高中数学 1.1.3正、余弦定理综合课件 新人教A版必修5
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高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
人教A版必修5第1章《正弦定理和余弦定理》ppt导学课件
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
人教（A）数学 · 必修5 对点助学PPT
【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
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【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，
高中数学 1.1.3正、余弦定理综合课件 新人教A版必修5
长，代入面积公式 S＝21AB·BC·sin B 即可，这就需要使用余弦定
理．
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12
解析：方法一 ∵AB＝2 3，AC＝2，∠B＝30°. ∴根据正弦定理，有 sin C＝AB·ACsin B＝ 23. 由已知 AB>AC，所以∠C>∠B，则∠C 有两解． (1)当 C 为锐角时，C＝60°，A＝90°. 根据三角形面积公式，得 S＝12AB·AC·sin A＝2 3. (2)当 C 为钝角时，C＝120°，A＝30°. ∴S＝21AB·AC·sin A＝21×2 3×2sin 30°＝ 3.
例 3 在△ABC 中，若∠B＝30°，AB＝2 3，AC＝2，则△ABC
的面积是________．
栏
分析：思路一 由于∠B 为 AC 的对角，因此可先由正弦定理求 目
链
出 AB 的对角∠C，再求出∠A，代入面积公式 S＝12AB·AC·sin A.
接
思路二 由于∠B 是 AB 与 BC 的夹角，因此，只需求出 BC 的
1．1.3 正、余弦定理综合
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1
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栏 目 链 接
2
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些 简单的三角形度量问题．
2．能够利用已知的数量和关系判断三角形的 形状．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
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栏 目 链 接
4
题型1 余弦定理的应用
例 1 设 x，x＋1，x＋2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取
sin B－sin C)＝sin Asin B
⇒(sin A＋sin B)2－sin2C＝sin Asin B
⇒sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B.
人教A版高中数学必修五课件新《正弦定理和余弦定理》公开课ppt
(2)常见变形公式： cos A b2 c2 a2 2bc
(边角互化，求角,判别角)
问题一：三角形中的边角运算 问题二：三角形的形状判断 问题三：三角形的面积求解
三角形的边角运算
1、在△ABC中，已知b＝12，A＝300，B＝1200，
则a＝ 。4 3
2、在△ABC中，b= 3 ，B＝600，c＝1，
A. 1
B. 3
4
4
知ABC中，B 450 , AC 10, cos C 2 5 .
（1）求该三角形面积;
5
（2）记AB中点为D,求中线CD的长.
小结
熟记:正、余弦定理及其变形，三角形面积公式，合
理采用公式（求边、外接圆半径、角、面积等）
活用：灵活运用定理，实现边角转化（判别三角形形状等）
注重：数形结合与转化思想
（2）在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝8，△ABC的形状是（ C ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 都有可能
cos C a2 b2 c2 25 36 64 1 0
2ab
256
20
三角形的面积求解
SABC
1 底高 2
SABC
（其中R为该三角形外接圆的半径）
(2)常见变形公式：a 2Rsin A （角化边）
sin A a （边化角） 2R
a :b : c sin A:sin B :sinC （比例）
余弦定理
（1）余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a2 2ca cos B c2 a2 b2 2ab cos C
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
(边角互化，求角,判别角)
问题一：三角形中的边角运算 问题二：三角形的形状判断 问题三：三角形的面积求解
三角形的边角运算
1、在△ABC中，已知b＝12，A＝300，B＝1200，
则a＝ 。4 3
2、在△ABC中，b= 3 ，B＝600，c＝1，
A. 1
B. 3
4
4
知ABC中，B 450 , AC 10, cos C 2 5 .
（1）求该三角形面积;
5
（2）记AB中点为D,求中线CD的长.
小结
熟记:正、余弦定理及其变形，三角形面积公式，合
理采用公式（求边、外接圆半径、角、面积等）
活用：灵活运用定理，实现边角转化（判别三角形形状等）
注重：数形结合与转化思想
（2）在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝8，△ABC的形状是（ C ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 都有可能
cos C a2 b2 c2 25 36 64 1 0
2ab
256
20
三角形的面积求解
SABC
1 底高 2
SABC
（其中R为该三角形外接圆的半径）
(2)常见变形公式：a 2Rsin A （角化边）
sin A a （边化角） 2R
a :b : c sin A:sin B :sinC （比例）
余弦定理
（1）余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a2 2ca cos B c2 a2 b2 2ab cos C
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高中数学 正弦定理和余弦定理课件 新人教A版必修5
变形 形式
a＋b＋c a ④ ＝ sin A＋sin B＋sin C sin A.
