七年级数学上册《相交线》
人教版七年级数学上册《相交线与平行线》知识点归纳(五四制)
人教版七年级数学上册《相交线与平行线》知识点归纳（五四制）第十二章相交线与平行线相交线与平行线一：相交线（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角： 1，2，3，4对顶角与邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的邻补角：其中1和2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。
像1和2这样的角我们称他们互为邻补角；对顶角：1和3有一个公共的顶点O，并且1的两边分别是3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；1和2互补，2和3互补，因为同角的补角相等，所以1＝3。
所以对顶角相等二：垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．如图所示，图中ABCD，垂足为O。
垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90。
垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．三、平行线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．如图，直线a与直线b平行，记作a//b平行线公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．四、平行线的性质同位角、内错角同旁内角同一个平面中的三条直线关系三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。
华师大版数学七年级上册第5章《相交线与平行线》说课稿
华师大版数学七年级上册第5章《相交线与平行线》说课稿一. 教材分析华师大版数学七年级上册第5章《相交线与平行线》是学生在学习几何初步知识后的进一步拓展。
本章主要介绍了相交线与平行线的概念、性质及运用。
通过本章的学习，学生能够理解并掌握相交线与平行线的基本性质，提高空间想象能力，并为后续几何学习打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的几何基础，对基本的几何概念和性质有所了解。
但学生在空间想象方面还存在一定困难，对相交线与平行线的认识尚浅。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生建立空间观念，激发学生学习兴趣，提高学生几何素养。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生会识别相交线与平行线，掌握它们的基本性质，并能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，学生能够培养空间想象能力，提高几何思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，体验数学学习的乐趣，增强对几何学科的兴趣。
四. 说教学重难点1.重点：相交线与平行线的概念及其性质。
2.难点：相交线与平行线的判定与应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、小组合作学习法、案例教学法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、模型、实物等辅助教学，提高学生的空间想象力。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中常见的相交线与平行线现象，引导学生关注本节课的主题。
2.新课导入：介绍相交线与平行线的概念，引导学生理解并掌握它们的基本性质。
3.实例分析：分析实际问题，让学生运用所学知识解决，巩固所学内容。
4.课堂练习：设计相关练习题，让学生在实践中进一步理解和掌握相交线与平行线的性质。
5.小组讨论：分组讨论相交线与平行线的判定方法，培养学生的合作意识。
6.总结提升：对本节课内容进行总结，强化学生对相交线与平行线的认识。
7.课后作业：布置相关作业，让学生巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：相交线与平行线1.相交线：两条直线在同一平面内，有一个公共点。
新北师大版七年级数学上册第二章相交线与垂直线知识点梳理汇总
新北师大版七年级数学上册第二章相交线与垂直线知识点梳理汇总
本文档旨在对新北师大版七年级数学上册第二章相交线与垂直线的知识点进行梳理和汇总。
一、相交线与垂直线的定义
1. 相交线：两条线段共有的一个或多个点称为相交点，而这两条线段称为相交线。
2. 垂直线：两条互相垂直的线段称为垂直线。
二、相交线与垂直线的性质
1. 垂直线性质：
- 垂直线的两条互相垂直的线段相交于一点。
- 垂直线的两条互相垂直的线段上的任意一点，被另一条垂直线分成两个互为垂直的线段。
- 垂直线的两条互相垂直的线段上的任意一点，与另一条垂直线的两条互相垂直的线段上的任意一点连接起来，构成的两条线段是互相垂直的。
