2021届新高考数学一轮(新高考)第31讲 空间几何体的结构及其表面积、体积(讲义版)

第31讲

空间几何体的结构及其表面积、体积

一、考情分析

1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题；

3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.

二、知识梳理

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

图形

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

侧棱平行且相等相交于一点，但不一定

相等

延长线交于一点

侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

图形

母线互相平行且相

等，垂直于底面

相交于一点延长线交于一点

轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆

侧面展

开图

矩形扇形扇环

2.直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

侧面展开图

侧面积公式S

圆柱侧＝2πrl S

圆锥侧

＝πrl S

圆台侧

＝π(r1＋r2)l

4.空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体

表面积体积柱体

(棱柱和圆柱)

S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h

锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝

1

3S底h

台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝

1

3(S上＋S下＋S上S下)h

球S＝4πR2V＝4

3πR

3

[微点提醒]

1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.

2.正方体的棱长为a，球的半径为R，则与其有关的切、接球常用结论如下：

(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；

(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

3.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.

4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

三、经典例题

考点一空间几何体的结构特征

【例1】(1)给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

(2)给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

③存在每个面都是直角三角形的四面体；

④棱台的侧棱延长后交于一点.

其中正确命题的序号是________.

【答案】(1)A(2)②③④

【解析】(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.

(2)①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.

规律方法 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.

2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.

3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.

考点二空间几何体的直观图

【例2】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()

A.

3

4a

2 B.

3

8a

2 C.

6

8a

2 D.

6

16a

2

【答案】 D

【解析】如图①②所示的实际图形和直观图.

由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝1

2OC＝

3

4a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝

2

2

O′C′＝

6

8a.所以S△A′B′C′＝

1

2A′B′·C′D′＝

1

2×a×

6

8a＝

6

16a

2.故选D.

规律方法 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.

2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝

2

4S原图形.

考点三空间几何体的表面积

【例3】(1)若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其全面积为________.

(2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为________(结果中保留π).

(3)如图直平行六面体的底面为菱形，若过不相邻两条侧棱的截面的面积分别为Q1，Q2，则它的侧面积为______.