江苏省徐州市贾汪区建平中学高二数学《3.4互斥事件1》学案

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江苏省徐州市贾汪区建平中学苏教版高中数学必修一：3.4-1函数与方程1教案

备课2016 年 10 月29 日第周周月日时间编写吕世金上课时间班级节次课题函数与方程（1）总课时数第节教学 1 理解函数的零点的观点，认识函数的零点与方程根的联系目标 2 并运用其解决相关一元二次方程根的散布问题．教学教课要点：函数零点存在性的判断重难点教课难点：数形联合思想，转变化归思想的培育与应用教学教材凤凰新教案参考授课自学指引类比教课协助手段多媒体方法专用教室教学二次备课一、问题情境：．情境：在第节中，我们利用对数求出如图 1，一次1了方程 0.84x＝ 0.5 的近似解；函数 y＝kx＋ b 2．问题：利用函数的图象能求出方程0.84x＝的图象与 x 轴0.5 的近似解吗？交于点 (－2，教3．假如二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴0)，试依据图象填空：学交于点 (－3，0)和(1，0)，且张口方向向下，试画出y 图象，并依据图象填空：过（1）方程 ax2＋bx＋ c＝ 0 的解是；程（ 2 ）不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞ 0 的解集－ 2xO设为；图1 ax2＋ bx＋ c＜ 0 的解集为．计三、建构数学（ 1） k0 ， b1．函数 y＝ f (x)零点的定义0；（ 2）方程 kx＋ b ＝0的解是2．一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0(a ＞ 0)与二次函数y＝ ax2（ 3）不等式kx ＋ bx＋ c 的图象之间关系：＋ b＜ 0 的解集△＝ b2－ 4ac△＞0△＝0△＜02＝ax ＋bx＋c0 的根y y yy＝ax2＋bx＋Oc 的图象O x1xx x xO xy＝ax2＋bx＋c的零点四、数学运用例 1 函数 y＝ f (x)(x [ －5， 3])的图象如下图，依据图象，写出函数 f (x)的零点及不等式 f (x)3．函数零点存在的条件：函数y＝ f (x)在区间[a，b]上不中断，且 f (a)·f (b)＜0，则函数 y＝f (x)在区间 (a ，b)上有零点练习（1）函数 f(x)＝2x2－ 5x＋ 2 的零点是 _______＞0 与 f (x)＜0 的解集．y（ 2 ）若函数f(x) ＝ x2－ 2ax－5 －3O－1x ＋ a 没有零13点，则实数 a的取值范围是______例 2求证：二次函数 y＝2x2＋3x－7 有两个不（ 3）二次函数同的零点y ＝ 2x2＋ px＋15 的一个零判断函数 f(x)＝ x2－2x－ 1 在区间 (2，3)点是－ 3，则另例 3一个零点是上能否存在零点？五、回首反省：1．函数零点的观点、求法．2．函数与方程的互相转变，即转变思想；以及数形联合思想课外课本 P97－习题 2，5．作业教学小结。

3.4互斥事件教学案

课题： 3．4 互斥事件（1）教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。

3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。

教学重点：概率的加法公式及其应用教学难点：事件的关系与运算教学过程：一、问题情境体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，结果如下：体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ．（１）在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？（２）从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？二、学生活动体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为D C B A ,,,．在同一次体育考试中，同一人不能同时既得优又得良，即事件B A ,是不可能同时发生的．将这种不可能同时发生的事件称互斥事件。

在上述关于体育考试成绩的问题中，用事件B A +表示事件“优”和“良”，那么从50人中任意抽取1个人，有50种等可能的方法，而抽到优良的同学的方法有9+15种，从而事件B A +发生的概率50159)(+=+B A P ．另一方面509)(=A P ，5015)(=B P ，因此有)()()(B P A P B A P +=+．三、建构数学1．即事件Ａ与Ｂ是不可能同时发生的．不能同时发生的两个事件称为互斥事件。

2．事件Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，其中任意两个都是互斥的．一般地，如果事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ中的任何两个都是互斥事件，就说事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ彼此互斥．3．设Ａ，Ｂ为互斥事件，当事件Ａ，Ｂ有一个发生，我们把这个事件记作Ａ＋Ｂ．在上述关于体育考试成绩的问题中，事件Ａ＋Ｂ就表示事件“优”或“良”，那么，事件Ａ＋Ｂ发生的概率是多少呢？由以上分析不难发现，概率必须满足如下第三个基本要求：如果事件Ａ，Ｂ互斥，那么事件Ａ＋Ｂ发生的概率，等于事件Ａ，Ｂ分别发生的概率的和，即Ｐ(Ａ＋Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)．一般地，如果事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ两两互斥，则Ｐ(Ａ１＋Ａ２＋ … ＋Ａｎ)＝Ｐ(Ａ１)＋Ｐ(Ａ２)＋ … ＋Ｐ(Ａｎ)．两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件Ａ的对立事件记为A ．图示为：互斥事件B A 对立事件BA 关系：{x|x 为对立事件}⊆{x|x 为互斥事件} 对立事件A 与Ａ必有一个发生，故A ＋Ａ是必然事件，从而Ｐ（A ）＋Ｐ（Ａ）＝Ｐ（A ＋Ａ）＝１．由此，我们可以得到一个重要公式：Ｐ（A ）＝１－Ｐ（Ａ）．四、数学运用1．例题例1 一只口袋内装有大小一样的４只白球与４只黑球，从中一次任意摸出２只球．记摸出２只白球为事件Ａ，摸出１只白球和１只黑球为事件Ｂ．问：事件Ａ与Ｂ是否为互斥事件？是否为对立事件？解事件A 和B 互斥因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件A 和B 不是对立事件．练习：果事件A 、B 互斥，那么（）A ． A+B 是必然事件 B ． A +B 是必然事件C ．A 与B 一定互斥D ． A 与B 一定不互斥 (B )例2（２）求射击１次，命中不足７环的概率．解记事件“射击1次，命中k 环”为),10,(≤∈k N k A k 且则事件k A 两两相斥．（1）记“射击一次，至少命中7环”的事件为A ，那么当10A ，9A ，8A 或7A 之一发生时，事件A 发生．由互斥事件的概率加法公式，得)()(78910A A A A P A P +++= =)()()()(78910A P A P A P A P +++=9.032.028.018.012.0=+++．（2）事件“射击一次，命中不足7环”是事件“射击一次，命中至少7环”的对立事件，即A 表示事件“射击一次，命中不足7环”．根据对立事件的概率公式，得1.09.01)(1)(=-=-=A P A P ．答此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9；命中不足7环的概率为0.1．思考；甲、乙同时向一个目标进行射击，甲击中的概率为0.4,乙击中的概率为0.5,则目标被击中的概率是否为0.4+0.5=0.9?如果不是，说明理由？（不是，甲、乙击中目标不互斥）例3任何人的血都可以输给ＡＢ型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是Ｂ型血，若小明因病需要输血，问：（１）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（２）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解（1）对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为,,,,D C B A ''''它们是互斥的．由已知，有35.0)(,08.0)(,29.0)(,28.0)(='='='='D P C P B P A P ．因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件D B '+'．根据互斥事件的加法公式，有64.035.029.0)()()(=+='+'='+'D P B P D B P ．（2）由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件C A '+'，且36.008.028.0)()()(=+='+'='+'C P A P C A P ．答任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36．注：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有36.064.01)(1)(=-='+'-='+'D B P D B P五、回顾小结1．互斥事件和对立事件的概念；2．互斥事件中有一个发生的概率的计算公式；3．对立事件的概率间的关系．六、课外作业：课本第108页第1~7题．课题： 3．4 互斥事件（2）教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A+B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A+B 为必然事件，所以P(A+B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。

