自动控制原理根轨迹

可见，当 Kg=∞时，根轨迹的终点是各个开环零点 -zi 。
23
物理可实现系统:

n ≥ m .
当n = m时, 根轨迹有n 个起点,n个终点,根轨迹有n条. 当n > m时, 根轨迹有n 个起点,有m个终点在开环零点, 另外(n-m)个终点在S平面无限远处零点.根轨迹仍然为n条.
结论：根轨迹分支数等 于开环极点数n.
对于根轨迹A，Nz+Np=1, ( Np=1，Nz=0 ) ； 对根轨迹B，Nz+Np=3； 对根轨迹C，Nz+Np=5。它们都是奇数。
27
4．分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分 开的点称为分离点（或会合点）。
jω
p3
jω
[s]
A
分离点
d1
d2
p2
p1
0
-4
-3
-2
σa =
2k+ 1 它们与实轴正方向的交角分别是:ϕ a = π 3 渐近线如图所示:
3
= −1
(k = 0,1,2)
5π π = 60°, (k = 0); = −60°, (k = 2) π = 180°, (k = 1); 3 3
34
jω
A
σa
B -4 -3
180 °
60°
σ -2 -1 a 0
第4章 根轨迹法
引言 （根轨迹法属于S域分析法）
根 — 系统特征方程的根，即系统的闭环极点。 系统闭环极点对系统特性起着决定性作用： (1) 决定系统的稳定性 (2) 决定系统瞬态响应的模式以及性能指标
1
闭环极点的位置决定系统瞬态响应各分量的模式： ● 若极点是在左半S平面,则对应的响应各分量是 收敛的; ● 若极点是在负实轴上, 则对应的响应分量是指 数衰减的; ● 若极点是左半S平面的复共轭极点对, 则对应的 响应分量是衰减振荡的； ● 进一步，极点的具体位置不同，响应的性能指标 不同。
29
分离点（会合点）位置的计算：
产生分离点（会合点）的实质是：特征方程在一定K下 出现重根。分离点与会合点必须满足方程: dK 并由此可以计算分离点（会合点）的位置。
ds
=0
30
例： 已知系统的开环传递函数为
G(s) H(s) = K (s+ 1)(s+ 2)(s+ 3)
试求出系统根轨迹与实轴的交点（分离点）。 K = −1 解：此系统特征方程为： (s + 1)(s+ 2)(s+ 3) 整理后令: dK = d [ s 3 + 6 s 2 + 11s + 6] = 0
π
2
+
π
2
= ±(2k + 1)π
由于s1,s2 都满足幅角条件， 所以,复平面上实部为-2的点在该系统的根轨迹上。
17
2. 求s1,s2点对应的根轨迹增益Kg值。 s1 =−2 + j 4, s2 =−2 − j 4
将s1 , s2分别带入幅值方程： Kg 2K = −1 = 2 2 ( s + 2) ( s + 2)
∏ (s + z )
i
m
∏ (s + p )
j j =1
i =1 n
= −1
19
绘制根轨迹的一般法则
1. 2. 3. 4． 5． 6. 7． 8. 根轨迹关于实轴对称 根轨迹始于开环极点, 终于开环零点, 分支数为n. 实轴上的根轨迹 分离点和会合点 根轨迹的渐近线 根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角） 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹的走向
图（a）、图（b）各矢量相角和幅值关系都满足相角方程和幅值方程
15
例2
已知系统的开环传递函数：
G ( s )= H ( s ) 2 K /( s + 2 2 )
试证明：复平面上实部为-2的点在该系统的根轨迹上； 进一步求s1,s2点对应的根轨迹增益Kg值。 s1 =−2 + j 4, s2 =−2 − j 4 解： 该系统的开环极点: p1 = p2 = −2 ；无开环零点。
ds
ds
2 得到求解交点α的辅助方程: 3α + 12α + 11 = 0
解得: α1 = −1.42; α 2 = −2.58 由于实轴上的根轨迹为 -1到-2 线段和 -3到-∞ 线段, α 2 = −2.58 不在上述两线段上，应舍去；
α 1 = −1.42 是实轴根轨迹上的点，它就是根轨迹在实轴上 的分离点。
θ p = 180 − [∑ ∠( pk − p j ) − ∑ ∠( pk − zi )]
k
n
m
j =1 j≠k
i =1
= 180 − [∑ β j −∑ α i ]
j =1 i =1
36
n −1
m
终止角计算公式（第K个零点的入射角）:
θ z = 180 + [∑ ∠( z k − p j ) − ∑ ∠( z k − zi )]
