向量分析与场论 复变函数与积分变换 复习与提高(李景和,吴梦虹 主编)思维导图
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
3.2 柯西积分定理及其应用
回顾
∫ f ( z ) dz = ∫ udx − vdy + ∫ vdx + udy
c c c
当 u , v 具有连续偏导时，两个对坐标的曲线积分 在单连通域 D内与路径无关（或沿单连通域 D内 的任意闭曲线为零） ⇔ − v′ = u ′ , u ′ = v′ x y x y 这恰是 f ( z ) 解析的必要条件。事实上，当 C 为单 通域 D内的曲线时，该条件也是充分的。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
n
复习、 复习、引入
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∑ f ( ξ i )∆xi
n→∞ i =1
∫∫ f ( x , y ) d σ
D
Ω
= lim ∑ f (ξ i ,η i ) ∆ σ i
n→∞ i =1
大学数学教程
复变函数与积分变换
主讲： 主讲： 郑修才
山东大学数学院
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
第3章 复变函数的积分
§3.1 复变函数积分的概念和性质 §3.2 柯西积分定理及其应用 §3.3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数 §3.4 解析函数与调和函数的关系
i =1 i =1
∫∫
∑
f ( x , y , z ) dS = lim
n→ ∞
∑
n
i =1
f (ξ i , η i , ζ i ) ∆ S i
复变函数与场论简明教程：矢量分析与场论
dr dr 1 ds ds
矢量分析与场论
图6.5
矢量分析与场论
7. 1） 在t某个规定的区间I上， 若有B′(t)=A(t)， 则称B(t)是A(t) 的一个原函数。显然， A(t)的原函数有无穷多个， 并且各 原函数之间相差一个常矢。
矢量分析与场论 显然， 矢性函数A=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k的不定积分可以 用三个数性函数的不定积分进行计算：
矢量分析主要研究变矢， 即模或方向至少其一会改变 的矢量。 例如， 如图6.1所示， 质点M沿曲线l运动， 其速 度v是变矢， 其加速度也是变矢。
矢量分析与场论 图6.1
矢量分析与场论
2. 定义 变矢A随数性变量t而变化， 即
A=A(t) 则称A为数性变量t的矢性函数
(6.1.1)
矢量分析与场论
(6.1.11)
导矢是一个矢量， 非零导矢是矢端曲线的切向矢量， 并始终 指向对应t值增大的一方。 其理由如下： 设l为A(t)的矢端曲线， 如图6.3所示。
矢量分析与场论 图6.3
矢量分析与场论
［例3］ 已知摆线的矢量方程为r=a(t－sint)i+ a(1－cost)j，
解
r a(t sin t) i + a(1 cos t) j a(1 cos t)i + a sin tj
矢量分析与场论
（3） 矢量与实数的数乘运算： λa是这样一个矢量， 其模等于|λ|·|a|， 当λ>0时其方向与a一致， 当λ<0时其方向 与a相反， 并约定λ0=0， 其中0为零矢量， 其大小为0， 方
（4） 内积（点乘）： 约定a ·b=|a||b| cos〈a, b〉， 其 中〈a, b〉表示a和b的夹角, a ·b=0的充分且必要条件是a与b 垂直。
《复变函数与积分变换》课程教学大纲(本科)
《复变函数与积分变换》课程教学大纲课程编号：07013111课程名称：复变函数与积分变换英文名称：Functions of Complex Variables & Integral Transformation课程类型：学科基础课程要求：必修学时/学分：32学时，2学分适用专业：通信、测控、电子科学、信息工程、电气工程及其自动化、自动化、生物医学工程、建环一、课程性质与任务复变函数与积分变换是高等工科院校许多专业重要的一门基础课，通过本门课程的教学，使学生较系统的、完整的了解复变函数与积分变换理论的基本内容，学会运用高数的方法处理复变量函数的一些基本问题，包括解析函数概念、复变函数的积分、解析函数的级数表示、洛朗级数、留数理论、共形映射、拉普拉斯变换等。
二、课程与其他课程的联系本课程的先修课程：高等数学。
复变函数与积分变换课程是高等理工科学校各专业学生一门重要的必修的公共基础课。
通过该课程学习，能为学生学习其他的相关课程奠定所需要的数学基础。
三、课程教学目标1．通过本门课程的学习，使学生掌握区域、解析、调和函数、复积分、级数、留数和积分变换的概念以及应用柯西-黎曼方程、柯西-古萨基本定理、柯西积分公式、高阶导数公式和留数定理等知识计算复变函数的积分；能运用泰勒展开，洛朗展开，奇点分类，积分变换等知识解决相关问题。
为学习后继课程以及进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
2．在传授数学知识的同时，还要通过上课、课后辅导、作业等各个教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、一定程度的抽象思维能力、一定程度的逻辑推理能力、空间想象能力和一定程度的自学能力、独立获取知识的能力。
3．在传授数学知识的同时，还要培养学生灵活运用复变函数与积分变换分析问题和解决问题的方法和意识，使之具备较强的数学应用能力。
为学生适应今后的学习和工作打好基础。
四、教学内容、基本要求与学时分配五、教学方法本课程以课堂教学为主，结合作业、自学、撰写小论文及测验等教学手段和形式完成课程教学任务。
复变函数与积分变换全教程绝对完整经典考试复习必备
课程编号: 150050
复变函数与积分变换教案
胡政发二○○八年二月复变函数与积分变换教案
目录
目录