高中数学互斥事件学案教案

高中数学互斥事件学案教案
一、学习目标
1.了解互斥事件的概念和性质。

2.掌握互斥事件的计算方法。

3.能够应用互斥事件求解实际问题。

二、学习内容
1.互斥事件的概念及性质。

2.互斥事件的计算方法。

3.互斥事件的应用。

三、学习重点和难点
重点：互斥事件的概念和计算方法。

难点：互斥事件的应用。

四、教学过程
1.引入：通过一个生活实例引入互斥事件的概念，让学生了解互斥事件的意义和特点。

2.讲解：介绍互斥事件的定义和性质，以及互斥事件的计算方法。

讲解完毕后，组织学生
进行相关练习。

3.拓展：通过一些实际问题，引导学生应用互斥事件来解决问题，培养学生的逻辑思维能
力和解决问题的能力。

4.总结：总结本节课的重点内容，强调互斥事件的重要性和应用价值。

鼓励学生多加练习，巩固所学知识。

五、课后作业
1.完成相应的练习题。

2.选择一个实际问题，应用互斥事件来求解。

六、教学反思
本节课主要介绍了互斥事件的概念、性质和计算方法，通过生动有趣的例子和实际问题，引导学生理解和掌握互斥事件的相关知识。

在今后的教学中，可以通过更多的实例和练习来帮助学生更好地理解和应用互斥事件。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.4 互斥事件》

互斥事件及其发生的概率班级________姓名________【学习目标】1．了解互斥事件和对立事件的概念，能判断某两个事件是否为互斥事件，进而判断它们是否为对立事件2．了解互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率和为13．运用互斥事件概率和公式及对立事件的概率和进行简单的概率计算【预学单】〔一〕问题情境问题1：一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球，从中任取 1个小球。

求:(1)得到红球的概率;(2)得到绿球的概率;3得到红球或绿球的概率想一想:“得到红球〞和“得到绿球〞这两个事件之间有什么关系,可以同时发生吗事件得到“红球或绿球〞与上两个事件又有什么关系它们的概率间的关系如何【研学单】〔二〕建构数学1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥．2．互斥事件的概率如果事件，互斥，那么事件发生的概率，等于事件，分别发生的概率的和，即．一般地，如果事件两两互斥，那么问题2：互斥事件一定不能同时发生,那么是否可以同时不发生？举例说明问题3：“从盒中摸出1个球，得到的不是红球〔即绿球或黄球〕〞与“得到是红球〞之间有什么关系？3．对立事件两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件的对立事件记为．对立事件和必有一个发生，故是必然事件，从而．因此，我们可以得到一个重要公式．备注：对立事件是互斥事件的特殊情形；前者两个事件都可以不发生，但后者两个事件必有一个发生概念理解问题4、抛掷一颗骰子一次，记“向上的点数是4，5，6〞为事件A，“向上的点数是1，2〞为事件B，“向上的点数为1，2，3〞为事件C，“向上的点数是1，2，3，4〞，为事件D，判别以下每件事件是不是互斥事件1A与B 〔2〕A与C 〔3〕A与D问题5、判断以下给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。

从40张扑克牌〔红桃、黑桃、梅花、方块点数从1~10各10张〕中，任取一张〔1〕“抽出红桃〞与“抽出黑桃〞；〔2〕“抽出红色牌〞与“抽出黑色牌〞；〔3〕“抽出的牌的点数为5的倍数〞与“抽出的牌的点数大于9〞问题6、一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中任意摸出2只球。

高中数学《互斥事件》教案

高中数学《互斥事件》教案（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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《互斥事件》学案1(苏教版必修3)

§2.4 互斥事件（1）课标要求：（1）了解互斥事件和对立事件的概念并能判断互斥事件和对立事件（2）了解互斥事件概率的加法公式，知道对立事件的概率之和是1，会用相关公式进行简单的盖帘运算学习重点：互斥事件和对立事件的概念及其概率运算学习难点：概念的理解和公式的运用课前预习：1、体育考试的成绩分为4个等级，优、良、中、不及格。

某班50名学生参加体育考试，结果如下：问题：（1）、在同一次考试过程中，一个同学可不可能既得优又得良（2）、在一次考试过程中，随机抽取一名同学，这名同学的体育成绩为“优或良”的概率是多少？在上述中，这4个事件统分别记为A,B,C,D，很明显，事件A和事件B不可能同时发生，事件A和时间C不可能同时发生，事件B和事件D不可能同时发生，……，所以：我们将不能同时发生的两个事件称为互斥事件事件A和事件B是一对互斥事件，若事件A,B中至少有一个发生，我们把这样的事件记为A+B，则事件A+B的概率为又因为所以我们得到同学们：事件B或事件C发生的概率与事件B和事件C的概率有什么关系呢？2、如果事件A、B是互斥事件，那么事件A+B发生的概率，等于事件A,B分别发生的概率的和，即：P(A+B)=P(A)+P(B)经过推广，得到一般性的结论：一般地，如果事件,两两互斥，那么3、在上述的问题中，如果将“体育成绩为及格”记为事件E，则事件E和D不可能同时发生，但是必须发生一个。

这种若两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。

事件A的对立事件记为.而且现在，你能说一下对立事件和互斥事件的联系和区别吗？例题讲解例1从装有5只红球和5只白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是否为互斥事件、是否是对立事件。

、（1）“取出2只红球和1只白球”与“取出一只红球和2只白球”（2）“取出2只红球和1只白球”与“取出三只红球”（3）“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”（4）“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”例2、某人射击一次，命中7—10环的概率如表所示（1）求射击1次，至少命中7环的概率（2）求射击1次，命中不足7环的概率例3、某公务员去开会，乘火车、轮船、汽车、飞机出发的概率分别0.3 ，0.2，0.1 ，0.4 求：（1）他乘火车或飞机出发的概率（2）他不乘轮船出发的概率课堂巩固：1、把红、黑、蓝、白四张卡片随机发给甲、乙、丙、丁四个人四个人，每人得到一张，事件“甲分得红卡”和“乙分得红卡”是（）A、对立事件B、不可能事件C、互斥但不对立事件D、不等可能事件2、在装有黑球和白球的口袋内任取2只球（袋中的黑球和白球的总数都多余2个），那么互斥而不对立的两个事件是（）A、至少有一个黑球；至少有一个白球B、恰有一个黑球；恰有两个黑球C、至少有一个黑球；都是黑球D、至少有一只黑球，都是白球3、在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，设3件都是一级品为事件A，则事件A的对立事件为。

高中数学第三章概率 3.4 互斥事件(1)教案苏教版必修3(2021年最新整理)

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3.4 互斥事件（1）教学目标：1．了解互斥事件、对立事件的概念，2．能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；3．了解两个互斥事件概率的加法公式．教学重点：互斥事件概率的加法公式．教学难点:互斥事件与对立事件的区别与联系．教学方法：谈话、启发式．教学过程:一、问题情境体育考试的成绩分为4个等级;优、良、中、不及格．某班50名学生参加了体育考试，结果如下：问题1:在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良?问题2：从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的测试成绩为“优”的概率,为“良”的概率，为“优良”（优或良)的概率分别是多少？二、学生活动优的概率为509，良的概率为5015．优良的概率为5024，是优和良的概率之和．三、建构数学体育考试成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A ，B ，C,D ．1．不能同时发生的两个事件称为互斥事件．2．“优良”可以表示为A ＋B ．3．事件A ，B ，C,D 其中任意两个都是互斥的．推广：一般地，如果事件A1，A2，…,An 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，…，An 彼此互斥．若事件A,B 至少有一个发生，我们把这个事件记作事件A ＋B ．四、探索新知问题3：如果将“测试成绩合格”记为事件E, “不合格”记为D 那么E 与D 能否同时发生 ?他们之间还存在怎样的关系？两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ．对立事件与互斥事件有何异同？1．对立事件是相对于两个互斥事件来说的；2．我们可用如图所示的两个图形来区分:A ，B 为互斥事件 A ，B 为对立事件3．结合集合知识，进一步认识互斥事件与对立事件:表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但是两个对立事件集合的并集是全集，而两个互斥事件集合的并集不一定是全集．五、数学运用1．例题．例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中任意摸出2只球．记摸出2只白球的事件为A,摸出1只白球和1只黑球的事件为B．问：事件A与事件B是否为互斥事件?是否为对立事件？结论:1．根据对立事件的意义，A＋A是一个必然事件,它的概率等于1．又由于A与A互斥，我们得到 P(A＋A）＝P(A)＋P（A）＝12．对立事件的概率的和等于1 P(A）＝1－P（A)3．如果事件A，B是互斥事件,那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率,等于事件A，B分别发生的概率的和．即:P（A＋B）＝P（A）＋P（B）4．一般地，如果事件A1,A2,…，An彼此互斥,那么事件A1＋A2＋…＋An发生(即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An） = P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An）．例2 某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：（1）求射击1次，至少命中7环的概率；（2）求射击一次,命中不足7环的概率．注：像例2这样,在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种①将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；②在直接计算某一事件的概率较复杂时，可转而求其对立事件的概率．2．练习．（1）作业:课后练习1，2．（2）对飞机连续射击两次．每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中}，B＝{每次都没击中｝，C ＝{恰有一次击中}，D＝{至少有一次击中}，其中彼此互斥的事件是_____________________________ ；互为对立事件的是________________．3．某射手在一次训练射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0．21，0．23，0．25,0．28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环、或7环的概率；（2）不够7环的概率．六、要点归纳与方法小结:本节课学习了以下内容：1．互斥事件和对立事件的概念；2．如何判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；3．两个互斥事件概率的加法公式．。

