2014—2015学年沪科版八年级数学下册教学课件17.4一元二次方程的根与系数的关系(1)
合集下载
八年级数学下册课件-17.4 一元二次方程的根与系数的关系19-沪科版
小结
学生自主小结 1、本节课你有何收获? 2、你感受最深的是什么?
3、老师我想对你说:
谢谢
17.4 一元二次方程的根与系 数的关系
一、展示目标
1、掌握一元二次方 程根与系数的关系 2、会运用一元二 次方程根与系数的 关系解决一些简单
二、自主学习
1.先填空，找规律
方程
x1,, x2 x1+ x2
x1. x2
① x2-3x+2=0 1, 2
3
② X2-2x-3=0 3, - 1 2
-32
③ X2-5x +4=0 1, 4
5
4
问题:你发现这些一元二次方程的根与系数 有什么规律？
2、填表
方程
x1
x9 2 6x 1 0 1 3
x3 2 4x 1 0 1 3
x3 2 7x 2 0 1 3
x x x 2
x x
.
1
2
12
1
2
1
3
3
9
1
4
1
3
3
-2
7 3
2 3
说一说，你又有什
如果一的元两二个次a根方x2分x程1 b别xx2是c
0(a
、
0)
.
则
x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
这就是一元二次方程 根与系数的关系，也
x1 x2
x1=
-b+
b2-4ac 2a
x1. x2
x2=
-b-
b2-4ac 2a
x1+x2= -b+
b2-4ac 2a
+
沪科版八年级数学下册17 一元二次方程的根与系数的关系课件
解方程组，得
1 x2 2
4 4x2 2
k7
答：方程的另一个根为 1 ，k 的值为 7.
2
想一想 本题还有别的解法吗？
解 将 x = –4 代入方程，得 2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0. 解得 k = 7.
将 k = 7代入方程，得 2x2 + 7x – 4 = 0， 1
随堂演练
1. 关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的根为 x1 = 1+ ，x2 = 1 – ，则 p = –2，q= –.1
2. 已知方程 5x2 + kx – 6 = 0 的一根是 2，则另 一根是 ，3 k＝ –. 7
5
3. 求下列方程的两根 x1，x2 的和与积： （1）x2 – 3x + 2 = 0； （2）x2 + x = 5x + 6
b2 – 4ac = 45 > 0. 方程有实数根. 当 m = –1 时，原方程为 x2 – x + 1 = 0，
b2 – 4ac = – 3 < 0. 方程无实数根，此 m 值舍去. ∴ m 的值为 3.
韦达定理
课堂小结
如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2，
那么 x1+x2 =
b b2 4ac
x1 =
2a
b b2 4ac
x1 =
2a
所以 x1 + x2 =
b
b2 4a+c 2a
b b2 4ac 2a
= 2b= b
2a
a
x1x2 =
b
b2 4a·c 2a
17.4一元二次方程的根与系数的关系第二课时
提高训练
1.以方程X +3X+2=0的两个根的相反数为根 的方程是（ ） B A、y2+3y-2=0 B、 y2－3y+2=0
2
C、y +3y+2=0
换元法：
2
D、
y －3y-2=0
2
设y=-x，则x=-y，将其代入X +3X+2=0，
得y －3y+2=0 ，即为所求方程。
2
2
提高训练ห้องสมุดไป่ตู้
2.已知方程X +kX+k+2=0的两个根是X1、X2， 且X12+X22 = 4，求k的值。
1 ∴两根之积2m10 m 且0, 2 1 ∴ m 2 时,方程有一根为零.
引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
17.4一元二次方程的根
与系数的关系
1.方程 x 3kx 2k 1 0 的两根互
2
为倒数，求k的值。
解：设方程的两根分别为 x1 和 x2 ， x1 x2 2k 1 则： 而方程的两根互为倒数 即： x1 x2 1 所以： 2k 1 1 得： k 1
2. 已知方程 5x kx 6 0 的一个根
解：由根与系数的关系得： X1+X2=-k， X1.X2=k+2 ∵ △= K2-4（k+2） 当k=4时， △＜0
2
又X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 - 2 X1X2=4 K2- 2（k+2）=4
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方的根与系数的关系》公开课课件 (2).ppt
解： 根据根与系数的关系:
x1x2
2,x1x2
-1 2
x 1 2 x 2 2 (x 1 x 2 )2 2 x 1 x 2
22 2( 1) 5 2
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2x2 3x 1 0
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
3
1
x1 x2 2 , x1 • x2 2
1∵ x1 x2 2 ห้องสมุดไป่ตู้12 2x1x2 x22
3 2
2
2
1 2
13 4
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1x2
3 2
1 2
3
返回
例1.
