / 平面 DE ； ② CN / / 平面 AF ； ③ 平面 BDM / / 平面 AFN ．
以上结论中，正确结论的个数是 ( )
D ． D1E EC1
A ．1
B．2
C． 3
D．4
11 ．一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点
??在正视图上的对应点为 ??，
点 ??， ??， ??在俯视图上的对应点为 ??， ??， ??，过直线 ???作? 一平面与直线 ???平? 行，则该
②若 l P 且 m P ，则 l P m ；
③若 n P 且 n P ，则 P ；
④若 P 且 P ，则 P .
其中正确命题的序号是 ________________.（把正确命题的序号都填上）
33． a、 b、c 为三条不重合的直线， α、 β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题．
aPc
aP
①
? a∥ b；②
D ．不能确定
16． a、 b、 c 为三条不重合的直线， α、 β、 γ为三个不重合平面，现给出六个命题：
a Pc
①
b Pc
aP a Pb ；②
bP
a Pc a Pb ； ③
Pc
aP ；
aP
Pc
P
④
a P ；⑤
Pa ；⑥
Pa
P
a Pc
aP
其中正确的命题是 ( )
A ．①②③
B ．①④⑤
C． ①④
D ． ①③④
人教 A 版必修 2 第二章 2.2.3《直线与平面平行的性质》精选
题高频考点（含答案 )-1
学校 :___________姓名： ___________班级： ___________考号： ___________

高中数学必修二(人教A版)练习2.2.3、2.2.4 直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质 Word版含答案

直线与平面平行的性质．平面与平面平行的性质一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．如果，是两条异面直线，且∥α，那么与α的位置关系是( )．∥α．与α相交．⊂α．不确定．如果平面α平行于平面β，那么( )．平面α内任意直线都平行于平面β．平面α内仅有两条相交直线平行于平面β．平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线．平面α内的直线与平面β内的直线不能垂直．在正方体′′′′中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )．平面′与平面′′．平面′′与平面′．平面′′与平面′．平面′′与平面′图--．如图--所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且∥，正方体的六个面所在的平面与直线，相交的平面个数分别记为，，那么＋＝( ) ．．．．．下面给出四个命题，其中正确命题的个数是( )①若∥α，∥α，则∥；②若∥α，⊂α，则∥；③若∥，⊂α，则∥α；④若∥，∥α，则∥α.．．．．．若，为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) ．若，都平行于平面α，则，一定不是相交直线．若，都垂直于平面α，则，一定是平行直线．已知α，β互相平行，，互相平行，若∥α，则∥β．若，在平面α内的射影互相平行，则，互相平行图--．如图--所示，在正方体-中，，分别为棱，的中点，在平面内且与平面平行的直线( ) ．不存在．有条．有条．有无数条二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知α，β，γ是三个不重合的平面，，是两条不重合的直线．若α∩β＝，β∩γ＝，且α∥γ，则与的位置关系是.．已知，，是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若与为异面直线，⊂α，⊂β，则α∥β；②若α∥β，⊂α，⊂β，则∥；③若α∩β＝，β∩γ＝，γ∩α＝，∥γ，则∥.其中所有真命题的序号为．．如图--甲所示，往透明塑料制成的长方体-容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形的面积不变；③棱始终与水面平行；④当容器倾斜到如图--乙所示位置时，·是定值.其中所有正确说法的序号是．图--．有一木块如图--所示，点在平面′′内，棱平行于平面′′，要经过点和棱将木块锯开，锯开的面必须平整，有种锯法，则＝．图--三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)如图--①所示，在直角梯形中，∥，⊥，＝＝，为的中点，，，分别为，，的中点，。

【人教A版】高中数学同步检测：第二章2.2-2.2.3直线与平面平行的性质(含答案)

