届江苏四校高三联考数试卷及答案
2024届江苏省南通海安高级中学等四校联考试卷
2024届南通海安高级中学等四校联考试卷（考试时间150分钟，分数150分）一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。
游戏是快乐的，这种快乐在释放用户主体性的数字时代得到充分体现，从人们对文学的消费活动来看，它在很大程度上成了一种基于玩乐心理的游戏。
英国学者威廉·斯蒂芬森主张从游戏范式来理解传播，认为大众传播研究严重忽视游戏元素，应从传统信息理论走向游戏理论。
受行为主义心理学影响的传统传播效果研究，将信息刺激与受众反应之间看成线性关系，忽视其个体差异与精神复杂性。
在斯蒂芬森看来，用户在传播中是体验快乐的主体，比如人们看报纸，并非必需任务，也无明确目标，而是随心所欲浏览，成为自主性游戏。
斯蒂芬森强调从信息范式走向游戏范式，这种范式转换显然在当下具有很大阐释力。
当代社会是闲暇社会，网络兴起后，数字化休闲更是成为人们的日常生活，网络聊天、角色扮演、自拍展示、操控、互动、恶搞、玩梗……网民种种行为都带有游戏性。
斯蒂芬森所在的时代还没有网络，传播中的游戏行为主要基于想象，而现在人们可以充分互动、操作，更有参与、行动的游戏感。
这也表现在文学上，网民对文学的态度主要基于游戏心理，对文学的阅读、“代入”、戏仿、分享、玩梗、吐槽，以及二次创作，主要是为了“好玩”。
需要注意的是，游戏性并不限于娱乐性较强的大众文学的消费活动，而是指整个数字时代的文学，不管是大众文学还是精英文学，只要它在网上消费时，都会出现游戏行为，比如传统经典《红楼梦》，网络上有大量关于它的角色扮演、玩梗与二次创作，又比如超文本文学、超媒体文学，对它们的阅读与互动本身就带有游戏性。
文学消费活动的游戏化实际上是历史趋势。
游戏与艺术、文学的游戏性与社会性早期处于交融状态，此后开始分离，或强调文以载道，或走向感官游戏。
书面文化制约了交互的游戏性，不过也有一些文学实验试图突出读者的主动性，尤其是后现代文学让阅读走向游戏化。
江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学含答案
江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学试题参考公式:一组数据12,,,n x x x L 的方差为:2211(),n i i s x x n ==-∑其中x 是数据12,,,n x x x L 的平均数. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分｡请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={x|-1<x≤1}, B={-1,0,1},则A∩B=___.2.已知复数z 满足(1-i)z=|1+i|(i 为虚数单位),则z 的实部为____.3.若一组样本数据8, 9, x, 9, 10的平均数为9,则该组数据的方差为__.4.根据如图所示伪代码,最后输出的i 的值为____.5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动,则至少有1名女同学被选中的概率为____.6.双曲线2213y x -=的准线方程为____. 7.已知*){}(n a n ∈N )为等差数列,其公差为-2,且6a 是2a 与8a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,则10S 的值为_____. 8.已知函数21()ln 2f x x x ax =-+,若函数f(x)在区间(1,2)上存在极值,则实数a 的取值范围为____. 9.给出下列命题:①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m 垂直;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中真命题的序号是_____.10. 已知函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象过点2),且在区间[0,]2π上单调递减,则ω的最大值为____ 11. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:(2)4,C x y -+=点A 是直线x-y+2=0上的一个动点,直线AP,AQ分别切圆C 于P,Q 两点,则线段PQ 长的取值范围为_____.12. 已知正实数x, y 满足2()1,xy x y -=则x+y 的最小值为____.13. 如图,在梯形ABCD 中,AB//CD 且DC=2AB=2BC,E 为BC 的中点, AC 与DE 交于点O.若125,CB CD OA OD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则∠BCD 的余弦值为____.14. 已知周期为6的函数f(x)满足f(4+x)= f(4-x),当x ∈[1,4]时,ln (),x f x x =则当323a e <≤时(e 为自然对数的底数),关于x 的不等式2()()0f x af x -<在区间[1,15]上的整数解的个数为_____.二､解答题:本大题共6小题,共90分｡请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡15. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD 是菱形,M 为PC 的中点｡(1)求证:PA//平面BDM;(2)若PA=PC,求证:平面PBD ⊥平面ABCD.16.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知角a 的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过一点P(-3,t)｡(1)若t=4,求:sin()4πα+的值; (2)若3t =且α∈(0,2π),求f(x)= sin(x + α) + cos x 的单调增区间.17. (本小题满分14分)如图,某大型厂区有三个值班室A,B,C.值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处,值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处｡(1)保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处,此时PC=2,求PB 的距离;(2)保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A,保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B,甲乙同时出发,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时,若甲乙两人通过对讲机联系,对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米(含3千米),试问有多长时间两人不能通话?18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的方程为2221(02)4x y b b+=<<,且直线2y x =+与以原点为圆心,椭圆C 短轴长为直径的圆相切.(1) 求b 的值;(2)若椭圆C 左右顶点分别为M,N,过点P(-2,2)作直线l 与椭圆交于A, B 两点,且A,B 位于第一象限,A 在线段BP 上.①若△AOM 和△BON 的面积分别为12,,S S 问是否存在这样的直线l 使得121S S +=?请说明理由;②直线OP 与直线NA 交于点C,连结MB,MC,记直线MB,MC 的斜率分别为1,k 2.k 求证:12k k 为定值.19. (本小题满分16分)已知数列*{}()n a n ∈N 的前n 项和为S n ,()2nn n S a λ=+(λ为常数)对于任意的*n ∈N 恒成立. (1)若11,a =求λ的值;(2)证明:数列{}n a 是等差数列; (3)若22,a =关于m 的不等式|2|1m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解,求λ的取值范围.20. (本小题满分16分) 已知函数ln ()(1x f x a ax =∈+R ,且a 为常数). (1)若函数y=f(x)的图象在x=e 处的切线的斜率为21(1)e e -(e 为自然对数的底数),求a 的值; (2)若函数y= f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a 的取值范围;(3)已知x,y ∈(1,2), 且x+y=3.求证:(23)ln (23)ln 011x x y y x y --+≤--.21. [选做题]本题包括A ､B ､C 共3小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A. [选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分) 曲线221x y +=在矩阵0(0,0)0a A a b b ⎡⎤=>>⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到曲线22 1.9x y += (1)求矩阵A;(2)求矩阵A 的特征向量.B. [选修4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程:12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以原点为极点,x 轴非负半轴为极轴(取相同单位长度)建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为: ρ+ 2cosθ=0.(1)将直线l 的参数方程化为普通方程,圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值.C. [选修4-5:不等式选讲] (本小题满分10分)已知a,b,c 为正实数,满足a+b+c=3,求149a b c++的最小值.[必做题]第22题､第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)五个自然数1､2､3､4､5按照一定的顺序排成一列.(1)求2和4不相邻的概率;(2)定义:若两个数的和为6且相邻,称这两个数为一组“友好数”.随机变量ξ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数"的组数,求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).23. (本小题满分10分)已知*,n ∈N 数列T 12:,,,n a a a L 中的每一项均在集合M ={1,2,…,n}中,且任意两项不相等,又对于任意的整数i,j(1≤i<j≤n),均有.i j i a j a +≤+例如n=2时,数列T 为1,2或2,1.(1)当n=3时,试求满足条件的数列T 的个数;(2)当*,n ∈N 求所有满足条件的数列T 的个数.。
