保险精算习题剖析

1．确定10000元在第3年年末的积累值:

(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

2．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。

3．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6

t t

δ=

积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

4. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。

5.某银行推出2年期存单，年利率为9%，存款者若提前支取则面临两种可供选择的惩罚方式：变为活期存款，年利率为7%；损失3个月的利息。某存款人拥有这种存单但要在第18个月末时支取，试问该人该选择哪种惩罚方式？

第二章：年金

练习题

1．证明()

n m

m n v v i a a -=-。

√2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A ，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A 。 √3. 已知7 5.153a = , 117.036a =, 189.180a =, 计算 i 。

√4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。 √5．年金A 的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B 在1～10年，每年给付额为K 元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K 元，若A 与B 的现值相等，已知10

1

2

v =

，计算K 。

√6． 化简()

1020101a v v ++ ，并解释该式意义。

√7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。

√8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k 年的实际利率为

1

8k

+，计算

V(2)。

√9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )

A.

1

1

3

n

⎛⎫

⎪

⎝⎭

B.

1

3n C.

1

3

n

⎛⎫

⎪

⎝⎭

D.3n

11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为()21

t+,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（）

A.52

B.54

C.56

D.58

第三章：生命表基础

练习题

1．给出生存函数()

2 2500 x

s x e-

=，求：

(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。

(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。

(3)人能活到70岁的概率。

(4)50岁的人能活到70岁的概率。

2. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求

60

q。

3. 已知

800.07

q=，

803129

d=，求

81

l。

4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。

5. 如果

22

1100

x x x

μ=+

+-

,0≤x≤100, 求

l=10 000时，在该生命表中1岁到4岁

之间的死亡人数为（）。

A.2073.92

B.2081.61

C.2356.74

D.2107.56

6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则

|20

1

q为（）。

A. 0.008

B. 0.007

C. 0.006

D. 0.005

第四章：人寿保险的精算现值

练 习 题

1. 设生存函数为()1100

x

s x =- (0≤x ≤100)，年利率i =0.10，计算(保险金额为1元)：

(1)趸缴纯保费130:10

Ā的值。 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。

2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。

(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？

3. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算： （1） 1

:20x A 。

（2） 1

:20x A 。

4． 试证在UDD 假设条件下： (1) 1

1::x n x n i

δ

=

A A 。

(2) 1

1:::x x n n x n

i

δ

=+

ĀA A 。 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，()0.5,0,0.1771x q i Var z === ，试求

1x q +。

6

767677770.8,400,360,0.03,D D i ====求A A 。

7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金

于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。

8． 考虑在被保险人死亡时的那个1

m

年时段末给付1个单位的终身寿险，设k 是自保单生效起存活的完整年数，j 是死亡那年存活的完整1

m

年的时段数。

(1) 求该保险的趸缴纯保费 ()

m x A 。

(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明()

()

m x

x m i i

=

A A 。