不解方程，求方程 2x23x10的 两根的平方和、倒数和。
二、典型例题
例题1：已知方程 1 x2＝2x＋1的两根为
x1,x2，
2
不解方程，求下列各式的值。
x23x40 4 1
两根 之和
两根 之积
a与b 之间 关系
x1 x2
x1 • x2
b a
3 4 3
a与c 之间 关系
c
a
4
x25x60 2 3 5 6 5 6
2x23x10
1 2
1
3 2
1
3
2
2
1 2
猜想：如果一元二次方程 a2x b xc0(a0)的两个根
分别是 x 1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x23x10 2.3x22x2 3.2x23x0 4.4x212x
2、设 x1 、 x2是方程 2x2 4x 3 0的根 利用
x1x2
2,x1x2
-1 2
x 1 2 x 2 2 (x 1 x 2 )2 2 x 1 x 2
22 2( 1) 5 2
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2x2 3x 1 0
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
3
1
x1 x2 2 , x1 • x2 2
1∵ x1 x2 2 ห้องสมุดไป่ตู้12 2x1x2 x22
3 2
2
2
1 2
13 4
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1x2
3 2
1 2
3
返回
例1.
不解方程，求方程 2x23x10的 两根的平方和、倒数和。
二、典型例题
例题1：已知方程 1 x2＝2x＋1的两根为
x1,x2，
2
不解方程，求下列各式的值。
x23x40 4 1
两根 之和
两根 之积
a与b 之间 关系
x1 x2
x1 • x2
b a
3 4 3
a与c 之间 关系
c
a
4
x25x60 2 3 5 6 5 6
2x23x10
1 2
1
3 2
1
3
2
2
1 2
猜想：如果一元二次方程 a2x b xc0(a0)的两个根
分别是 x 1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x23x10 2.3x22x2 3.2x23x0 4.4x212x
2、设 x1 、 x2是方程 2x2 4x 3 0的根 利用
沪科版初中数学八年级下册教学课件 17-4 一元二次方程的根与系数的关系
17.4 一元二次方程根的根与系数的关系
复习 引入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习引入
1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？ 2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？
首页
合作探究
活动：探究一元二次方程的根与系数的关系
方程
x1 x2 x1+ x2 x1∙x2
x2-3x+2=0 2 1
3
2
x2-2x-3=0 -1 3
c , x1 ·x2= a
注：能用根与系数的关系的前
提条件为b2-4ac≥0
一、直接运用根与系数的关系 例1.不解方程，求下列方程两根的和与积.
(1)x2 6x 15 0 (2)3x2 7x 9 0 (3)5x 1 4x2
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
3 x2 7x 2 0
x1
1 3
2 7 3
1 3
x2
1 3
2 7 3
-2
x1 x2
2 3 4 3
7 3
x1. x2
1 9
1 3
2 3
x1+ x2，x1∙x2与系数有什么规律?
猜想：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常 数且a≠0）的两根为x1、x2，则：
b2 4ac 0
2
-3
x2-5x +4=0 1 4
5
4
问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，与 x1 • x2系数有什么规律？
首页Biblioteka 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两
根为x1,, x2. x1 x2 p x1 x2 q
复习 引入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习引入
1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？ 2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？
首页
合作探究
活动：探究一元二次方程的根与系数的关系
方程
x1 x2 x1+ x2 x1∙x2
x2-3x+2=0 2 1
3
2
x2-2x-3=0 -1 3
c , x1 ·x2= a
注：能用根与系数的关系的前
提条件为b2-4ac≥0
一、直接运用根与系数的关系 例1.不解方程，求下列方程两根的和与积.
(1)x2 6x 15 0 (2)3x2 7x 9 0 (3)5x 1 4x2
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
3 x2 7x 2 0
x1
1 3
2 7 3
1 3
x2
1 3
2 7 3
-2
x1 x2
2 3 4 3
7 3
x1. x2
1 9
1 3
2 3
x1+ x2，x1∙x2与系数有什么规律?