第二章点、直线、平面之间的地点关系2.2直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的性质A 级基础稳固一、选择题1．已知直线 l∥平面α，P∈α，那么过点 P 且平行于 l 的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不必定都在平面α内D．有无数条，不必定都在平面α内分析：如下图，因为 l∥平面α，P∈α，因此直线 l 与点 P 确立一个平面β，α∩β＝m，因此 P∈m，因此 l ∥m 且 m 是独一的．答案： B2．假如 l ∥平面α，则 l 平行于α内()A．所有直线B．独一确立的直线C．任向来线D．过 l 的平面与α的交线分析：利用线面平行的性质定理知，选 D.答案： D3．若两个平面与第三个平面订交有两条交线且两条交线相互平行，则这两个平面 ()A．有公共点B．没有公共点C．平行D．平行或订交答案： D4.如下图，长方体ABCD -A1B1C1D1中， E，F 分别是棱 AA1和 BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于、，则G HHG 与 AB 的地点关系是 ()A．平行B．订交C．异面D．平行和异面分析：因为 E，F 分别是 AA1，BB1的中点，因此 EF ∥AB.又 AB?平面 EFGH ，EF ? 平面 EFGH ，因此 AB∥平面 EFGH .又 AB? 平面 ABCD ，平面 ABCD ∩平面 EFGH ＝GH ，因此 AB∥GH.答案： A5.如下图，四棱锥 P-ABCD 中，M，N 分别为 AC，PC 上的点，且 MN ∥平面 PAD，则 ()A．MN ∥PDB．MN ∥PAC．MN ∥ADD．以上均有可能分析：因为 MN ∥平面 PAD，MN ? 平面 PAC，平面 PAD∩平面 PAC＝PA，因此 MN ∥PA.答案： B二、填空题6．如下图，在空间四边形 ABCD 中， E，F ，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 上的点，EH ∥FG.则 EH 与 BD 的地点关系是 ______．分析：因为 EH ∥FG ，FG? 平面 BCD，EH ?平面 BCD，因此EH ∥平面 BCD .因为 EH ? 平面 ABD ，平面 ABD ∩平面 BCD ＝BD，因此 EH ∥BD .答案：平行7.如下图，正方体 ABCD -A1B1C1D1中， AB＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF ∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________．分析：因为在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，因此 AC＝2 2.又 E 为 AD 的中点，EF ∥平面 AB1C，EF ? 平面 ADC，平面 ADC∩平面 AB1C＝AC，因此 EF ∥AC，因此 F 为 DC 的中点，1因此 EF ＝2AC＝ 2.答案：28．如图， ABCD - A1B1C1D1是正方体，若过 A，C，B1三点的平面与底面 A1B1C1D1的交线为 l，则 l 与 AC 的关系是 ________．分析：因为 AC∥面 A1 1 11，依据线面平行的性质知l ∥AC.B C D答案：平行三、解答题9．如图， AB，CD 为异面直线，且 AB∥ α，CD∥α，AC，BD分别交α于 M ，N 两点，求证 AM ∶MC ＝BN∶ND .证明：连结 AD 交α于点 P，连结 MP ，NP，因为 CD∥α，面 ACD∩α＝MP，AM AP因此 CD∥MP ，因此MC＝PD.AP BN同理可得 NP∥AB，PD＝ND，AM BN因此MC＝ND .10.如下图，四周体A-BCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形．(1)求证： CD∥平面 EFGH ；(2)求异面直线 AB、CD 所成的角．(1)证明：因为截面 EFGH 是矩形，因此 EF ∥GH.又 GH? 平面 BCD，EF ?平面 BCD .因此 EF ? 平面 ACD，平面 ACD∩平面 BCD＝CD，因此 EF ∥CD.又 EF ? 平面 EFGH ，CD?平面 EFGH ，因此 CD∥平面 EFGH .(2)解：由(1)知 CD∥EF ，同理 AB∥FG ，由异面直线所成角的定义知，∠EFG 即为所求．故 AB、CD 所成的角为 90°.B 级能力提高1．以下命题中，正确的命题是()A．若直线 a 上有无数个点不在平面α内，则a∥αB．若 a∥α，则直线 a 与平面α内随意一条直线都平行C．若 a? α，则 a 与α有无数个公共点D．若 a?α，则 a 与α没有公共点分析：关于 A，直线 a 与平面α有可能订交，因此 A 错；关于 B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，因此 B 错；关于 D，因为直线 a 与平面α可能订交，此时有一个公共点，因此 D 错．答案： C2．关于平面 M 与平面 N，有以下条件：① M 、N 都垂直于平面Q；②M 、N 都平行于平面 Q；③M 内不共线的三点到 N 的距离相等；④l，m 为两条平行直线，且 l∥M，m∥N；⑤ l ，m 是异面直线，且 l∥M ，m∥M；l∥N，m∥N，则可判断平面 M 与平面 N 平行的条件是________(填正确结论的序号 )．分析：由面面平行的判断定理及性质定理知，只有②⑤ 能判断M∥N.答案：②⑤3.如下图，已知P 是?ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB，PC 的中点，平面 PBC∩平面 PAD＝l .(1)求证： l∥ BC.(2)问： MN 与平面 PAD 能否平行？试证明你的结论．证明： (1)因为 BC∥AD，BC?平面 PAD，AD? 平面 PAD，因此 BC∥平面 PAD.又 BC? 平面 PBC，平面 PBC∩平面 PAD＝l，因此 l∥BC.(2)平行．如下图，取PD 的中点 E，连结 AE，NE.1因为 N 是 PC 的中点，因此 EN 綊2CD.因为 M 为?ABCD 边 AB 的中点，1因此 AM 綊2CD.因此EN 綊 AM ，因此四边形AMNE为平行四边形，因此MN ∥AE.又 MN ?平面 PAD，AE? 平面 PAD，因此 MN ∥平面 PAD.。