2. 相交线性质：
- 相交线的两条线段互相垂直。
- 相交线的两条互相垂直的线段上的任意一点，与另一条相交线的两条互相垂直的线段上的任意一点连接起来，构成的两条线段是互相垂直的。
- 相交线的两条互相垂直的线段上的任意一点，被另一条相交线分成两个互为垂直的线段。
三、应用
1. 通过相交线与垂直线的性质，可以在几何图形中确定垂直关系，帮助解决几何问题。
本文档总结了新北师大版七年级数学上册第二章相交线与垂直线的定义、性质以及应用。
掌握这些基础知识，有助于理解几何图形的垂直关系，解决相关问题。
《4.1相交线》作业设计方案-初中数学华东师大版24七年级上册
《相交线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次《相交线》作业设计的主要目标是使学生：1. 理解并掌握相交线的概念及其性质。
2. 学会用相交线的性质解决简单的实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
4. 增强学生自主学习和合作学习的能力。
二、作业内容作业内容围绕《相交线》的核心理解与运用展开，具体包括：1. 基础概念题：要求学生回顾并掌握相交线的定义、性质及定理。
2. 实践应用题：设计一系列关于相交线在实际生活中的应用问题，如道路交叉口的角度问题、建筑中的相交线应用等。
3. 探究拓展题：设置一些具有挑战性的问题，如利用相交线性质解决复杂的几何图形问题，或者探究不同图形中相交线的数量与特点。
4. 作业思考题：布置一些思考性题目，引导学生深入思考相交线的性质与运用，例如：探讨不同类型相交线对空间结构的影响等。
三、作业要求为确保学生能够高效完成作业，特提出以下要求：1. 独立完成：要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 细致审题：仔细阅读题目，理解题目要求，避免因理解错误导致答案偏差。
3. 规范作答：答案需清晰、准确，步骤完整，使用专业术语作答。
4. 时间管理：合理安排时间，确保在规定时间内完成作业。
5. 错题反思：对于做错的题目，要认真反思错误原因，并记录在错题本上。
四、作业评价为有效评价学生作业完成情况，采用以下评价方式：1. 准确性评价：评价学生答案的正确性。
2. 过程评价：评价学生作答过程的逻辑性和规范性。
3. 创新性评价：鼓励学生提出新颖的解题思路和方法。
4. 态度评价：评价学生完成作业的态度和积极性。
5. 互评与自评：鼓励学生之间互相评价作业，以及学生进行自我评价，培养批判性思维和自我反思能力。
五、作业反馈为确保作业的实效性，将进行以下反馈工作：1. 及时批改：教师及时批改作业，给出评价和反馈。
2. 个别辅导：针对学生作业中的问题，进行个别辅导和指导。
3. 课堂讲解：在下一课时中，针对共性问题进行讲解和答疑。
七年级上册数学《相交线、平行线》垂线
）α a
日常生活中,两条直线互相垂直的情形 很常见,找出图中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
方格本的横线和竖线 铅垂线和水平线
一、垂直的定义
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90º)
时,称这两条直线互相垂直
其中一条直线叫另一条直线的垂线 它们的交点叫垂足
a
例：如图，a、b互相垂直,
O B
∵AB⊥CD（已知），
∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
典例精析
例1（1）若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则 m⊥n；
（2）若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD =
___9_0_°____；
（3）如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1:5，那么
∠COA＝__7_2_°_,∠BOC的补角为 162°.
a
用“⊥”和直线字母表示垂直.
例：如图，a、b互相垂直, 垂足 为O，则记为：a⊥b或b⊥a
O
b
若要强调垂足，则记为：
a⊥b, 垂足为O.或a⊥b于O.
注意 “⊥”是“垂直”的记号
而“ ” 是图形中“垂直”(直角)的标记
M
F
E
O
E
记作：
N
MN⊥EF , 垂足为O.
或者MN⊥EF于O.
A
O
B
记作：
5.1.2垂线
【学习目标】
1、了解垂线、点到直线的距离的意义，理解垂线和垂线段 的性质；
2、会用三角板过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直 线的距离.
【学习重点】垂线的意义、性质和画法，垂线段性质及其 简单应用.
【学习难点】垂线的画法以及对点到直线的距离的概念的 理解.
人教版七年级上学期数学课件5.1相交线(共21张PPT)
a b
l
（2）两条直线被第三条直线所截．
a b
E A
1 O3 4 6 5 7 8 2
C
B D
F
两直线AB、CD被第三条直线EF所截， 构成8个角，简称“三线八角”. 直线AB、CD是被截直线，EF是截线.