猜想：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常 数且a≠0）的两根为x1、x2，则：
b2 4ac 0
2
-3
x2-5x +4=0 1 4
5
4
问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，与 x1 • x2系数有什么规律？
首页Biblioteka 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两
根为x1,, x2. x1 x2 p x1 x2 q
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的根与系数的关系》精品课件
如 果 ax2bx+c=0（ a0） 的 两 个 根
为 x1、 x2， 那 么 x1+x2
b a， x1x2
c. a
例 不解方程，求方程两根的和、两 根的积：
①x23x10 ② x2 2x1 0
2
解：① x1x2 3
②x1 x2 2
x1 x2 1 1
x1 x2 2
1、不解方程，求方程两根的和两 根的积：
2、不解方程，求方程两根的和、 两根的积：
(1)3x2 6x90 (2)5x2 x100
3、（1）已知关于x的方程
x2 px q 0 的两个根是1和2,
求p和q的值；
（2）求一个一元二次方程，使它 的两个根分别为4和-7。
4、已知方程 x2kx60的一个
根是2，求它的另一个根及 k 的值。
17.4 一元二次方程 的根与系数的关系
复习回顾
用公式法求一元二次方程ax2+bx＋ c＝0(a、b、c均为常数，a≠0且b²4ac≥0)的根是什么？
一、解下列方程，将得到的解填入下面的表格中.
（1）9x2－6x+1＝0； （2）3x2＋4x+1＝0；
（3）3x2+7x＋2＝0
二、尝试探索，发现规律
5、下列方程两根的和与两根的积 各是多少？
① x23x10；② 3x2 2x2
③ 2x23x0 ；④ 3 x 2 1
6、已知方程 x2m两2、个不2 根解x的 方①3程平，方0求和一；元②二倒次数方和程.
8、已知方程 2x24x2m0
的两个根的倒数和等于6，求m的 值.
9、设 x 1 , x 2 是方程2x24x30的两 个根，不解方程，求下列各式的值.
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的根与系数的关系》公开课课件.ppt
７/（－３／２）＝－１４／３
可否利用(X1+X2) 和X1X2的表达式表示下列各式?
(1) (X1-X2)2 (=X1+X2)2 4X1X2
(2) ︱X１－X２︱＝ x1x224x1x2
(3) X13+X23 (=X1+X2)[(X1+X2)23X1X2]
你想到了 吗??
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是 x1,x2 那么 x1+x2=－b/a, x1·x2=c/a
练一练:
已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条 求出p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6
(3) x1= －√7, x2=√ 7
(4) x1=－2+√5 ,x2=－2√5
P = －9 , q =P =6 9 , q = － 54 P = 0 , q =－21
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
解下列一元二次方程
(1)x2-12x+11=0 ;
(2)x2-9=0
(3)4x2+20x+25=0
解: (x-11)(x-
解:(x+3)(x-
解:(2x+5)2=0
1)=0 x1=11 , x2=1
3)=0 x1=3, x2=－ 3
x1=x2=-2.5
求出两根之和与两根之积?
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other
八年级数学下册课件-17.4 一元二次方程的根与系数的关系25-沪科版
17.4 一元二次方程的根与系 数的关系
应用五 构造根满足某种条件的一元二次方程
已知方程 x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系
数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知 方程的各根的 2 倍．
应用五 构造根满足某种条件的一元二次方程
已知方程 x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系
谢谢
数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知
方程的各根的 2 倍．
解：设原方程的两根为 x1，x2，则新方程的两 个根为 2x1,2x2. 又∵x1＋x2＝－3，x1·x2＝－2， ∴2x1＋2x2＝－6,2x1·2x2＝－8.
∴可设所求作的方程为
y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0. 即 y2＋6y－8＝0.
数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知
方程的各根的 2 倍．
解：设原方程的两根为 x1，x2，则新方程的两 个根为 2x1,2x2. 又∵x1＋x2＝－3，x1·x2＝－2， ∴2x1＋2x2＝－6,2x1·2x2＝－8.
∴可设所求作的方程为
y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0些收获？
四、构造新方程
甲、乙二人解同一个一元二次方程时 ， 甲看错了常数项所求出的根为1，4； 乙看错了一次项系数所求出的根是-2 ，
-3x。2-则5x这+个6=一0元二次方程为
应用五 构造根满足某种条件的一元二次方程
已知方程 x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系
应用五 构造根满足某种条件的一元二次方程
已知方程 x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系
数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知 方程的各根的 2 倍．
应用五 构造根满足某种条件的一元二次方程
已知方程 x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系
谢谢
数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知
方程的各根的 2 倍．
解：设原方程的两根为 x1，x2，则新方程的两 个根为 2x1,2x2. 又∵x1＋x2＝－3，x1·x2＝－2， ∴2x1＋2x2＝－6,2x1·2x2＝－8.
∴可设所求作的方程为
y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0. 即 y2＋6y－8＝0.
数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知
方程的各根的 2 倍．
解：设原方程的两根为 x1，x2，则新方程的两 个根为 2x1,2x2. 又∵x1＋x2＝－3，x1·x2＝－2， ∴2x1＋2x2＝－6,2x1·2x2＝－8.