第一章 复数与复变函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 复数及其代数运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 复数的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 复数的代数运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2.1 复数的四则运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2.2 共轭复数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 复数的几何表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 复平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1.1 复平面及复数的点表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1.2 复数的向量表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1.3 复数的三角表示式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1.4 复数的指数表示式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 复球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 复数的乘幂与方根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 乘积与商 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1.1 复数的乘积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1.2 复数的商 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 幂与根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2.1 复数的幂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2.2 复数的根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 区域及其连通性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 复平面区域. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1.1 区域的有关概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1.2 区域的有界性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 单连通域与多连通域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2.1 平面曲线的复数表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2.2 简单曲线与区域的连通性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
《复变函数与积分变换》教学大纲
《复变函数与积分变换》教学大纲一、课程基本信息课程名称：复变函数与积分变换英文名称：Complex Variable Functions and Integral Transformations课程编号：06209C课程类型：专业限选课课程总学时：48 （理论 40，实验 8 ）学分：2适用专业：信息与计算科学开课系部：应用数学系先修课程：数学分析(高等数学)二、课程的性质和任务复变函数与积分变换是数学分析(或高等数学)的后继课。
它的许多概念、理论和方法与数学分析有许多相似之处，但它又有许多独特的理论和方法，并不是数学分析理论在复数域中的简单平移。
它是本科院校理工科专业的重要专业课。
它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，在流体力学、电磁学、热学、工程力学等领域中，都会遇到平面向量场的问题，对于这类场，复变函数是解决这类问题的有力工具，借助复变函数的理论和方法，可以较简捷、深刻、完美地研究这类具体问题。
积分变换的理论和方法不仅在某些数学分支中，而且在其它自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。
如在数学上用积分变换可以很容易的解答一些微分方程和积分方程，还可以研究广义积分等难以解决的问题；在无线电技术中，当我们需要设计一个符合要求的放大器时，往往要利用傅里叶变换对信号进行频谱分析；在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，可以通过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。
因此，积分变换已成为现代科学技术领域中不可缺少的运算工具。
三、课程教学基本要求第一部分复数与复变函数教学内容：1.1 复数1.2 复数的三角表示1.3 平面点集的一般概念1.4 无穷大和复球面1.5 复变函数1、掌握复数的三种表示法，知道复平面的点集与区域。
2、理解复变函数的概念，了解其几何表示。
3、了解复变函数的极限与连续性的概念。
4、掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些不太复杂的运算第二部分解析函数教学内容：2.1 解析函数的概念2.2 解析函数和调和函数的关系2.3 初等函数基本要求：1. 理解复变函数导数的概念及其求法。
复变函数与积分变换复习
2．复数的运算： 复数的加、减、乘、除、方幂、方根运算时，注意用不同的复数表示形式，并注意：
z1 = r1 (cos θ1 + sin θ1 ), r1 = z1 , θ1 = Argz1 z2 = r2 (cos θ 2 + sin θ 2 ), r2 = z2 ,θ 2 = Argz2 z1 z2 = r1r2 [ cos(θ1 + θ 2 ) + sin(θ1 + θ 2 ) ] z1 z2 = r1 r2 [ cos(θ1 − θ 2 ) + sin(θ1 − θ 2 ) ]
= 5e− arctan4 3− 2 kπ [ cos(ln 5 + arctan 4 3) + i sin(ln 5 + arctan 4 3)]
1 1 ⑤反三角函数 Arc sin z = Ln(iz + 1 − z 2 ) ， Arc cos z = Ln( z + 1 − z 2 ) i i