推荐K12高中数学第3章概率3.4互斥事件1教案苏教版必修3

3.4 互斥事件 1整体设计教材分析本节的内容主要是互斥事件及其概率，为了能简洁地叙述相关内容，可以通过实例来叙述，如在粉笔盒里装有3支红粉笔，2支绿粉笔，1支黄粉笔，现从中任取1支，记事件A 为取得红粉笔，记事件B为取得绿粉笔，则A与B不能同时发生，即A与B是互斥事件.互斥事件定义中事件A与事件B不可能同时发生是指若事件A发生，事件B就不发生或者事件B发生，事件A就不发生.对立事件的定义中的两个事件必有一个发生，它的前提条件是这两个事件为互斥事件.因此，对立事件可以理解为：事件A与B不能同时发生，且事件A与B中“必有一个发生”即指事件A不发生，事件B就一定发生或者事件A发生，事件B就不发生.如，投掷一枚硬币，事件A为正面向上，事件B为反面向上，则事件A与事件B必有一个发生且只有一个发生.事件A的对立事件通常记作A.如果事件A与B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，此公式可以由特殊情形中的既是互斥事件又是等可能性事件推导得到.一般地，如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1，A2，…，A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.从集合的角度来看，事件A、B互斥，是指事件A所含的结果组成的集合与事件B所含的结果组成的集合的交集为空集，则有P(A+B)=card(A+B)/card(I)=（card(A)+card(B)）；事件A与B对立，是指事件B所含的结即，且A∪B=I.图1 图2公式P(A+A)=P(A)+P(A)=1的常用变形公式为P(A)=1-P(A)或P(A)=1-P(A)，在解题利用概率加法公式计算互将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算.解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足.三维目标1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能够运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率，会利用两个对立事件的概率和等于1来简化一些概率的计算.2.通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，进一步理解随机事件概率的意义，从而掌握互斥事件、对立事件与古典概型、几何概型的区别与联系.3.通过对互斥事件的概率的计算，进一步理解随机事件的概率的意义，提高分析问题和解决问题的能力.4.通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，培养学生类比推理、信息迁移能力和转化的数学思想.5.结合互斥事件、对立事件的概念及其概率的计算，培养学生的辩证唯物主义观点和用对立统一规律分析问题的方法.重点难点教学重点：1.理解互斥事件的概率加法公式.2.会运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.教学难点：1.用定义判断较复杂的事件是否互斥.2.会运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（实例导入）在1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，从中任取一个球.请同学们思考下列事件的概率：事件A ：得到红球；事件B ：得到绿球；事件C ：得到红球或者绿球.设计思路二：（情境导入）体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，取一个球.则事件A“得到红球”的概率为107；事件B“得到绿球”的概率为51；事件C“得到红球或者绿球”的概率为109. 下面来研究以下问题：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？问题（3）中的事件“得到红球或者绿球”与问题（1）（2）中的事件有何联系，它们的概率间的关系如何？如果从盒中摸出1个球是红球，即事件A 发生，那么事件B 就不发生；如果从盒中摸出1个球是绿球，即事件B 发生，那么事件A 就不发生.就是说，事件A 与B 不可能同时发K12教育资料（小初高学习）生.这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(exclusive events).一般地，如果事件A 1，A 2，…A n 中的任何两个都是互斥的，那么就说A 1，A 2，…A n 彼此互斥.从集合的角度看，n 个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交.2.互斥事件有一个发生的概率设A 、B 是两个互斥事件，那么A ＋B 表示这样一个事件：在同一试验中，A 与B 中有一个发生就表示它发生.那么事件A ＋B 的概率是多少？在上面的问题中“从盒中摸出1个球，得到红球或绿球”就表示事件A ＋B.由于从盒中摸出1个球有10种等可能的方法，而得到红球或绿球的方法有7＋2种，所以得到红球或绿球的概率 P （A ＋B ）＝1027+，另一方面 P （A ）＝107，P （B ）＝102，由1021071027+=+，我们看到 P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）.这就是说，如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生（即A ，B 中有一个发生）的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和.一般地，如果事件A 1，A 2，…A n 彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A n 发生（即A 1，A 2，…A n 中有一个发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的和，即P （A 1＋A 2＋…＋A n ）＝P （A 1）＋P （A 2）＋…＋P （A n ）.3.对立事件如果事件A 与事件B 是互斥事件，并且事件A 与事件B 中必有一个事件发生，则称事件A 与事件B 为对立事件（complementary events ）.事件A 的对立事件记为A.对立事件与互斥事件的关系对立事件必定是互斥事件，两个互斥事件或对立事件不能同时发生.对立事件有且只有一个发生，而互斥事件可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生.从集合的角度来看，表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集.如图所示：注：椭圆表示全集左图是集合表示的互斥事件之间的关系，右图是集合表示的对立事件之间的关系.由于对立事件A 与A 必定有一个发生，因此A+A 是必然事件，所以P(A)+P(A )=P(A+A )=1，由此，可以有如下的重要公式P(A )=1－P(A).对于导入思路二：对于问题1，在同一次体育考试中，同一人不可能既得优又得良，即事件A 和B 是不可能同时发生的.不能同时发生的两个事件称为互斥事件（exclusive events ）.对于本例中的事件，其中任意两个都是互斥的.一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥.K12教育资料（小初高学习）设A ，B 为互斥事件，当事件A ，B 有一个发生，我们把这个事件记作A+B.在上述关于体育考试成绩的问题2中，事件A+B 就表示事件“优”或“良”，那么，事件A+B 发生的概率是多少呢？用古典概型的求概率公式，可以得到事件A 发生的概率P(A)=509，事件B 发生的概率P(B)= 5015.因此有P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件A ，B 为互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B).一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么事件A 1+A 2+…+A n 发生(即A 1，A 2，…，A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).在上述关于体育考试成绩的问题3中，事件E 与D 不可能同时发生，但是必然有一个发生.由分析可知，事件E 与D 是互斥事件，但是比互斥事件的条件要强.如果两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件（complementary events ）.事件A 的对立事件记为A.对立事件与互斥事件有何异同？互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生.所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件.对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A 与B 是对立事件，则A 与B 互斥且A+B 为必然事件，故A+B 发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1. A 所含的结果组成的集合与事件B 所P(A+B)=card(A+B)/card(I)=（card(A)+card(B)）；事件A 与B 对立，是指事件B 所含的结即A∩B= ，且A ∪B=I.图1 图2公式P(A+A )=P(A)+P(A )=1的常用变形公式为P(A)=1-P(A )或P(A )=1-P(A)，在解题应用示例思路1例1 一个射手进行一次射击，记“命中的环数大于8”为事件A ，“命中的环数大于5”为事件B ,“命中的环数小于4”为事件C ，“命中的环数小于6”为事件D.那么A 、B 、C 、D 中有多少对互斥事件？分析：判断两个事件是否是互斥事件，主要依据是互斥事件的概念即两个事件不能同时发生.解：由于一个射手进行一次射击，“命中的环数大于8”与“命中的环数小于4”不能同时发生，也就是事件A 与事件C 不能同时发生，所以，事件A 与事件C 是互斥事件.同样道理，K12教育资料（小初高学习）事件A 与事件D ，事件B 与事件C ，事件B 与事件D 也是互斥事件，因此，事件A 、B 、C 、D 中有四对互斥事件，即A 与C ，A 与D ，B 与C ，B 与D.点评：在判断两个事件是否是互斥事件时，紧紧抓住关键词“两个事件不能同时发生”，如果满足条件就是互斥事件.对于对立事件则首先是互斥事件，还要满足条件“其中一个不发生，则另一个必定发生”.例2 某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：(1)求射击1次，至少命中7环的概率；(2)求射击1次，命中不足7环的概率.分析：若将“射击1次，命中k 环”记为事件A k (k ∈N,且k≤10)，事件A k 两两不可以同时发生，因此，事件A k 两两互斥，考虑用互斥事件有一个发生的概率的计算方法来计算.解：记事件“射击1次，命中k 环”为A k (k ∈N,且k≤10),则事件A k 彼此互斥.（1）记“射击1次，至少命中7环”为事件A ，那么当A 10,A 9,A 8或A 7之一发生时，事件A 发生.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)=P(A 10+A 9+A 8+A 7)=P(A 10)+P(A 9)+P(A 8)+P(A 7)=0.12+0.18+0.28+0.32=0.9.(2)事件“射击1次，命中不足7环”是事件“射击1次，至少命中7环”的对立事件，即A 表示事件“射击1次，命中不足7环”.