【思考探究】
在△ABC 中，sin A＞sin B
是 A＞B 的什么条件？ 提示： 充要条件． a b 因为 sin A＞sin B⇔ ＞ ⇔a＞b⇔A＞B. 2R 2R
1．已知△ABC，内角 A、B、C 的对边分 别是 a、b、c，a＝ 2，b＝ 3，B＝60° ， 则 A 等于( ) A．30° B．45° C．45° 135° 或 D．30° 150° 或 a b 解析： 由正弦定理得 ＝ ， sin A sin B asin B 2sin 60° 2 ∴sin A＝ ＝ ＝ ， b 2 3 又∵ 2＜ 3，即 a＜b4． 在△ABC 中， 如果 A＝60° c＝ 2， ， a＝ 6， 则△ABC 的形状是________． a c 解析： 由正弦定理 ＝ ，∴sin C sin A sin C 1 ＝ 2 ∴C＝30° (a>c，C 只能是锐角)． 答案： 直角三角形
5． 在△ABC 中， 如果 A＝60° c＝4， ， a＝ 6， 则三角形解的情况是________．
【变式训练】 3.已知△ABC 的内角 A、B、 C 所对的边分别为 a、b、c，且 a＝2，cos B 3 ＝ . 5 (1)若 b＝4，求 sin A 的值； (2)若△ABC 的面积为 4，求 b、c 的值．
3 4 解析： (1)由 cos B＝ ，得 sin B＝ ， 5 5 2 根据正弦定理有：sin A＝ . 5 1 4 (2)依题意：4＝ acsin B＝c× ，故 c＝5. 2 5 由余弦定理得： 2 2 2 b ＝a ＋c －2accos B 3 ＝4＋25－2×2×5× ＝17，b＝ 17. 5
2012高二数学人教A版必修5精品课件第一章1.11.1.3《正、余弦定理的综合应用》
自主解答：(1)由 3a＝2csinA 及正弦定理，得
ac＝2sin3A＝ssiinnAC，∵sinA≠0，∴sinC＝
3 2.
∵△ABC 是锐角三角形，∴C＝π3.
(2)方法一：∵c＝ 7，C＝π3.由面积公式，得 12absin3π＝3 2 3，即 ab＝6.① 由余弦定理，得 a2＋b2－2abcosπ3＝7， 即 a2＋b2－ab＝7.② 由②变形，得(a＋b)2＝25，故 a＋b＝5. 方法二：前同方法一，联立①②得
在△ABC 中，由正弦定理，得 sinB＝bsianA.
∵b2＝ac，A
3 2.
题型2 三角函数公式的综合应用
例 2：在锐角△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对
的边，且 3a＝2csinA.
(1)确定角 C 的大小；
(2)若 c＝ 7，且△ABC 的面积为3 2 3，求 a＋b 的值．
题型1 正、余弦函数的综合应用 例1：在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 且 b2＋c2＝a2＋bc. (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3 ，b＝1，求角 B 的大小．
自主解答：(1)由题知： cosA＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12， 又∠A 是△ABC 的内角，∴∠A＝π3. (2)由正弦定理：sianA＝sibnB， ∴sinB＝b·sainA＝1×323＝12. 又∵b<a，∴B<A.又∠B 是△ABC 的内角，∴∠B＝π6.
