Bessel方程及Bessel函数
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第一部分 Bessel 函数
(阶数或自变量趋于0或无穷时,各种Bessel 函数的极限值,可以利用Mathematica 试算推得。)
一、Bessel 方程及其通解
0)(2
2
2
2
2
=-++y n x
dx
dy x
dx
y d x
(1)
上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。
●当n 为整数时,(1)式的通解为
)()(x BY x AJ
y n n
+= (2)
其中,A 、B 为任意实数;
)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数;
)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数(或称为“诺依曼(Neumann)函数”)。
●当n 不为整数时,例如,v n =,(1)式的通解可表示为如下两种形式
)()(x BJ
x AJ y v
v -+= (3)
)()(x BY x AJ y v v += (4)
其中,A 、B 为任意实数;
)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数; )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。
另外,Bessel 方程的通解还可以表示为
)()()2()1(x BH
x AH
y v
v
+=
其中,)()()()
1(x iY x J x H v v v +=,)()()()
2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔(Hankel )函数,或统称为第三类Bessel 函数。
●值得注意的是, ∞=-→)(lim 0
x J v x ,∞=→)(lim 0x Y v x ,∞=→)(lim 0
x Y n x ,当所研究的问题的区域
包含0=x 时,由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值,所以,此时对(2)、(3)、(4)式而言,必有0=B 。此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。
例1:02
2=+'+
''y x y x y x λ (10<≤x )
此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程,其通解为
)()(00x BY x AJ y λλ+=
另外,由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ,根据Bessel 方程的自然边界条件,必然有0=B ,通解最后简化为
)(0x AJ y λ=
例2:0)413(2
2=-+'+
''y x
y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程,其通解为
)3()3(2
12
1x BJ
x AJ
y -+= 或 )3()3(212
1x BY x AJ
y +=
例3:0)(12
22
=-
+'+
''y x
m k
y x
y
上式两边同乘以2
x ,可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程
0)(2
2
2
2
=-+'+''y m k
x y x y x (0≠x )
例4:012
=+'+
''y k y x
y
上式两边同乘以2
x ,可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程
02
2
2
=+'+''y k x y x y x (0≠x )
即:0)0(2
222=-+'+''y k x y x y x (0≠x )
例5:0)]1([22
22
2
2
=+-++R l l r k r
d R d r
r
d R d r
令r k x =,x
x y r R 2)
()(π=,则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程
0])21([2
22
2
2
=+-++y l x x
d y d x
x
d y d x
二、虚宗量Bessel 方程及其通解
0)(2
2
2
2
2
=+-+y n x
dx
dy x
dx
y d x
(5)
上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”,其通解为
)()(x BK
x AI y n
n += (6)
其中,A 、B 为任意实数;
)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”,或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”; )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”,或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。
n 阶虚宗量的Bessel 方程也常常写为
0)1(12
22
2
=+
-+
y x
n dx
dy x dx
y d (7)
(7)式与(5)式的区别仅在于0≠x 。
三、Bessel 函数
1.第一类Bessel 函数
1.1 第一类Bessel 函数的定义式
Bessel 函数)(x J n 的定义式为
∑
∞
=+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++Γ-=
22)1(!)
1()(k k
n k
n x k n k x J (8)
当n 不为整数时,例如,v n =,非整数阶Bessel 函数)(x J v 为
∑
∞
=+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++Γ-=
22)1(!)
1()(k k
n k
v x k v k x J (9)
注:求)(x J v 的方法
方法1)先求)1(++Γk v 的数值解,再用(9)式求)(x J v 。 方法2)非整数阶Bessel 函数也可以通过后文的递推关系得出。
当n 为正整数或零时,)!()1(k n k n +=++Γ,整数阶Bessel 函数)(x J n 的表达式为
∑
∞
=+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-=
22)!(!)
1()(k k
n k
n x k n k x J (10)
注:求)(x J n 的方法
方法1)直接用(10)式求)(x J n 。
方法2)整数阶Bessel 函数也可以通过后文的递推关系得出。
注:奇数阶Bessel 函数为奇函数;偶数(包括零)阶Bessel 函数为偶函数;——可以在Mathematica 中作图来观察。
整数阶Bessel 函数)(x J n 还有如下的积分表达式
θθθπ
π
πd n x x J n ⎰-
-=
)sin cos(
21)( (11)
上式还写为
⎰---+Γ=
1
1
2
12)
1()
21
()
2()(dt e
t n J t
i n n
n ξπξξ