九年级数学因式分解法
初中数学因式分解的几种经典技巧
初中数学因式分解的几种经典技巧初中数学因式分解的几种经典方法因式分解是初中数学的一个重点，涉及到分式方程和一元二次方程，因此学会一些基本的因式分解方法非常必要。
下面列举了九种方法，希望对大家的研究有所帮助。
1.提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
例如，对于方程2x-3x=0，可以进行如下因式分解：x(2x-3)=0，得到x=0或x=3/2.一个规律是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式，这对我们后面的研究有帮助。
2.公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
建议在使用公式法前先提取公因式。
例如，对于x^2-4，可以使用平方差公式得到(x+2)(x-2)。
3.十字相乘法是做竞赛题的基本方法，但掌握了这个方法后，做平时的题目也会很轻松。
关键是将二次项系数a分解成两个因数a1和a2的积a1.a2，将常数项c分解成两个因数c1和c2的积c1.c2，并使ac正好是一次项b，那么可以直接写成结果。
例如，对于2x^2-7x+3，可以使用十字相乘法得到(x-3)(2x-1)。
总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1.a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1.c2，那么可以使用十字相乘法进行因式分解。
文章中有一些格式错误，需要修正。
另外，第四段中的一些内容似乎有问题，建议删除。
改写后的文章如下：分解因式是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。
在中学数学中，我们通常研究到七种分解因式的方法。
1.公因数法这种方法是最基础的方法之一，它的核心思想是找到表达式中的公因数。
例如，对于表达式6x+9y，我们可以找到它们的公因数3，然后将表达式简化为3(2x+3y)。
2.公式法公式法是通过运用数学公式来分解因式。
例如，对于二次三项式ax2+bx+c，我们可以使用求根公式来求出它的两个根，然后将表达式分解为(a(x-根1)(x-根2))的形式。
【初中数学】因式分解的九种方法
【初中数学】因式分解的九种方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a -b =(a+b)(a-b)a +2ab+b =(a+b)a -2ab+b =(a-b)如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子：a -b =(a+b)(a-b)2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b) =a +2ab+b 和(a-b) =a -2ab+b 反过来，就可以得到： a +2ab+b =(a+b) 和a -2ab+b =(a-b) ，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。
原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。
九年级上册数学人教版21.2.3 解一元二次方程-因式分解法
学科
初中数学
主备人
节次
第 周
第 节
课题
21.2.3 解一元二次方程-因式分解法
课时
1
课型
新授课
教学目标
1.能用因式分解法解一些一元二次方程；
2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
教学重点
能用因式分解法解一些一元二次方程.
教学难点
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.
4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
第五步：
师友反馈
环节1：师友检测
1.用公式法解下列方程：
环节2：教师评价
一、本节课最佳师友是…
二、
二、课后作业
必做：
选做：
板书设计
教学后记
课 堂 教 学 设 计
教学环节
教学过程
二次备课
第一步：
交流预习
环节1：教师提问
1、什么是一元二次方程
2、一元二次方程的一般形式是什么吗？
3、二次项、一次项、常数项分别是什么？
环节2:师友释疑
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
(1)解：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0m，
即10x－4.9x2＝0.