问题3 观察图中的∠1和∠5，它们与截 线及两条被截直线在位置上有什么特点？ 你能给它们起个名字吗？
布置作业
E A
1 O3 4 6 5 7 8 2
B
F
总结归纳
1.同位角、内错角、同旁内角 的位置特征及结构特征. 2.识别同位角、内错角、同 旁内角的方法.
1.习题5.1第12题. 2.在下图中，如果直线AB绕着与截线EF 的交 点O 旋转（转动时直线AB不与截线EF重合）, ∠1与∠5的同位角关系是否发生改变？两条 被截直线有没有不相交的位置？
错角的图形特征吗？
F
问题6： （1）你能找出图中还有哪几对角构成内错角？ （2）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中， 共有几对内错角？ （1）除了∠3和∠5是内 错角，还有∠4和∠6 也 构成内错角． （2）共有2对 内错角．
角的名称 同位角
位置特征 在两条被截直线 同旁 ， 的______ 同侧 在截线的______ 在两条被截直线 之间 ， 的______ 两侧 在截线的______ 在两条被截直线 的______， 在截线的_____
角的名称 同位角
位置特征 在两条被截直线 同旁 ， 的______ 同侧 在截线的______ 在两条被截直线 之间 ， 的______ 两侧 在截线的______
基本图形 图形结构特征 “ F” 形如字母 ___
内错角
“ Z” 形如字母 ___
4.1.1 相交线 华东师大版(2024)数学七年级上册课件
B
两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个 角两边的反向延长线，这样的两个角叫作对顶角.
例1 判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角.
1
×
2
1
×
2
1 2×
12
×1√2 Nhomakorabea1
2×
知识点2 对顶角的性质
请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中，∠AOC和∠BOD这两
个角的大小保持怎样的关系？ A
C
O
DB
新知探究 知识点2 对顶角的性质
且∠AOC的两边分别是∠BOD两边
的反向延长线.
DB
知识讲解
知识点1 对顶角的概念
如图，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并
且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫作对顶角.∠2
和∠4也是对顶角.
A 3
2
O1
D
C 4
如果两个角既相邻又互 补，那么这两个角互为 邻补角.如∠1与∠2.
动手并思考： 用量角器量一量课本P170页图4.1.2中∠1和 ∠3的度数，并比较它们的大小关系.你能说明具有这种关 系的道理吗？
新知探究 知识点2 对顶角的性质
C
对顶角相等
A 如图，由∠1＋∠2＝180°， ∠2＋∠3＝180°， 可得∠1＝∠3.
1
2
O4
3
B
D
新知探究 知识点2 对顶角的性质
∠4=∠2=150°. (对顶角相等)
随堂练习
1.下列说法中，正确的有（ B ） ①对顶角相等 ②相等的角是对顶角 ③不是对顶角的两个角就不相等 ④不相等的角不是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2.要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入围墙， 如何测量？
华师版七年级数学上册第4章 相交线和平行线小结与复习
知识回顾
4. 同位角、同旁内角、内错角
角的 名称
位置特征
基本 结构 图形 特征
相同点
共同特征
同位 截线:同侧 1 角 被截线:同旁 2
同旁 截线:同侧 内角 被截线:之间
内错 截线:两侧 角 被截线:之间
12
F 都在截 线同侧 都没有公
U 都在 共顶点
被截线 Z 之间
知识回顾
5. 平行线 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
第4章 相交线和平行线
华东师大版
知识梳理
两条 直线 相交
相 交 线
邻补角
邻补角互补
对顶角
对顶角相等
基本事实：同一平面内，过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直
垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线 垂 线 垂线段的性质：垂线段最短
点到直线的距离：从直线外一点到这 条直线的垂线段的长度
两条直线被第 三条直线所截
∴ ∠DOG＝∠DOF－∠FOG＝90°－35°＝55°.
能力提升
2.如图，AD 为三角形 ABC 的高，能表示点到直线
（线段）的距离的线段B有( A )到 BC 的距离 A
A. 2条
B. 3条
C. 4条
D. 5条
B
B 到 AD 的距离
DC
C 到 AD 的距离
能力提升
3. 如图，直线 AB，CD 被两条直线所截，若∠1=64°，
2. 如图，已知∠DAC=∠ACB，∠D+∠DFE=180°，
求证：EF//BC.
