第2讲 三角恒等变换与解三角形(教案)
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第2讲 三角恒等变换与解三角形
正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：
1．边和角的计算．
2．三角形形状的判断．
3．面积的计算．
4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．
热点一 三角恒等变换
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
例1 (1)(2017·河南省洛阳市统考)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝
22
(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°
，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c
C ．c >a >b
D ．a >c >b
答案 D
解析 由三角恒等变换的公式，可得
a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos(50°－127°)
＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，
b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°
＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12° .
因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2为单调递增函数， 所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，
所以a >c >b ，故选D.
(2)已知sin α＝
55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3
C.π4
D.π6 答案 C
解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2
. 又sin(α－β)＝－
1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255
， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22
. 所以β＝π4
. 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭
⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118
B.118 C ．－1718
D.1718
答案 C
解析 由3cos 2α＝sin(π4
－α)， 可得3(cos 2α－sin 2α)＝
22(cos α－sin α)， 于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118， 所以sin 2α＝－1718
，故选C.
(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝13
，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________. 答案 79
解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝12cos α－32
sin α－cos α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13
， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13
. 则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝79
. 热点二 正弦定理、余弦定理
1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C
＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R
，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .
变形：b 2＋c 2－a 2
＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc . 例2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .
(1)求A ；
(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .
解 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得
3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.
由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12