1．正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正 确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解 决问题时要及时考虑另外一个定理．
2．三角函数中的公式在解三角形时是不可或缺的，应该养 成应用三角公式列式化简的习惯．
高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
人教A版数学必修五余弦定理实用教学课件
2
AB 2AB BCcos1(80B)
2
BC
C
b
a
c2 2accosBa2
Ac
B
人 教 A 版 数学 必修五 第一章 1.1.2 余 弦定 理 实 用 教学 课件(共 32张P PT)
人 教 A 版 数学 必修五 第一章 1.1.2 余 弦定 理 实 用 教学 课件(共 32张P PT)
2
AB 2AB BCcos1(80B)
余弦定理
一、复习:
一、复习:
正弦定理
一、复习:
正弦定理
abc 2 R siA nsiB nsiC n
应 用：
应 用：
1. 两角和任意一边, 求其它两边和一角;
人 教 A 版 数学 必修五 第一章 1.1.2 余 弦定 理 实 用 教学 课件(共 32张P PT)
应 用：
1. 两角和任意一边, 求其它两边和一角; 2. 两角和其中一边对角, 求另一边的对
人 教 A 版 数学 必修五 第一章 1.1.2 余 弦定 理 实 用 教学 课件(共 32张P PT)
如 , A 图 中 B ,已 C b ,c 边 知 A ,求 和 a .
显 ,作 然 C D A于 B D
C
b
a
则 a2CD2BD2,
A
cD B
C D b s i n A ,A D b c b
a
A C A C
( A B B C ) ( A B B C )A c
B
2
2
A B 2 A B B C B C
人 教 A 版 数学 必修五 第一章 1.1.2 余 弦定 理 实 用 教学 课件(共 32张P PT)
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AB 2AB BCcos1(80B)
2
BC
C
b
a
c2 2accosBa2
Ac
B
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2
AB 2AB BCcos1(80B)
余弦定理
一、复习:
一、复习:
正弦定理
一、复习:
正弦定理
abc 2 R siA nsiB nsiC n
应 用：
应 用：
1. 两角和任意一边, 求其它两边和一角;
人 教 A 版 数学 必修五 第一章 1.1.2 余 弦定 理 实 用 教学 课件(共 32张P PT)
应 用：
1. 两角和任意一边, 求其它两边和一角; 2. 两角和其中一边对角, 求另一边的对
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如 , A 图 中 B ,已 C b ,c 边 知 A ,求 和 a .
显 ,作 然 C D A于 B D
C
b
a
则 a2CD2BD2,
A
cD B
C D b s i n A ,A D b c b
a
A C A C
( A B B C ) ( A B B C )A c
B
2
2
A B 2 A B B C B C
人 教 A 版 数学 必修五 第一章 1.1.2 余 弦定 理 实 用 教学 课件(共 32张P PT)
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人教A版数学必修五余弦定理实用课件
求第三边和其它两个角
人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理 实用课件(共36张PPT)
人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理 实用课件(共36张PPT)
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c 2 a 2 b 2 2 a b c o s 1 2 0
人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理 实用课件(共36张PPT)
集体探究学习活动二：
1.利用余弦定理可以解决哪两类解斜三 角形的问题？ 2. “已知两边及其中一边对角”能用 余弦定理求解吗？
人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理 实用课件(共36张PPT)
人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理 实用课件(共36张PPT)
人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理 实用课件(共36张PPT)
变式训练：
已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。
(1b)3c,33,B3;0
(2a)2b ,22,c62
解 ： （ 1 ） 法 2 由 余 弦 定 理 ， 得 b 2 a 2 c 2 2 a c c o s B 当 解 a 得 a 6 时 6 ， 由 o r 正 a 弦 定 3 理 ， 得 sinAasinB=61 21 b3 A 190,C 160 当 a 3 时 ， a b 3 , A B C 为 等 腰 三 角 形 A 2 3 0 ， C 2 1 2 0
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2b2c22 b c c os A b2a2c22accosB c2a2b22 a b c os C
人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理 实用课件(共36张PPT)
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数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c 2 a 2 b 2 2 a b c o s 1 2 0
人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理 实用课件(共36张PPT)
集体探究学习活动二：
1.利用余弦定理可以解决哪两类解斜三 角形的问题？ 2. “已知两边及其中一边对角”能用 余弦定理求解吗？
人教A版数学必修五第一章1.1.2 余弦定理 实用课件(共36张PPT)
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变式训练：
已知在ΔABC中，根据下列条件解三角形。
(1b)3c,33,B3;0
(2a)2b ,22,c62
解 ： （ 1 ） 法 2 由 余 弦 定 理 ， 得 b 2 a 2 c 2 2 a c c o s B 当 解 a 得 a 6 时 6 ， 由 o r 正 a 弦 定 3 理 ， 得 sinAasinB=61 21 b3 A 190,C 160 当 a 3 时 ， a b 3 , A B C 为 等 腰 三 角 形 A 2 3 0 ， C 2 1 2 0
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2b2c22 b c c os A b2a2c22accosB c2a2b22 a b c os C
人教A版高中数学必修5余弦定理教学课件ppt
变式:已知:a=3,b=5,c=7,试判断此三角形的形状. 变式:已知:a:b:c=3:5:7,试判断此三角形的形状.