根据对立事件的概率公式，得P(A )=1－P(A)=1－0.9=0.1.答：此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9；命中不足7环的概率为0.1.点评：在解有关互斥事件的概率问题时，有时为了问题解答的简洁，往往采用间接的解题方法来求解，例如，要求某一个事件A 的概率时，可以先求这一个事件A 的对立事件A 的概率，再通过公式P(A)=1－P(A)来求解.AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？分析：由于每个人的血型是确定的，因此，对于任何一个人所具有的血型对应的事件是互斥的.解：（1）对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′，它们是互斥的.由已知，有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B′+D′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(D B '+')=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.（2）由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A′+C′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.答：任找一个人，其血可以输给小明的概率是0.64，其血不能输给小明的概率是0.36. 点评：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能K12教育资料（小初高学习）输给B 型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′+D′)=1－P(B′+D′)=1－0.64=0.36.例4 （1）某家庭电话响第一声时被接的概率为101，响第二声时被接的概率为51，响第三声时被接的概率为41，响第四声时被接的概率为41，求电话在响第五声之前被接的概率.（2）有10件产品分为3个等级，其中一级品有4件，二级品3件，三级品3件，从这10件产品中任意取出2件，试求：①所取2件产品中有1件一级品、1件二级品的概率；②所取2件产品中至少有1件是一级品的概率；③所取2件产品是同等级产品的概率.分析：根据题意，事件“所取2件产品中至少有1件是一级品”可以分为事件“所取2件产品中恰有1件一级品”和“所取的2件产品都是一级品”，这两个事件是互斥事件；事件“所取2件产品是同等级产品”可以分为“所取2件产品都是一级品”“所取2件产品都是二级品”“所取2件产品都是三级品”这三个互斥事件，因而可以运用互斥事件有一个发生的概率的计算方法来求解.解：（1）假设“电话在响第n 声被接”为事件Ai5声之前时被接的概率为P （A 5）=P （A 1）+ P （A 2）51+41+41=54. （2）①记事件A 为“所取2件产品中有1154291034=⨯⨯.②记事件B 为“所取2件产品中至少有1件是一级品”，记事件B 1为“所取2件产品中恰有1件一级品”，事件B 2为“所取的2件产品都是一级品”，由于B 1、B 2不能同时发生，所以B 1、321521584=+=⨯. 1为“所取2件产品都是一级品”，件产品都是三级品”，而事件C 1、，事件C 的概率为事件概率的计算公式P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n )，它实际上是公式P(A+B)=P(A)+P(B)的推广；另外用把某一个事件分解为若干个彼此互斥的事件的方法来解决有关概率问题，是求解概率问题常用的方法.思路2例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B.问：事件A 与B 是否为互斥事件？是否为对立事件？分析：可以根据互斥事件和对立事件的概念来判断.解：由于事件A 与事件B 不可能同时发生，所以事件A 与B 互斥.因为从口袋中一次可K12教育资料（小初高学习）以摸出2只黑球，不符合对立事件所满足的条件，即“事件A 与事件B 是互斥事件，且事件A 与事件B 中必定有一个发生”，所以事件A 与B 不是对立事件.点评：要判断是否是互斥事件或对立事件，必须从互斥事件和对立事件的概念出发，紧扣相应概念的条件，若满足相应条件，就是互斥事件或对立事件，否则就不是.（1）求年降水量在［100,200)（mm ）范围内的概率；（2）求年降水量在［150,300)（mm ）范围内的概率.分析：分别记年降雨量在［100,150)、［150,200)、［200,250)、［250,300)为事件A 、B 、C 、D ，事件A 、B 、C 、D 不可能同时发生，所以，它们是互斥事件，可以运用互斥事件的概率的计算公式计算相应事件的概率.解：（1）因为事件“年降雨量在［100,200)”是互斥事件A 与B 有一个发生的情况，所以事件A 与B 有一个发生的概率为P(A+B)＝P(A)+P(B)＝0.12+0.25=0.37，即年降雨量在［100,200)的概率为0.37.（2）由于事件“年降雨量在［150,300)”是互斥事件B 、C 、D 有一个发生的情形，所以，互斥事件B 、C 、D 有一个发生的概率为P(B+C+D)＝P(B)+P(C)+P(D)＝0.25+0.16+0.14=0.55，因此，年降雨量在［150,300)的概率为0.55.点评：正确判断所要求解的问题的概率类型，选择正确的计算公式，是解概率问题的关键所在.例3 同时抛掷两枚骰子，试求向上一面的点数至少有一个是5点或6点的概率.分析：由于事件“向上一面的点数至少有一个是5点或6点”可以分为“向上一面的点数只有一个是5点而没有6点”“向上一面的点数只有一个是6点而没有5点”“向上一面的点数有一个是5点，一个是6点”“向上一面的点数两个都是5点或都是6点”这四个事件，这四个事件不可能同时发生，因此是彼此互斥事件.解：记事件A 为“向上一面的点数至少有一个是5点或6点”，事件B 为“向上一面的点数只有一个是5点而没有6点”，事件C 为“向上一面的点数只有一个是6点而没有5点”，事件D 为“向上一面的点数有一个是5点，一个是6点”，事件E 为“向上一面的点数两个都是5点或都是6点”，事件A 可以分为四个彼此互斥事件B 、C 、D 、E ，所以事件A 的概率为P(A)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=. 答：所求向上一面的点数至少有一个是5点或6点的概率为95. 点评：在求某一个事件的概率时，可以将该事件分解为若干个彼此互斥事件，再运用彼此互斥事件概率的计算方法来求解.这种方法是求解概率问题常用的方法之一.例4 一个盒子中装有6只灯泡，其中2只是次品，4只是正品，有放回地从中任取两次，每次取一只灯泡，试求下列事件的概率：(1)取到的2只灯泡都是次品；(2)取到的2只灯泡中正品、次品各一只；(3)取到的2只灯泡中至少有一只正品.分析：问题（1）可以用古典概型的概率的求解方法来解；问题（2）、（3）由于满足互斥事件的条件，所以考虑运用互斥事件有一个发生的概率的求解方法来解答.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为91364 .K12教育资料（小初高学习）(2)由于取到的2只灯泡中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；第一次取到次品，第二次取到正品.即两个基本事件，而这两个事件符合互斥事件的条件，因而所求概率为P=9436423624=⨯+⨯. (3)由于“取到的两只灯泡中至少有一只正品”有两种可能即“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品”和“取到的两只灯泡中两只都是正品”，对于事件“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品”的概率由（2）可知为94，又由于“取到的两只灯泡中两只都是正品”的可能有42=16，因此，事件“取到的两只灯泡中两只都是正品”的概率为943616=，由于事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”是互斥事件“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品”和“取到的两只灯泡中两只都是正品”有一个发生的情形，所以，事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”的概率为989494=+. 点评：由于事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而问题（3）还可以运用对立事件概率的求法来解答.因此，所求事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”概率为P=1-9891=.运用对立事件的概率求解是求解概率问题常用的方法.知能训练课本本节练习.解答：1.事件A 与B 互斥不对立；事件A 与C 互斥且对立；事件A 与D 不互斥.［800,1 000)”“年降水量在［1 000,1 200)”“年1 400,1 600］”为事件A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，则事件”为事件A ，那么当A 2、A 3之一发生时，事件A 发B ，根据题意，当A 4、A 5之一发生时，事件B 发生.答：年降水量在［800，1 200）内的概率为0.64；该地区可能发生涝灾的概率为0.24. 点评：互斥事件的正确判断和互斥事件有一个发生的概率的正确计算，是建立在对互斥事件概念的正确及深入理解的基础上的，所以，在解决概率计算的问题时，要紧紧抓住相关概念和公式.课堂小结今天这节课我们主要学习了互斥事件及其发生的概率，学习了互斥事件、对立事件. 不能同时发生的两个事件称为互斥事件.两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.互斥事件概率的加法公式为P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊之处有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发K12教育资料（小初高学习）生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.今天还学习了一种求概率的方法，那就是将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率容易求解时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算.解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足.从集合的角度，借助图形，来看互斥事件、对立事件，有利于接受与理解.作业课本习题3.41～6.设计感想本节课的主要内容是互斥事件及其概率.因此，对以下内容要加以重视：互斥事件定义中事件A与事件B不可能同时发生是指若事件A发生，事件B就不发生或者事件B发生，事件A就不发生.对立事件的定义中的两个事件必有一个发生，它的前提条件是这两个事件为互斥事件.因此，对立事件可以理解为：事件A与B不能同时发生，且事件A与B中“必有一个发生”即指事件A不发生，事件B就一定发生或者事件A发生，事件B就不发生.对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.另外，本节课概率计算的基本方法是将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率易求时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算.解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足.。

