高中数学常用公式与证明专题
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高中数学常用公式与证明专题
本专题由北京大学教材研究所审定 依据《普通高中课程标准》编写
1.不等式的基本性质： （1）对称性：b
a >⇔a
b <
（2）传递性：b a >，c b >⇒c a > （3）可加性：b
a >⇔c
b
c a +>+
（4）加法：b a >，d
c >⇒
d b c a +>+
（5）保号性：b a >，0>c ⇒bc ac >；0
整式形式：ab b a 222≥+，
ab b a 222-≥+（a ，b ∈R ，
当且仅当b a =时取“=”号）
2
)2
(
b a ab +≤（a ，b ∈R ，当且仅当b a =时取“=”号）
根式形式：2
a b +≥a ，b ∈R +
，
当且仅当b a =时取“=”号)
分式形式：2≥+
b
a a
b （0>ab ），2-≤+b a a b （0 倒数形式：若0>x ，则21≥+x x ；若0 x . （2）推广：n n n a a a n a a a ......2121≥+++（a 1，a 2，…，a n 均为正 数） （3）极值定理：“和定积大”、“积定和小”（“一正二定三等”）（技巧：拆、凑） 已知x 、y 都是正数，则有： ①若积xy 是定值p ，则当x=y 时和x+y 有最小值p 2； ②若和x+y 是定值s ，则当x=y 时积xy 有最大值24 1s . 3.常用不等式： （1）不等式链：22112 2 2b a b a ab b a +≤+≤≤+（a 、 b 均为正数） （2）柯西不等式：22222)())((bd a c d c b a +≥++),,,(R d c b a ∈ 4.含绝对值不等式： （1）绝对值的几何意义； （2）性质：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. （3）推论：①|a1+a2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a n| ②|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| 等号成立的条件：①|a+b|=|a|+|b|⇔ab≥0 ②|a-b|=|a|+|b|⇔ab≤0 ③|a|-|b|=|a+b|⇔(a+b)b≤0 ④|a|-|b|=|a-b|⇔(a+b)b≥0 5.不等式的证明方法： （1）比较法：作差、作商 （2）综合法：利用已知或已证的不等式、定理、性质 （3）分析法 （4）换元法：三角换元、代数换元 （5）构造法：构造函数、向量、斜率、复数、数列、距离、定比分点、图形等 （6）反证法 （7）放缩法 （8）判别式法： （9）数学归纳法 6.不等式的解法： （1）一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）（a≠0）.（结合图象求解集）如果a与ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. x1 x （2）简单的高次不等式：（x-x1）（x-x2）…（x-x n）<0（穿针引线法） （3）分式不等式：转化为整式不等式，同时需要注意分母不能为零.需要强调的是奇次重根和偶次重根的区别. （4）含参数的不等式：注意根的大小讨论、二次项系数是否为零的讨论、判别式的讨论.