倒格子

散射前后的波长不变,且为单色。






1. 衍射方程
入射线单位基矢S0 C O A
衍射线单位基矢S 晶面
Rl
D
CO= -Rl · S0
OD= Rl · S
衍射加强条件： Rl · （ S－S0 ）=
有：ko=(2/ ) S0
设： k－k0 =n Kh
k=(2/ ) S
反射线的波矢k
C
入射线的波矢k0 （h1h2h3）
O
反射球
建立反射球的意义

通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和 衍射照片上的斑点直接联系起来。 利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向 （若反射球上的A点是一个倒格点，则CA就是以 OA为倒格矢的一族晶面h1h2h3的衍射方向S）。
倒格矢球面与反射球 相交于一圆
) exp[i 2 ( f x x f y y)]dfx df y
fx , f y

分别是x，y方向的空间频率
x y
y)]

i 2 ( f x f y)]dxdy 表示一个任意空间二维函数 g ( x, y) exp[
1
傅立叶变换
周期信号的频域分析方法
考察信号
1 1 1 f (t ) sin 1t sin 31t sin 51t sin 71t 3 5 7
b1= 2(a2a3)\ 说明b1垂直于a2和a3所确定的面；
b2= 2(a3a1)\ 说明b2垂直于a3和a1所确定的面
b3= 2(a1a2\ 说明b3垂直于a1和a2所确定的面 式中： = a1 · ( a2a3)为晶格原胞的体积。
倒格子：以b1、b2、b3为基矢的格子是以a1、a2、a3 为基矢的格子的倒格子。 2. 正格子与倒格子的几何关系
*=b1 · ( b2b3) = (2）3/
（3）正格子中一族晶面（h1h2h3）和倒格矢
k h=h1b1+h2b2+h3b3 正交，
即晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标.
a3 a1/h1 C

kh

a2/h2 a3/h3 A
B
a1

a2

表示正格点 表示倒格点 ABC为一族晶面（h1h2h3）中的最 靠近原点的晶面，与 k h垂直
利用倒易点阵（倒格子）与正格子间的关系导出晶 面间距和晶面夹角。 晶面间距dh1h2h3 ：dh1h2h3=2/ |kh1h2h3|
两边开平方， 将kh1h2h3 =h1b1+h2b2+h3b3及正倒格子 的基矢关系代入，经过数学运算，得到面间距公式。
晶面夹角 ： k1· k2 = k1 k2 COS
-(2/a) j
4 . X射线衍射与倒格子、布里渊区的关系
（1） X射线衍射 与倒格子的关系 R l· kh/|kh|= d h1h2h3 Rl .( k－k0 ）= 2 dh1h2h3=2/ |kh1h2h3|
倒格矢Kh
根据公式： k－k0 =n Kh ,
建立反射球或衍射球
A
（h1 ´ h2 ´ h3 ´ 晶面
k
k－ k0
k0
|k－k0 |= 2 |S/ - S0 / | =( 4/ ) sin |k－k0 | = | n Kh |= 2n/dh1h2h3
| Kh |= 2/dh1h2h3
二、倒格子的概念
1. 倒格子的数学定义 设一晶格的基矢为 a1 、 a2、a3，有如下的关系：
从2dh1h2h3 sin =n 中可知： 对于某一个确定的晶面族，要满足衍射加强条件， 可以改变入射波矢的方向，即改变，或改变入射波 矢的大小，即改变。
倒易点阵的物理意义：
(1) 倒易点阵的一个基矢是与正点阵的一组 晶面相对应的； (2) 倒易点阵基矢的方向是该晶面的法线方 向； (3) 倒易点阵基矢的大小是该晶面族的晶面 间距的倒数的2π倍。单位为长度的倒数
得出正格矢和倒格矢的关系： R l · kh= 2
结论：如果两矢量的关系：R l · kh= 2，则其中一个 为正格子，另一个必为倒格子；即正格矢和倒格矢恒满 足正格矢和倒格矢的关系。
结论：
倒格矢Kh垂直某一晶面（ h1h2h3 ），也即该 晶面的法线方向与此倒格矢方向一致。 倒格矢Kh的大小与和其垂直的晶面间距成正 比。
子原胞 布喇菲原胞
基矢
子原胞
基矢
复式原胞
晶体结构中的概念体系
每个晶体结构有两个点阵同它联系：晶体点阵和倒格子点阵， 正格子点阵是真实空间的点阵，倒格子点阵是在波矢空间的 点阵。结晶学家喜欢用正格子，而物理学家喜欢用倒格子， 因为它在数学处理上具有优越性。 两个点阵的基矢具有一定的几何关系（包括方向、大小）。
C
O
同一晶面由于晶体的旋转引 起该晶面倒格矢的旋转从而 形成倒格矢球面。
结论：
所有落在此球上的倒格点都满足 关系式: k－k0 =n Kh
即满足衍射加强条件。 衍射线束的方向是C点至A点的联线方向。
（2） X射线衍射与布里渊区的关系
(2/a) j
-(2/a) i
(2/a) i
结论： 入射波矢从倒 格子原点出发 终止在布里渊 区边界，该对 应的入射波满 足衍射条件k－ k0 =n Kh。
b2 0 b1
构成第一布里渊区 （简约布里渊区）的 垂直平分线的方程式 如下：
及 x=±/a y=±/a
(2/a) j
-(2/a) i
(2/a) i
第二布里渊区的各 个部分分别平移一个 倒格矢，可以同第一 区重合。第三布里渊 区的各个部分分别平 移适当的倒格矢也能 同第一区重合。
例 如
a2 a1
b1 a1 =2 b2 a2=2
b2 b1 Kl
Rl A O B Rl=l1a1+l2a2+l3a3 Rl=5a1+2a2
Kl=l1b1+l2b2+l3b3 Kl=3b1+4b2
证明：3b1+4b2 (3 4) 有：AB=OA-OB=a1/3 - a2/4 AB (3b1+4b2 )=(a1/3 - a2/4) (3b1+4b2 )= a1 b1 - a2 b2 a1 b1 =0 |Kl|=[(3b1)2+4b2)2]1/2 =[(32/ a1)2+4 2/a2)2]1/2 面间距：d= 2/ |Kl|=[(6/ a1)2+ (8/a2)2]1/2
倒格子原胞的选取：作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面， 为这些平面所完全封闭的最小体积------第一布里渊区。其体 积与正格子体积成正比。 倒格子中的一个格点与正格子中的一族晶面相对应。 衍射条件：入射波矢和反射波矢之差为该平面族所对应的倒 格矢的整数倍。 晶体衍射的过程就是把正格子中一族晶面转化为倒格子中的 一点的过程。
003
(102) 002 001
103 102
203 202 201 200 301 300
101
100
O
(100)
(001)
倒格子与正格子间的相互转化
3 . 倒格子原胞和布里渊区
• • • •
a
b2
• • • •
一维格子
b
0 b1
二维格子
倒格子原胞：
作由原点出发的诸倒格矢 的垂直平分面，这些平面 完全封闭形成的最小的多 面体（体积最小）------第 一布里渊区。
1 傅里叶变换 傅里叶变换是实现从空域或时域到频域的转换的工具

