分段线性插值法

《数值分析》实验报告

实验序号：实验五 实验名称: 分段线性插值法

1、 实验目的：

随着插值节点的增加，插值多项式的插值多项式的次数也增加，而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡，带来数值的不稳定（Runge 现象）。为了既要增加插值的节点，减小插值的区间，以便更好的逼近插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可采用分段线性插值。

2、 实验内容：

求一个函数ϕ(x )用来近似函数f (x )，用分段线

性插值的方法来求解近似函数ϕ(x )并画出近似函数图像及原函数图像。

设在区间[a,b]上，给定n+1个插值节点

b x x x x a n =<<<<=...210和相应的函数值n y y y ,...,,10，求一个

插值函数)(x ϕ，满足以下条件：

（1） ),...,2,1,0()(n j y x j j ==ϕ;

（2） )(x ϕ在每一个小区间[1,+j j x x ]上是线性函数。 对于给定函数11-,2511)(2≤≤+=

x x x f 。在区间[]11-，上画出f (x )和分段线性插值函数)(x ϕ的函数图像。

1. 分段线性插值的算法思想：

分段线性插值需要在每个插值节点上构造

分段线性插值基函数)(x l j

，然后再作它们的线性组合。分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节点上函数值取 1，其它节点上函数值取0。插值基函数如下：

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它 ,0,)(101010x x x x x x x x l ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤--=+++---其它 ,0,,)(11

1111j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x l

⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤--=---其它 ,0,)(111n n n n n n x x x x x x x x l 设在节点a ≤x0

（1） L(x )∈C[a,b]

（2） L(x[i]=y[i])

（3） L(x)在每个小区间（x[i],x[i+1]）上是线性

插值函数￠（x ）叫做区间[a,b]上对数据（x[j],y[j]）(j=0,1,2,…,n)的分段区间函数。 利用一介拉格朗日函数，直接得到线性插值函数为：

L(x0)=（x-x[1]）/x[0]-x[1];(x[0]≤x ≤x[1])

L(x0)=0(x[1]≤x ≤x[n])

分段线性方程的表达式：

￠（x ）=∑(j=0,..,n)y[j]*L[j](x);

3、实验代码：

// LDlg.cpp : implementation file

//

#include "stdafx.h"

#include "L.h"

#include "LDlg.h"

#ifdef _DEBUG

#define new DEBUG_NEW

#undef THIS_FILE

static char THIS_FILE[] = __FILE__;

#endif

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // CAboutDlg dialog used for App About

class CAboutDlg : public CDialog

{

public:

CAboutDlg();

// Dialog Data

//{{AFX_DATA(CAboutDlg)

enum { IDD = IDD_ABOUTBOX };

//}}AFX_DATA

// ClassWizard generated virtual function overrides

//{{AFX_VIRTUAL(CAboutDlg)

protected:

virtual void DoDataExchange(CDataExchange* pDX); // DDX/DDV support

//}}AFX_VIRTUAL

// Implementation

protected:

//{{AFX_MSG(CAboutDlg)

//}}AFX_MSG

DECLARE_MESSAGE_MAP()

};

CAboutDlg::CAboutDlg() : CDialog(CAboutDlg::IDD)

{

//{{AFX_DATA_INIT(CAboutDlg)

//}}AFX_DATA_INIT

}

void CAboutDlg::DoDataExchange(CDataExchange* pDX)

{

CDialog::DoDataExchange(pDX);

//{{AFX_DATA_MAP(CAboutDlg)

//}}AFX_DATA_MAP

}

BEGIN_MESSAGE_MAP(CAboutDlg, CDialog)

//{{AFX_MSG_MAP(CAboutDlg)

// No message handlers

//}}AFX_MSG_MAP

END_MESSAGE_MAP()

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // CLDlg dialog