最新【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修2-第二章2.2-2.2.3直线与平面平行的性质

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.3 直线与平面平行的性质A级基础巩固一、选择题1．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内解析：如图所示，因为l∥平面α，P∈α，所以直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，所以P∈m，所以l∥m且m是唯一的．答案：B2．如果l∥平面α，则l平行于α内()A．全部直线B．唯一确定的直线C．任一直线D．过l的平面与α的交线解析：利用线面平行的性质定理知，选D.答案：D3．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面()A．有公共点B．没有公共点C．平行D．平行或相交答案：D4.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面解析：因为E，F分别是AA1，BB1的中点，所以EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，所以AB∥GH.答案：A5.如图所示，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能解析：因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，所以MN∥PA.答案：B二、填空题6．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG.则EH与BD的位置关系是______．解析：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.答案：平行7.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD 的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：由于在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2 2.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC的中点，所以EF＝12AC＝ 2.答案：28．如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．解析：因为AC∥面A1B1C1D1，根据线面平行的性质知l∥AC.答案：平行三、解答题9．如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD 分别交α于M，N两点，求证AM∶MC＝BN∶ND.证明：连接AD交α于点P，连接MP，NP，因为CD∥α，面ACD∩α＝MP，所以CD ∥MP ，所以AM MC ＝APPD .同理可得NP ∥AB ，AP PD ＝BNND ，所以AM MC ＝BN ND.10.如图所示，四面体A -BCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形．(1)求证：CD ∥平面EFGH ； (2)求异面直线AB 、CD 所成的角． (1)证明：因为截面EFGH 是矩形，所以EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD .所以EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，所以EF ∥CD . 又EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ，所以CD ∥平面EFGH .(2)解：由(1)知CD ∥EF ，同理AB ∥FG ，由异面直线所成角的定义知，∠EFG 即为所求．故AB 、CD 所成的角为90°.B 级能力提升1．下列命题中，正确的命题是()A．若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB．若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C．若a⊂α，则a与α有无数个公共点D．若a⊄α，则a与α没有公共点解析：对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错．答案：C2．对于平面M与平面N，有下列条件：①M、N都垂直于平面Q；②M、N都平行于平面Q；③M内不共线的三点到N的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥M，m∥N；⑤l，m是异面直线，且l∥M，m∥M；l∥N，m∥N，则可判定平面M与平面N平行的条件是________(填正确结论的序号)．解析：由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定M∥N.答案：②⑤3.如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.(1)求证：l∥BC.(2)问：MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．证明：(1)因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥BC.(2)平行．如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.因为N是PC的中点，所以EN綊12CD.因为M为▱ABCD边AB的中点，所以AM綊12CD.所以EN綊AM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，所以MN∥平面PAD.。

