椭圆经典练习题两套

椭圆练习题1

A 组 基础过关

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )．

A.12

B.22

C. 2

D.32

解析 由题意得2a ＝22b ⇒a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2⇒b ＝c ⇒a ＝2c ⇒e ＝2

2. 答案 B

2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 2

36＝1 解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1

3×2a ，∴c ＝3， ∴b 2

＝a 2

－c 2

＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 2

72＝1.

答案 A

3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A.32B.34 C.22 D.23

解析 先将x 2

＋4y 2

＝1化为标准方程x 21＋y 214

＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝3

2.

离心率e ＝c a ＝3

2. 答案 A

4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2

＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.263

解析 由题意知，点P 即为圆x 2

＋y 2

＝3与椭圆x 24＋y 2

＝1在第一象限的交点，解

方程组⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得点P 的横坐标为26

3.

答案 D

5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3

2，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )． A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1C.x 236＋y 29＝1 D.x 29＋y 2

36＝1 解析 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，

∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，∴a ＝6， ∵椭圆的离心率为32.∴a 2－b 2a ＝3

2， ∴36－b 26＝32.解得b 2＝9，

∴椭圆G 的方程为：x 236＋y 2

9＝1. 答案 C

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．若椭圆x 225＋y 2

16＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．

解析 由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－6＝4. 答案 4

7．(2011·皖南八校联考)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________． 解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2， 设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，

∴离心率e ＝2c 2a ＝3

3. 答案 3

3

8．(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛

⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的

切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

解析 由题可设斜率存在的切线的方程为y －1

2＝k (x －1)(k 为切线的斜率)， 即2k x －2y －2k ＋1＝0， 由|－2k ＋1|4k 2＋4

＝1，解得k ＝－

34， 所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0， 求得切点A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

35，45，

易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，

令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5， 故得所求椭圆方程为x 25＋y 2

4＝1. 答案 x 25＋y 2

4＝1 三、解答题(共23分)

9．(11分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2.

试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积． 解 (1)∵P 点在椭圆上，∴9a 2＋16

b 2＝1.①

又PF 1⊥PF 2，∴43＋c ·4

3－c ＝－1，得：c 2＝25，②

又a 2＝b 2＋c 2，③

由①②③得a 2＝45，b 2＝20.

椭圆方程为x 245＋y 2

20＝1.

(2)S △PF 1F 2＝1

2|F 1F 2|×4＝5×4＝20.

10．(12分)(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4

5|PD |.

(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4

5的直线被C 所截线段的长度．

解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧

x P

＝x ，y P ＝5

4

y ，

∵P 在圆上，∴x 2

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2

＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4

5(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4

5(x －3)代入C 的方程，得 x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝

3－412，x 2＝3＋41

2

. ∴线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2

＋(y 1－y 2)2

＝

⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝ 4125×41＝415.

B 级提高题

一、选择题(每小题5分，共10分)