300°
60°
σ
C
35
6. 根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）
当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什 么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所 谓的起始角和终止角问题。 确定起始角（终止角）的依据 是 根轨迹的幅角条件。 ⑴ 起始角 θ p (出射角) 根轨迹离开开环复数极点处切线方向与实轴正方向的 夹角。 起始角计算公式（第K个极点的出射角）:
-1
0
σ
B
σ
Baidu Nhomakorabea
实轴上根轨迹的分离点
p4
分离点表示特征方程式出现重根
复平面上的分离点
28
实轴上分离点(会合点)的判断依据:
1. 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则在这 两个极点之间至少存在一个分离点； 2. 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一 个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一 个会合点。 3. 若根轨迹位于实轴上一个开环零点和一个开环极点之 间，则在这两个点之间不存在分离点或会合点,或既存在 一个分离点又存在一个会合点。
31
分离点的坐标 d 也可由下面方程求得：
m 1 1 =∑ ∑ i =1 d − pi j =1 d − z j n
式中： z j 为各开环零点的数值，
pi 为个开环极点的数值。
32
5．根轨迹的渐近线
—— 研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远 当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止 于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线为根轨迹的 渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。 渐近线与实轴的交点位置 σ a 和与实轴正方向的交角(渐进线倾角)
ϕ a 分别为:
σa =
∑P −∑Z
j =1 j i =1
n
m
i
n−m
（Pj是极点）
2 k+1 ϕa = π n− m
(k = 0,1,2,, n − m− 1)
33
例 已知系统的开环传递函数为:
K r (s + 2) G(s) H(s) = 2 s (s + 1)(s+ 4)
试画出该系统根轨迹的渐近线。 解 对于该系统有n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实轴交点 位置为: −1− 4+ 2
整理为:
（µ为自然数）
( N z + N z − N z )π − N pπ = 2 N zπ − ( N z + N p )π = ±π (1 + 2 µ )
所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足:
N z + N p = 1 + 2µ
即实轴上根轨迹右侧的开环有限零、极点的个数之和为奇数.
26
例: 已知实轴上的根轨迹如图所示
10
该方程的解即为闭环特征根，当Kg在可能范围连续变化时， 特征根变化形成轨迹，因此该式又称为根轨迹方程。 此形式方程揭示了特征方程的根（即闭环极点）与开环极 点、零点的联系。
由于S是复变量： s
= σ + jω
此方程是一个复方程，可表示成幅角和辐值的形式。 根轨迹方程可分别表示成幅角（条件）方程和辐值（条件） 方程。
辐角总为零； ■ 根轨迹（任意试验点）右侧的实数零点、极点到根轨迹的矢 量辐角均为180°。
25
证明：
设实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目为Nz，
实轴上根轨迹右侧的开环极点数目为Np，由辐角条件:
∑α − ∑ β
i =1 i j =1
m
n
j
= N zπ − N pπ = ±π (1 + 2 µ )
理解和运用以上规则可便捷、较准确地绘制控制系统 根轨迹图，同时也是用根轨迹法进行系统分析、系统设计 的必要基础。
20
1.
根轨迹关于实轴对称 特征方程是关于变量S的实系数代数方程,它的
根是实根或共轭复根，因此根轨迹必然关于实轴对 称.
21
2. 根轨迹始于开环极点, 终于开环零点, 分支数为n.