思考：除了配方法或公式法之外，能找到更简单的方法吗？
第二步：
互助探究
环节1:师友探究
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
初中数学因式分解的12种方法
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1.提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3-2x2-x(2003淮安市中考题)x3-2x2-x=x(x2-2x-1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
@初中生家长例2.分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考题)解：a2+4ab+4b2=(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2+5n-mn-5m解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n@初中生家长=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4.十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4.分解因式7x2-19x-6分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
@初中生家长例5.分解因式x2+6x-40解x2+6x-40=x2+6x+(9)-(9)-40=(x+3)2-(7)2=[(x+3)+7][(x+3)–7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
初中数学因式分解常用七大解题方法,分类讲解+例题解析,收藏
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
初中数学因式分解的常用方法
初中数学因式分解的常用方法因式分解是将一个数按照乘法拆分成几个因式相乘的形式，可以简化计算和解方程的过程。
在初中数学中，常见的因式分解方法有以下几种：1.提公因式法：提公因式法是最常见的一种因式分解方法，适用于多项式的各项有公因式的情况。
具体步骤如下：（1）找出多项式的各项的最大公因式；（2）将多项式中各项除以最大公因式得到的商作为新的因式；（3）将最大公因式与新的因式相乘，得到因式分解的结果。
2.公式法：公式法是指通过运用一些特定的公式，将数或多项式进行因式分解。
常见的公式有二次差、平方差、立方差等，具体使用公式的方法可参考相关的理论知识。
3.分组分解法：分组分解法是指将多项式进行分组后，再进行因式分解。
主要适用于多项式的各项无公因子时的情况。
具体步骤如下：（1）将多项式中的各项进行重新分组；（2）在每个组内找出公共因子；（3）将每个组内的公共因子提取出来，得到因式分解的结果。
4.平方差公式：平方差公式是指任意两个数的平方之差可以进行因式分解的公式。
常见的平方差公式有以下几个：（1）平方差公式1：a²-b²=(a+b)(a-b)（2）平方差公式2：a² + 2ab + b² = (a+b)²（3）平方差公式3：a² - 2ab + b² = (a-b)²5.立方差公式：立方差公式是指任意两个数的立方之差可以进行因式分解的公式。
常见的立方差公式有以下几个：（1）立方差公式1：a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)（2）立方差公式2：a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)6.积因式之和法：积因式之和法是指将一个数a分解成两个因式的乘积之和。
常见的积因式之和公式有以下几个：（1）a² + ab = a(a+b)（2）a² - ab = a(a-b)（3）a² + 2ab + b² = (a+b)²（4）a² - 2ab + b² = (a-b)²以上是初中数学中常用的因式分解方法。
初中数学教学课件：21.2.3 因式分解法(人教版九年级上)
2.解下列方程: （1）（x+2)(x-4)=0 【解析】(1) (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0
x 2 0或x 4 0
x1 2，x 2 4.
24x2x 1 32x 1 0，
2x 14x - 3 0,
2x 1 0或4x 3 0.
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0
∴x1= -5,x2=5.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例 题
【例1】用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2). 【解析】
解 : 1 5x 2 4x 0,
x5x 4 0.
2 x 2 x x 2 0, x 21 x 0.
1.x1 5; x2 2.
x 2 (5 2 ) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0 2.x1 5; x2 3.
3. x 2 (3 2)x 18 0
4. (4 x 2) x(2 x 1)
2
3.x1 3; x2
b b 2 4ac (a 0, b 2 4ac 0) 公式法 x 2a
课件05因式分解法-2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(人教版)
试一试 解方程：x2+6x-7=0.
x2 6x 7 (x 7)(x 1)
x
7
7
或
x 1
1
x7x 6x
解：因式分解得 (x+7)(x−1)=0.
∴x+7=0,或x−1=0. ∴x1=−7,x2=1.
步骤： ①竖分二次Biblioteka 与常数项②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
简记口诀： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
2a
2 4.9
x1
100 49
，
x2
0.
分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10x-4.9x2=0 .
因式分解法：
解： 10x-4.9x2=0
x(10-4.9x) =0
x =0 或 10-4.9x=0
x1 0,
x2
100 . 49
例 3.用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)；
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝－1
D．x1＝－1，x2＝2
4. 用适当方法解下列方程：
（1）(2x+3)2-25=0;
（2）x2+5x+7=3x+11；
解：化简，得 4x2+12x+9-25=0 x2+3x-4=0 分解因式，得
解：化简，得 x2+2x=4 x2+2x+1=5 (x+1)2=5
(1) x1=0，x2=2； (2) y1=−2，y2=3 ； (3) x1=−2，x2=2； (4) x1=0，x2=1.
2．【中考·河南】方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( D )
数学因式分解的方法
数学因式分解的方法数学因式分解的方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，希望能够对大家有所帮助！一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。
用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
人教版九年级数学上册因式分解法课件(1)
活动
什么时候可以用因式分解法？
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘 积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二 次方程的方法称为分解因式法.
使用因式分解法的条件
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论仍旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于
零.”