小初高学习高中数学第3章概率3.4互斥事件1教案苏教版必修3

3.4 互斥事件 1整体设计教材分析本节的内容主要是互斥事件及其概率，为了能简洁地叙述相关内容，可以通过实例来叙述，如在粉笔盒里装有3支红粉笔，2支绿粉笔，1支黄粉笔，现从中任取1支，记事件A 为取得红粉笔，记事件B为取得绿粉笔，则A与B不能同时发生，即A与B是互斥事件.互斥事件定义中事件A与事件B不可能同时发生是指若事件A发生，事件B就不发生或者事件B发生，事件A就不发生.对立事件的定义中的两个事件必有一个发生，它的前提条件是这两个事件为互斥事件.因此，对立事件可以理解为：事件A与B不能同时发生，且事件A与B中“必有一个发生”即指事件A不发生，事件B就一定发生或者事件A发生，事件B就不发生.如，投掷一枚硬币，事件A为正面向上，事件B为反面向上，则事件A与事件B必有一个发生且只有一个发生.事件A的对立事件通常记作A.如果事件A与B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，此公式可以由特殊情形中的既是互斥事件又是等可能性事件推导得到.一般地，如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1，A2，…，A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.从集合的角度来看，事件A、B互斥，是指事件A所含的结果组成的集合与事件B所含的结果组成的集合的交集为空集，则有P(A+B)=card(A+B)/card(I)=（card(A)+card(B)）/card(I)=card(A)/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B)；事件A与B对立，是指事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即，且A∪B=I.图1 图2公式P(A+A)=P(A)+P(A)=1的常用变形公式为P(A)=1-P(A)或P(A)=1-P(A)，在解题中会经常用到.本节基本方法是将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率易求时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算.解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足.三维目标1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能够运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率，会利用两个对立事件的概率和等于1来简化一些概率的计算.2.通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，进一步理解随机事件概率的意义，从而掌握互斥事件、对立事件与古典概型、几何概型的区别与联系.3.通过对互斥事件的概率的计算，进一步理解随机事件的概率的意义，提高分析问题和解决问题的能力.4.通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，培养学生类比推理、信息迁移能力和转化的数学思想.5.结合互斥事件、对立事件的概念及其概率的计算，培养学生的辩证唯物主义观点和用对立统一规律分析问题的方法.重点难点教学重点：1.理解互斥事件的概率加法公式.2.会运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.教学难点：1.用定义判断较复杂的事件是否互斥.2.会运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（实例导入）在1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，从中任取一个球.请同学们思考下列事件的概率：事件A ：得到红球；事件B ：得到绿球；事件C ：得到红球或者绿球.设计思路二：（情境导入）体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A ，B ，C ，D.问题1：在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？问题2：从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率分别是多少？问题3：如果将“体育成绩及格”记为事件E ，那么E 与D 能否同时发生？它们之间有什么关系？推进新课新知探究对于导入思路一：1.互斥事件的有关概念在1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，从中任取一个球.则事件A“得到红球”的概率为107；事件B“得到绿球”的概率为51；事件C“得到红球或者绿球”的概率为109. 下面来研究以下问题：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？问题（3）中的事件“得到红球或者绿球”与问题（1）（2）中的事件有何联系，它们的概率间的关系如何？如果从盒中摸出1个球是红球，即事件A 发生，那么事件B 就不发生；如果从盒中摸出1个球是绿球，即事件B 发生，那么事件A 就不发生.就是说，事件A 与B 不可能同时发生.这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(exclusive events).一般地，如果事件A 1，A 2，…A n 中的任何两个都是互斥的，那么就说A 1，A 2，…A n 彼此互斥.从集合的角度看，n 个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交.2.互斥事件有一个发生的概率设A 、B 是两个互斥事件，那么A ＋B 表示这样一个事件：在同一试验中，A 与B 中有一个发生就表示它发生.那么事件A ＋B 的概率是多少？在上面的问题中“从盒中摸出1个球，得到红球或绿球”就表示事件A ＋B.由于从盒中摸出1个球有10种等可能的方法，而得到红球或绿球的方法有7＋2种，所以得到红球或绿球的概率 P （A ＋B ）＝1027+，另一方面 P （A ）＝107，P （B ）＝102，由1021071027+=+，我们看到 P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）.这就是说，如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生（即A ，B 中有一个发生）的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和.一般地，如果事件A 1，A 2，…A n 彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A n 发生（即A 1，A 2，…A n 中有一个发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的和，即P （A 1＋A 2＋…＋A n ）＝P （A 1）＋P （A 2）＋…＋P （A n ）.3.对立事件如果事件A 与事件B 是互斥事件，并且事件A 与事件B 中必有一个事件发生，则称事件A 与事件B 为对立事件（complementary events ）.事件A 的对立事件记为A.对立事件与互斥事件的关系对立事件必定是互斥事件，两个互斥事件或对立事件不能同时发生.对立事件有且只有一个发生，而互斥事件可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生.从集合的角度来看，表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集.如图所示：注：椭圆表示全集左图是集合表示的互斥事件之间的关系，右图是集合表示的对立事件之间的关系.由于对立事件A 与A 必定有一个发生，因此A+A 是必然事件，所以P(A)+P(A )=P(A+A )=1，由此，可以有如下的重要公式P(A )=1－P(A).对于导入思路二：对于问题1，在同一次体育考试中，同一人不可能既得优又得良，即事件A 和B 是不可能同时发生的.不能同时发生的两个事件称为互斥事件（exclusive events ）.对于本例中的事件，其中任意两个都是互斥的.一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥.设A ，B 为互斥事件，当事件A ，B 有一个发生，我们把这个事件记作A+B.在上述关于体育考试成绩的问题2中，事件A+B 就表示事件“优”或“良”，那么，事件A+B 发生的概率是多少呢？用古典概型的求概率公式，可以得到事件A 发生的概率P(A)=509，事件B 发生的概率P(B)= 5015.因此有P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件A ，B 为互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B).一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么事件A 1+A 2+…+A n 发生(即A 1，A 2，…，A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).在上述关于体育考试成绩的问题3中，事件E 与D 不可能同时发生，但是必然有一个发生.由分析可知，事件E 与D 是互斥事件，但是比互斥事件的条件要强.如果两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件（complementary events ）.事件A 的对立事件记为A.对立事件与互斥事件有何异同？互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生.所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件.对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A 与B 是对立事件，则A 与B 互斥且A+B 为必然事件，故A+B 发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.从集合的角度来看，事件A 、B 互斥，是指事件A 所含的结果组成的集合与事件B 所含的结果组成的集合的交集为空集，则有P(A+B)=card(A+B)/card(I)=（card(A)+card(B)）/card(I)=card(A)/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B)；事件A 与B 对立，是指事件B 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集，即A∩B= ，且A ∪B=I.图1 图2公式P(A+A )=P(A)+P(A )=1的常用变形公式为P(A)=1-P(A )或P(A )=1-P(A)，在解题中会经常用到.应用示例思路1例1 一个射手进行一次射击，记“命中的环数大于8”为事件A ，“命中的环数大于5”为事件B ,“命中的环数小于4”为事件C ，“命中的环数小于6”为事件D.那么A 、B 、C 、D 中有多少对互斥事件？分析：判断两个事件是否是互斥事件，主要依据是互斥事件的概念即两个事件不能同时发生.解：由于一个射手进行一次射击，“命中的环数大于8”与“命中的环数小于4”不能同时发生，也就是事件A 与事件C 不能同时发生，所以，事件A 与事件C 是互斥事件.同样道理，事件A 与事件D ，事件B 与事件C ，事件B 与事件D 也是互斥事件，因此，事件A 、B 、C 、D 中有四对互斥事件，即A 与C ，A 与D ，B 与C ，B 与D.点评：在判断两个事件是否是互斥事件时，紧紧抓住关键词“两个事件不能同时发生”，如果满足条件就是互斥事件.对于对立事件则首先是互斥事件，还要满足条件“其中一个不发生，则另一个必定发生”.例2 某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：(1)求射击1次，至少命中7环的概率；(2)求射击1次，命中不足7环的概率.分析：若将“射击1次，命中k 环”记为事件A k (k ∈N,且k≤10)，事件A k 两两不可以同时发生，因此，事件A k 两两互斥，考虑用互斥事件有一个发生的概率的计算方法来计算.解：记事件“射击1次，命中k 环”为A k (k ∈N,且k≤10),则事件A k 彼此互斥.（1）记“射击1次，至少命中7环”为事件A ，那么当A 10,A 9,A 8或A 7之一发生时，事件A 发生.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)=P(A 10+A 9+A 8+A 7)=P(A 10)+P(A 9)+P(A 8)+P(A 7)=0.12+0.18+0.28+0.32=0.9.