DF C
证明：∵∠DAC= ∠ACB (已知)，
∴ AD//BC(内错角相等，两直线平行). ∵ ∠D+∠DFE=180°(已知)，
七年级数学相交线优秀教案
七年级数学相交线优秀教案教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．教学过程一、创设情境，引入课题同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面有许多相交钢索组成的图案；围棋棋盘的纵线相互平行，横线相互平行，纵线和横线相交．这些都给我们以相交线、平行线的形象．在我们生活中，蕴涵着大量的相交线和平行线．那么两条直线相交形成哪些角？这些角又有什么特征？教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，引入本节课题．二、探究新知，讲授新课1．对顶角和邻补角的概念学生活动：观察上图，同桌讨论，教师统一学生观点并板书．【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．学生活动：让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？学生口答：∠2和∠4再也是对顶角．紧扣对顶角定义强调以下两点：（1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．（2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角．2．对顶角的性质提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么．【板书】∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义），∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．注意：∠l与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义），∴∠1＝∠3（等量代换）．学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。
七年级数学相交线知识点
七年级数学相交线知识点相交线是数学中一个非常基础的概念，被广泛运用在几何学的各个方面。
在七年级的数学中，相交线的知识点是必须要掌握的。
相交线既可以是在平面内相互交叉的两条直线，也可以是在空间内相互交叉的两个平面。
本文将分别从平面和空间两个方面，详细介绍相交线的相关知识点。
一、平面中的相交线1.垂直相交线当两条直线在某一点相交时，如果这两条直线的交角为90度，则它们被称为垂直相交线。
垂直相交线是数学中非常重要的一个概念，广泛应用于各种计算。
需要注意的是，两条直线垂直相交的判断方法是通过它们的斜率是否相乘为-1来进行判断的。
2.平行相交线当两条直线在平面内不相交且方向相同，那么两条直线被称为平行相交线。
平行线具有完全相同的斜率，因此它们的斜率差为0。
3.任意两条直线相交在同一个平面中，任意两条不重合的直线必然相交。
根据它们的交点位置，相交线可能会产生不同的交点，如内部交点、外部交点或过渡交点。
4.相交角当两条相交线交于同一点时，所形成的角称为相交角。
相交角通常用大写字母表示。
二、空间中的相交线相交线在空间中同样具有重要的地位。
在空间中，相交线可以是两个不平行的平面的交线。
平行的两个平面在空间中永远不会相交。
除了平行的情况外，空间中的平面之间的相交，也遵循着与平面相交相似的规律。
1.垂直相交线两个不平行的平面相交，当两个面的法线相互垂直时，这两个平面相交于一条垂直相交线。
2.一般相交线如果两个不平行的平面相交并且它们的法线不垂直，那么它们的交线被称为一般相交线。
一般相交线在计算中较为复杂，需要通过一些复杂的计算方法来解决。
综上所述，相交线在数学中是一个非常重要的概念，在七年级的学习中是不可避免的。
本文介绍了平面和空间中相交线的知识点，掌握了这些知识可以更好地理解各种几何问题，为进一步学习数学打下坚实的基础。
苏科版(2024)七年级上册数学第6章 平面图形的初步认识6.3 相交线 教案
苏科版（2024）七年级上册数学第6章平面图形的初步认识6.3 相交线教案【教材分析和学情分析】教材分析：第六章“平面图形的初步认识”是苏科版七年级上册数学的内容，这一章主要介绍了基本的几何图形，包括线段、射线、直线、角以及它们之间的关系。
其中，第六节“相交线”是本章的重点，它深入探讨了两条直线相交后形成的角，如同位角、内错角、同旁内角等，这些知识是后续学习平行线、三角形性质、四边形性质等几何知识的基础。
在“相交线”这一节中，教材通过丰富的图形和实例，引导学生观察、比较、分析，培养他们的空间观念和逻辑推理能力。