江苏省四校2024届高三下学期期初测试联考化学试卷含答案
2024届高三年级第二学期期初测试化学试题(时间：75分钟；总分100分)注意事项：1.本试卷共分单项选择题和非选择题两部分。
2.所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Co 59一、单项选择题：共13题，每题3分，共39分。
每题只有一个选项最符合题意。
1.化学与生产、生活等密切相关。
下列说法正确的是A.采用冷链运输新冠疫苗，以防止蛋白质变性B.向河水中加入明矾，可除去悬浮杂质并杀灭有害细菌C.大丝束碳纤维被称为“新材料之王”，属于有机高分子材料D.5G技术实现超高清信号长时间稳定传输，5G芯片主要材质是SiO22.土壤中的硝酸盐可通过其中的硫化物分解，其主要化学反应原理是：5K2S＋8KNO3＋4H2O ＝4N2↑＋5K2SO4＋8KOH。
下列表示相关微粒的化学用语正确的是NA.中子数为9的氮原子：97B.KOH的电子式:C.S2－的结构示意图：D.基态O的电子排布图:3.下列实验装置操作正确且能达到实验目的的是A.甲装置可用于灼烧海带B.乙装置可检验铁发生了吸氧腐蚀C.丙装置可比较乙酸和碳酸的酸性D.丁装置可收集氯气并进行尾气处理4.下列物质的性质与用途具有对应关系的是A.Al的金属活泼性强，可用于制作铝金属制品B .MgCl 2易溶于水，可用作工业电解制备单质镁C .浓H 2SO 4具有脱水性，可用作实验室的干燥剂D .PbO 2具有氧化性，可用作铅蓄电池的正极材料 5.一定条件下，下列选项所示的物质间转化均能实现是A .HClO −−−→光照Cl 23NH−−−→NH 4ClB .CuSO 4(aq )NaOH(aq)−−−−→Cu (OH )2−−−→麦芽糖△Cu 2O C .NaCl (aq )2CO−−−−→过量NaHCO 3(s )−−→△Na 2CO 3(s )D .SO 22H O −−−→H 2SO 4(aq )C−−→△CO 2 阅读下列材料，完成6～8题。
江苏省淮阴中学等四校2023-2024学年高三上学期期初联考数学试题
江苏省淮阴中学等四校2023-2024学年高三上学期期初联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.设集合{},1,2A m =-，其中m 为实数．令{}3B a a A=∈，C A B = ．若C 的所有元素和为9，则C 的所有元素之积为（）A.0B.2C.4D.0或42.已知复数z 满足1z =，且11i 31z a z +=++，则a =（）A.13B.3C.35D.453.设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,},a b n a b ∈> 记n A 为满足3a b -≥的点P 的个数，则n A =（）A.3n - B.(1)n n - C.2n - D.()()232n n --4.若ABC 的内角A ，B ，C 满足sin cos tan A B C ==，则A 与B 的关系为（）A.π2A B -=B.π2A B +=C.π2B A -=D.π3A B +=5.1986年4月26日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物为锶90-，它每年的衰减率约为2.5%.专家估计，当锶90-含量减少至初始含量的约91.610-⨯倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这一过程约持续（）(参考数据：lg20.301lg975 2.989≈≈，)A.400年 B.600年 C.800年D.1000年6.已知线段AB 是抛物线24y x =的一条弦，且AB 中点M 在1x =上，则点A 横坐标（）A .有最大值，无最小值B.无最大值，有最小值C.无最大值，无最小值D.有最大值，有最小值7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（）A.981012⋅B.971012⋅ C.981002⋅ D.971002⋅8.设()()2f xg x x=，()00f =，对于,0x y ≠，有()()()g xy g x g y =+，则0x =是()f x 的（）A .极大值点B.极小值点C.非极大极小值点D.ABC 选项均可能二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知R a ∈，则函数()||(2)f x x a x a =+-的图象可能是（）A. B. C. D.10.已知O 为坐标原点，点221111(,),(sin ,cos ),(,),(8,1)sin cos sin cos A B C D θθθθθθ，其中θ为锐角，则（）A.OA OB ⋅为定值B.||OA OB +的最大值为3C.OC OD ⋅的最小值为9+ D.OA OD ⋅的最小值为11.有方程2023x y z ++=，试讨论有序数对(),,x y z 解的个数．下列分析正确的是（）A.若x ，y ，z 均为正整数，则(),,x y z 解的个数为22022CB.若x ，y ，z 均为非负整数，则(),,x y z 解的个数为22025C C.若x ，y ，z 均为正整数，且x ，y ，z 两两不等，则(),,x y z 解的个数为341044D.若x ，y ，z 均为正整数且满足x y z ≤≤，则(),,x y z 解的个数为34104412.设函数1()()f x f x ==，且N n *∀∈都有1()(())n n f x f f x +=，则下列判断正确的是（）A.N n *∀∈，()n y f x =的图象关于原点对称B.N n *∀∈，直线(0)y m m =>和()n y f x =的图象至多只有一个交点C.N n *∃∈，命题“,R a b ∃∈，满足()[()()]0n n a b f a f b --<”成立D.N n *∃∈，使得(0,+)y ∀∈∞，都有12()()()n f y f y f y +++> 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.请写出一个同时满足以下三个条件的函数()f x =__________.①()f x 的定义域是R ；②()f x 是偶函数；③()f x 的值域为[0,1).14.现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为______（用数字作答）.15.将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2S =梯形的周长梯形的面积，则S 的最小值是________．16.设椭圆T ：2221(20x y a a +=>的右焦点为F ，过点(1,1)P 的直线l 与椭圆交于点A ，B ，M 为AB 的中点，使得FM 是FA 、FB 的等比中项，则a 的最小整数值为_____四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与边BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F．（1）试证明：sin sin BD AB BADDC AC DAC∠=∠（2）若P 为重心，5,4,3AD BE CF ===，求ABC 的面积．18.已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．（1）求{}n a 的通项公式和1212n n ii a --=∑．（2）已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n -≤≤-，则1k n k b a b +<<，（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121kk kb -<<+；（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和．19.如图，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为矩形，且M 为线段EF 上的动点，//AB CD ，90ABC ∠= ，2AD DE =，222AB CD BC ===.（1）当M 为线段EF 的中点时，（i ）求证：AM ⊥平面BDM ；（ii ）求直线AM 与平面MBC 所成角的正弦值；（2）记直线AM 与平面MBC 所成角为α，平面MAD 与平面MBC 的夹角为β，是否存在点M 使得αβ=?若存在，求出FM ；若不存在，说明理由.20.已知双曲线22:1C x y -=．（1）求C 的右支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数．（2）记C 的左、右顶点分别为12A A ，，过点()2,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上．21.某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（n 和k 都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使()P X m =取得最大值的整数m .22.设()ln(1)f x x ax b =++++（,R,,a b a b ∈为常数），曲线()y f x =与直线32y x =在()0,0点相切．（1）求,a b 的值．（2）证明：当02x <<时，9()6x f x x <+．2023-2024学年上学期期初考试高三数学2023.8一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合{},1,2A m =-，其中m 为实数．令{}3B a a A=∈，C A B = ．