高中数学必修二人教A版练习：2.2.3直线与平面平行的性质含解析.doc

2.2.3 直线与平面平行的性质【选题明细表】1.若一条直线和一个平面平行,夹在直线和平面间的两条线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是( D )(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行、相交或异面2.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,则b与α的位置关系是( D )(A)b⊂平面α(B)b∥α或b⊂α(C)b∥平面α(D)b与平面α相交或b∥平面α解析:b与a相交,可确定一个平面,记为β,若β与α平行,则b∥α;若β与α不平行,则b与α相交.3.(2018·北京西城期末)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,若l∥α,l∥β,α∩β=m,则( A )(A)l与m平行(B)l与m相交(C)l与m异面(D)l与m垂直解析:如图所示,α,β是两个不同的平面,l是一条直线,当l∥α,l∥β,且α∩β=m时,l∥m.故选A.4.如图,四棱锥P ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则( B )(A)MN∥PD(B)MN∥PA(C)MN∥AD(D)以上均有可能解析:因为MN∥平面PAD,平面PAC∩平面PAD=PA,MN⊂平面PAC,所以MN∥PA.5.如图所示,四边形ABCD是矩形,P∉平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于F.则四边形BCFE的形状为.解析:因为BC∥平面PAD,平面BCFE∩平面PAD=EF,所以EF∥BC,又EF≠AD,AD=BC,所以四边形BCFE为梯形.答案:梯形6.证明:如果一条直线和两个相交的平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行.证明:已知:直线a∥平面α,直线a∥平面β,且α∩β=b.求证:a∥b.如图,经过直线a作平面γ,δ,使γ∩α=c,δ∩β=d.由题意可知a∥α,a⊂γ,γ∩α=c,所以a∥c,同理a∥d,所以c∥d,又因为d⊂β,a⊄β,所以c⊄β,因此c∥β.又c⊂α,α∩β=b,所以c∥b.因为a∥c,由基本性质4知a∥b.7.(2018·合肥二模)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有( C )(A)0条(B)1条(C)2条(D)1条或2条解析:如图所示,四边形EFGH为平行四边形,则EF∥GH.因为EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD.因为EF⊂平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,所以EF∥CD,所以CD∥平面EFGH.同理AB∥平面EFGH.故选C.8.在三棱锥S ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H,点D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为( A )(A) (B)(C)45 (D)45解析:取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF∥DE,HF=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形, 其面积S=HF·HD=(AC)·(SB)=.9.如图,四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是四边上的点,它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,则当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB= .解析:因为AC∥平面EFGH,所以EF∥AC,HG∥AC.所以EF=HG=·m.同理,EH=FG=·n.因为四边形EFGH是菱形,所以·m=·n,所以AE∶EB=m∶n.答案:m∶n10.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,点P∈BB1(P不与B,B1重合).PA∩A1B=M,PC∩BC1=N.求证:MN∥平面ABCD.证明:如图,连接AC,A1C1,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AA1∥CC1,且AA1=CC1,所以四边形ACC1A1是平行四边形.所以AC∥A1C1.因为AC⊄平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,所以AC∥平面A1BC1.因为AC⊂平面PAC,平面A1BC1∩平面PAC=MN,所以AC∥MN.因为MN⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.11.在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH.证明:因为四边形EFGH为平行四边形,所以EF∥GH. 因为GH⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,所以EF∥平面ABD.因为EF⊂平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,所以EF∥AB.因为AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,所以AB∥平面EFGH.。

高中数学(人教版必修2)直线、平面平行的判定及其性质配套练习(有答案)

§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定一、基础过关1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交C．n⊂αD．n∥α或n⊂α2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．6．已知不重合的直线a，b和平面α.①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，其中正确命题的个数是________．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC.8. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.二、能力提升9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.三、探究与拓展13. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)答案1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C1 6．17．证明如图，连接BD交AC于F，连接EF.因为F为正方形ABCD对角线的交点，所以F为AC、BD的中点．在三角形DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B.又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.8．证明连接OF，∵O为正方形DBCE对角线的交点，∴BO＝OE，又AF＝FE，∴AB∥OF，⎭⎬⎫AB⊄平面DCFOF⊂平面DCFAB∥OF⇒AB∥平面DCF.9．A10．D11．1212．证明取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG∥CD，FG＝12CD，BE∥CD，BE＝12CD，所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE，所以BF∥平面A′DE.13．证明如图所示，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.∵KB∥AD，∴DQBQ＝AQQK.∵AP＝DQ，AE＝BD，∴BQ＝PE.∴DQBQ＝APPE.∴AQQK＝APPE.∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有( )A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′ B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立．上述结论中，正确的是( )A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角．二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45°7．(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)．则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)．又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、基础过关1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则() A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的() A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α5．直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b的位置关系是________．6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．8. 如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.二、能力提升9．下列命题正确的是() A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直11．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC 与面α的位置关系为________．12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．三、探究与拓展13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．答案1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)2.2.2平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.2.2.3 直线与平面平行的性质一、基础过关1．a ，b 是两条异面直线，P 是空间一点，过P 作平面与a ，b 都平行，这样的平面( ) A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有D ．有无数个2. 如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°3. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面4．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A ．至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条D ．没有5．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7. ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .8. 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD∥平面EFGH.二、能力提升9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l310．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．10题图11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________.12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.答案1．C 2．C 3．A 4．B5．①②⇒③(或①③⇒②) 6.223a7．证明如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP ∥GH .8．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ⊂平面ACD ，∴EF ∥CD . 而EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH . 9．A 10.平行四边形 11．m ∶n12．(1)证明因为BC ∥AD ，AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，所以BC ∥平面P AD .又平面P AD ∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l . (2)解 MN ∥平面P AD . 证明如下：如图所示，取PD 中点E . 连接EN 、AE .又∵N 为PC 中点，∴EN 綊12AB∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.13．证明连接A 1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，又∵C1D⊂平面AC1D，BD1⊄平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定2．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”) (1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； (2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．2011．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB1.∵OB21＝OB2＋BB21＝32，PB21＝PD21＋B1D21＝94，OP2＝PD2＋DO2＝34，∴OB21＋OP2＝PB21.∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面P AC.13．解(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝2－13＝33.∴∠BAH＝30°.(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CCA1＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，∴B1C＝233.∴tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A—BE—P的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC .(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝2，BC ＝ 6.(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．＝3，则∠PBA＝60°.在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ， ∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角． 13．(1)证明连接BD ，∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5， ∴PD ⊥AC .∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则a 与β的关系为________． 7. 如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .8. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC . 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶310．设α－l －β是直二面角，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行11．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面； ②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面； ③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 12．如图所示，在多面体P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 9．A 10．C 11．①②③12．(1)证明在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ， ∴面MBD ⊥面P AD . (2)解过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.13．(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO 是二面角A 1－BD －C 的平面角，设AC ＝a ，则C 1O ＝22a ，C 1D ＝2a ＝2C 1O ⇒∠C 1DO ＝30°，故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.章末检测一、选择题1．下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则() A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()。