(2)事件“射击1次，命中不足7环”是事件“射击1次，至少命中7环”的对立事件，即A 表示事件“射击1次，命中不足7环”.根据对立事件的概率公式，得P(A )=1－P(A)=1－0.9=0.1.答：此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9；命中不足7环的概率为0.1.点评：在解有关互斥事件的概率问题时，有时为了问题解答的简洁，往往采用间接的解题方法来求解，例如，要求某一个事件A 的概率时，可以先求这一个事件A 的对立事件A 的概率，再通过公式P(A)=1－P(A)来求解.AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？分析：由于每个人的血型是确定的，因此，对于任何一个人所具有的血型对应的事件是互斥的.解：（1）对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′，它们是互斥的.由已知，有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B′+D′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(D B '+')=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.（2）由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A′+C′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.答：任找一个人，其血可以输给小明的概率是0.64，其血不能输给小明的概率是0.36. 点评：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′+D′)=1－P(B′+D′)=1－0.64=0.36.例4 （1）某家庭电话响第一声时被接的概率为101，响第二声时被接的概率为51，响第三声时被接的概率为41，响第四声时被接的概率为41，求电话在响第五声之前被接的概率.（2）有10件产品分为3个等级，其中一级品有4件，二级品3件，三级品3件，从这10件产品中任意取出2件，试求：①所取2件产品中有1件一级品、1件二级品的概率；②所取2件产品中至少有1件是一级品的概率；③所取2件产品是同等级产品的概率.分析：根据题意，事件“所取2件产品中至少有1件是一级品”可以分为事件“所取2件产品中恰有1件一级品”和“所取的2件产品都是一级品”，这两个事件是互斥事件；事件“所取2件产品是同等级产品”可以分为“所取2件产品都是一级品”“所取2件产品都是二级品”“所取2件产品都是三级品”这三个互斥事件，因而可以运用互斥事件有一个发生的概率的计算方法来求解.解：（1）假设“电话在响第n 声被接”为事件Ai （i=1，2，3，4，5），则电话在响第5声之前时被接的概率为P （A 5）=P （A 1）+ P （A 2）+P （A 3）+P （A 4）=101+51+41+41=54. （2）①记事件A 为“所取2件产品中有1件一级品、1件二级品”，则P(A)=154291034=⨯⨯.②记事件B 为“所取2件产品中至少有1件是一级品”，记事件B 1为“所取2件产品中恰有1件一级品”，事件B 2为“所取的2件产品都是一级品”，由于B 1、B 2不能同时发生，所以B 1、B 2是互斥事件，所以P(B)=P(B 1)+P(B 2)=321521582910234291064=+=⨯⨯+⨯⨯. ③记事件C 为“所取2件产品是同等级产品”，事件C 1为“所取2件产品都是一级品”，事件C 2为“所取2件产品都是二级品”，事件C 3为“所取2件产品都是三级品”，而事件C 1、C 2、C 3是彼此互斥事件，因此，事件C 的概率为P(C)=P(C 1)+P(C 2)+P(C 3)=291022329102232910234⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=154. 点评：本题运用n 个彼此互斥事件概率的计算公式P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n )，它实际上是公式P(A+B)=P(A)+P(B)的推广；另外用把某一个事件分解为若干个彼此互斥的事件的方法来解决有关概率问题，是求解概率问题常用的方法.思路2例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B.问：事件A 与B 是否为互斥事件？是否为对立事件？分析：可以根据互斥事件和对立事件的概念来判断.解：由于事件A 与事件B 不可能同时发生，所以事件A 与B 互斥.因为从口袋中一次可以摸出2只黑球，不符合对立事件所满足的条件，即“事件A 与事件B 是互斥事件，且事件A 与事件B 中必定有一个发生”，所以事件A 与B 不是对立事件.点评：要判断是否是互斥事件或对立事件，必须从互斥事件和对立事件的概念出发，紧扣相应概念的条件，若满足相应条件，就是互斥事件或对立事件，否则就不是.（1）求年降水量在［100,200)（mm ）范围内的概率；（2）求年降水量在［150,300)（mm ）范围内的概率.分析：分别记年降雨量在［100,150)、［150,200)、［200,250)、［250,300)为事件A 、B 、C 、D ，事件A 、B 、C 、D 不可能同时发生，所以，它们是互斥事件，可以运用互斥事件的概率的计算公式计算相应事件的概率.解：（1）因为事件“年降雨量在［100,200)”是互斥事件A 与B 有一个发生的情况，所以事件A 与B 有一个发生的概率为P(A+B)＝P(A)+P(B)＝0.12+0.25=0.37，即年降雨量在［100,200)的概率为0.37.（2）由于事件“年降雨量在［150,300)”是互斥事件B 、C 、D 有一个发生的情形，所以，互斥事件B 、C 、D 有一个发生的概率为P(B+C+D)＝P(B)+P(C)+P(D)＝0.25+0.16+0.14=0.55，因此，年降雨量在［150,300)的概率为0.55.点评：正确判断所要求解的问题的概率类型，选择正确的计算公式，是解概率问题的关键所在.例3 同时抛掷两枚骰子，试求向上一面的点数至少有一个是5点或6点的概率.分析：由于事件“向上一面的点数至少有一个是5点或6点”可以分为“向上一面的点数只有一个是5点而没有6点”“向上一面的点数只有一个是6点而没有5点”“向上一面的点数有一个是5点，一个是6点”“向上一面的点数两个都是5点或都是6点”这四个事件，这四个事件不可能同时发生，因此是彼此互斥事件.解：记事件A 为“向上一面的点数至少有一个是5点或6点”，事件B 为“向上一面的点数只有一个是5点而没有6点”，事件C 为“向上一面的点数只有一个是6点而没有5点”，事件D 为“向上一面的点数有一个是5点，一个是6点”，事件E 为“向上一面的点数两个都是5点或都是6点”，事件A 可以分为四个彼此互斥事件B 、C 、D 、E ，所以事件A 的概率为P(A)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=. 答：所求向上一面的点数至少有一个是5点或6点的概率为95. 点评：在求某一个事件的概率时，可以将该事件分解为若干个彼此互斥事件，再运用彼此互斥事件概率的计算方法来求解.这种方法是求解概率问题常用的方法之一.例4 一个盒子中装有6只灯泡，其中2只是次品，4只是正品，有放回地从中任取两次，每次取一只灯泡，试求下列事件的概率：(1)取到的2只灯泡都是次品；(2)取到的2只灯泡中正品、次品各一只；(3)取到的2只灯泡中至少有一只正品.分析：问题（1）可以用古典概型的概率的求解方法来解；问题（2）、（3）由于满足互斥事件的条件，所以考虑运用互斥事件有一个发生的概率的求解方法来解答.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为91364 .(2)由于取到的2只灯泡中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；第一次取到次品，第二次取到正品.即两个基本事件，而这两个事件符合互斥事件的条件，因而所求概率为P=9436423624=⨯+⨯. (3)由于“取到的两只灯泡中至少有一只正品”有两种可能即“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品”和“取到的两只灯泡中两只都是正品”，对于事件“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品”的概率由（2）可知为94，又由于“取到的两只灯泡中两只都是正品”的可能有42=16，因此，事件“取到的两只灯泡中两只都是正品”的概率为943616=，由于事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”是互斥事件“取到的两只灯泡中恰好有一只正品和一只次品”和“取到的两只灯泡中两只都是正品”有一个发生的情形，所以，事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”的概率为989494=+. 点评：由于事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而问题（3）还可以运用对立事件概率的求法来解答.因此，所求事件“取到的两只灯泡中至少有一只正品”概率为P=1-9891=.运用对立事件的概率求解是求解概率问题常用的方法.知能训练课本本节练习.解答：1.事件A 与B 互斥不对立；事件A 与C 互斥且对立；事件A 与D 不互斥.2.D3.21,87,83. 4.分别记“年降水量在［600,800)”“年降水量在［800,1 000)”“年降水量在［1 000,1 200)”“年降水量在［1 200,1 400)”“年降水量在［1 400,1 600］”为事件A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，则事件A 1、A 2、A 3、A 4、A 5彼此互斥.（1）记“年降水量在［800,1 200）”为事件A ，那么当A 2、A 3之一发生时，事件A 发生.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)=P(A 2+A 3)=P(A 2)+P(A 3)=0.26+0.38=0.64.（2）记“该地区发生涝灾”为事件B ，根据题意，当A 4、A 5之一发生时，事件B 发生.由互斥事件的概率加法公式，得P(B)=P(A 4+A 5)=P(A 4)+P(A 5)=0.16+0.08=0.24.答：年降水量在［800，1 200）内的概率为0.64；该地区可能发生涝灾的概率为0.24. 点评：互斥事件的正确判断和互斥事件有一个发生的概率的正确计算，是建立在对互斥事件概念的正确及深入理解的基础上的，所以，在解决概率计算的问题时，要紧紧抓住相关概念和公式.课堂小结今天这节课我们主要学习了互斥事件及其发生的概率，学习了互斥事件、对立事件. 不能同时发生的两个事件称为互斥事件.两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.互斥事件概率的加法公式为P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊之处有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.今天还学习了一种求概率的方法，那就是将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率容易求解时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算.解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足.从集合的角度，借助图形，来看互斥事件、对立事件，有利于接受与理解.作业课本习题3.41～6.设计感想本节课的主要内容是互斥事件及其概率.因此，对以下内容要加以重视：互斥事件定义中事件A与事件B不可能同时发生是指若事件A发生，事件B就不发生或者事件B发生，事件A就不发生.对立事件的定义中的两个事件必有一个发生，它的前提条件是这两个事件为互斥事件.因此，对立事件可以理解为：事件A与B不能同时发生，且事件A与B中“必有一个发生”即指事件A不发生，事件B就一定发生或者事件A发生，事件B就不发生.对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.另外，本节课概率计算的基本方法是将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率易求时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算.解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 3.4.1 互斥事件》1