若C 的所有元素和为9，则C 的所有元素之积为（）A .B.2C.4D.0或4【答案】A 【解析】【分析】根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之和求出参数，然后在求元素之积【详解】根据集合中元素的互异性，1m ≠-且2m ≠.由题意，{}{}33,1,8B a a A m =∈=-.情况一：若3=m m 时当0m=时，{}0,1,2A =-，{}0,1,8B =-，{}0,1,2,8C A B ==- ，C 的所有元素和为9，符合题意，此时C 的所有元素之积为0；当1m=时，{}1,1,2A =-，{}1,1,8B =-，{}1,1,2,8C A B ==- ，C 的所有元素和为10，不符题意；情况二：若32m =时，此时m =，}1,2A =-，{}2,1,8B =-，但CA B =，不可能元素之和为9；情况三：若1m ≠±，2m ≠，m ≠且0m ≠时，则,A B 中只有唯一重复元素1-，则{}3,1,2,,8C A B m m ==- ，由题意31289m m -+++=，即320(1)m m m m +==+，此时0m =，矛盾.综上所述，0m =时符合题意，此时C 的所有元素之积为0.故选：A2.已知复数z 满足1z =，且11i 31z a z +=++，则a =（）A.13B.3C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】由题设令cos isin z θθ=+，利用复数除法化简11z z ++，再由复数相等求a .【详解】令cos isin 1z θθ=+≠-，则cos isin 1z θθ=-≠-，所以22221cos 1isin (cos 1isin )2cos 2cos 2sin (cos 1)icos 1isin (cos 1)sin 22cos 1z z θθθθθθθθθθθθθ++++++++===+-++++1cos isin i 3a θθ=+=+，则1cos 3sin aθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故3a ==.故选：B3.设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,},a b n a b∈> 记n A 为满足3a b -≥的点P 的个数，则n A =（）A.3n - B.(1)n n - C.2n - D.()()232n n --【答案】D 【解析】【分析】由题意3a b ≥+且{1,2,3,,}b n ∈ ，则{4,5,6,,}a n ∈ ，分析b 的不同取值对应a 的个数，再应用等差数列前n 项和公式求点P的个数.【详解】由题意3a b ≥+且{1,2,3,,}b n ∈ ，故{4,5,6,,}a n ∈ ，整数4n ≥，当1b=，对应a 有3n -个；当2b =，对应a 有4n -个；……；当3b n =-，对应a 有1个；所以满足3ab -≥的点P 的个数()()(3)(12332)2n n n A n n -+---==.故选：D4.若ABC 的内角A ，B ，C 满足sin cos tan A B C ==，则A 与B 的关系为（）A.π2A B -= B.π2A B +=C.π2B A -=D.π3A B +=【答案】A 【解析】【分析】依题意由sin cos A B =可得π2A B =+或π2A B +=，再分类讨论，即可判断.【详解】因为sin cos A B =，且A ，B ，C 为ABC 的内角，因为sin cos 0,A B =>所以π0,2B <<所以π2A B =+或π2A B +=，若π2A B +=，则π2C =，此时tan C 不存在，故舍去；∴π2A B =+.故选：A.5.1986年4月26日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物为锶90-，它每年的衰减率约为2.5%.专家估计，当锶90-含量减少至初始含量的约91.610-⨯倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这一过程约持续（）(参考数据：lg20.301lg975 2.989≈≈，)A.400年 B.600年C.800年D.1000年【答案】C 【解析】【分析】根据衰减率，列出方程，求解该次核泄漏对自然环境的影响消除时持续时间.【详解】设初始含量为a ，则9(1 2.5) 1.610n a a --%=⨯，即1097516()100010n =，两边取对数得lg1610104lg 2=800lg 97533lg 975n --=≈--.故选：C.6.已知线段AB 是抛物线24y x =的一条弦，且AB 中点M 在1x =上，则点A 横坐标（）A.有最大值，无最小值B.无最大值，有最小值C.无最大值，无最小值D.有最大值，有最小值答案】D 【解析】【分析】由题意，可知当点A 在原点时横坐标有最小值0，由于AB 中点M 在1x =上，从而最大值为2.【详解】由题意，设()()1122,,,A x y B x y 由抛物线范围可知，0x ≥，所以如图1，当点A 在原点时横坐标有最小值，为0，由AB 中点M 在1x =上，可知1212x x +=，即122x x =-，所以12x ≤，即如图2，当点B 在原点时,点A 横坐标有最大值，为2.故选：D.7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（）A.981012⋅ B.971012⋅ C.981002⋅ D.971002⋅【答案】A 【解析】【分析】先发现每一行的公差的规律，然后利用数表的性质进行求解.【详解】根据下列数表的规律可以发现，第一行的公差是02，第二行公差是12，然后下面每一行的公差依次是22，32 第99行的公差是982.设第n 行的第一个数是n a ，则9898979810099999998(2)222(22)2a a a a a =++=+=++29899989898122229921012a a =+⋅==+⋅=⋅ ，即第100行第1个数是981012⋅.故选：A8.设()()2f xg x x=，()00f =，对于,0x y ≠，有()()()g xy g x g y =+，则0x =是()f x 的（）A.极大值点B.极小值点C.非极大极小值点D.ABC 选项均可能【答案】D 【解析】分析】根据极值点的定义，结合对数函数的性质，可得答案.【详解】由()()()g xy g x g y =+，可设()ln g x x=，则()2ln ,00,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，易知：f (x )在定义域内连续且为偶函数，当()()1,00,1x ∈-U 时，ln 0x <，则()()00f x f <=，此时0x =为()f x 的极大值点；可设()ln g x x=-，则()2ln ,00,0x x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩，易知：f (x )在定义域内连续且为偶函数，当()()1,00,1x ∈-U 时，ln 0x <，则()()00f x f >=，此时0x =为()f x 的极小值点；当()0f x =，则()()00g x x =≠，满足()()()g xy g x g y =+，此时0x =为()f x 的非极大极小值点.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知R a ∈，则函数()||(2)f x x a x a =+-的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】先由选项得到0a ≠，再分0a >和a<0两类讨论，利用(0)f 的正负及()f x 的两个零点的分布情况，即可得到函数()f x 可能的图象.【详解】由题意知,2a a -是()f x 的两个零点，由选项可知2aa -≠，即0a ≠当0a >时，2(0)2||=20f a a a =--<，2||a a >-，ACD 错，B 对.当a<0时，2(0)2||20f a a a =-=>，|2|a a >-，ABD 错，C 对.故选：BC.10.已知O 为坐标原点，点221111(,(sin ,cos ),(,(8,1)sin cos sin cos A B C D θθθθθθ，其中θ为锐角，则（）A.OA OB ⋅为定值B.||OA OB +的最大值为3C.OC OD ⋅的最小值为9+ D.OA OD ⋅的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】由向量数量积、模长的坐标表示写出各项关于θ对应的表达式，应用三角恒等变换、基本不等式“1”的代换、导数求对应最值判断各项正误.【详解】由θ为锐角，故sin ,cos (0,1)θθ∈，A ：11sin cos 2sin cos OA OB θθθθ⋅=⨯+⨯= 为定值，对；B：||OA OB+===，所以||3OA OB +≥，当且仅当sin cos 2θθ==时等号成立，故最小值为3，错；C ：22228181sin cos sin 1sin OC OD θθθθ⋅=+=+- ，而22sin ,1sin (0,1)θθ-∈，所以22222222818(1sin )sin ()(sin 1sin )9sin 1sin sin 1sin θθθθθθθθ-++-=+--9≥9=+，当且仅当sinθ=OCOD ⋅的最小值为9+D ：81sin cos OA ODθθ⋅=+，且sin ,cos (0,1)θθ∈，1122222333818811()(sin cos )[(sin )(cos )]125sin cos sin sin cos cos θθθθθθθθθθ++≥⋅+⋅⋅=，所以81sin cos θθ+≥，当且仅当228sin sin 1cos cos θθθθ=，即tan 2θ=时等号成立；（法一）令81()sin cos f θθθ=+，则332222sin 8cos sin 8cos ()cos sin sin cos f θθθθθθθθθ-'=-=，令()0f θ'=，即tan 2θ=，且π(0,)2θ∈，则sin θθ==，当sin 2cos θθ<，()0f θ'<，即()f θ递减；当sin 2cos θθ>，()0f θ'>，即()f θ递增；所以min ()f θ=sin θθ==，（法二），对.故选：ACD11.有方程2023x y z ++=，试讨论有序数对(),,x y z 解的个数．下列分析正确的是（）A.若x ，y ，z 均为正整数，则(),,x y z 解的个数为22022C B.