二次函数的四种表达式求法推导

二次函数的四种表达式求法推导

整理于2018.4.18夜

（1）如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为c bx ax y ++=2

，把已知三点坐标代入其中构造三元一次方程组求a 、b 、c 。

（2）二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为（h ，k ），则二次函数的表达式为：

k h x a y +-=2)( 推导如下：

a

b a

c a b x a a b ac a b x a a c

a b a b x a a c

a b a b x a b x a a c

x a b

x a c

bx ax y 44)2(]

44)2[(]

4)2[(]

)2()2([)

(2

222

222222222-++=-++=+-+=+-++=++=++= 则a b ac k a b

h 44,22

-=-=

顶点式的变形：

设二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像交x 轴于点A ),(1o x 和B )0,(2x ，则a

b

x x -=+21 ，

a c

x x =•21

点A 、B 的距离为d ，

a ac

b a ac

b a

c a b

x x x x x x x x d 444)(4)()(2222212212121

2-=-=--=•-+=-=-= 2

22

22222222222241

)2(]

41)2[(]

44)2[(]4)2[(]

)2()2([)

(ad a b

x a d a b x a a ac

b a b x a a c

a b a b

x a a

c a b a b x a b x a a c

x a b

x a c

bx ax y -+=-+=--+=+-+=+-++=++=++=

已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：)]()[(00d x x x x y +--=

（3）二次函数两根式：如果二次函数的图像与x 轴交于点)0,()0,.(21x x 和，则二次函数的表达式为： ))((21x x x x a y --= 推导如下：

设二次函数的图像交x )0(2

≠++=a c bx ax y 于点),(1o x 和)0,(2x ， 则21,x x 和是一元二次方程)0(02≠=++a c x ax 的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得：a b x x -=+21 ，a

c x x =•21 所以，

)

)((])([)(212121222x x x x a x x x x x a a

c x a b x a c

bx ax y --=•++-=++

=++=

（4）二次函数对称点式：

如果二次函数的图像过点),(),(21m x m x 和（它们关于抛物线对称轴221x x x +=对称），则可以得到二次函数的表达式对称点式：)0())((21≠+--=a m x x x x y ，推导如下： 方法1 二次函数的图像过点),(),(21m x m x 和，那么21x x 和是x 的一元二次方程 m c bx ax =++2（即02=-+m c bx ax ）的两根，则有 ))((212x x x x a m c bx ax --=-++ ∴))((212

m x x x x a c bx ax +--=++

即 m x x x x a y +--=))((21

方法2 二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点),(),(21m x m x 和，则有 ⎩⎨⎧++=++=c

bx ax m c bx ax m 121222 解得

{)(2121x x a b m x ax c +-=+= 代入c bx ax y ++=2 中，得

m x x x x a m x x x x x a m

x ax x x a ax y +--=+++-=+++-=))((])([)(212121221221