高中数学人教版必修2教案：第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质+2.2.4 平面与平面平行的性质含答案

2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形，所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ，又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。

2021-2022高中数学人教版必修2作业：2.2.3直线与平面平行的性质(系列三)Word版含解析

直线与平面平行的性质〔45分钟100分〕一、选择题(每题6分,共30分)1.如果两直线a∥b,且a∥平面α,那么b与α的位置关系是( )A.相交B.b∥αC.b⊂αD.b∥α或b⊂α2.b是平面α外的一条直线,可以推出b∥α的条件是( )A.b与α内的一条直线不相交B.b与α内的两条直线不相交C.b与α内的无数条直线不相交D.b与α内的任何一条直线都不相交3.(2021·汕头高一检测)假设m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,那么以下结论中正确的选项是( )A.假设m,n都平行于平面α,那么m,n一定不是相交直线B.假设m,n都平行于平面α,那么m,n不一定是平行直线C.α,β互相平行,m,n互相平行,假设m∥α,那么n∥βD.假设m,n在平面α内的射影互相平行,那么m,n互相平行4.(2021·福州高一检测)如图,假设几何体Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,那么以下结论中不正确的选项是( )A.EH∥FGB.四边形EFGH是平行四边形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台5.α,β,γ是三个平面,a,b是两条直线,有下面三个条件：①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③a⊂γ,b∥β.如果说法“α∩β=a,b⊂γ,且,那么a∥b〞是正确的,那么可以在横线处填的条件是( )A.①或②B.②或③C.①或③D.只有②二、填空题(每题8分,共24分)6.三个平面α,β,γ两两相交,α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,假设a∥b,那么a与c的位置关系是.7.(2021·南阳高一检测)如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1-A1BC1后得到的几何体,假设点O为底面ABCD的中心,那么直线D1O与平面A1BC1的位置关系是.8.给出以下说法：①过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行;②过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行;③平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行;④a和b是异面直线,那么经过b存在唯一的平面与a平行.那么其中正确说法的序号为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图,平面EFGH分别平行于CD,AB,E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.10.ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.11.(能力挑战题)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,假设MB∥平面AEF,试判断点M在何位置.答案解析1.【解析】选D.假设b在平面外,那么b∥α,否那么b⊂α,应选D.2.【解析】选D.任意性使得b与α无公共点,由定义得正确选项为D.3.【解析】选B.A错误,B正确,在C中,n可以平行于β,也可以在β内,故是错误的,在D中,m,n 也可以异面,不一定互相平行,故是错误的.4.【解题指南】由EH∥A1D1推出EH∥平面BCC1B1,再由线面平行的性质定理推出EH∥FG. 【解析】选D.因为EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,所以EH∥B1C1.