分解因式法解一元二次方程的步骤
1. 化方程为一般情势; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
例题
解方程： 1. x2－3x＋2＝0.
2. x2－5x－6＝0.
3. x2－10x＋9＝0.
练习
解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为两个一元一次方程，请 写出其中一个一元一次方程
选择合适的方法解一元二次方程
1. 配方法解一元二次方程要先配方，再降次； 2. 通过配方法可以推导求根公式，直接利用求根公式可以求出一
元二次方程的两根； 3. 用因式分解法要先使方程一边化为两个一次因式相乘的情势，
21.2.3因式分解法
复习
1. 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
2. 什么叫因式分解? 若ab＝0，则a＝0或b＝0；若(x－a)(x－b)＝0，则方程的根为x1＝a， x2＝b
用因式分解法解形如x2＋bx＝0的一元二次方程
形如x2＋bx＝0的方程，可以用提取公因式法将方程的左边分解成 x(x＋b)的情势，从而将原方程转化为x(x＋b)＝0，这样可得原方程 的解为x1＝0，x2＝－b.
另一边为0，再分别使每个一次因式等于0. 4. 配方法、公式法适用于解所有有实数根的一元二次方程；因式
人教九年级数学上册《因式分解法》课件
5．用因式分解法解下列方程： (1)x2－4＝0；
解：x1＝2，x2＝－2 (2)x2－2 3x＝0；
解：x1＝0，x2＝2 3
(3)(3－x)2－9＝0；
解：x1＝0，x2＝6 (4)x2－4x＋4＝(3－2x)2. 解：x1＝1，x2＝53
知识点2：用适当的方法解一元二次方程
6．解方程(x＋1)2－5(x＋1)＋6＝0时，我们可以将x＋1看成一个整
8．方程x(x－1)＝－x＋1的解为( D )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x1＝0，x2＝－1
D．x1＝1，x2＝－1
9．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A )
A．(2x＋2)(3x＋4)＝0化为2x＋2＝0或3x＋4＝0
B．(x－3)(x＋1)＝1化为x－3＝1或x＋1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
2．解一元二次方程，首先看能否用___直__接__开__平__方__法______；再看 能否用____因__式__分__解__法______；否则就用____公__式__法_____；若二次项 系数为1，一次项系数为偶数可先用__配__方__法_____．
知识点1：用因式分解法解一元二次方程
1．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是( C )
解：x1＝x2＝2
(2)(x－3)2＝3(x－3)．
解：x1＝3，x2＝6
15．用适当的方法解下列方程：
(1)4(x－1)2＝2；
解：x1＝
22＋2，x2＝－
2＋2 2
(2)x2－6x＋4＝0；
解：x1＝3＋ 5，x2＝3－ 5
(3)x2－4＝3x－6；
解：x1＝1，x2＝2 (4)(x＋5)2＋x2＝25.
因式分解法解一元二次方程课件人教版九年级数学上册
(x+3)2=0，即 (x+3)(x+3)=0 于是得
X+3=0,或x+3=0
另解：(直接开平方法) ∴x1=x2=-3
9x2-25=0
9x2=25
X2=25/9
∴X1=5/3, x2=-5/3
5、(x-2)2=(4-3x)2 解：(x-2)2-(4-3x)2=0 [ (x-2)+(4-3x) ] [ (x-2)-(4-3x) ]=0 (-2x+2)(4x-6)=0 -2x+2=0，或4x-6=0 ∴ x1=1，x2=3/2
2、3x(x+5)-2(x+5)=0 解：因式分解，得
(x+5)(3x-2)=0 于是得 X+5=0，或3x-2=0 X1=-5，x2=2/3
3、9x2-25=0 解：因式分解，得
(3x+5)(3x-5)=0 于是得， 3x+5=0,或3x-5=0 ∴ X1=-5/3, xபைடு நூலகம்=5/3
4、x2+6x=-9 解：移项，得
完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
③十字相乘法：x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)
七、作业
1.教材P17第6题；P21第1题。 2.《学习指要》P7-8对应章节练习。
我们下节课再见！
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 例如：x2+6x+9 =(x+3)2 3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
人教版初中数学九年级上册 第二十一章 因式分解法
21.2 解一元二次方程/
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
导入新知
21.2 解一元二次方程/
1. 解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法： x2=a (a≥0)
配方法：
(x+m)2=n (n≥0)
公式法：
x= b b2 4ac（b2-4ac≥0）
2a
因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3,
x2=
2 3
．
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11； 解：x2+2x+2=0，
（2）x(x+4)=8x+12. 解：x2-4x-12=0，
(x+1)2=-1.