若x ，y ，z 均为非负整数，则(),,x y z 解的个数为22025C C.若x ，y ，z 均为正整数，且x ，y ，z 两两不等，则(),,x y z 解的个数为341044D.若x ，y ，z 均为正整数且满足x y z ≤，则(),,x y z 解的个数为341044【答案】ABD 【解析】【分析】AB 可转化为排列组合问题用档板法可得；C 选项可先求x ，y ，z 相等时(),,x y z 的解个数，再用排除法可得；D 选项分为由相等和不相等并且x y z ≤≤的不同的类，利用分类加法可得.【详解】选项A ：因x ，y ，z 均为正整数，2023x y z ++=则(),,x y z 解的个数相当于把2023个1用两个档板分成3份，分别对应x ，y ，z ，所以(),,x y z 解的个数为22022C ，故A 正确；选项B ：由2023x y z ++=得()()()1112026x y z +++++=，因x ，y ，z 均为非负整数，所以()1x +，()1y +，()1z +均为正整数，(),,x y z 与()1,1,1x y z +++一一对应，()()()1112026x y z +++++=相当于把2026个1用两个档板分成3份，分别对应1x +，1y +，1z +，所以(),,x y z 解的个数为22025C ，故B 正确；C 选项：因x ，y ，z 均为正整数，2023x y z ++=，若x y z ==，则20233x =，不满足x 为正整数，故x ，y ，z 至多有两个相等，若x y z =≠，则22023x z +=,故x 的取值为从1到1011的整数，共1011个，所以x ，y ，z 有两个相等时(),,x y z 的个数为23C 10113033⨯=个，故x ，y ，z 两两不等时，(),,x y z 解的个数为22022C 30332040198-=个，故C 错误；选项D ：若x ，y ，z 均为正整数且满足x y z ≤≤，当x y z =≤时，因2023x y z ++=，所以20232z x x =->，得20233x <，即674x ≤，所以x 的取值为从1到674的整数，共674个，此时(),,x y z 的个数为674个.当x y z ≤=时，因2023x y z ++=，所以20232xy x -=≥，得20233x ≤，即674x ≤，因y 取正整数，所以x 的取值为从1到674的奇数，共337个，此时(),,x y z 的个数为337个.当x y z <<时，2023个1用两个隔板分成3份，将其从小到大，分别对应x ，y ，z ，有2202233C 3033340033A -=共有340033674337341044++=，故D 正确.故选：ABD12.设函数1()()f x f x ==，且N n *∀∈都有1()(())n n f x f f x +=，则下列判断正确的是（）A.N n *∀∈，()n y f x =的图象关于原点对称B.N n *∀∈，直线(0)y m m =>和()n y f x =的图象至多只有一个交点C.N n *∃∈，命题“,R a b ∃∈，满足()[()()]0n n a b f a f b --<”成立D.N n *∃∈，使得(0,+)y ∀∈∞，都有12()()()n f y f y f y +++> 成立【答案】AB 【解析】【分析】由递推关系得到()n f x =，即可得到函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可判断A 、B 、C ，再利用放缩法证明，即可判断D ；【详解】解：由题可得21()(())f x f f x ==同理得3()f x =，，由此推得()n f x =，x ∈R ，所以()()n n f x f x -=-，则()n y f x =为奇函数，函数图象关于原点对称，故A 对.当0x >时，()n f x =N n *∀∈，()n f x 在R 上单调递增，B 对，C 错.(0,+)y ∀∈∞，()n f y <，故1()f y+2()()n f y f y ++<+，当1k ≥时，=<，则+< ，D 错.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.请写出一个同时满足以下三个条件的函数()f x =__________.①()f x 的定义域是R ；②()f x 是偶函数；③()f x 的值域为[0,1).【答案】221x x +(答案不唯一)【解析】【分析】根据函数满足的性质求解即可【详解】令22()1x f x x =+，则()f x 的定义域是R ；22()()()()1x f x f x x --==-+，则()f x 为偶函数；2221()111x f x x x ==-++，因为211x +≥，所以210111x ≤-<+，即()f x 的值域为[0,1)，所以22()1x f x x =+符合题意.故答案为：221x x +(答案不唯一)14.现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为______（用数字作答）.【答案】15000【解析】【详解】由题意知满足条件的方案有两种情形：1.有一个项目有3人参加，共有31755!5!3600CC ⨯-⨯=种方案；2.有两个项目各有2人参加，共有()22275515!5!114002C C C ⨯-⨯=种方案.故所求的方案数为36001140015000+=.故答案为1500015.将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2S =梯形的周长梯形的面积，则S 的最小值是________．【答案】3【解析】【分析】设()01CD x x =<<，可求得243x S -=S 的最小值.【详解】如图，设()01CDx x =<<，则梯形ABED 的周长为()2113x x x +-+=-，梯形ABED的面积为()221444ABC CDE S S x x -=-=-△△，所以，223434x x S --==，则()()()2283311x x S x--'=--，当103x <<时，0S '<，此时函数243x S -=当113x <<时，0S '>，此时函数243x S -=13x =时，S取得最小值3.故答案为：3.16.设椭圆T ：2221(20x y a a +=>的右焦点为F ，过点(1,1)P 的直线l 与椭圆交于点A ，B ，M 为AB 的中点，使得FM 是FA 、FB的等比中项，则a 的最小整数值为_____答案】7【解析】【分析】根据中点的性质，结合点到直线距离公式、点与椭圆的位置关系、等比中项的性质进行求解即可.【详解】因为211111202520a +≤+<，所以点(1,1)P 在该椭圆内，因此过点(1,1)P 的直线l 与椭圆必有两个交点，设()()1122,,,A x y B x y ，因为M 为AB 的中点，所以有()()222211244FM FA FBFA FB FA FB =+=++⋅222221242FA FB AB FA FB FA FB FA FB ⎛⎫+- ⎪=++⋅⋅ ⎪⋅ ⎪⎝⎭()22211,24FA FB AB =+- 即()22221124FM FA FB AB ==+-，因为FM是FA 、FB的等比中项，所以2F M F F A B=⋅，于是有()222AB FA FB=-，220,b c ==，1cFA a x a ===-，同理：2c FB a x a=-，由()()()()222222121221222[]c AB FA FB x x y y x x a=-⇒-+-=-，即()()2221221240a y y x x a--=-，显然有2240040a a -≥⇒≥，所以a 的最小整数值为7，故答案为：7【点睛】关键点睛：利用平面向量加法几何意义，结合余弦定理得到中线表达式是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与边BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F ．（1）试证明：sin sin BD AB BADDC AC DAC∠=∠（2）若P 为重心，5,4,3AD BE CF ==，求ABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】【分析】（1）利用正弦定理及角的互补关系即可证结论；（2）由题意,,AD BE CF为中线，可得10584,,,,2,13333AP PD BP PE CP PF ======，再由2PC PB PD += 、2PA PB PF+=、2PC PA PE+= ，求cos ,cos ,cos BPC APB APC∠∠∠，进而求对应正弦值，结合ABC BPC APB APCS S S S =++ 及三角形面积公式求面积.【小问1详解】ABD △中sin sin AB BDADB BAD =∠∠，则sin sin AB BAD BD ADB∠=∠，ACD 中sin sin AC DCADC DAC =∠∠，则sin sin AC DAC DC ADC∠=∠，又π,ADB ADC ∠+∠=则sin sin ADB ADC ∠=∠，所以sin sin BD AB BAD DC AC DAC∠=∠，得证.【小问2详解】由P 是重心，则,,AD BE CF为中线，又5,4,3AD BE CF ===，所以10584,,,,2,13333AP PD BP PE CP PF ======，而2PC PB PD += ，则22224PC PC PB PB PD +⋅+= ，所以3264254cos 4399BPC +∠+=⨯，可得cos 0BPC ∠=，且(0,π)BPC ∠∈，所以π2BPC ∠=，同理2PA PB PF += ，2PC PA PE += ，可得4cos 5APB ∠=-，3cos 5APC ∠=-，所以3sin 5APB ∠=，4sin 5APC ∠=，则181********228232335235ABCBPC APB APC SS S S =++=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= .18.已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．（1）求{}n a 的通项公式和1212n n i i a --=∑．（2）已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n -≤≤-，则1k n k b a b +<<，（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121k k k b -<<+；（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和．