偏微分方程数值解法(抛物型方程差分法)2概要

简单显式差分格式矩阵形式
u
k 1
[(1 2ra )I ra C ]u f
2 2 k
k
过渡矩阵 H [(1 2ra 2 ) I ra 2C ]
1 2ra 2 ra 2 2 2 ra 1 2 ra
2
ra 2 ra 2
j 特征值 j (1 2ra ) 2ra cos( ) n1 j
( H ) max | j ( H ) |
1 max| | 2 1 j n 1 4ra sin ( j / 2( n 1)) 1 1 2 1 4ra sin ( / 2( n 1))
隐式差分格式无条件稳定.
1 j N 1
12/17
C-N 格式矩阵形式 2 ra 2 [(1 ra ) I C ]u k 1 2 ra 2
《偏微分方程数值解法》 7
——抛物型方程差分法2
差分格式稳定性概念 显、隐格式稳定性分析 稳定性分析的矩阵方法
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抛物型方程
u 2 u a f ( x, t ) 2 t x
2
t
简单显式差分格式 1 k 2 uk u a j j 2 k 2 x u j f jk h
1 j n
| (ra ) |
2
( ra 2 ) | n |
2 2
| 1 |
ra 2
2
极值点满足
1 ra 2
2
n 1 4ra sin 4ra sin 1 2( n 1) 2(n 1)
2

( ra ) 1 2 sin
2
2

2( n 1)
cos
2 2
ra 1 2ra ra 1 2ra ra ra 1 2ra
[1 2ra (1 cos
n1 j 2 2 [1 4ra sin ]1 1 2( n 1)
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)]
过渡矩阵的谱半径
1
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T=input('input T:='); %显格式计算程序 h=1/10;ta=1/200; r=ta/(h*h);s=1-2*r; x=0:h:1;N=length(x); t=0;uk=sin(pi*x); II=2:N-1;k=0; while t<T t=t+ta; un=s*uk(II)+r*(uk(II-1)+uk(II+1)); uk=[0,un,0];k=k+1; end ux=exp(-pi*pi*t).*sin(pi*x); error=max(abs(ux-uk)) plot(x,ux,x,uk,':or')
2

n1
2
1
显式差分格式稳定充分条件.
h / 2a
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简单隐式差分格式矩阵形式
[(1 2ra )I ra C ]u
2 2
k 1 h
u f
k h
k 1 h
1
2 2 1 H [( 1 2 ra ) I ra C ] 过渡矩阵
特征值
j 1 j ( H ) [(1 2ra ) 2ra cos ] j 1 n 1
无
( H ) 1 M1
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定理 若 H = A-1B 为正规矩阵,即 HH* = H*H,
则条件
( H ) 1 M1
是双层差分格式按欧氏范数稳定的充分条件
注：欧氏范数(或离散L2范数)
|| u ||0 [h ( u ) ]
k j 1
n
k 2 1/ 2 j
8/17
2 2
(H ) 1
C-N 格式是无条件稳定的.
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数值实验题 用三种差分格式求
初边值问题数值解
ut u xx , 0 x 1, t 0 u( x ,0) si nx , 0 x 1 u(0, t ) u(1, t ) 0, t 0
2
1 2ra sin ( j / 2(n 1)) 1 2ra 2 sin2 ( j / 2(n 1))
2 2
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过渡矩阵的谱半径
( H ) max | j ( H ) |
1 j n
1 2ra sin ( j / 2(n 1)) max| | 2 2 1 j n 1 2ra sin ( j / 2( n 1))
x
r / h2
k 1 2 k 2 k k k u ( 1 2 ra ) u ra ( u u ) f j j j 1 j 1 j
在实际应用时,取逐层计算形式.当初始层数据有误 差时,误差会逐层传播,影响以后各层的解.
k k k u f 记 j 的误差为 j , 设 j 无误差, 则有
2
2 1 2ra nn
1 2ra [1 cos( )] n1 j 2 2 1 4ra sin 2( n 1)
2
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过渡矩阵的谱半径
j max| 1 4ra sin | 1 j n 2( n 1)
2 2
( H ) max | j ( H ) |
无关. k > k0
简单显式差分格式 1 2 k 2 k k uk ( 1 2 ra ) u ra ( u u j j j 1 j 1 )
u0 j ( x j )
k k u0 un 1 0
( j 1,2,, n)
稳定性分析,设 ra 1 / 2
2
1 2 k 2 k k | uk | ( 1 2 ra ) | u | ra (| u | | u j j j 1 j 1 |)
k j
A
(k )
(
(k ) jm nn
)
B
k 1
(k )
(
(k )
(k ) jm nn
)
双层格式的矩阵形式
A u
(k )
B u f
k
k
双层差分格式初值稳定概念:
A( k ) k 1 B ( k ) k
任意解都满足
|| || M ||
k
k0
||
5/17
其中 M 与
17/17
15/17
数值计算实验
显格式: input T:=1 error = 7.9443e-006 k = 200
6
6
x 10
-5
4
2
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x 10
-5
C—N格式
4
input T:=1 error = 2.6227e-006 k = 50
2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 2 k 2 k k k ( 1 2 ra ) ra ( j j j 1 j 1 )
2/17
取 ra 2 1 / 2
1 2 k 2 k k k ( 1 2 ra ) ra ( j j j 1 j 1 )


k 1 j
1 k ( j 1 k j 1 ) 2
称之为过渡矩阵
记 H ( k ) [ A( k ) ]1 B( k )
k 1 H ( k ) k k 1 k H 常系数差分格式 ( H ) max | j ( H ) | H 的谱半径:
1 j n
定理: 双层差分格式稳定的必要条件是,存在与 关的常数 M1 ,使得
(1 2ra 2 ) || uk || 2ra 2 || uk ||

1 k | uk | || u || j
|| uk 1 ||C || uk ||
此时差分格式稳定
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设齐次方程
A( k ) k 1 B ( k ) k
系数矩阵可逆
k 1 [ A( k ) ]1 B( k ) k
0 设初始层上,仅有 j 0 ,其它点处无误差
在各计算层上,误差传播得到控制
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取 ra 2 1
1 2 k 2 k k k ( 1 2 ra ) ra ( j j j 1 j 1 ) 1 k k k k ( j j j 1 j 1 )

设初始层上,仅有 0 j 0 ,其它点处无误差
在各计算层上,误差传播没有得到控制
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k k || u || max | u 无穷大范数定义 j | 1 j n
双层差分格式 记矩阵
m 1

n
(k ) jm
u
k 1 m

m 1
n
(k ) jm
u f
k m
并与准确解比较
显格式
1
u( x, t ) exp( 2 t ) sin x
隐格式
C-N格式Biblioteka Baidu
2 a 1 k 2 k [u k u ] j j x uj 2 h 2 1 k 1 a 2 k 1 [u j u k ] j x uj 2 h 2 1 k 1 a 2 k 1 k [u j u k ] ( u u j x j j ) 2 2h
[(1 ra ) I
2
C ]u ( f k f k 1 ) 2 2
k

2 ra ra 2 1 H [(1 ra ) I C ] [(1 ra 2 ) I C] 2 2 (1 ra 2 ) ra 2 cos(j /(n 1)) 特征值 j (1 ra 2 ) ra 2 cos(j /(n 1))