G( f x , f y ) [ g ( x, y)]
g ( x, y) 1[G( f x , f y )]


g ( x, y) exp[i2 ( f x f
x
x y
y
y)]dxdy

G( f , f
得：Rl · （ k－k0 ）= 2
k－k0 =n Kh的物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个 Kh（倒格矢）时，满足衍射加强条件， n为衍射级数。
来自百度文库
2. 反射公式
P Q
A S T A d P Q
入射线与反射线之间的光程差： =SA+A T=2d sin 满足衍射方程：2dh1h2h3 sin =n
式中:ω1=2πf1。ω1基波频率，简称基频， ω1的倍数称为谐波。
•对于周期信号而言，其频谱由离散的频率成
分，即基波与谐波构成。
2
傅立叶变换
复杂周期信号波形
a 时间域或空间域
b 频率域
3
1.1.3
倒 格 子
一、从X射线衍射方程 反射公式引出倒 格矢概念
条件：
X射线源、观测点与晶体的距离都比晶体的线度大的 多，入射线和衍射线可看成平行光线；
-(2/a) j
第一布里渊区
第一布里渊区 二维正方格子的布里渊区
第一布里渊区
固体物理学原胞
基矢 结点 多原子 基元
平行六面体 最小重复单元 复式格子（几个子晶格）
空间点阵 晶列晶面
周期性晶格
单原子
复式原胞
晶向 子晶格 面指数晶列指数
倒格子
对称性晶格
布喇菲格子（正格子）
最小重复单元的 几倍 倒格矢 结晶学原胞
（1） 正格子基矢和倒格子基矢的关系
=2 (i=j) ai· bj=2i j =0 (ij)
证明如下： a1· b1=2 a1 · ( a2a3) / a1 · ( a2a3) = 2
因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有：
a2· b1=0
a3· b1=0
（2）除（2）3因子外，正格子原胞体积和倒 格子原胞体积*互为倒数。
一个倒格矢对应一族晶面，但一族晶面可以 对应无数个倒格矢，这些倒格矢的方向一致， 大小为最小倒格矢的整数倍。 满足X射线衍射的一族晶面产生一个斑点， 该斑点代表一个倒格点，即该倒格点对应一 族晶面指数。
k－k0 =n Kh的物理意义： 当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个倒格矢Kh时， 则该族晶面（h1h2h3） 满足衍射加强条件， n为衍射 级数。
（4）倒格矢的长度正比于晶面族（h1h2h3）的面间 距的倒数。 dh1h2h3=a1/h1· kh/|kh|=a1(h1b1+h2b2+h3b3)/h1|kh|=2/|kh|
由（3）、（4）可知，一个倒格矢代表正格子中的一族 平行晶面 。
晶面族（h1h2h3）中离原点的距离为 d h1h2h3的晶面的 方程式可写成： R l· kh/|kh|= d h1h2h3 (=0,±1,±2,……)