【答案】（1）21n a n =+，1121234n n n ii a --=-=⋅∑；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2n nb=，前n 项和为122n +-.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得13,2a d ==，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n 项和公式计算可得1121234n n n ii a--=-=⋅∑.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当1221k k n -≤≤-时，k n b a <，取12k n-=，当21221k k n --≤≤-时，n k a b <，取121k n -=-，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n 项和公式即可计算其前n 项和.【小问1详解】由题意可得25153251624a a a d a a d +=+=⎧⎨-==⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，则数列{}n a 的通项公式为()1121n a a n d n =+-=+，求和得()()11121212112222122121n n n n n n n n i i i i a i i -------====+=+--+∑∑∑()()()1111222122212n n n nn ----⎡⎤=++++++-+⎣⎦()1111222122342n n n n n ----+-⋅=+=⋅.【小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当1221k k n -≤≤-时，k n b a <，取12k n -=，则11222121k k k k b a --<=⨯+=+，即21kk b <+，当21221k k n --≤≤-时，n k a b <，取121k n-=-，此时()1121221121k k k n a a ---==-+=-，据此可得21kk b -<，综上可得：2121k k kb -<<+.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2121k k kb -<<+，1112121k k k b +++-<<+则数列{}n b 的公比q 满足11121321322+21212121k k k k k k k k b q b +++-+=-<<=++--=，当*,N kk ∈→+∞时，3322,2+22121k k⎛⎫⎛⎫-→→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+，所以2q =，所以1121212k k kb --<<+，即11111211222122221k k k k k kb -----=+=-<<+，当*,N k k ∈→+∞时，111122,2222k k --⎛⎫⎛⎫-→+→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12b =，所以数列的通项公式为2n nb=，其前n 项和为：()12122212nn nS +⨯-==--.【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前n 项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.19.如图，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF为矩形，且M 为线段EF上的动点，//AB CD ，90ABC ∠= ，2AD DE =，222AB CD BC ===.（1）当M 为线段EF的中点时，（i ）求证：AM ⊥平面BDM ；（ii ）求直线AM 与平面MBC 所成角的正弦值；（2）记直线AM与平面MBC 所成角为α，平面MAD 与平面MBC 的夹角为β，是否存在点M 使得αβ=?若存在，求出FM；若不存在，说明理由.【答案】（1）（i ）证明见解析；（ii）11（2）存在，2FM =-【解析】【分析】（1）（i ）利用面面垂直的性质可推导出BD ⊥平面ADM，可得出AM BD ⊥，利用勾股定理可得出AM DM⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（ii ）取AD 的中点为P ，BC 的中点为Q ，连接MP 、PQ 、QM，计算出点A 到平面MBC 的距离以及线段AM的长，即可得出直线AM与平面MBC 所成角的正弦值；（2）假设存在点M ，使得αβ=，延长AD 与BC 交于点G ，连接MG ，根据已知条件得出AMR ∠是直线AM与平面MBC 所成的角，ATR ∠是二面角A MG B --的平面角，计算出AMF 三边边长，利用勾股定理求出x 的值，即可得出结论.【小问1详解】（i ）由题意，四边形ABCD 为直角梯形，且90ABC ∠= ，//AB CD ，所以90BCD∠= ，所以BD ===取AB 的中点N ，连接DN ，则//CD BN 且CD BN =，且90BCD ∠= ，故四边形BCDN 为矩形，则DN //BC ，且DN BC =，所以AD ==又由2AB =，所以222BD AD AB +=，所以BD AD ⊥，又平面ADM ⊥平面ABCD ，平面ADM 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ADM，又AM ⊂平面ADM，所以AM BD ⊥，因为1MD MA ==，AD =，则222AM DM AD +=，所以AM DM⊥，又DMBD D = ，DM 、BD⊂平面BDM，所以AM ⊥平面BDM.（ii ）取AD 的中点为P ，BC 的中点为Q ，连接MP 、PQ 、QM ，过P 在平面PQM内作PO 垂直于MQ ，垂足为O ，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，AF AD ⊥，所以AF ⊥平面ABCD ，M 为EF的中点，所以//MP AF ，所以MP ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PM⊥，又因为BC PQ ⊥，PQ PM P ⋂=，PQ 、PM ⊂平面PMQ ，所以BC ⊥平面PMQ ，PO ⊂平面PMQ ，所以PO BC ⊥，MQ BC O = ，,MQ BC ⊂平面BCM ，得PO⊥平面BCM，因为2MP=，32PQ=，π2MPO∠=，所以2MQ==，由等面积法可得222MP PQPOMQ⋅====，延长AD与BC交于点G，则D为AG的中点，G为直线AD与平面MBC的交点，设点A到平面MBC的距离为d，直线AM与平面MBC所成的角为θ，则34PO GdPGA==，所以14433122d PO==⨯=，由1AM=，所以，sin11AMdθ==；【小问2详解】假设存在点M，使得αβ=，延长AD与BC交于点G，连接MG，则平面AMD⋂平面MBC MG=，设AR⊥平面MBC，垂足为R，连接MR，AMR∠是直线AM与平面MBC所成的角，因为//CD AB且12CD AB=，所以，点D为AG的中点，则2AG AD==，过点R作RT垂直于MG，垂足为T，因为AR⊥平面MBC，MG⊂平面MBC，所以AR MG⊥，又因为RT MG⊥，AR RT R=，AR、RT⊂平面ART，所以MG⊥平面ART，因为AT⊂平面ART，所以AT MG⊥，ATR∠是二面角A MG B--的平面角，所以sinARAMα=，sinARATβ=，由αβ=，得AM AT=，所以M、T重合，由AT MG⊥，得AM MG⊥，设(0FM x x=≤≤，则2212AM x=+，()2212G xM=-+，由勾股定理可得222AM GM AG+=，即()2211822x x +++=，整理可得2210x -+=，解得2x =-或2x =（舍），所以存在点M ，当2FM =，有αβ=成立.【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是假设存在点M ，使得αβ=，延长AD 与BC 交于点G ，根据已知条件得出AMR ∠是直线AM与平面MBC 所成的角，考查了学生的空间想象能力、运算能力.20.已知双曲线22:1C xy -=．（1）求C 的右支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数．（2）记C 的左、右顶点分别为12A A ，，过点()2,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）9800（2）1=2x -【解析】【分析】（1）由题意2x =开始求整点通项,再应用等差数列求和个数计算即可得；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线1MA 与2NA 的方程，联立直线方程，消去y ，结合韦达定理计算可得1113x x +=--，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P 在定直线1=2x -上.【小问1详解】因为双曲线方程为22:1C xy -=，令,299x n n =≤≤时,整点时y 为()222211n y n n <-<-<,整点个数为()=21+1=21y n n --,299n ≤≤区域内部（不含边界）整点为()983+197=98002个.【小问2详解】由(1)可得()()121,0,1,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为2x my =-，且11m -<<，与22:1C xy -=联立可得()221430m y my --+=，且24(73)0m ∆=->，则1212224,131m y y y y m m +==--，直线1MA 的方程为()1111y y x x =++，直线2NA 的方程为()2211y y x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()21211212112121211111133y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++===----1122211224111133313331m mm y y m m m m m y y m m -⋅-++---===-⨯----，由1113x x +=--可得1=2x -，即12P x =-，据此可得点P 在定直线1=2x -上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.21.