同时，本节内容也渗透了数学的严谨性，通过定义、定理的学习，帮助学生建立数学的规范思维。
学情分析：七年级的学生已经具备了一定的几何图形基础知识，如对线段、射线、直线和角的认识，但他们的空间观念和逻辑推理能力还在发展阶段。
因此，对于“相交线”这样的抽象概念，部分学生可能会感到抽象和困难，需要通过具体的实物模型或者生活实例来帮助他们理解。
此外，这个阶段的学生好奇心强，喜欢探索和发现，教师可以充分利用这一特点，设计一些有趣的数学活动，如剪纸活动、拼图游戏等，让学生在动手操作中理解和掌握相交线的性质。
在教学过程中，应注重培养学生的观察力、分析问题的能力，以及用数学语言表达和论证问题的能力，同时激发他们对几何学习的兴趣，为后续的几何学习打下坚实的基础。
【教学目标】1. 知识与技能：学生能够理解并掌握相交线的基本概念，包括交点、对顶角、邻补角等。
学生能够识别并准确画出相交线的对顶角和邻补角。
学生能够运用相交线的性质进行简单的几何推理。
2. 过程与方法：通过观察、操作、推理等活动，培养学生的观察力、思维力和动手能力。
通过解决实际问题，让学生体验从具体到抽象，从特殊到一般的数学思维过程。
3. 情感态度与价值观：培养学生对几何图形的美感，激发学习数学的兴趣。
培养学生的合作精神和解决问题的自信心。
【教学重难点】重点：相交线的定义，对顶角和邻补角的识别和性质。
初中数学七年级数学第五章相交线和平行线(全章知识图文详解)
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果 ∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
七年级数学相交线和平行线
例3 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2 4
1
3
解：∠2与∠4相等。
因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 这里， 又因为∠1=∠3， 我们用到 所以∠2=∠4。 了“等量
一是两条直线相交所成的角； 二是有公共顶点； 三是两边互为延长线。 符合这三个条件时，才能确定这两个角是 对顶角，缺一个条件都不行. 对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1 是∠2的对顶角，同时，∠2是∠1的对顶角，也常 说∠1和∠2是对顶角。
七年级数学相交线和平行线
练习：下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？ 为什么？
45° 77°
62°23′
x
七年级数学相交线和平行线
例题：若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角 的度数？
解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,
余角是(90°-x°)
根据题意得： （180°-x°）= 4 (90°-x°)
解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
七年级数学相交线和平行线
1 2
1 2
1
2
七年级数学相交线和平行线
典型例题
C）
2 2 1 1
1.下列图形中，∠1和∠2是对顶角的图形是（
1
2
1
2
（A）
（B）
（C）
（D）
2.如图，三条直线AB,CD,EF两两相交，你能找出图中所有的对顶角吗？
6.3 相交线 课件 苏科版七年级数学 上册
（1）点到的距离为______，点到 的距离为______；
解析：点到的距离为线段的长度，为；点到 的距离为线段的长度，为 .
（2）___（填“ ”“ ”或“ ”），依据是____________.
解析：是点到的垂线段，根据垂线段最短，可知 .
名称
定义
图示
性质
对顶角
两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角.
_与 是对顶角，与 是对顶角.
两直线相交，对顶角相等.左图中， ，.（因为， 都是的补角,所以 （同角的补角相等）.同理，可以得到 ）
（1）对顶角是成对出现的,单独的一个角不能称为对顶角；（2）对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角.
_（两条直线互相垂直时，常在垂足处打上直角标志“”）
垂直定义的双重作用：如图，因为 ，所以 （由角的度数得两直线位置关系）；因为，所以 （由两直线的位置关系得角的度数）.
2.垂线和垂足
垂线
两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线.
垂足
_
互相垂直的两条直线的交点叫作垂足.如图， ，垂足为 .
2.基本事实：在同一平面内（不要忽略前提条件），过一点有且只有一条（存在且唯一）直线与已知直线垂直.