又EH⊄平面BCC1B1,所以EH∥平面BCC1B1,又EH⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面BCC1B1=FG,所以EH∥FG,故EH∥FG∥B1C1,所以选项A,C正确;又EH=A1D1=FG,故EFGH是平行四边形,所以选项B也正确,应选D.5.【解题指南】对每一个条件逐一判断,看是否满足线面平行的性质定理.【解析】选C .①中a ∥γ,b ⊂β,γ∩β=b ,得出a ∥b ;③中a ⊂γ,b ∥β,b ⊂γ,α∩β=a ,β∩γ=a ,得出a ∥b .6.【解析】因为a ∥b ,b ⊂γ,a ⊄γ,所以a ∥γ,又a ⊂α,α∩γ=c ,那么a ∥c .答案：平行7.【解析】如图,将其补成正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,设B 1D 1和A 1C 1交于点O 1,连接O 1B ,依题意可知,D 1O 1∥OB ,且D 1O 1=OB ,即四边形D 1OBO 1为平行四边形,那么D 1O ∥O 1B ,因为BO 1⊂平面A 1BC 1,D 1O ⊄平面A 1BC 1,所以直线D 1O∥平面A 1BC 1.答案：平行【变式训练】如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,点E 为AD 的中点,点F在CD 上,假设EF ∥平面AB 1C ,那么线段EF 的长度等于.【解题指南】EF ∥平面AB 1CEF AC 1EF AC E AD 2为的中点⎫=⎬⎭⇒∥⇒. 【解析】因为EF ∥平面AB 1C ,EF ⊂平面ADC ,平面ADC ∩平面AB 1C =AC ,由线面平行的性质定理得：EF ∥AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点,即EF 为△ADC 的中位线,所以EF =12AC ,又正方体的棱长为2,所以AC =22, 所以EF =12AC =12×22=2. 答案：28.【解析】①不正确,过平面外一点有一个平面与平面平行,而在这个平面内有无数条直线与平面平行;②不正确,过直线外一点有一条直线与直线平行,而过直线外一点与直线平行的平面却有无数个;③不正确,这条直线可能在该平面内;④正确,过b 上一点作一直线与a 平行,此时该直线与b 相交可确定一平面,且与a 平行,且唯一.答案：④9.【解析】(1)因为CD ∥平面EFGH ,而平面EFGH ∩平面BCD =EF ,所以CD ∥EF .同理HG ∥CD ,所以EF ∥HG .同理HE ∥GF ,所以四边形EFGH 是平行四边形.由CD ∥EF ,HE ∥AB ,所以∠HEF 为CD 和AB 所成的角.又因为CD ⊥AB ,所以HE ⊥EF .所以四边形EFGH 是矩形.(2)由(1)可知在△BCD 中,EF ∥CD ,DE =m ,EB =n , 所以EF BE CD DB =.又CD =a ,所以EF =nm n +a .由HE ∥AB ,所以HE DEAB DB =.又因为AB =b ,所以HE =mm n +b .又因为四边形EFGH 为矩形,所以S 矩形EFGH =HE ·EF =mm n +b ·nm n +a=2mn(m n)+ab .10.【证明】连接AC ,设AC 交BD 于O ,连接MO .因为四边形ABCD 是平行四边形,所以O 是ACM 是PC 的中点,所以MO ∥PA .又MO ⊂平面BDM ,PA ⊄平面BDM ,所以PA ∥平面BDM .又经过PA 与点G 的平面交平面BDM 于GH ,所以AP ∥GH .11.【解析】假设MB ∥平面AEF ,过F ,B ,M 作平面FBM 交AE 于N ,连接MN ,NF .因为BF ∥平面AA 1C 1C ,BF ⊂平面FBM ,平面FBM ∩平面AA 1C 1C =MN .所以FB ∥MN .又MB ∥平面AEF ,所以MB ∥FN ,所以BFNM 是平行四边形,所以MN =FB =1.而EC ∥FB ,EC =2FB =2,所以MN∥EC,MN=1EC=1,2故MN是△ACE的中位线.所以M是AC的中点时,MB∥平面AEF.【拓展提升】立体几何中“思维定势〞的应用解答立体几何问题通常有比拟固定的方法.举例如下：(1)作辅助线时,有“中点〞考虑中位线、等腰三角形的性质.(2)证明线面平行,通常用判定定理,也就是证明平面外的直线与平面内的一条直线平行.(3)证明面面平行,通常用其判定定理,也就是证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行.(4)题目条件中有线面平行时,一定要想到线面平行的性质定理,也就是见到“线面平行〞就要考虑过直线找(或作)出平面与平面相交,得到交线与直线平行.关闭Word文档返回原板块。