某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（n 和k 都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使()P X m =取得最大值的整数m .【答案】（1）22221(1)k kn k Pn n -=--=（2）2(1)22k mk n +≤-+【解析】【分析】（1）由于A 和B 是相互独立，11C ()()C k n k nk P A P B n --===，没有收到信息的概率正好是2(1k n -，所以最后的结果就能求出；（2）要从k n =和k n <两个角度考虑.【小问1详解】设事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”，事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”，由题意A 和B 是相互独立的事件，则A 与B相互独立，而11C ()()C k n k nk P A P B n --===所以(()1kP A P B n==-，因此，学生甲收到活动通知信息的概率为22221(1)k kn k P n n -=--=.21【小问2详解】当kn =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====当k n <，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k 和中的较小者.“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为2(C )kn .当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数为m k -，则由乘法计数原理知：事件{}X m =所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m k n k n k n k n k ------=此时22C C C C C ()(C )C k k m m k m k mk n k n k k n k k k n nP X m ------===当k m t ≤<，()(1)P X m P X m =≤=+11C C C C m k m k m k m k k n k k n k--+-+---⇔≤化简解得2(1)22k m k n +≤-+假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当2(1)k +能被2n +整除时，22(1)(1)22122k k k k k t n n ++≤-<+-≤++，故()P X m =在2(1)22k m k n +=-+和2(1)212k m k n +=+-+处达到最大值；则当2(1)k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22k m k n ⎡⎤+=-⎢⎥+⎣⎦处达最大值.（注：[]x 表示不超过x 的最大整数）.下证：2(1)22k k k t n +≤-<+因为1k n ≤<，所以222(1)1(1)11202222k kn k k k k k k k n n n n +--+-----=≥=≥++++，22(1)(1)2022k n k k n n n +-+--=-<++，故2(1)22k k n n +-<+，显然2(1)222k k k n +-<+.因此2(1)22k k k t n +≤-<+.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是用高斯取整函数证明2(1)22k k k t n +≤-<+.22.设()ln(1)f x x ax b =++++（,R,,a b a b ∈为常数），曲线()y f x =与直线32y x =在()0,0点相切．（1）求,a b 的值．（2）证明：当02x <<时，9()6x f x x <+．【答案】（1）1b =-，0a =（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接求导得1()1f x a x '=++，再根据()()300,02f f '==即可得到答案；（212x <+，设9()()6x h x f x x =-+12x <+，22证明出ln(1)x x +<，从而得到3()2f x x <，设()(6)()9h x x f x x =+-，利用导数即可证明不等式.【小问1详解】由()y f x =过()0,0点，得1b =-.由()y f x =在()0,0点的切线斜率为32，1()1f x a x '=++，则33(0)22f a '=+=，得0a =.【小问2详解】（证法一）由均值不等式，当0x >时，112x x <++=+，12x <+，记9()()6x h x f x x =-+，则()()215416h x x x =+++'()()2254216x x +=-++()()2654416x x x +<-++令3()(6)216(1)g x x x =+-+，则当02x <<时，2()3(6)2160g x x =+-<'因此()g x 在()0,2内是递减函数，又由(0)0g =，得()0g x <，所以()0h x '<因此()h x 在()0,2内是递减函数，又由(0)0h =，得()0h x <，当02x <<时9()6x f x x <+.（证法二）由（1）知()ln(1)1f x x =++由均值不等式，当0x >时，112x x <++=+12x <+①令()ln(1)k x x x =+-，则(0)0k =，1()1011x k x x x -=-=+'<+，故()0k x <，即ln(1)x x +<②由①②得，当0x >时，3()2f x x <记()(6)()9h x x f x x =+-，则当02x <<时，31()()(6)()9(6)(921h x f x x f x x x x =++-<++++'-'1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x =++++-++1[3(1)(6)(3)18(1)](718)02(1)24(1)x x x x x x x x x <++++-+=-<++因此()h x 在()0,2内单调递减，又(0)0h =，所以()0h x <，即9()6x f x x <+.12x <+，再设9()()6x h x f x x =-+，多次求导即可证明原不等式.。
江苏省四校联考2025届高三第三次测评数学试卷含解析
江苏省四校联考2025届高三第三次测评数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)-，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．162．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．53．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b-=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65D ．764．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ）A ．,,a b c 依次成等差数列BC ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列5．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．B ．2C ．4D ．36．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-7．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%8．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．09．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺 10．函数24y x =-A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<11．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =12．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【新结构】2023-2024学年江苏省高三4月百校大联考数学试卷+答案解析
【新结构】2023-2024学年江苏省高三4月百校大联考数学试卷❖一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为纯虚数，，则()A.3B.4C. D.2.设集合，，若，则()A.0B.1C.2D.33.已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为()A.B.3C.D.44.已知函数，则下列结论正确的是() A.的最小正周期为 B.在上单调递增C.为偶函数D.的最小值为5.已知点是圆上的任意一点，则的最大值为()A.25B.24C.23D.226.过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线l 交C 于M ，N 两点，若，则()A.B. C. D.7.将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为()A.56B.84C.126D.210二、多选题：本题共4小题，共23分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知函数的定义域为R ，对于任意实数x ，y 满足，且，则下列结论错误的是()A.B.为偶函数C.是周期函数D.9.2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数，如下图所示：下列说法正确的是()A.从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数的第75百分位数为B.从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数的极差为C.从2022年7月到2023年7月，制造业采购经理指数呈下降趋势D.PMI大于，表示经济处于扩张活跃的状态，PMI小于，表示经济处于低迷萎缩的状态，则2023年1月到2023年3月，经济处于扩张活跃的状态10.已知抛物线，过点作直线，，直线与交于A，C两点，A在x轴上方，直线与交于B，D两点，D在x轴上方，连接AB，CD，AD，BC，若直线AB过点，则下列结论正确的是()A.若直线AB的斜率为1，则直线CD的斜率为B.直线CD过定点C.直线AD与直线BC的交点在直线上D.与的面积之和的最小值为11.已知定义在R上的奇函数连续，函数的导函数为当时，，其中e为自然对数的底数，则()A.在R上为减函数B.当时，C. D.在R上有且只有1个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