典例4 如图所示，王师傅为了检验门框 是否垂直于地面，在门框的上端 处用细线悬挂一铅锤，看门框 是否与细线重合．若门框垂直于地面，则会与重合，否则 与 不重合．用所学的数学知识说明其中的道理是_____________________________________________________．
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
华东师大初中七年级上册数学《相交线与平行线》全章复习与巩固(提高)知识讲解[精选]
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《相交线与平行线》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1．熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解平移的概念及性质.【知识网络】【要点梳理】要点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α＝∠β；反之如果∠α＝∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β＝180°；反之如果∠α+∠β＝180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，对顶角有一个.2.垂线及性质、距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB ⊥CD，垂足为O.要点诠释：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P 到直线AB的距离是垂线段PO的长.要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.要点二、平行线1．平行线判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB 与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.要点三、图形的平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、相交线1.（2015•凉山州一模）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…（1）10条直线交于一点，对顶角有对．（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有对．【答案与解析】解：（1）如图①两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；…；按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90，故答案为：90；（2）由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n（n﹣1）．故答案为：n（n﹣1）．【总结升华】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题．2.直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝40°，求∠BOD的度数. 【答案与解析】解：分两种情况.第一种：如图1，直线AB，CD相交后，∠BOD是锐角，∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°.∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝50°.∵∠BOD＝∠AOC ∴∠BOD＝50°第二种：如图2，直线AB、CD相交后，∠BOD是钝角，∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°.∵∠COE＝40°,∴∠AOC＝90°+40°＝130°，∴∠BOD＝∠AOC＝130°.【总计升华】本题属于无图题，首先应根据题意，画出图形，画图时要考虑两种情况：一种情况为∠BOD是锐角，第二种情况是∠BOD是钝角.此外关于两条直线相交，应想到邻补角、对顶角的定义及性质.举一反三：【变式】（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.类型二、平行线的性质与判定3.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE．【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系．【答案与解析】解：过E点作EF∥AB，因为AB∥CD(已知)，所以EF∥CD．所以∠4＝∠D(两直线平行，内错角相等)．又因为∠D＝∠2(已知)，所以∠4＝∠2(等量代换)．同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1．因为∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定义)，所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠BED＝90°．故BE⊥DE．【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的．举一反三：【变式1】已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是(). A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDEB．∠BED＝∠ABE-∠CDEC．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDED．∠BED＝∠CDE-∠ABE【答案】C （提示：过点E作EF∥AB）【变式2】如图，两直线AB、CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝.【答案】900°4.如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF.【答案与解析】证明：如图，过点C做CK∥FG，并延长GF、CD交于点H，∵ CD∥EF （已知），∴∠CHG＝∠1(两直线平行，同位角相等）.又∵ CK∥FG，∴∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(两直线平行，同旁内角互补）.∴∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代换）.∵∠1＋∠2＝∠ABC（已知），∴∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代换）.∴ CK∥AB（同旁内角互补，两直线平行）.∴ AB∥GF（平行的传递性）.【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.类型三、图形的平移5.（吉林）如图所示，把边长为2的正方形的局部进行图①～④的变换，组成图⑤，则图⑤的面积是()A．18 B．16 C．12 D．8【思路点拨】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则⑤面积可求．【答案】B【解析】图①到图②是将一个等腰三角形由下方平移到上方．图③到图④是将右边的小长方形平移到左侧，所以图④中阴影部分的面积与边长为2的正方形的面积是相等的，图⑤是由4个图④组成的，所以图⑤的面积是4×4＝16．【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．平移的性质是平移前后，图形的形状、大小不变.类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF的度数吗？【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠EGF＝180°－∠DEG，问题可解.【答案与解析】解：因为AD∥BC（已知），所以∠DEF＝∠EFG＝30°（两直线平行，内错角相等）.因为∠GEF＝∠DEF＝30°（对折后重合部分相等），所以∠DEG＝2∠DEF＝60°.所以∠EGF＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）. 【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质．举一反三：【变式】（山东滨州）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（）．A．60° B．30° C．45° D．90°【答案】C。
2024年苏科版七年级数学上册 6.3 相交线(课件)
感悟新知
例 3 在图6.3-6 中，分别过点P作AB的垂线.
