Bessel方程及Bessel函数

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第一部分 Bessel 函数

(阶数或自变量趋于0或无穷时,各种Bessel 函数的极限值,可以利用Mathematica 试算推得。)

一、Bessel 方程及其通解

0)(2

2

2

2

2

=-++y n x

dx

dy x

dx

y d x

(1)

上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。

●当n 为整数时,(1)式的通解为

)()(x BY x AJ

y n n

+= (2)

其中,A 、B 为任意实数;

)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数;

)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数(或称为“诺依曼(Neumann)函数”)。

●当n 不为整数时,例如,v n =,(1)式的通解可表示为如下两种形式

)()(x BJ

x AJ y v

v -+= (3)

)()(x BY x AJ y v v += (4)

其中,A 、B 为任意实数;

)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数; )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。

另外,Bessel 方程的通解还可以表示为

)()()2()1(x BH

x AH

y v

v

+=

其中,)()()()

1(x iY x J x H v v v +=,)()()()

2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔(Hankel )函数,或统称为第三类Bessel 函数。

●值得注意的是, ∞=-→)(lim 0

x J v x ,∞=→)(lim 0x Y v x ,∞=→)(lim 0

x Y n x ,当所研究的问题的区域

包含0=x 时,由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值,所以,此时对(2)、(3)、(4)式而言,必有0=B 。此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。

例1:02

2=+'+

''y x y x y x λ (10<≤x )

此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程,其通解为

)()(00x BY x AJ y λλ+=

另外,由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ,根据Bessel 方程的自然边界条件,必然有0=B ,通解最后简化为

)(0x AJ y λ=

例2:0)413(2

2=-+'+

''y x

y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程,其通解为

)3()3(2

12

1x BJ

x AJ

y -+= 或 )3()3(212

1x BY x AJ

y +=

例3:0)(12

22

=-

+'+

''y x

m k

y x

y

上式两边同乘以2

x ,可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程

0)(2

2

2

2

=-+'+''y m k

x y x y x (0≠x )

例4:012

=+'+

''y k y x

y

上式两边同乘以2

x ,可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程

02

2

2

=+'+''y k x y x y x (0≠x )

即:0)0(2

222=-+'+''y k x y x y x (0≠x )

例5:0)]1([22

22

2

2

=+-++R l l r k r

d R d r

r

d R d r

令r k x =,x

x y r R 2)

()(π=,则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程

0])21([2

22

2

2

=+-++y l x x

d y d x

x

d y d x

二、虚宗量Bessel 方程及其通解

0)(2

2

2

2

2

=+-+y n x

dx

dy x

dx

y d x

(5)

上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”,其通解为

)()(x BK

x AI y n

n += (6)

其中,A 、B 为任意实数;

)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”,或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”; )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”,或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。

n 阶虚宗量的Bessel 方程也常常写为

0)1(12

22

2

=+

-+

y x

n dx

dy x dx

y d (7)

(7)式与(5)式的区别仅在于0≠x 。

三、Bessel 函数

1.第一类Bessel 函数

1.1 第一类Bessel 函数的定义式

Bessel 函数)(x J n 的定义式为

=+⎪

⎫ ⎝⎛++Γ-=

22)1(!)

1()(k k

n k

n x k n k x J (8)

当n 不为整数时,例如,v n =,非整数阶Bessel 函数)(x J v 为

=+⎪

⎫ ⎝⎛++Γ-=

22)1(!)

1()(k k

n k

v x k v k x J (9)

注:求)(x J v 的方法

方法1)先求)1(++Γk v 的数值解,再用(9)式求)(x J v 。 方法2)非整数阶Bessel 函数也可以通过后文的递推关系得出。

当n 为正整数或零时,)!()1(k n k n +=++Γ,整数阶Bessel 函数)(x J n 的表达式为

=+⎪

⎫ ⎝⎛+-=

22)!(!)

1()(k k

n k

n x k n k x J (10)

注:求)(x J n 的方法

方法1)直接用(10)式求)(x J n 。

方法2)整数阶Bessel 函数也可以通过后文的递推关系得出。

注:奇数阶Bessel 函数为奇函数;偶数(包括零)阶Bessel 函数为偶函数;——可以在Mathematica 中作图来观察。

整数阶Bessel 函数)(x J n 还有如下的积分表达式

θθθπ

π

πd n x x J n ⎰-

-=

)sin cos(

21)( (11)

上式还写为

⎰---+Γ=

1

1

2

12)

1()

21

()

2()(dt e

t n J t

i n n

n ξπξξ

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