届江苏省四校高三联考数试卷及答案
江苏省姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考高 三 数 学 2008.12一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分.)1．若复数z 满足i iz 32+=（i 是虚数单位），则z =__________．2．已知命题P ：“R x ∈∀，0322≥-+x x ”，请写出命题P 的否定: ． 3．已知21sin =α，其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，则=+)6cos(πα ． 4．若方程ln 62x x =-的解为0x ，则满足0k x ≤的最大整数k = ． 5．已知函数()xf x x e =⋅，则'(0)f = . 6．函数)6(sin 12π--=x y 的最小正周期是 ．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41217198a a a a +++= ，则25S 的值为 .8．已知圆()1222=+-y x 经过椭圆 22221x y a b+= ()0a b >>的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e = .9．设直线1l ：220x y -+= 的倾斜角为1α，直线2l ：40mx y -+= 的倾斜角为2α，且 2190αα=+o，则m 的值为 .10．已知存在实数a 满足 2ab a ab >> ，则实数b 的取值范围为 . 11．已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 ．12．已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 中点为(,)M x y o o ，且2y x >+o o ，则y x oo的取值范围为 . 13．已知平面上的向量PA u u u r 、PB u u u r满足224PA PB +=u u u r u u u r ,2AB =u u u r ，设向量2PC PA PB =+u u u r u u u r u u u r ，则PC u u u r的最小值是 .14．如果函数2()(31)xxf x a a a =--(0a >且1)a ≠在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是 ．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．（本小题满分14分）如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为PA 的中点. 求证：⑴ PC ∥平面QBD ；⑵ 平面QBD ⊥平面PAC .16．（本小题满分14分）已知O 为原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =u u u r ，(3cos ,sin )OB x x =u u u r，(2,0)OC =u u u r ,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求证：()OA OB OC -⊥u u u r u u u r u u u r;⑵ 求tan AOB ∠的最大值及相应的x 值.17．（本小题满分14分）已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D，且||CD =. (1)求直线CD 的方程； ⑵求圆P 的方程；⑶设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.BACDPQO18．（本小题满分16分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2002.0t y =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？19．（本小题满分16分）设函数()ln f x ax x =+，()22g x a x =.⑴当1a =-时，求函数()y f x =图象上的点到直线30x y -+=距离的最小值；⑵是否存在正实数a ，使()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项都是正数，11a =，11112n n n na a a a +++=+ ，2n n n b a a =+ .⑴求数列{}n b 的通项公式；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶求证：()()()122311111111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<+++ .附加题21．（本小题满分8分）求由曲线xy 1=，1=y ，2=y ，1=x 所围成的面积．22．（本小题满分8分）解不等式:|21||4|2x x +--<23．（本小题满分12分）已知两曲线x x f cos )(=，x x g 2sin )(=，)2,0(π∈x ．（1）求两曲线的交点坐标；（2）设两曲线在交点处的切线分别与x 轴交于,A B 两点，求AB 的长．24．（本小题满分12分）已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A . ⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围.高三数学参考答案一、填空题1．i 23- 2．R x ∈∃,0322<-+x x 3．214．2 5．1 6．π 7．50 8．139．-2 10． (),1-∞- 11．2 12．11,25⎛⎫-- ⎪⎝⎭13．2 14．133<≤a 二、解答题15[解]：证：设 ⋂AC BD=0,连OQ 。
高三数学：淮阴中学四校2023-2024学年高三下学期期初测试联考试题和答案
2024届高三年级第二学期期初测试数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－2x －3＜0}，集合B ＝{x ∈R |log 2(x ＋2)＜1}，则A ∩B ＝A .(－3,2)B .(－2,3)C .(－2,0)D .(－1,0)2．已知复数z 满足(1－i )z ＝3－i ，则复数|z |＝A .2BC .D 3．在∆ABC 中，“A ＝B ”是“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3,4,5,6,8,10,12,13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为A .47B .328C .1112D .3565．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为3π，则该圆台的体积为A .433B .533πC .733D .8336．若(2－x )10的展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A ＋B ＋C ＝A .4095B .4097C .－4095D .－40977．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则233x y x y x y+++的最大值为A .2425B .98-C .98-D .348．若x 1，x 2是关于x 的方程3sin2x －cos2x ＝a 在［0,2π］内的两根，则tan (x 1＋x 2)的值为A .－3B .3D .－13D .13二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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江苏省姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考高 三 数 学 2008.12一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分.)1．若复数z 满足i iz 32+=（i 是虚数单位），则z =__________．2．已知命题P ：“R x ∈∀，0322≥-+x x ”，请写出命题P 的否定: ． 3．已知21sin =α，其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，则=+)6cos(πα ． 4．若方程ln 62x x =-的解为0x ，则满足0k x ≤的最大整数k = ． 5．已知函数()xf x x e =⋅，则'(0)f = . 6．函数)6(sin 12π--=x y 的最小正周期是 ．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41217198a a a a +++= ，则25S 的值为 .8．已知圆()1222=+-y x 经过椭圆 22221x y a b+= ()0a b >>的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e = .9．