∴可设所求作的方程为
y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0些收获？
四、构造新方程
甲、乙二人解同一个一元二次方程时 ， 甲看错了常数项所求出的根为1，4； 乙看错了一次项系数所求出的根是-2 ，
-3x。2-则5x这+个6=一0元二次方程为
应用五 构造根满足某种条件的一元二次方程
已知方程 x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系
八年级数学下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》课件4 (新版)沪科版
解：设方程(fāngchéng)的另一个根为x1，
则x1+1=
19 3
，
又x1●1=
m， 3
∴ x1=
1，6 3
∴ m= 3x1 = 16
2、设x1，x2是方程(fāngchéng)2x2＋4x－3=0的两个根，求（x1+1）
（x2+1）的值．
解： 由根与系数的关系，得
x1+x2= - 2 ， x1 ·x2=
1
2、 2x2 - 3x + =0
2
x1+x2=2 3
x1+x2= 2
x1x2=-1
1
x1x2= 4
3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
x1x2=
-
4 3
第七页，共12页。
例1、已知方程(fāngchéng)x2-（k+1）x+3k=0的一个根是 求它的另一个根及k的值．
3 2
∴ （x1+1）（x2+1） = x1 x2 + （x1+x2）+1 =-2+（ ）+1=23
5 2
第十页，共12页。
1、Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是 ∠A、 ∠B、 ∠C的对边，a、b是关于X的方程 (fāngchéng)x2-7x+c+7=0 的两根，求AB边上 的中线长
解法(jiě fǎ)一：设方程的另一个根为x1．
由根与系数的关系，得 解这方程组，得
x1 ＋2= k+1
x1 ●2= 3k x1 =－3
k =－2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x .x
1
2
q
2、填表
方程
x
1
x
1 3
2
x x x .x
1 2
1
2
9 x 6xБайду номын сангаас1 0
3 x 4x 1 0
2
2
3 x 7x 2 0
2
1 3 1 3 1 3
1 -2
2 3 4 3
7 3
1 9 1 3
2 3
说一说，你又有什么发现？
猜想：
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a=0）的两 根为x1、x2，则
17．4 一元二次方程的根与系数的关系
1、填表
方程
①
② ③
x1，， x2
x1+ x2
x1． x2
x2-3x+2=0
X2-2x-3=0 X2-5x +4=0
2， 1 -1，3 1， 4
3 2 5
2 -3 4
问题：你发现这些一元二次方程的根与系数 有什么规律？
当二次项系数为1时 x2+px+q=0的两根为x1，x2 则有 x1 x2 P
b2-(b2-4ac) = 4a2 = = 4ac 4a2 c a
-2b = 2a
b a
任意的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2， x1．x2与系数a，b，c 的关系是： b x1+x2=- a
x 1．x2=
c a
例1：已知方程 2x2+kx-4=0的 一个根是-4，求它的另一个 根及k的值．
b x1 x2 a
x1 x 2
c a
x1 x2
-b+ b2-4ac -b- b2-4ac x1+x2= + 2a 2a
. x1 x2
-b- b2-4ac x2= 2a
-b+ b2-4ac -b- b2-4ac x1x2= 2a 2a
(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac) = 4a2
C D
1、一元二次方程的一般形 式 ax2＋bx＋c=0 (a≠0) ．
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根 b c 分别为x1 、x2，则x1＋x2＝ a ，x1x2＝ a ． 3、用根与系数关系解题的条件是： （1）a≠0 （2）△≥0
2、设x1．x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用 根与系数的关系，求下列各式的值． x2 x1 （1）（ x1+1）（x2+1）（2）— — x1 + x 2
3、
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值．
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值．
例题5：已知二次函数y＝x2－mx－4
（1）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不同 的交点． （2）设该函数的图象与x轴的交点坐标为（x1， 1 1 0），（x2，0）且有 x x 1 求m的值，并求出 1 2 该函数图象的顶点坐标．
提 高 练 习
已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD， AD⊥DC，AD=10cm， A B 以AD 为直径的⊙O切另 E 一腰于E，以AB、CD为 O 2 根的方程是X -12X+m=0， 求m的值．
解：设方程的另一根为 x2 ，则
k 4 x2 2 4 4 x2 2
答：方程的另一个根是
1 x2 2 k 7
1 2
，k的值是7．
1．下列方程两根的和与两根的
积各是多少？（不解方程）
（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
二、典型例题
例题2：已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1， x2，不解方程，求下列各式的值． （1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23
1 2
x2 x1 （3 ） x1 x2
例题3：
设x1，x2是方程2x2－3x＋m＝0的两个根，且 8x1－2x2＝7，求m的值．
例题4：
已知关于x的一元二次方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0 有两个不相等的实数根，且方程的两根之和比两根 之积7，求k的值．