(x-2)2=16.
探究新知
(3)3x2＝4x＋1;
21.2 解一元二次方程/
(4)y2－15＝2y；
(3)移项，得 3x2－4x－1＝0.
(4)移项，得 y2－2y－15＝0.
∵a＝3，b＝－4，c＝－1，
把方程左边因式分解，
∴x＝－－4±
－24×2－3 4×3×－1＝2±3
7 .
得(y－5)(y＋3)＝0.
∴x1＝2＋3
③x2－3x＝0；
∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±2
5 .
④x2－2x＝4.
∴x1＝3＋2
5，x2＝3－2
5 .
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
若选择②， ②适合直接开平方法， ∵(x－1)2＝3，
人教版初中数学九年级上册《解一元二次方程—因式分解法》课件
（5）3x(2x 1) 4x 2 （6）（x - 4）2 （5- 2x)2
解：化为一般式为
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得 十字相乘法
2x +1
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
可利用了什么公式因式分解？
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
解：4.9x2 10x 0
3x
-2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
x 2,x1
3
2
x1 = 3 , x2 = 1.
分解因式法解一元二次方程基本步骤是:
九年级上册数学因式分解法
因式分解法是一种常用的数学方法，用于将一个多项式分解为几个因式的乘积。
在九年级上册数学中，因式分解法通常用于解决一元二次方程和分式方程等问题。
因式分解法的步骤如下：
1.观察多项式，尝试将其分解为几个因式的乘积。
2.通过提取公因式、利用平方差公式或完全平方公式等方法进行因式分解。
3.反复进行因式分解，直到无法再分解为止。
4.检查因式分解的结果是否正确，可以通过代入法或比较系数法等方法进行
验证。
例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其分解为(x + 2)(x - 2)。
这是一个典型的平方差公式，其中a = x, b = 2。
在九年级上册数学中，因式分解法通常用于解决以下问题：
1.一元二次方程：通过因式分解法将一元二次方程化为两个一次方程，从而
求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2 或x = 3。
2.分式方程：通过因式分解法将分式方程化为整式方程，从而求解。
例如，
对于方程x/(x - 1) = 2x/(3x - 3) + 1，我们可以将其化为整式方程(3x -
3)/(x - 1) = 2x/(x - 1) + 1，从而得到x = 2。
总之，因式分解法是一种非常重要的数学方法，在九年级上册数学中有着广泛的应用。
通过掌握因式分解法，可以更好地解决各种数学问题。
九年级数学因式分解
九年级数学因式分解一、因式分解的概念。
1. 定义。
- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例如，x^2-4=(x + 2)(x - 2)，就是将多项式x^2-4因式分解为两个整式(x + 2)和(x - 2)的积的形式。
2. 与整式乘法的关系。
- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解则是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
二、因式分解的基本方法。
1. 提公因式法。
- 公因式的确定。
- 系数：取各项系数的最大公因数。
例如，在多项式6x^2+9x中，系数6和9的最大公因数是3。
- 字母：取各项相同的字母。
在上述多项式中，相同的字母是x。
- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。
这里x的最低次幂是1。
所以公因式是3x。
- 提公因式的步骤。
- 先确定公因式。
- 然后将多项式除以公因式得到另一个因式。
对于6x^2+9x，提公因式3x后得到3x(2x + 3)。
2. 公式法。
- 平方差公式。
- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 应用示例：分解因式9x^2-16y^2，这里a = 3x，b=4y，所以9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)。