设直线1l ：220x y -+= 的倾斜角为1α，直线2l ：40mx y -+= 的倾斜角为2α，且 2190αα=+ ，则m 的值为 .10．已知存在实数a 满足 2ab a ab >> ，则实数b 的取值范围为 . 11．已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 ．12．已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 中点为(,)M x y ，且2y x >+，则yx的取值范围为 . 13．已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小值是 .14．如果函数2()(31)xxf x a a a =--(0a >且1)a ≠在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是 ．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．（本小题满分14分）如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为PA 的中点. 求证：⑴ PC ∥平面QBD ；⑵ 平面QBD ⊥平面PAC .16．（本小题满分14分）已知O 为原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =，(3cos ,sin )OB x x =，(2,0)OC =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求证：()OA OB OC -⊥;⑵ 求tan AOB ∠的最大值及相应的x 值.17．（本小题满分14分）已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D，且||CD =. (1)求直线CD 的方程； ⑵求圆P 的方程；⑶设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.BACDPQO18．（本小题满分16分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2002.0t y =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？19．（本小题满分16分）设函数()ln f x ax x =+，()22g x a x =.⑴当1a =-时，求函数()y f x =图象上的点到直线30x y -+=距离的最小值；⑵是否存在正实数a ，使()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项都是正数，11a =，11112n n n na a a a +++=+ ，2n n n b a a =+ .⑴求数列{}n b 的通项公式；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶求证：()()()122311111111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<+++ .附加题21．（本小题满分8分）求由曲线xy 1=，1=y ，2=y ，1=x 所围成的面积．22．（本小题满分8分）解不等式:|21||4|2x x +--<23．（本小题满分12分）已知两曲线x x f cos )(=，x x g 2sin )(=，)2,0(π∈x ．（1）求两曲线的交点坐标；（2）设两曲线在交点处的切线分别与x 轴交于,A B 两点，求AB 的长．24．（本小题满分12分）已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A . ⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围.高三数学参考答案一、填空题1．i 23- 2．R x ∈∃,0322<-+x x 3．214．2 5．1 6．π 7．50 8．139．-2 10． (),1-∞- 11．2 12．11,25⎛⎫-- ⎪⎝⎭13．2 14．133<≤a 二、解答题15[解]：证：设 ⋂AC BD=0,连OQ 。
⑴ ∵ABCD 为菱形， ∴ O 为AC 中点，又Q 为PA 中点。
∴OQ ∥PC （5分）又⊄PC 平面QBD , ⊂OQ 平面QBD ∴PC ∥平面QBD （7分） ⑵ ∵ABCD 为菱形， ∴⊥BD AC , （9分）又∵⊥PA 平面ABCD ， ⊂BD 平面ABCD ∴⊥PA BD （12分） 又 PA AC D ⋂= ∴BD P ⊥平面AC 又⊂BD 平面QBD ∴P ⊥平面QBD 平面AC （14分） 16[解]：解：⑴ ∵02x π<<， ∴ 3sin sin x x > ，∴0OA OB -≠ （1分）又()0,2sin OA OB x -= （3分）∴()022sin 00OA OB OC x -⋅=⨯+⨯= ∴()OA OB OC -⊥ 。
（6分）⑵3sin tan tan 3cos x AOC x x ∠==，sin 1tan tan 3cos 3x BOC x x ∠== （8分） ∵OA OB BA -=，∴BA OC ⊥，02AOB π<∠<。
∴()tan tan AOB AOC BOC ∠=∠-∠ （10分）21tan tan tan tan 311tan tan 1tan 3x xAOC BOC AOC BOC x -∠-∠==+∠∠+22tan 3tan 3x x =≤=+ （13分）（当tan x =即 3x π=时取“=”）所以tan AOB ∠相应的3x π= (14分) 17．解：⑴直线AB 的斜率1k = ，AB 中点坐标为()1,2 ，∴直线CD 方程为()21y x -=--即x+y-3=0 （4分） ⑵设圆心(),a b P ，则由P 在CD 上得： 30a b +-= ①又直径||CD =||PA ∴=22(1)40a b ∴++=，又24PA PB ⋅=∴ 2224270a b a b +---= ② （7分）由①②解得{36a b =-=或{52a b ==-∴圆心()3,6P - 或()5,2P -∴圆P 的方程为()()223640x y ++-= 或()()225240x y -++= （9分） ⑶AB == ，∴ 当△QAB 面积为8时 ，点Q 到直线AB的距离为。
（12分）又圆心P 到直线AB的距离为P的半径r =且>∴圆上共有两个点Q 使 △QAB 的面积为8 . （14分）18[解] (1)乙方的实际年利润为：st t w -=2000 0≥t ． (5分)ss t s st t w 221000)1000(2000+--=-=，当21000⎪⎭⎫⎝⎛=s t 时，w 取得最大值． 所以乙方取得最大年利润的年产量21000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t (吨)．…………………8分(2)设甲方净收入为v 元，则2002.0t st v -=．将21000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t 代入上式，得：432100021000s s v ⨯-=． (13分)又0='v ，得20=s ． 令 当20<s 时，0>'v ；当20>s 时，0<'v ，所以20=s 时，v 取得最大值． 因此甲方向乙方要求赔付价格20=s (元／吨)时，获最大净收入． (16分)19. 解：⑴ 由()ln f x x x =-+ 得()11f x x'=-+ ，令()1f x '= 得 12x =（2分） ∴所求距离的最小值即为11,22P f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到直线30x y -+=的距离（4分）(14ln 22d ==+ （7分） ⑵假设存在正数a ，令()()()F x f x g x =- ()0x >则()max 0F x ≤（9分） 由()2120F x a a x x '=+-=得：1x a= ∵当1x a >时，()0F x '< ，∴()F x 为减函数； 当10x a<<时，()0F x '>，∴ ()F x 为增函数.∴()max 11ln F x F a a ⎛⎫==⎪⎝⎭（14分） ∴1ln0a≤ ∴a e ≥ ∴a 的取值范围为[),e +∞ （16分）20. 解：⑴由条件得：()22112n n n n a a a a +++=+ ∴12n n b b += （3分） ∵21112b a a =+= ∴12n nb b += ∴{}n b 为等比数列∴2n n b =（6分） ⑵由22nnn a a += 得n a = （8分）5325322)8000(1000100081000s s s s v -=⨯+-='又0n a > ∴12n a = （9分）⑶∵112n n a a +-=()32122/02n n ++=->（或由()22211122n nn n n na a a a ++++-+=-即()()1112nn n n n a a a a ++-++=） ∴{}n a 为递增数列。
（11分） ∴()()2111n n n n n n a a a a a a ++=+<+从而()11112nn n a a +<+（14分）∴()()()212231111111111222n n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++++111221111212nn ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭- （16分） 附加题答案21. ()111122122ln 1ln 2S dx x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰(8分)22. 解：⑴①当4x ≥时，()2142x x +--<∴ x ∈∅ （2分）②当142x -≤<时，2142x x ++-< ∴1523x -≤< （4分）③当12x <-时，2142x x --+-<∴172x -<<- （6分）综上该不等式解集为57,3⎛⎫- ⎪⎝⎭(8分)23. （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,6π； (6分)（2）AB=233 (12分) 24. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则0y =≠ （4分）化简得：2114y x =+ 为求。