《互斥事件》教学设计江阴市祝塘中学潘华东我有幸参加了江阴市举办的三力课堂教学大比武，课题是《互斥事件》的第一课时。

刚拿到课题感觉这节课内容简单，要把课上得精彩感觉挺难的。

我拿到课题之后首先进行一个整体的构思，一堂好的课一定要有要自己的思想，要巧妙的把自己的想法融入到课堂中去。

所谓“三力”课堂，是指“学习有动力、课堂有活力、师生长能力”的课堂样态。

我的教学设计要尽量按三力课堂的要求进行，更要符合学生的需求。

一、学情分析授课对象的学生来自江阴市第一中学，学生的学习能力较强。

面对这样的学生，我的课堂除了清晰的讲述之外，应该在问题的设置上多花一点功夫。

设置的问题要有新意，又要有一定的思维含量。

尽量多一些学生探究活动，让学生有更多的展示机会，让课堂充满活力。

二、教材分析本节课来自苏教版必修3第三章第四节《互斥事件》，在之前学生已经学习了随机事件、古典概型、几何概型等内容。

统计与概率这一块内容，从小学到初中学生一直在学习，同学已经具备了一定的概率研究的方法。

本节课的教学目标：1、使学生了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否为互斥事件，进而判断它们是否为对立事件；2、使学生正确理解两个互斥事件的概率加法公式，会用相关公式进行简单概率计算。

教学重点：互斥事件的概念及概率加法公式。

本节课的教学紧紧围绕教学重、难点展开，使学生学习有动力，让课堂有活力，使学生数学学习能力有一定的提高。

三、教学过程本堂课的重、难点是互斥事件的概念及概率加法公式。

我在本堂课的教学上，更注重新知的形成。

本节课开始就抛出问题情境：掷一枚质地均匀的骰子,观察向上的点数：（1）写出所有的等可能的基本事件；（2）记事件A=“点数大于3” B=“点数小于3” C=“点数等于3”D=“点数为奇数” E=“点数为偶数”问：事件A与事件B能否同时发生？事件D与事件E呢？事件A与事件D呢？本节课的前半段都始终围绕着这个问题情境展开，由于学生的有效配合，使得本堂课的前半段精彩纷呈，收到了很好的的教学效果。

高中数学：互斥事件及其发生的概率教案苏教版必修3 教案

课题： 3．4 互斥事件教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A+B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A+B为必然事件，所以P(A+B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。

3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。

教学重点：概率的加法公式及其应用教学难点：事件的关系与运算教学过程：一、问题情境体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班５０名学生参加了体育考试，结果如下：（１）在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？（２）从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？二、建构数学1．即事件Ａ与Ｂ是不可能同时发生的．不能同时发生的两个事件称为互斥事件。

