多变量函数的极值与凸优化汇编
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y不变化
∂ z df ( x , y ) = = f y ( x, y ) ∂y dy x不变化
∂[ f x ] df x ( x, y ) ∂[ f x ] df y ( x, y ) = = f xx ( x, y ), = = f yy ( x, y ) ∂y dx dy y不变化 x不变化 ∂x ∂[ f y ] df y ( x, y ) ∂[ f x ] = df x ( x, y ) = f xy ( x, y ) ≡ = = f yx ( x, y ) ∂y ∂x dx dy y不变化 dy dx x不变化
注意微分与导数的联系与区别
© 2004 Ming-Heng/ITQuant
Slide 5
11.2 两个变量函数的极值
全微分 – 考虑到各个变量的影响
dz = df ( x, y ) = f x ( x, y )dx + f y ( x, y )dy
一阶条件
1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 2 3 0 1 3 2
相对极值检验 • 函数f(x)在x0处的一阶微分为 df(x0)=0且
– A：二阶微分数值 df`(x0) < 0 相对极大值 – B：二阶微分数值 d (2) f (x0) > 0 相对极小值
示例 – y = g(x) = x3 - 3x2 + 2 dg(x) = (3x2 - 6x)dx d(2)g(x) = (6x – 6)dx 判别条件 • 一阶微分 – 必要条件 df(x0) = 0 • 二阶微分 – 充分条件
dx ≠ 0
）
二阶微分与导数
d 2 z = d [dz ] = d [ f (1) ( x )dx ]dx = d [ f (1) ( x )][ dx ]2 = f ( 2 ) ( x )dx 2
n 阶微分与导数
d ( n ) z = d [d ( n-1) z ] = d [ f ( n-1) ( x )] = f ( n ) ( x )dx n = f ( n ) ( x )[dx ]n
fxy(x, y)= fxy(x, y)条件 - 偏导数是连续的 示例 z = f(x, y ) = x^3 + 5 x y – y^2
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二阶全微分
2
一阶全微分 二阶全微分
∂[dz ] ∂[dz ] d z ≡ d [dz ] = dx + dy ∂x ∂y ∂ ∂ = [ f x ( x, y )dx + f y ( x, y )dy ]dx + [ f x ( x, y )dx + f y ( x, y )dy ]dy ∂x ∂y = [ f xx ( x, y )dx + f yx ( x, y )dy ]dx + [ f xy ( x, y )dx + f yy ( x, y )dy ]dy = f xx ( x, y )dx 2 + f yx ( x, y )dydx + f xy ( x, y )dxdy + f yy ( x, y )dydy = f xx ( x, y )dx 2 + f yx ( x, y )dydx + f xy ( x, y )dxdy + f yy ( x, y )dydy = f xx ( x, y )dx 2 + 2 f yx ( x, y )dydx + f yy ( x, y )dy 2
第11章 多变量函数的极值
• 极值与优化 • 内容 • 导数与微分 • 二元函数的极值微分条件 • 二次型问题 • 二元函数的极值微分条件 • 实际经济问题
© 2004 Ming-Heng/ITQuant Slide 1
问题引入/背景
单变量单目标 z = f(x), x belongs to Subset of the Real Domain Seek for some of x’s such that z* = minimize{ f(x) | x Sub[R} } 多变量单目标 z = f(x), x belongs to Subset of the Real Domain Seek for some of x’s such that z* = minimize{ f(x) | x Sub[R} }
dz = df ( x, y ) = 0 ∂z ∂z = =0 ⇔ ∂x ∂x ⇔ f x ( x, y ) = f y ( x, y ) = 0
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Slide 6
二阶偏导数
二阶偏导数
∂ z df ( x , y ) = ∂x dx
= f x ( x, y ),
Slide 2
11.1最优化条件的微分形式
极值的导数检验 微分与导数 • 几何 • 代数
dz = f ′( x )dx if dx ≠ 0, dz = f ′( x )dx = 0 ⇔ f ′( x ) ≡ 0
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Slide 3
11.1 二阶微分检验
d(2) f (x0) < 0 极大值 d(2) f (x0) > 0 极小值 d(2) f (x0) = 0 不确定（需再判定）
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高阶微分与导数
一阶微分与导数
dz = f ′( x ) dz = f ′( x )dx ⇔ dx
（
示例 z = f(x, y ) = x^3 + 5 x y – y^2 ::? d(1)z = ? d(2)z = ?