2 2 2 0 a b c C =90 ① △ABC为直角三角形 ② a2 b2 c2 C 900 △ABC为钝角三角形 ③ a2 b2 c2 C 900？ △ABC为锐角三角形
一、复习回顾
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
变形： a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
正弦定理可解决的两类问题： （1）已知三角形的任意两个角和一条边 （AAS型或ASA型） sin 75 cos15 6 2 4 （2）已知三角形的两条边和其中一边的对角 （SSA型）
练：(1)已知在三角形 ABC 中，b＝6，c＝4，A＝120 求边 a.
(2) 已知在三角形 ABC 中，a＝1，c＝4，B＝60 求边 b.
例 2：在ABC中，已知a＝7，b＝8，c＝5，求A
练习(1):在三角形ABC中，a=20,b=29,c=21,求B (2)在三角形ABC中，a2=b2+c2+bc,求A (3)在三角形ABC中，AB=5，BC=4，AC= 61 求B
(2) B 45 , C 60 , a 4 (3)a 2, b 2 3, A 30 (4) A 120 , c 5, a 7
复习：
(1) 已知 a 6, b 4 且 a 与 b 的夹角为 60 ，则 a b =________
（2）已知 a 5, b 4 且 a b =10，求 a 与 b 的夹角____________
高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt
问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法： 数形结合的思想，化归与转化的思想， 分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？ 问7：可将公式如何变形？ 问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示 某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
人教A版高中数学必修五课件1-1-2余弦定理59张.pptx
又 A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选 A.
* 已知△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且 a
＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC，则△ABC 的面
积为( )
3 A. 4
B．3 3
33 C. 4
3 D.4
[答案] C
[解析] ∵tanB＋tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC， ∴tanB＋tanC＝－ 3(1－tanB·tanC) ⇒1t－antBa＋nBt·atannCC＝－ 3⇒tan(B＋C)＝－ 3， ∴B＋C＝120°，∴A＝60°， 由 a＝4，b＋c＝5 及余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA， ∴a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA， ∴16＝25－2bc－2bc·12，∴bc＝3. ∴S△ABC＝12bcsinA＝343，故选 C.
A．150° B．135° C．120° D．60°
[答案] A
[解析] ∵a2＋b2＝c2－ 3ab， ∴cosC＝a2＋2ba2b－c2＝－ 23，∴C＝150°. [点评] 表达式中如有三边的平方，应考虑通过变形产生 其中一角的余弦．
探索延拓创新
命题方向 方程的思想 [例 4] 在△ABC 中，A、B、C 满足 A＋C＝2B，且最大 角的对边与最小角的对边之比为( 3＋1):2，求 A、B、C 的度 数．
名师辩误做答
[例 6] 在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且 C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
[错解] ∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，∴C>90°， ∴cosC<0，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， ∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0. ∴t2>5.又 t>0，∴t> 5， 即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．
* 已知△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且 a
＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC，则△ABC 的面
积为( )
3 A. 4
B．3 3
33 C. 4
3 D.4
[答案] C
[解析] ∵tanB＋tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC， ∴tanB＋tanC＝－ 3(1－tanB·tanC) ⇒1t－antBa＋nBt·atannCC＝－ 3⇒tan(B＋C)＝－ 3， ∴B＋C＝120°，∴A＝60°， 由 a＝4，b＋c＝5 及余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA， ∴a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA， ∴16＝25－2bc－2bc·12，∴bc＝3. ∴S△ABC＝12bcsinA＝343，故选 C.