高中数学 3_4 互斥事件学案苏教版必修31

3.4 互斥事件系并能正确区分、判断.1．互斥事件在一次试验中，不能同时发生的两个事件称为互斥事件．一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥．设A ，B 为互斥事件，若事件A ，B 至少有1个发生，那么我们把这个事件记作A ＋B .预习交流1如何从集合的角度理解互斥事件？提示：对互斥事件的理解，也可以从集合的角度去加以认识，如果A ，B 是两个互斥事件，反映在集合上是表示A ，B 这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交，即如果事件A 与B 是互斥事件，那么A 与B 两事件同时发生的概率为0.2．互斥事件的概率计算如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．预习交流2某人射击一次，击中环数大于7的概率为0.6，击中环数是6或7或8的概率为0.3，则该人击中环数大于5的概率是0.6＋0.3＝0.9对吗？为什么？提示：不对．该人“击中环数大于7”与“击中环数是6或7或8”不是互斥事件，不能用互斥事件的概率加法公式求解．3．对立事件两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A .对立事件A 与A 必有1个发生，故A ＋A 是必然事件，从而P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1，故有P (A )＝1－P (A )．预习交流3对立事件一定是互斥事件吗？反之是否成立？提示：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．预习交流4(1)袋中装有除颜色外其他均相同的红球和黄球各3个，从中任取2个球，在下列事件中是对立事件的是__________．①恰有1个红球和恰有2个黄球②至少有1个红球和全是红球③至少有1个红球和至少有1个黄球④至少有1个红球和全是黄球(2)小明、小欣两人下棋，两人下成和棋的概率是0.2，小欣获胜的概率是0.5，则小欣不输的概率是__________．提示：(1)④(2)0.7一、互斥事件与对立事件的判断判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．思路分析：解答本题可先看每组中两个事件是否能同时发生，若能，则不是互斥事件，更不是对立事件；若不能同时发生，则为互斥事件，再进一步判断二者是否必有一个发生，若是，则为对立事件；若不是，则只是互斥事件，而不是对立事件．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是__________．(填序号)①至少有1个黑球与都是黑球②至少有1个黑球与至少有1个红球③恰有1个黑球与恰有2个黑球④至少有1个黑球与都是红球答案：③解析：设A＝“恰有1个黑球”，B＝“恰有2个黑球”．事件A与B不可能同时发生，因此事件A与B互斥．但是A与B也有可能都不发生，因此A与B不对立；“至少有1个黑球”与“都是黑球”既不互斥也不对立；“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”既不互斥也不对立；“至少有1个黑球”与“都是红球”对立也互斥．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若不同时发生，则这两个事件是互斥事件；若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．如果这两个条件同时成立，那么这两个事件就是对立事件．只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．二、互斥事件的概率加法公式的应用冰箱里有5袋牛奶，其中有两袋已经过期，小明随机取出两袋，求：(1)恰好两袋都已过期的概率；(2)取到过期牛奶的概率．思路分析：弄清各个事件之间的关系是解答本题的关键，本题可利用互斥事件的概率加法公式求解．解：给每袋牛奶编号：没过期的牛奶分别记作：1,2,3号，过期的两袋牛奶分别记作：4,5号．取两袋牛奶的所有基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，每种基本事件发生的可能性相同．(1)设“恰好两袋都已过期”为事件A，则P(A)＝0.1；(2)设“恰有一袋牛奶过期”为事件B，则事件B包含：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)共6种基本事件，所以P(B)＝0.6.“取到过期牛奶”＝A＋B，又因为A，B互斥，所以取到过期牛奶的概率为0.7.1．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色区域的概率为__________．答案：713解析：记事件“转盘指针分别停在红、黄、蓝、黑区域”分别为A，B，C，D，则它们两两互斥．∵P(A)＝66＋2＋1＋4＝613，P(C)＝16＋2＋1＋4＝113，∴P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )＝613＋113＝713.2．从一副去掉大小王混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ＋B )＝__________.答案：726解析：52张扑克牌中红桃K 只有1张，黑桃有13张， ∴P (A )＝152，P (B )＝1352＝14.又∵A ，B 为互斥事件，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝726.(1)利用互斥事件的概率计算公式求概率的一般步骤是：①要确定这些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和．(2)概率的加法公式是解决两个或几个互斥事件至少有一个发生的事件的概率问题．该公式必须在各个事件彼此互斥的前提下使用．如果事件A ，B 不互斥，就不能应用公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )来求概率．三、对立事件的概率甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，求：(1)甲胜的概率； (2)甲不输的概率．思路分析：由题目可知甲、乙两人下棋的结果共有三种：和棋、甲胜、乙胜．三个事件彼此互斥．解答本题时可考虑将事件分解成几个互斥事件的和事件或对立事件．解：(1)“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－12－13＝16.(2)设“甲不输”为事件A ，可看作是“乙胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23，即“甲不输”的概率是23.1．(1)小芳参加考试，她考试及格的概率是0.85，则她考试不及格的概率是__________． (2)某射手在一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.28,0.19，则该射手在一次射击中击中不足9环的概率是__________．答案：(1)0.15 (2)0.48解析：(1)小芳考试及格与否是对立事件，考试及格的概率为0.85，所以她考试不及格的概率为1－0.85＝0.15.(2)记该射手击中10环、9环的事件分别为A ，B .则该射手在一次射击中击中不足9环的概率P＝1－P(A)－P(B)＝0.48.2．从一篮鸡蛋中取1个，如果其质量小于30克的概率为0.1，质量在30～40克的概率为0.6，则质量大于40克的概率是__________．答案：0.3解析：记“质量小于30克”的概率为P(A)，“质量在30～40克”的概率为P(B)，“质量大于40克”的概率为P(C)，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，∴P(C)＝1－0.1－0.6＝0.3.3．2012年5月1日某购物中心举行“庆五·一回报顾客”的超低价购物有礼活动，某求：(2)至少30人排队的概率．解：(1)记“没有人排队”为事件A，“20人排队”为事件B，“30人排队”为事件C，A，B，C三个事件彼此互斥，所以至多30人排队的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少30人排队”为事件D，结合(1)，因为事件D与事件A＋B是对立事件，所以至少30人排队的概率为P(D)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.1－0.16＝0.74.(1)利用对立事件求概率的方法：首先确定对立事件，求出对立事件的概率，再利用公式P(A)＝1－P(A)通过求事件A 的概率P(A)来求P(A)．(2)利用对立事件求概率时应注意的问题：①当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率；②在计算事件的概率时，有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件的概率比较复杂，而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法．1．一箱机器零件中有合格品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件合格品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是合格品．四组中是互斥事件的组数是__________．答案：2解析：①互斥；②不互斥；③不互斥；④互斥且对立．所以①④互斥．2．把红、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是__________事件．答案：互斥但不对立解析：只有一张红牌，甲、乙不能同时分得，∴两事件互斥．但有可能甲、乙都没分得红牌，而丙、丁中一人分得，∴两事件不对立．3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球、黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是__________．答案：0.3解析：事件“摸出黑球”的对立事件为：“从中摸出1个球是红球”或“从中摸出1个球是白球”，根据对立事件的公式，摸出黑球的概率为：1－0.42－0.28＝0.3.4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是__________．答案：910解析：由题意可知从5个球中任取3个球的所有情况有10种，所取的3个球全是红球的情况有1种，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－110＝910.(2)[8,12)(m)；(3)[14,18)(m)．解：记此河流某处的年最高水位在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)(m)分别为事件A ，B ，C ，D ，E .则事件A ，B ，C ，D ，E 两两互斥，由互斥事件的概率公式可得：(1)P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82. (2)P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.10＋0.28＝0.38. (3)P (D ＋E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.08＝0.24.所以年最高水位在[10,16)，[8,12)，[14,18)(m)的概率分别为0.82,0.38,0.24.。

高中数学第3章概率3.4互斥事件共同成长学案苏教版必修3201710314136

3.4 互斥事件
共同成长
见仁见智
关于互斥事件和等可能事件，几个同学各自发表了自己的看法.
甲：互斥事件是指不能同时发生的2个或多个事件.
乙：在一次试验中，由于某种对称条件，使得若干个随机事件发生的可能性相同，这些事件称为等可能事件，在数量上可为2个或多个.
丙：互斥事件在实际生活中大量存在，如在十字路中“向左拐”与“向右拐”是互斥事件，“去学校”与“不去学校”也是互斥事件.由于在十字路中“向左拐”与“向右拐”可能性相等，它也是等可能事件，因此有些互斥事件也是等可能事件.
丁：互斥事件和等可能事件是意义不同的两个概念.
你对互斥事件和等可能事件的看法如何呢？
合作共赢
请你和你的同学先阅读下列资料，然后再按下述的提示探究、讨论下列问题.
一次梅某和赌友掷骰子，各押赌注32个金币.双方约定，如果梅某先掷出三次6点或赌友先掷出三次4点，就算赢了对方.赌博进行了一段时间，梅某已经两次掷出了6点，赌友已经一次掷出了4点.这时梅某接到通知，要他马上陪国王接见外宾，赌博只好中断了.
（1）如果再掷一次骰子，赌友掷得了一个4点.请问两个人应该怎样分这64个金币？
（2）如果赌博就此中断了，请问两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢？
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主备张庆亮审核
学习目标：
1．了解互斥事件、对立事件的概念，
2．能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；
3．了解两个互斥事件概率的加法公式．
学习过程：
一、课前准备
体育考试的成绩分为4个等级;优、良、中、不及格．某班50名学生参加了体育考试，结果如下：
优85分以上9人
良75～8415人
中60～7421人
不及格60分以下5人
问题1：在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？
问题2：从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的测试成绩为“优”的概率，为“良”的概率，为“优良”（优或良）的概率分别是多少？
二、建构数学
1．互斥事件：
2对立事件：
3．对立事件与互斥事件有何异同
4．若事件A，B至少有一个发生，我们把这个事件记作
5．A＋A是一个必然事件，它的概率等于1．又由于A与A互斥，我们得到
6．如果事件A，B是互斥事件，那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和．即
7．一般地，如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n 发生（即A1，A2，…，A n中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即
四、数学运用
1．例题
例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中任意摸出2只球．记摸出2只白球的事件为A，摸出1只白球和1只黑球的事件为B．问：事件A与事件B是否为互斥事件？是否为对立事件？
例2某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：
（1）求射击1次，至少命中7环的概率；
（2）求射击一次，命中不足7环的概率．
2．练习．
（1）作业：课后练习1、2．
（2）对飞机连续射击两次．每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中}，B ＝{每次都没击中}，C＝{恰有一次击中}，D＝{至少有一次击中}，其中彼此互斥的事件是_____________________________ ；互为对立事件的是________________．
3．某射手在一次训练射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0．21，0．23，0．25，0．28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环、或7环的概率；（2）不够7环的概率．
五．要点归纳与方法小结。