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《复变函数与积分变换》课程复习教案
张谋
这部分的题主要是 C. − R. 条件的应用，求函数的值等。 例 设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 在区域 D 解析，且 u = v 2 。证明 f ( z ) 在 D 是常数。
例
设z =−
1− i ，求 z100 + z 50 + 1 的值。 2 1 − i 2 25 ) ] = (−i ) 25 = −i ，故 z100 + z 50 + 1 = (−i ) 2 − i + 1 = −i 2
解： z 50 = [(−
可用复数的三角式或指数式。 例 已知 f ( z ) = x(1 +
第一章、 矢量分析与场论初步
e1 e2 curl u = ∇ × u = ∂ ∂
∂x1 ∂x2
u1 u2
(curl
u )i
=∈ijk
⎛ ⎜⎜⎝
∂uk ∂x j
⎞ ⎟⎟⎠
e3
∂ ∂x3
=∈ijk
⎛ ⎜⎜⎝
∂uk ∂x j
证：因为
( ) ( ) [ A× B × C ]i =∈ijk Aj B × C k =∈ijk Aj ∈kmn BmCn =∈ijk∈kmn Aj BmCn ( ) = ∈kij∈kmn Aj BmCn = δimδ jn − δinδ jm Aj BmCn = An BiCn − Aj BjCi = ( A • C ) Bi − ( A • B) Ci = ⎡⎣( A• C ) B⎤⎦i − ⎡⎣( A• B) C⎤⎦i
(1 − 2 − 6)
称为逆变换系数矩阵。显然对于笛卡儿直角坐标系，逆变换系数矩阵恰好是正变换系数矩阵
的转置矩阵。
如果坐标变换时，坐标原点由 O 移至 O’（平移加旋转），位移矢量为 C，与前面的做法
类似，可得到如下关系
xi' = x j βij − Ci'
xi
=
x
' j
β
ij
− Ci
(1 − 2 − 7) (1 − 2 − 8)
(1 − 1 − 1)
i 称为约定求和指标。约定求和指标在展开式中不再出现，因此也称为“哑指标”。显然哑指 标的字母可以更换，因为 AiBi 与 AjBj 的含意是相同的。
例 1、 ∂Ai = ∂A1 + ∂A2 + ∂A3 ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
超详细版 复变函数与积分变换复习提纲
（六）复变函数积分的概念与性质
n
∫ ∑ 1． 复变函数积分的概念：
c
f ( z) dz = lim n→∞ k =1
f
(ξk )∆zk ， c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质
∫ ∫ 1） c f ( z ) dz = − c−1 f ( z ) dz
（ c−1 与 c 的方向相反）；
n
z
=
z
1 n
cos
θ
+ 2kπ n
+ i sin θ
+ 2kπ n
(k = 0,1, 2Ln −1) （有 n 个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：w = f ( z ) ，在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G
的映射.
2．复初等函数
( ) 1）指数函数： ez = ex (cos y + isin y) ，在 z 平面处处可导，处处解析；且 ez ′ = ez 。
∫则
z2 z1
f ( z)dz= G ( z2 ) − G ( z1 )
(z1, z2 ∈ B)
说明：解析函数 f ( z ) 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。柯西积分公式：设 f ( z ) 在区域 D 内解析，c 为 D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于 D ，
3．闭路变形原理 ： 一个在区域 D 内的解析函数 f ( z ) 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
4
变形而改变它的值，只要在变形过程中 c 不经过使 f ( z ) 不解析的奇点。
复变函数与积分变换课程的教学改革与实践
复变函数与积分变换课程的教学改革与实践作者：李景和来源：《教学研究》 2013年第4期李景和（河北工业大学理学院，天津 300401）[摘要]针对复变函数与积分变换课程教学的现状和存在的问题，合理整合教学内容，讲好思想方法，贯彻直观性教学原则，加强启发式教学方法，加强与高等数学的衔接性，适当减轻学生记忆的压力，从而收到良好的教学效果。
[关键词]复变函数；积分变换；教学改革与实践；启发式教学[中图分类号]O177.6[文献标识码]A[文章编号]1005-4634(2013)04-0092-04引言复变函数与积分变换是大学工科相关专业，尤其是机电类专业的必修基础课，它在电路理论、通信工程、信息处理、自动控制、信号与系统等课程中有着广泛的应用。
通过本课程的学习，可以使学生掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为后续专业课程的学习提供必要的数学基础，因此做好复变函数与积分变换的教学工作是十分重要的。
本文分析该课程教学的现状和存在的问题，总结和提出几点教学改革的经验和体会，以期对提高该课程的教学效果提供有益借鉴。
1复变函数与积分变换课程的教学现状及存在的问题多年来，笔者一直在河北工业大学统招生（一本）和城市学院（三本）从事复变函数与积分变换的教学工作。
在教学中发现，该门课程的不及格率相对较高，学生学习该门课程的畏难情绪很大，甚至将其称为大学“最难的数学课”。
每次期末考试时都会发现一些学生得分较低，对一些重点教学内容、考试必考内容竟然一无所知，如求复变函数的可微点与解析点、求复变函数沿一个闭路的积分、用拉普拉斯变换解微分方程等。
究其原因，有以下三点。
1）该课程理论性强，严密的数学推导过多，缺少直观性，缺少实际应用的背景，这使得教学内容枯燥，学生的学习积极性不高，特别是学习基础不好的同学，对该课程的学习望而生畏，甚至中途放弃。
2）该课程作为高等数学的后继课程，与高等数学的知识联系极其紧密，许多理论知识是实函数到复函数的推广，很多题目必须应用高等数学的知识才能完成，但许多学生对高数知识的掌握程度不能为学好该课程提供必要的基础，高数的相关知识记忆不深，这是学好该门课的一个主要困难。