- 完全平方公式。
- 公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2，a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。
- 应用示例：分解因式x^2+6x + 9，其中a=x，b = 3，因为x^2+6x+9=x^2+2×3x + 3^2，所以x^2+6x + 9=(x + 3)^2；再如分解因式4x^2-12x+9，这里a = 2x，b=3，因为4x^2-12x + 9=(2x)^2-2×3×2x+3^2，所以4x^2-12x + 9=(2x -3)^2。
初中数学因式分解的常用方法及常出的32个习题陷阱
初中数学因式分解的常用方法及常出的32个习题陷阱初中数学中，因式分解是一个非常重要的内容，因为它不仅是理解代数式的基础，还在后续学习中有很多的应用。
在这篇文章中，我们将介绍初中数学中因式分解的常用方法以及解题的32个难点。
一、因式分解的常用方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将一个代数式中所有项的公共因子提取出来，变成一个公因式和剩下的部分的积的形式。
如：24a+12ab可以写成12a(2+b)。
2. 分组分解法分组分解法是指将一个代数式按照特定的规则进行分组再进表达，一般用于在特殊条件下的因式分解。
如：4a²-12ab+9b²可以分为（2a）²-2×2a×3b+（3b）²，然后用(a-b)²=a²-2ab+b²得到（2a-3b）²。
3. 平方法平方差公式可以用于因式分解，公式为：a²-b²=(a+b)(a-b)。
如：a²-25可以写成(a+5)(a-5)。
4. 公式法在初中数学中，有一些常用公式，如二次公式、高斯定理等，这些公式在因式分解中也可以起到帮助作用。
如：x²-y²可以用公式(x+y)(x-y)表示。
二、32个习题陷阱1.习题一：将5x²+10xy+4y²分解。
（答案：(x+2y)(5x+2y)）难点：很多学生容易忽略+4y²这项，就没有括在括号里，直接公因式提取或分组分解，结果变成(x+2y)5(x+2y)，这个式子明显有误。
2.习题二：将x²+10xy+16y²分解。
（答案：(x+4y)(x+4y)）难点：这个题如果直接公因式提取或分组分解会很困难，事实上，这个题可以通过列方程、用辗转相除法来解决，但需要一定的运算技巧。
3.习题三：将3x²-12x+9分解。
（答案：3(x-1)(x-3)）难点：这个题目会引起很多同学的困惑，因为-12x这个项和常数项9很相似，容易认为是“平方差”，从而想到用(a-b)²=a²-2ab+b²这个公式来解，但其实这个式子不适用于这个题目。
初中九年级数学教案因式分解法
法
为学习本节
新知识作铺
学生观察式子特 垫
点,进行因式分解,
为下面地学习作
铺垫
学生根据 ab=0
得到 a=0 或 b=0, 对比探究,结
为下面学习作铺 合已有知识,
垫
尝试解题,培
养学生发现
学生直接利用 2 问题地能力
地结论完成 3 中
教学教案
教学教案
4. 试求下列方程地根
○1 4x2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0
○2 25y2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2
○3 x2+10x+25=0; 9x2-24x+16=0;
○4 5x2-2x- 1 = x2-2x+ 3 ; 2x2+12x+18=0;
4
4
解方程
分析:观察○1 ○2 ○3 三组方程地结构特点,在方程右边为 0
4
确定性.
分析:四个方程最适合地解法依次是:利用完全平方公式,
求根公式法,提公因式法,直接开平方法或利用平方差公
式. 归纳:配方法要先配方,再降次;公式法直接利用求根公
式;因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘,另
一边为 0,再分别使各一次因式等于 0.配方法,公式法适 先观察,尝试选用
用于所有一元二次方程,因式分解法用于某些一元二次 合适方法解方程,
步理解降次 思想解方程
让学生在巩 固过程中掌 握所学知识, 培养应用意 识与能力
本节课应掌握: 1.用因式分解法解一元二次方程 2.归纳一元二次方程三种解法,比较它们地异同,能根据 方程特点选择合适地方法解方程 五,作业设 计
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参考答案：
4.2( x 3)2 x 2 9;
5.5( x x) 3( x x); 2 2 6.(x 2) 2x 3 ; 7.(x 2)x 3 12; 8.x 2 5 2 x 8 0.
