届江苏四校高三联考数试卷及答案

江苏省姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考

高 三 数 学 2008.12

一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分.)

1．若复数z 满足i iz 32+=（i 是虚数单位），则z =__________．

2．已知命题P ：“R x ∈∀，0322

≥-+x x ”，请写出命题P 的否定: ． 3．已知21sin =

α，其中⎪⎭

⎫

⎝⎛∈2,0πα，则=+)6cos(

πα ． 4．若方程ln 62x x =-的解为0x ，则满足0k x ≤的最大整数k = ． 5．已知函数()x

f x x e =⋅，则'(0)f = . 6．函数)6

(sin 12

π

-

-=x y 的最小正周期是 ．

7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41217198a a a a +++= ，则25S 的值为 .

8．已知圆()122

2

=+-y x 经过椭圆 22

221x y a b

+= ()0a b >>的一个顶点和一个焦点，则

此椭圆的离心率e = .

9．设直线1l ：220x y -+= 的倾斜角为1α，直线2l ：40mx y -+= 的倾斜角为2α，且 2190αα=+ ，则m 的值为 .

10．已知存在实数a 满足 2ab a ab >> ，则实数b 的取值范围为 . 11．已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 ．

12．已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 中点为(,)M x y ，且2y x >+，则

y

x

的取值范围为 . 13．已知平面上的向量PA 、PB 满足2

2

4PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小值是 .

14．如果函数2

()(31)x

x

f x a a a =--(0a >且1)a ≠在区间[)0+，∞上是增函数，那么实

数a 的取值范围是 ．

二、解答题(本大题共6小题，共90分)

15．（本小题满分14分）如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为PA 的中点. 求证：

⑴ PC ∥平面QBD ；

⑵ 平面QBD ⊥平面PAC .

16．（本小题满分14分）已知O 为原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =，(3cos ,sin )OB x x =，

(2,0)OC =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

.

(1)求证：()

OA OB OC -⊥;⑵ 求tan AOB ∠的最大值及相应的x 值.

17．（本小题满分14分）已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D

，且||CD =. (1)求直线CD 的方程； ⑵求圆P 的方程；

⑶设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.

B

A

C

D

P

Q

O

18．（本小题满分16分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．

（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2

002.0t y =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？

19．（本小题满分16分）设函数()ln f x ax x =+，()22g x a x =.

⑴当1a =-时，求函数()y f x =图象上的点到直线30x y -+=距离的最小值；

⑵是否存在正实数a ，使()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项都是正数，11a =，

1

1112n n n n

a a a a +++=+ ，

2n n n b a a =+ .

⑴求数列{}n b 的通项公式；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶求证：()()()12231

111

1111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<+++ .

附加题

21．（本小题满分8分）求由曲线x

y 1

=，1=y ，2=y ，1=x 所围成的面积．

22．（本小题满分8分）解不等式:|21||4|2x x +--<

23．（本小题满分12分）已知两曲线x x f cos )(=，x x g 2sin )(=，)2

,0(π

∈x ．

（1）求两曲线的交点坐标；

（2）设两曲线在交点处的切线分别与x 轴交于,A B 两点，求AB 的长．

24．（本小题满分12分）已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A . ⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；

⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围.