基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点总结

向量不等式：

||||||||||||a b a b a b -±+≤≤

【注意】： a b 、

同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中类似)

代数不等式：

,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.

绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤

(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等

双向不等式：a b a b a b -±+≤≤

（左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.）

放缩不等式：

①00a b a m >>>>，，则b m b b m

a m a a m

-+<<-+. 【说明】：

b b m a a m

+<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b

a n

b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b

c R +

∈，

b d a

c <，则b b

d d

a a c c

+<<+； ③n N +∈

<

< ④,1n N n +∈>，211111

11n n n n n

-

<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x

e x +≥()x R ∈.

函数()(0)b

f x ax a b x

=+

>、图象及性质 (1)函数()0)(>+

=b a x

b

ax x f 、图象如图：

(2)函数()0)(>+

=b a x

b ax x f 、性质：

①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②

单调递增区间：(,-∞

，)+∞；

单调递减区间：(0,

，[0).

基本不等式知识点总结

重要不等式

1、和积不等式：,a b R ∈⇒2

2

2a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”)．

【变形】：①222()22

a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，22

2(

)22a b a b ab ++==） 【注意】：

(,)2a b a b R ++∈，2

(

)(,)2a b ab a b R +∈≤

2、均值不等式：

两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”

2

2“”112ab a b a b a b a b

+===++≤时取） *.若0x >，则1

2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;

若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

若0x ≠，则11122-2x x x x

x

x

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）

*.若0>ab ，则2≥+a

b b

a (当且仅当

b a =时取“=”）

若0ab ≠，则

22-2a b a b a b

b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”

） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：

3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a ）；

3a b c ++ ⇒3()3

a b c abc ++≤3333a b c ++≤

*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，

ab b a 222≥+同时除以ab 得

2≥+b a a b 或b

a

a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b

a -≥22

八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2

)2

(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+

④)(22

2

b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b

a b a +≥+4

11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(

2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2

22)11(2111b a b

a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“

b a =”。

最值定理

（积定和最小）

①,0,2x y x y xy >+≥由，若积()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值2p ；

（和定积最大）

②,0,2x y x y xy >+≥由，若和()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值

2

14

s . 【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2

2

+-=+.

（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小. （2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大.

③已知,,,R a x b y +

∈，若1ax by +=，则有则

的最小值为：

2

11

11()()2 ()by ax

ax by a b a b ab a b x

y x y x y

+

=++=+++++=+≥

④已知，若则和

的最小值为：

①

.

②

应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：

⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.

⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x <

，求函数1

()4245f x x x =-+-的最大值.

⑶调整分子：例3.求函数2710

()(1)1

x x f x x x ++=

≠-+的值域； ⑷变用公式：基本不等式2a b ab +≥有几个常用变形,2222

a b a b

++≥，222

()22

a b a b ++≥不易想到，应重视； 例4.求函数15

2152()22

y x x x =--<<的最大值；

⑸连用公式：例5.已知0a b >>，求2

16()

y a b a b =+-的最小值；

⑹对数变换：例6.已知1,12

x y >>，且xy e =，求ln (2)y

t x =的最大值；

⑺三角变换：例7.已知2

0y x π

<<

≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；

⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11

t a b

=

+的最小值.