九年级数学因式分解法

3 3 x1 ; x2 . 2 2
学习是件很愉快的事
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
淘金者
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
独立 作业
知识的升华
1-2题;
1、P97习题3.4
祝你成功！
补充 作业
1.4 x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2 x;
3.(2 x 3)2 4(2 x 3);
解下列方程
1 7 1.x1 ; x2 . 42 5 2.x1 ; x2 1. 3 3 1 3.x1 ; x2 . 2 2 4.x1 3; x2 9.
3x 2 0, 或x 4 0.
2 x1 ; x2 4. 3
动脑筋
• 1.解下列方程:
争先赛
1. x 2x - 4 0, 2.4x2x 1 32x 1. 解 :1 . x 2 0, 或x - 4 0.
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
心动
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a


上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
参考答案：
4.2( x 3)2 x 2 9;
5.5( x x) 3( x x); 2 2 6.(x 2) 2x 3 ; 7.(x 2)x 3 12; 8.x 2 5 2 x 8 0.
2 2
5.x1 0; x2 4. 1 6.x1 5; x2 . 3 7.x1 1, x2 6. 8.x1 4 2; x2 2.
x 2 6 x 9 ( x 3) 2 ; x 2 5x 6 ( x 2)( x 3);
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4 x 2 12 x 9 ? .
3x 2 7 x 4 ?.
观察下列各式,也许你能发现些什么
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例题欣赏
例1、解方程:
解 : 1 .15x 2 6x 0, 3x 5x 2 0.
☞
开启
智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公 式法求出相应的一元二次方程axFra Baidu bibliotek+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后 直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了. 即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的 : 解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
我思
我进步
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分 解因式法.
九年级数学(上)第三章： 一元二次方程
3.4 用因式分解法解 一元二次方程
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
助手:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a. 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
x1 2; x2 4. 2.4x2x 1 32x 1 0,
2x 14x - 3 0,
2 x 1 0, 或4 x 3 0. 1 3 x1 , x2 . 2 4
参考答案： 2 x 1. (5 2 ) x 5 2 0 ; 1.x1 5; x2 2. 2 x 2. ( 3 5) x 15 0 ； 2.x1 5; x2 3. 3.x1 3; x2 2. 3.x 2 (3 2 ) x 18 0;
解方程 : x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6);
解方程 : x 2 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1); 3 3 而4 x 2 12 x 9 4( x 3 )( x 3 2 解方程 : 4 x 12 x 9 0得x1 , x2 ; 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程 : 3x 7 x 4 0得x1 , x2 1; 而3x 7 x 4 3( x )( x 1) 3 3 看出了点什么? 有没有规律 ?
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
例题欣赏
例2、解方程:
☞
分解因式法
2
2 x 1
2
x 3 .
2
解 : 2 x 1 x 3 0.
2
2x 1 x 3 2x 1 x 3 0, 3x 2 x 4 0,
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解,. • 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.
分解因式法
(2) 4x2-9=0.
(1)15x2+6x=0;
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次 方程，它们的根就是原方 程的根.
x 0, 或5x 2 0. 2 x1 0; x2 . 5 2 . 2 x 3 2 x 3 0, 2 x 3 0, 或2x 3 0.
3 9 x . 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
这个数是3.
小明做得对吗?
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小亮是这样想的 : 0 3 0,15 0 0, 0 0 0. 反过来, 如果a b 0, 那么a 0或b 0 或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于0,
1.x 2 7; 2.3 y 2 y 14. 解 : 1. 一元二次方程 解 : 2. 一元二次方程
x2 7 0 的两个根是x1 7 , x2 7 .
3 y 2 y 14 0 7 的两个根是y1 2, y2 . 3 7 2 3 y y 14 3( y 2)( y ). 3
9.x 12x 27 0; 2 2 10.2( x 3) x 9 .
2


8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9. 1 3 10.x1 ; x2 .
4 4
开启
智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
心动 不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小颖是这样解的 :
解 : x 3x 0.
2
小明是这样解的 :
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去x, 得. x 3.
我最棒
,用分解因式法解下列方程
4. (4x 2) x(2x 1) 5 ; .3x( x 2) 5( x 2); 2 6.(3x 1) 5 0; 2 7.2( x 3) xx 3; 2 8.(x 1) 3x 1 2 0;
2
1 4 4.x1 ; x2 . 2 5 7 5.x1 2; x2 . 4 3 6.x1 2; x2 . 3 7.x1 3, x2 6.
把下列各式分解因式 :
x 2 7 ( x 7 )( x 7 ).
小结
拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一 元二次方程的方法称为分解因式法. • 分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟 练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.”
• 因式分解法解一元二次方程的步骤是:
• (1)化方程为一般形式; • (2)将方程左边因式分解; • • (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
• 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.