A．150° B．135° C．120° D．60°
[答案] A
[解析] ∵a2＋b2＝c2－ 3ab， ∴cosC＝a2＋2ba2b－c2＝－ 23，∴C＝150°. [点评] 表达式中如有三边的平方，应考虑通过变形产生 其中一角的余弦．
探索延拓创新
命题方向 方程的思想 [例 4] 在△ABC 中，A、B、C 满足 A＋C＝2B，且最大 角的对边与最小角的对边之比为( 3＋1):2，求 A、B、C 的度 数．
名师辩误做答
[例 6] 在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且 C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
[错解] ∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，∴C>90°， ∴cosC<0，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， ∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0. ∴t2>5.又 t>0，∴t> 5， 即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．
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5
点评：本题型是用余弦定理确定三角形的形状，常有两种思路，
栏
一是通过三角形的边的关系，二是通过三角形的角的关系，这都可以目链
接
用正弦定理和余弦定理来实现转化．
精品
6
1．△ABC 中，若(sin A＋sin B＋sin C)(sin A＋sin B－sin C)＝
sin Asin B，则 C＝________．解析：由(sin A＋sin B＋sin C)(sin A＋
A，tan
A＝
33，
因为 0°＜A＜180°，所以 A＝30°.
精品
8
点评：在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、
栏 目
链
余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边 接
也可以求角．
精品
9
2．在△ABC 中，已知 AB＝436，cos B＝ 66，AC 边上的中线
BD＝ 5，求 sin A.
链
接
根据三角形面积公式，得 S＝12AB·AC·sin A＝2 3.
(2)当 C 为钝角时，C＝120°，A＝30°.
∴S＝21AB·AC·sin A＝21×2 3×2sin 30°＝ 3.
精品
13
例 3 在△ABC 中，若∠B＝30°，AB＝2 3，AC＝2，则△ABC
的面积是________．
栏
分析：思路一 由于∠B 为 AC 的对角，因此可先由正弦定理求 目
链
出 AB 的对角∠C，再求出∠A，代入面积公式 S＝12AB·AC·sin A.
接
思路二 由于∠B 是 AB 与 BC 的夹角，因此，只需求出 BC 的
解析：将已知条件集中到某一个三角形中，为此构造△BDE，求 栏
目
出 BC，然后用正弦定理求 sin A.
链
接
设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE∥AB，
且 DE＝12AB＝236，设 BE＝x. 在△BDE 中，利用余弦定理可得：
精品
10
BD2＝BE2＋ED2－2BE·EDcos ∠BED.
∵0°<C<180°，∴∠C＝120°.
答案：120°
精品
7
题型2 正、余弦定理的综合应用
例 2 在△ABC 中，b∶a＝2∶1，B＝A＋60°，求 A.
解析：由正弦定理可知：
栏
目
a sin
A＝sinb
B，
链 接
所以 sin B＝2sin A，sin(A＋60°)＝2sin A，
得
3 2 cos
A＝32sin
1．1.3 正、余弦定理综合
精品
1
栏 目 链 接
精品
2
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些 简单的三角形度量问题．
2．能够利用已知的数量和关系判断三角形的 形状．
精品
3
栏 目 链 接
精品
4
题型1 余弦定理的应用
例 1 设 x，x＋1，x＋2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取
值范围．
栏
解析：由三角形任意两边和大于第三边可知：x＋x＋1＞x＋2 即 目
链
x＞1，要使该三角形为钝角三角形必须使长度为 x＋2 的边所对的角 接
为钝角，即该角余弦为负数，由余弦定理得：
x2＋（x2＋x（1）x＋2－1（）x＋2）2＜0，即 x2－2x－3＜0，
解得：－1＜x＜3，
综合可得：1＜x＜3.
精品
长，代入面积公式 S＝21AB·BC·sin B 即可，这就需要使用余弦定
理．
精品
12
解析：方法一 ∵AB＝2 3，AC＝2，∠B＝30°.
∴根据正弦定理，有 sin C＝AB·ACsin B＝ 23.
由已知 AB>AC，所以∠C>∠B，则∠C 有两解．
栏
目
(1)当 C 为锐角时，C＝60°，A＝90°.
5＝x2＋83＋2×236× 66x，
解得 x＝1，x＝－37(舍去)，
栏 目
链
故 BC＝2，从而 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝238，
接
2 21
即 AC＝2 321.又 sin B＝ 630，故sin2 A＝
3 30
，sin
A＝
1740.
6
精品
11
题型3 正弦定理与余弦定理的恰当选择
sin B－sin C)＝sin来自Asin B⇒(sin A＋sin B)2－sin2C＝sin Asin B
⇒sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B.
栏 目
链
由正弦定理，sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR，
接
代入上式得：a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－21，