2 2
5.x1 0; x2 4. 1 6.x1 5; x2 . 3 7.x1 1, x2 6. 8.x1 4 2; x2 2.
x1 2; x2 4. 2.4x2x 1 32x 1 0,
2x 14x - 3 0,
2 x 1 0, 或4 x 3 0. 1 3 x1 , x2 . 2 4
参考答案： 2 x 1. (5 2 ) x 5 2 0 ; 1.x1 5; x2 2. 2 x 2. ( 3 5) x 15 0 ； 2.x1 5; x2 3. 3.x1 3; x2 2. 3.x 2 (3 2 ) x 18 0;
心动 不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小颖是这样解的 :
解 : x 3x 0.
2
小明是这样解的 :
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去x, 得. x 3.
独立 作业
知识的升华
1-2题;
1、P97习题3.4
祝你成功！
补充 作业
1.4 x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2 x;
3.(2 x 3)2 4(2 x 3);
解下列方程
1 7 1.x1 ; x2 . 42 5 2.x1 ; x2 1. 3 3 1 3.x1 ; x2 . 2 2 4.x1 3; x2 9.
9.x 12x 27 0; 2 2 10.2( x 3) x 9 .
2
8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9. 1 3 10.x1 ; x2 .
4 4
开启
智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
• 因式分解法解一元二次方程的步骤是:
• (1)化方程为一般形式; • (2)将方程左边因式分解; • • (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
• 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
分解因式法
(2) 4x2-9=0.
(1)15x2+6x=0;
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次 方程，它们的根就是原方 程的根.
x 0, 或5x 2 0. 2 x1 0; x2 . 5 2 . 2 x 3 2 x 3 0, 2 x 3 0, 或2x 3 0.
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解,. • 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.
九年级数学(上)第三章： 一元二次方程
3.4 用因式分解法解 一元二次方程
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
助手:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a. 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的 : 解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
我思
我进步
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分 解因式法.
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
例题欣赏
例2、解方程:
☞
分解因式法
2
2 x 1
2
x 3 .
2
解 : 2 x 1 x 3 0.
2
2x 1 x 3 2x 1 x 3 0, 3x 2 x 4 0,
3x 2 0, 或x 4 0.
2 x1 ; x2 4. 3
动脑筋
• 1.解下列方程:
争先赛
1. x 2x - 4 0, 2.4x2x 1 32x 1. 解 :1 . x 2 0, 或x - 4 0.
心动
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
3 9 x . 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
这个数是3.
小明做得对吗?
心动Biblioteka 不如行动你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小亮是这样想的 : 0 3 0,15 0 0, 0 0 0. 反过来, 如果a b 0, 那么a 0或b 0 或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于0,
1.x 2 7; 2.3 y 2 y 14. 解 : 1. 一元二次方程 解 : 2. 一元二次方程
x2 7 0 的两个根是x1 7 , x2 7 .
3 y 2 y 14 0 7 的两个根是y1 2, y2 . 3 7 2 3 y y 14 3( y 2)( y ). 3
我最棒
,用分解因式法解下列方程
4. (4x 2) x(2x 1) 5 ; .3x( x 2) 5( x 2); 2 6.(3x 1) 5 0; 2 7.2( x 3) xx 3; 2 8.(x 1) 3x 1 2 0;
2
1 4 4.x1 ; x2 . 2 5 7 5.x1 2; x2 . 4 3 6.x1 2; x2 . 3 7.x1 3, x2 6.
解方程 : x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6);
解方程 : x 2 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1); 3 3 而4 x 2 12 x 9 4( x 3 )( x 3 2 解方程 : 4 x 12 x 9 0得x1 , x2 ; 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程 : 3x 7 x 4 0得x1 , x2 1; 而3x 7 x 4 3( x )( x 1) 3 3 看出了点什么? 有没有规律 ?
3 3 x1 ; x2 . 2 2
学习是件很愉快的事
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
淘金者
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例题欣赏
例1、解方程:
解 : 1 .15x 2 6x 0, 3x 5x 2 0.
☞
开启
智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公 式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后 直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了. 即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).