根轨迹起点条件: Kg = 0 Kg = 0 时， 闭环系统特征方程
等效为：
D( s ) = ∏ ( s + p j ) = 0
j =1
n
得：s = − p j
说明当 Kg = 0时，根轨迹始于各开环极点。
22
根轨迹终点条件: Kg = ∞ 当 Kg =∞时，闭环系统的特征方程
等效为:
N ( s) = ∏ ( s + z i ) = 0
i =1
m
得：s = − zi
系统的特征方程： 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 当系统特征方程的某一个参数从零变化到无穷大时，特 征方程的根在 S 平面上连续变化形成轨迹，即为根轨迹。
5
研究开环放大系数K与闭环特征根的关系
6
当K取几个值时，求得得闭环特征根如下：
7
K由0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动 的轨迹如下图所示，这就是该系统的根轨迹。 根轨迹直观地表示了K 参数变化时，特征根变 化轨迹； 根轨迹决定响应模式： 过阻尼、临界阻尼、欠 阻尼。
Kg 2K = = −1 根轨迹方程： 2 2 ( s + 2) ( s + 2)
1 、 证明复平面上实部为-2的点在该系统的根轨迹上；
只要证明，实部为 - 2的点都满足辐角方程即 可。
16
在平面上作过-2的垂线，如图示。 实轴以上的点s1满足：
±
实轴以下的点s2满足：
− ∠( s2 − p1 ) − ∠( s2 − p2 ) = 90 + 90 =
8
4.1-2
根轨迹方程 （绘制根轨迹图的依据）
R(s)
+ _
G(s) H(s)
C(s)
系统的开环传递函数： G ( s ) H ( s ) 系统的闭环传递函数：Φ( s ) =
G( s) 1 + G( s) H ( s)
系统的特征方程： 1 + G ( s ) H ( s ) = 0
9
为了研究根轨迹画法，建立根轨迹与开环零点、极点关系， 将系统进一步表示为：
3
本章讨论: ■ ■ ■ ■ ■ 根轨迹方程 － 绘根轨迹的依据 常规根轨迹的绘制规则 特殊根轨迹的绘制 用根轨迹法分析系统的动态特性 用MATLAB绘制系统的根轨迹
4
4.1
根轨迹法的基本概念
4.1-1 什么是根轨迹
确定系统的闭环传递函数：
Y (s) G (s) G( s ) = = X ( s) 1 + G ( s) H ( s)
Kg ( s1 + 2)
2
=
Kg (−2 + j 4 + 2)
2
=
Kg 16
=1
K g = 16, K = 2 Kg ( s2 + 2)
2
=
Kg (−2 − j 4 + 2)
2
=
Kg 16
=1
图2
K g = 16, K = 2
4.2
4.2.1
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
根轨迹方程
或： K g ⋅
24
3. 实轴上的根轨迹
判断准则: 实轴上若有根轨迹分布的线段，则该线段右侧的 开环有限零极点个数之和必为奇数。否则不存在根轨迹。 可用相角条件证明此规则，基于以下事实：
■ 复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到实轴上根轨迹
（任意试验点）的矢量辐角之和总为零。
■ 根轨迹（任意试验点）左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量
12
■ ■
复平面上所有满足此辐角条件的点s构成了该系统的根轨迹。 根轨迹上的任一点s对应的辐角关系都满足此方程。
13
或表示为：
开环零点矢量模乘积 ＝1 Kg × 开环极点矢量模乘积
■
根轨迹上的任一点s对应的增益Kg要满足此幅值方程。
14
例1：某系统开环传递函数有1个零点，4个极点（m=1,n=4 ）， S平面上某试验点对应的各矢量相角和幅值关系如图所示。
2
■ 系统闭环极点的位置不仅决定系统的稳定性，而且决定系 统的动态特性。通过选择和改变系统参数可以改变系统的特 征根、从而调整系统的动态响应。 因此研究系统特征根在S平面的位置随系统参数变化的规 律具有重要有意义。 ■ 1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了根轨迹法： 根轨迹法是一种基于复平面的图解分析法。它是在系统 的开环零、极点分布基础上，用作图的方法确定系统闭环极 点随系统参数变化的轨迹，进而对系统的特性进行定性分析 和定量计算。
k
n
m
j =1 n
i =1 i≠k
= 180 + [∑ β j − ∑ α i ]
j =1 i =1