人教版高中数学必修三(教案)1.3 秦九韶算法

第二课时 1.3.2 算法案例---秦九韶算法

教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以

减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的

区别，理解计算机对数学的辅助作用.

教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计.

教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计.

教学过程：

一、复习准备：

1. 分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大

公约数.

2. 设计一个求多项式5432

x=时的值的

()254367

=--+-+当5

f x x x x x x

算法. （学生自己提出一般的解决方案：将5

x=代入多项式进行计算

即可）

提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？

此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法

运算，5次加法运算. 优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决

任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.)

二、讲授新课：

1. 教学秦九韶算法：

①提问：在计算x的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计

算量，即先计算2x，然后依次计算2x x⋅，2()

⋅⋅，2

x x x

⋅⋅⋅的值，

x x x x

(())

这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上

述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算）

②结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，

因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算

时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果.

③更有效的一种算法是：

将多项式变形为：

，

5432

=--+-+=

()254367 f x x x x x x

依次计算2555

⨯-=，

⨯+=，10856534

⨯-=，55421

⨯-=，2153108

⨯+=

534572677

故(5)2677

f=. ――这种算法就是“秦九韶算法”. （注意变形，强

调格式）

④练习：用秦九韶算法求多项式432

x=时的

=+-++当4

f x x x x x

()2351

值.

（学生板书→师生共评→教师提问：上述算法共需多少次乘法运算？多少次加法运算？）

⑤ 如何用秦九韶算法完成一般多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的求值问题？

改写：11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++. 首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向

外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，，10n n v v x a -=+.

⑥ 结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值，整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：

01,(1,2,,)n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩. 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环

结构来实现.

⑦ 练习：用秦九韶算法求多项式5432()52 3.5 2.6 1.70.8f x x x x x x =++-+-当5x =时的值并画出程序框图.

2. 小结：秦九韶算法的特点及其程序设计

三、巩固练习：1、练习：教材P35第2题 2、作业：教材P36第2题