第2章水静力学

学习重点
▪ 1、静水压强的两个特性及有关基本概念。 ▪ 2、重力作用下静水压强基本公式和物理意
义。
▪ 3、静水压强的表示和计算。 ▪ 4、静水压强分布图和平面上的流体总压力
的计算。
▪ 5、压力体的构成和绘制以及曲面上静水总 压力的计算。
▪ 6、处于相对平衡状态的液体中压强的计算。
§2-1 静水压强及其特性
个重要结论：(1)在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规
律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。
(2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：一部分是自
由液面上的压强p0；另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重
量gh 。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压
图2-1
二、静水压强的特性
▪ １．静水压强的方垂直指向受压面或沿受压面的内法线方 向
▪ 这一特性可由反证法给予证明，如下图所示。
p
α
作用力
F
切向应力
▪ ２．静止液体中作用于同一点各个方向的静水压强都 相等。
证明如下:在静止流体中任取一微元四面体,对其进行受 力分析.
作用在ACD面上 的流体静压强
因此，静水压强是空间坐标的标量函数，即：
p p(X ,Y, Z)
dp p dx p dy p dz x y z （2-2）
§2-2 液体平衡微分方程
一、液体平衡微分方程式
在静止流体中任取一边长为 dx ，dy 和dz 的微元平行
六面体的流体微团，如图所示。现在来分析作用在这流体 微团上外力的平衡条件。
z1
p1
g
z2
p2
g
p1
1
z1
p2
2
z2
0
0
静压强基本方程的几何意义和物理意义
为了进一步理解静水压强基本方程式，现在来讨论该 方程的物理意义和几何意义
1.物理意义 式中：
z 的物理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位置
势能。
式中的
表示p单位重量流体的压强势能。
g
这可说明如下：如图所示，容器离基准面z处开一个小孔，
z
p0
pA
g
A Z
x y
如图所示，在一密闭容器中盛有密度为ρ的液体，若自由液面上的
压强为p0、位置坐标为z0，则在液体中位置坐标为z的任意一点A的压强 p可由该式得到，即
z
p
g
z0
p0
g
或
p p0 g(z0 z) gh
p p0 gh
式中h=z0-z是静止流体中任意点在自由液面下的深度。 上式是重力作用下流体液体方程的又一重要形式。由它可得到三
一、静水压强
▪ 静水压力：是指液体内部相邻两部分之间相互作用的力或指 液体对固体壁面的作用力（或静止液体对其接触面上所作用 的压力）。其一般用符号p 表示，单位是kN或Ｎ。
1. 平均静水压强
▪ 如图2-１所示
p P A
▪ 它反映了受压面ΔA上 静水压强的平均值。
▪ ２．点压强
lim P
p A0 A
▪ ②质量力：（只有重力、静止）如图所示
其质量为 1 dxdydz，单位质量力在各方向上的分别为
6
X、Y、Z，则质量力在各方向上的分量为
1 Xdxdydz, 1 Ydxdydz, 1 Zdxdydz
6
6
6
FX 0, FY 0, FZ 0
•以X方向为例：
FX
pX dAX
pn dAn
cos(n,
米水柱 (mH2O) 1.02×10-4 10 10.33 10.2 0.703
毫米水柱 (mmHg) 75.03×10-4 735.6 760 750.2 51.71
磅/英寸 2 (lbf/in2) 1.45×10-4 14.22 14.69 14.50 1
[例题]封闭盛水容器中的玻璃管两端开口，如图所示，已知玻璃管
把上式两边分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
流体静压强是空间坐标的连续函数，即 p p(x, y, z，) 它的全
微分为 所以
dp p dx p dy p dz x y z
dp ( f xdx f y dy f z dz)
水静力学的主要内容
▪ §2-1 静水压强及其特性 ▪ §2-2重力作用下静水压强的分布规律 ▪ §2-3压强的计算基准和量度单位 ▪ §2-4测量压强的仪器 ▪ §2-5静水压强分布图 ▪ §2-6 作用在平面上的静水总压力 ▪ §2-7 作用在曲面上的静水总压力 ▪ §2-8液体平衡微分方程 ▪ §2-9重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡
px
pz 作用在BCD面
pn 上的静压强
py 图 微元四面体受力分析
作用在ABD和 上的静压 强
▪ ①表面力：（只有各面上的垂直压力即周围 液体的静水压力）
dPX
p X dAX