知3－练
解题秘方：根据利用三角板画垂线的步骤进行操作. 解：如图6.3-6所示.
感悟新知
知3－练
方法提醒 画垂线时要画实线，如需要延长线段或反向延
长射线时，则要用虚线延长.
感悟新知
知3－练
例 4 如图6.3-7所示，王师傅为了检验门框AB是否垂直于 地面，在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤，看 门框AB是否与铅垂线重合. 若门框AB垂直 于地面(水平面)，则AB会重合于AE，否则 AB与AE不重合．请你用所学的数学 知识说明其中的道理：_在__同__一__平__面__内__， 过__一__点__有__且__只__有___一__条__直__线__与__已__知__直__线__垂__直__.
感悟新知
知1－练
另解 计算方法不唯一，如∠EOC＝180°－∠DOE
＝180°－80°＝100°．
感悟新知
知1－练
方法点拨 “对顶角相等”构建了一个已知条件和待求结
论之间的“桥梁”，考查角的计算时，常与角平分 线、补角等相结合进行命题．
感悟新知
知识点 2 垂直
知2－讲
1. 概念 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，
知1－练
感悟新知
(2)若∠BOD＝40°，求∠EOC的度数.
知1－练
解题秘方：根据角平分线的定义、对顶角相等及平角的
定义求未知角的度数.
解：因为OB平分∠EOD，所以∠BOE＝∠BOD＝40°. 因为∠BOD的对顶角是∠AOC，所以∠AOC＝∠BOD ＝40°.所以∠EOC＝180°－∠AOC－∠BOE＝100°.
那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一 条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 通常在图上垂足交 角处标上“ ∟”，表明该角为直角.
七年级数学上册 5.1 相交线 5.1.2 垂线教学课件1 (新版)华东师大版
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2022/5/72022/5/72022/5/72022/5/7
谢谢收看
2.如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA=36°，则 ∠DOB的大小为( ) A．36° B．54° C．64° D．72°
【解析】选B.因为OC⊥OD，所以 ∠COD=90°，又因为∠AOB=180°， 所以∠DOB=∠AOB－∠COD－ ∠COA=180°－90°－36°=54°.
【例题】 作一条直线l，在直线l上取一点A，
在l外取一点B，试分别过点A，B用三角尺作直线的垂线.
B
01 23 4 5 01 23 4 5
01 23 4 5
A
01 23 4 5
l
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
【跟踪训练】
找出下图中互相垂直的直线.
4.点P是直线l外一点，点A，B，C是直线l上的三点，且
PA=10，PB=8，PC=6，那么点P到直线l的距离为（ ）
A.6
B.8
C.大于6的数
D.不大于6的数
【解析】选D.根据“垂线段最短”，垂线段的长度一定小 于或等于6，即不大于6的数.
5.过一点作已知直线的垂线可以作（
A.1条
B.2条
C.3条
结论
垂直的表示 图中，直线AB与直线CD垂直,
nC
记作：AB⊥CD；
A
直线 m 与直线 n 垂直,
记作：m⊥n ；
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
B
O
m
D
注意：“⊥”是“垂直”的记号，
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探究与发现1
C
2
A
1
4O 3
B
D
形如∠1 与∠2有一条公共边OC，它们的另 一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，
互为邻补角.