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二阶微分条件
充分条件 - 函数z = f(x,y)有极值的充分条件：
at
at来自百度文库
多变量多目标 Z = F(X), X belong to Subset of the Real Domain Seek for some of X’s such that Z* = minimize{ F(X) | X at Sub[R]}
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∂ z df ( x , y ) = = f y ( x, y ) ∂y dy x不变化
∂[ f x ] df x ( x, y ) ∂[ f x ] df y ( x, y ) = = f xx ( x, y ), = = f yy ( x, y ) ∂y dx dy y不变化 x不变化 ∂x ∂[ f y ] df y ( x, y ) ∂[ f x ] = df x ( x, y ) = f xy ( x, y ) ≡ = = f yx ( x, y ) ∂y ∂x dx dy y不变化 dy dx x不变化
注意微分与导数的联系与区别
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11.2 两个变量函数的极值
全微分 – 考虑到各个变量的影响
dz = df ( x, y ) = f x ( x, y )dx + f y ( x, y )dy
一阶条件
1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 2 3 0 1 3 2
相对极值检验 • 函数f(x)在x0处的一阶微分为 df(x0)=0且
– A：二阶微分数值 df`(x0) < 0 相对极大值 – B：二阶微分数值 d (2) f (x0) > 0 相对极小值
示例 – y = g(x) = x3 - 3x2 + 2 dg(x) = (3x2 - 6x)dx d(2)g(x) = (6x – 6)dx 判别条件 • 一阶微分 – 必要条件 df(x0) = 0 • 二阶微分 – 充分条件
dx ≠ 0
）
二阶微分与导数
d 2 z = d [dz ] = d [ f (1) ( x )dx ]dx = d [ f (1) ( x )][ dx ]2 = f ( 2 ) ( x )dx 2
n 阶微分与导数
d ( n ) z = d [d ( n-1) z ] = d [ f ( n-1) ( x )] = f ( n ) ( x )dx n = f ( n ) ( x )[dx ]n
fxy(x, y)= fxy(x, y)条件 - 偏导数是连续的 示例 z = f(x, y ) = x^3 + 5 x y – y^2
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二阶全微分
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一阶全微分 二阶全微分
∂[dz ] ∂[dz ] d z ≡ d [dz ] = dx + dy ∂x ∂y ∂ ∂ = [ f x ( x, y )dx + f y ( x, y )dy ]dx + [ f x ( x, y )dx + f y ( x, y )dy ]dy ∂x ∂y = [ f xx ( x, y )dx + f yx ( x, y )dy ]dx + [ f xy ( x, y )dx + f yy ( x, y )dy ]dy = f xx ( x, y )dx 2 + f yx ( x, y )dydx + f xy ( x, y )dxdy + f yy ( x, y )dydy = f xx ( x, y )dx 2 + f yx ( x, y )dydx + f xy ( x, y )dxdy + f yy ( x, y )dydy = f xx ( x, y )dx 2 + 2 f yx ( x, y )dydx + f yy ( x, y )dy 2
第11章 多变量函数的极值
• 极值与优化 • 内容 • 导数与微分 • 二元函数的极值微分条件 • 二次型问题 • 二元函数的极值微分条件 • 实际经济问题
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问题引入/背景
单变量单目标 z = f(x), x belongs to Subset of the Real Domain Seek for some of x’s such that z* = minimize{ f(x) | x Sub[R} } 多变量单目标 z = f(x), x belongs to Subset of the Real Domain Seek for some of x’s such that z* = minimize{ f(x) | x Sub[R} }
dz = df ( x, y ) = 0 ∂z ∂z = =0 ⇔ ∂x ∂x ⇔ f x ( x, y ) = f y ( x, y ) = 0
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二阶偏导数
二阶偏导数
∂ z df ( x , y ) = ∂x dx
= f x ( x, y ),
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11.1最优化条件的微分形式
极值的导数检验 微分与导数 • 几何 • 代数
dz = f ′( x )dx if dx ≠ 0, dz = f ′( x )dx = 0 ⇔ f ′( x ) ≡ 0
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Slide 3
11.1 二阶微分检验
d(2) f (x0) < 0 极大值 d(2) f (x0) > 0 极小值 d(2) f (x0) = 0 不确定（需再判定）
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高阶微分与导数
一阶微分与导数
dz = f ′( x ) dz = f ′( x )dx ⇔ dx
（
示例 z = f(x, y ) = x^3 + 5 x y – y^2 ::? d(1)z = ? d(2)z = ?
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二阶微分条件
充分条件 - 函数z = f(x,y)有极值的充分条件：
at
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多变量多目标 Z = F(X), X belong to Subset of the Real Domain Seek for some of X’s such that Z* = minimize{ F(X) | X at Sub[R]}
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