常见的数学思想方法

常见的数学思想方法

：分类与整合

解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一方法，统一的

式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区

域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问

题后，还必须把它们总合在一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体，这就是分类与

整合的思想。有分有合，先分后合，不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程，也是

这种思想方法的本质属性。

高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要

求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与

最后如何整合。特别注意引起分类的原因，我们必须相当熟悉，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等，有些运算法则和公式是分类给出的，例如等比数

列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况，对数函数的单调性就分为a>1，0

高考对分类与整合的思想的考查往往集中在含有参数的解析式，包括函数问题，数列

问题和解析几何问题等。此外，排列组合的问题，概率统计的问题也考查分类与整合的思想。随着新课程高考在全国的实施，在新增内容中考查分类与整合的思想，窃以为，是今

后几年高考命题的重点之一。

：函数与方程

著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数

来思考”。一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函

数思想，才能主动地去思考一些问题。

函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函

数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来

考虑问题，研究问题和解决问题。

所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方

程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算

问题的基本思想，是运算能力的基础。

函数和方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的，它们之间

既有区别又有联系。函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想

综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。

高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查

函数与方程的思想的基本运用，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，

从思想方法与相关能力的关系角度进行综合考查。

在解题时，要学会思考这些问题：1是不是需要把字母看作变量?2是不是需要把代数

式看作函数?如果是函数它具有哪些性质?3是不是需要构造一个函数把表面上不是函数的

问题化归为函数问题?4能否把一个等式转化为一个方程?对这个方程的根有什么要求?……

：特殊与一般

由特殊到一般，由一般到特殊，是人们认识世界的基本方法之一。数学研究也不例外，由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与

一般的思想。

我们对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，证明后，又使用它们来解决相关的数学问题。在数学中经常使用的归纳法，演绎法就是特殊与

一般的思想的集中体现。分析历年的高考试题，考查特殊与一般的思想的题比比皆是，有

的考查利用一般归纳法进行猜想，有的通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点，确定

特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题等。随着新教材的全面推广，高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般的思想必然成为今

后命题改革的方向。

：有限与无限

有限与无限并不是一新东西，虽然我们开始学习的数学都是有限的教学，但其中也包

含有无限的成分，只不过没有进行深入的研究。在学习有关数及其运算的过程中，对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是有限个数的运算，但实际上各数集内元素的个

数都是无限的。在解析几何中，还学习过抛物线的渐近线，已经开始有极限的思想体现在

其中。数列的极限和函数的极限集中体现了有限与无限的思想。使用极限的思想解决数学

问题，比较明显的是立体几何中求球的体积和表面积，采用无限分割的方法来解决，实际

上是先进行有限次分割，然后再求和求极限，这是典型的有限与无限的思想的应用。

函数是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用。导数是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决函数的增减、极大、极小、最大、最小等实际问题，是研究客观事物变化率和最优化问题的有力工具。

高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步并且往往是在考查其他数学思想和方法

的过程中同时考查有限与无限思想。例如，在使用由特殊到一般的归纳思维时，含有有限

与无限的思想;在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的

思想，等等。随着对新增内容的考查的逐步深入，必将加强对有限与无限的思想的考查，

设计出突出体现出有限与无限的思想的新颖试题。

：或然与必然

随机现象有两个最基本的特征，一是结果的随机性，即重复同样的试验，所得到的结

果并不相同，以至于在试验之前不能预料试验的结果;二是频率的稳定性，即在大量重复

试验中，每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。了解一个随机现象就要知道

这个随机现象中所有可能出现的结果，知道每个结果出现的概率，知道这两点就说对这个

随机现象研究清楚了。概率研究的是随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必

然的思想。

随着新教材的推广，高考中对概率内容的考查已放在了重要的位置。通过对等可能性

事件的概率，互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复

试验恰相好有k次发生的概率、随机事件的分布列与数学期望等重点内容的考查，考查基

本概念和基本方法，考查在解决实际应用问题中或然与必然的辩证关系。

概率问题，无论属于哪一种类型，所研究的都是随机事件中“或然”与“必然”的辩

证关系，在“或然”中寻找“必然”的规律。

：化归与转化

将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用

恰当的数学方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫

做化归与转化的思想。化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。

除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从

这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数

学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，

如未知向已知转达化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，函数与方程

的转化等，都是转化思想的体现。转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法。数

学中的一切问题的解决都离不开转化与化归,数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数

与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的

相互转化,以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、

反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说,转化与化归是数学思想方法的

灵魂。

转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等

价性;在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得

结论进行必要的验证。

熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是骒转化的基础;丰富的联想、机

敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要

对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识