邻补角：如果两个角有一条公共边，
它们的另一边互为反向延长线，那 么这两个角互为邻补角。
C
1（2） （ O）3
B
注意：
A4 D
(1)邻补角的本质特征是：
①两个角有一条公共边； ②两角的另一条边互为反向延长线。 （2）邻补角是有特殊位置的两个互补的角。
北京立交桥
相交线和平行线是我们日常生活和生产中经 常见到的，研究它们对今后的学习、工作和生活 都很有用。
这节课 我们先来研究相交线。
A
D
O
C
B
如果两条直线有一个公共点，就说这两条直 线相交，公共点叫做这两条直线的交点。
直线AB、CD相交于点O
握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐 变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布 片。如果把剪刀的构造看作两条相交的直线， 这就关系到两条相交直线所成的角的问题。
∴∠1=∠3
同理可得：∠2=∠4
练习1、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
1( 2
1( )2
1( )2
练习2、下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？为什么？
1(（2
1( 2
1( 2
例题讲解
例1：如图,直线a、b相交，若∠1=40°,求 ∠2、∠3、∠ 4的度数。
解：由邻补角的定义， ∠1=40°可得
80° O ) 2 ？ E
C
解：∵∠DOB=∠ AOC ，（ 对顶角相等 ） B
∠AOC =80°（已知）
∴∠DOB= 80 °（等量代换）
又∵∠1=30°（ 已知 ）
∴∠2=∠ DOB -∠ 1 = 80°- 30°= 50 °
归纳小结
角的 特 征 性 相 同 点 不 同 点
名称
质
对 顶 角
邻 补 角
图中还有哪些角也是邻补角呢？ 有几对邻补角？
补角与邻补角有何区别和联系呢？
探究与发现2
C
A
12 O3
B
4
D
形如∠1 与∠3有一个公共顶点O，并且∠1 的 两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种 位置关系的两个角，互为对顶角.
图中还有哪些角也是对顶角呢？
对顶角：如果两个角有一个公共点，
并且其中一个角的两边是另一个角的 C
①两条直线相 交形成的角；
对顶
②有公共顶点; 角相
③没有公共边 等
①两条直线相
交而成；
邻补
①都是两条 直线相交而 成的角；
②都有一个 公共顶点；
①有无公共 边
②两直线相 交时， 对顶角只有 两对
②有公共顶点; 角互 ③都是成对 邻补角有四
③有一条公共 边
补
出现的
对
作业
1、课本P7页第1、2、8 题 2、数学练习册P1-3页
两边的反向延长线，那么这两个角互
1（2（O）3
B
为注对意顶以角下。两点：(1)辨认对顶角的要领A：一看） 是4不是两D条
直线相交所成的角，二看是不是有公共顶点；三看是不是
没有公共边， (2)对顶角是成对存在的，它们是互为对顶
角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也
常说∠1和∠3是对顶角。
例2：如图,若∠1:∠2=2:7 ，求各角的度数。
解:设∠1=2x°,则∠2=7x°
根据邻补角的定义,得 a
2x+7x=180 x=20
b
12 43
则∠1=40°, ∠2=140°
根据对顶角相等,得
∠3=40°, ∠4=140°
答： ∠1=40°, ∠2=140°， ∠3=40 °， ∠4=140°
A
D
D、∠AOE和∠DOE是对顶角。
？O
2、O如E是右∠图B中O直C的线平AB分、线C且D交∠于BOOE，=50度，C
50°
E
B
那么∠AOC=（A）度
（A）80；（B）100；（C）130（D）150。
三 、如图，直线AB、CD相交 于O，∠AOC=80°∠1=30°； 求∠2的度数.
A
D
) 130°
∠2＝180°－∠1 ＝180°－ 40° ＝140°
由对顶角相等，可得
∠3＝∠1＝40°
a
？
b 40°1 2 ？4
3？
∠4＝∠2＝140°
若• 变∠式１1=：m若°∠，2求是各∠角1的3度倍数，。求∠3的度数？ 若• 变∠式1＋2：∠若３∠=５2-０∠°1=，40求0, 各求角∠的4的度度数数。？
一、判断题
达标测试
1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（
×
）
2、两条直线相交，有两组对顶角。
（√ ）
3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，
那么其余的三个角也是直角。
（√ ）
二、选择题
1、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ C ）
A、∠AOC和∠BOE是对顶角；
B、∠COE和∠AOD是对顶角； C、∠BOC和∠AOD是对顶角；
探究与发现3C2来自A1 O3B
4
D
∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？
对顶角相等
对顶角的性质: 对顶角相等.
C 1（2） （ 4O）3 B
已知：直线AB与CD相交于O A
D
为什么? 点(如图),
求证:∠1=∠3， ∠2=∠4
证明：∵直线AB与CD相交于O点,
∴∠1+∠2=180°，
∠3+∠2=180°