pX
• 1 dydz 2
dPY
pY dAY
pY
• 1 dxdz 2
dPZ
pZ dAZ
pZ
• 1 dxdy 2
dPn pn dAn
力作用下）自由表面、不同流体的交界面都是等压面。
§2-3 压强的计算基准和量度单位
一、压强的表示 1. 计算基准
绝对压强：以完全真空时的绝对零压强(p＝0)为基准来计量 的压强称为绝对压强； 相对压强：
以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强。 绝对压强与相对压强之间的关系可在下面导出。当自由
液面上的压强是当地大气压强pa时，则液体中任一点的压强
可写成 p pa gh
p p pa
因为p可以由压强表直接测得，所以又称计示压强。
当流体的绝对压强低于当地大气压强时，就说该流体处于 真空状态。例如水泵和风机的吸入管中，凝汽器、锅炉炉膛 以及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，这些 地方的计示压强都是负值，称为真空或负压强，用符号pv表 示，则
此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点 的坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp，压 强的增量取决于质量力。
§2-2重力作用下静水压强的分布规律
在质量力只有重力的情况下,静止液体中的压强符合如下规律:
p p0 gh 静水压强的基本方程 压强由两部分组成： 液面上的气体压强p0
p 1 p dz dxdy 2 z
作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团 的平均密度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为 ：
Xdxdydz Ydxdydz Zdxdydz
处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作
用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。例如，对于x
伸入水面以下h=1.5m时，既无空气通过玻璃管进入容器，又无水
进。入玻璃管。试求此时容器内水面上的绝对压强p0 和相对压强 p0
高度为h的水柱产生的压强ρgh
静水压强的基本方程也可写成如下形式:
z p c
g
式中c为积分常数，由边界条件确定。
静水压强基本方程的适用范围是:重力场中连续、均 质、不可压缩流体。
若在静止液体中任取两点l和2，点1和点2压强各为p1和 p2，位置坐标各为z1和z2，则可把式 z p c
g
改写成另一表达式，即：
X
)
1 6
Xdxdydz
0
▪ 因为
dAn
cos(n,
X)
dAx
1 2
dydz
▪ 代入上式得：
pX
pn
3
Xdx 0
▪ 当四面体无限地缩小到0点时，上述方程中最后一项近于
零，取极限得, 即 p X p n
▪
pX pY pZ pn
▪ 上式说明，在静止液体中，任一点静水压强的大小与作用 面的方位无关，但液体中不同点上的静水压强可以不等，
p 1 p dx 2 x
垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为：
p 1 p dxdydz 2 x
p 1 p dx dydz 2 x
同理，可得到垂直于y轴与z轴的微元面上的总压力分别为：
p
1 2
p y
dy
dxdz
p
1 2
p y
dy dxdz
p 1 p dzdxdy 2 z
强相等，即任一水平面都是等压面。
z
Z
y
p0 h
A
Z0
x
[例题]已知：p0=98kN/m2，
p0=pa
h=1m， 求：该点的静水压强
h
p
pa
解： p p0 gh
98kN / m2 1000kg / m3 9.8m / s2 1m 1000 107.8kN / m2
在容器壁面上同水深处的一点所受到的压强有多大？ 该点所受到的有效作用力有多大？
接一个顶端封闭的玻璃管(称为测压管)，并把其内空气抽出，
形成完全真空(p=0)，在开孔处流体静压强p的作用下，流 体进入测压管，上升的高度h=p/ρg称为单位重量流体的压
强势能。位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能。 所以静水压强基本方程表示在重力作用下静止流体中各点的 单位重量流体的总势能是相等的。这就是静止液体中的能量 守恒定律。
由上节所述流体静压强的特性知，作用在微元平行六 面体的表面力只有静压强。设微元平行六面体中心点处的 静压强为p，则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰 勒（G.I.Taylor）级数展开，例如：在垂直于X轴的左、右 两个平面中心点上的静压强分别为：
p
p x
dx 2
1 2