勾股定理综合难题

用面积证明勾股定理

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

图（1）中，所以。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.

方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。

C

B

A D E

F

练习题

1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为

2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?

2 如图，长方体的高为

3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5

A

B

3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC •为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•

5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，

使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）．

A ．3

B ．4

C

D ．5

6．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的 垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm ． 求AC 的长．

7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且 与AE 重合，则CD 的长为

8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使

点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21

：：=BE AE ，则折 痕EF 的长为 。

9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________． B

C

A

F

E

D

C

B

A

B ’

C ’

B ′

A ′

C ′

D

C

B

A D

10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，若BC ＝2，则BC´＝_________．

11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm

12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？

13、如图，在△ABC 中，∠B=

90，AB=BC=6，把

△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ， 点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。

14．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，

使点

B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）

A 、6cm 2

B 、8cm 2

C 、10cm 2

D 、12cm 2

15．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．

16、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积。 E

题5图

F

B

C ′

B

A

C

D A

C

图1

D A

E

A

D

B C

E F

第11题图

17、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．

18．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合)，在AD 上适当移动三角板顶点P ：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能， 请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由．

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动， 直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长 线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE ＝2cm ？若能， 请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由．

21．①能.设AP ＝x 米，由于BP 2＝16+x 2，CP 2＝16+(10－x)2，而在Rt △PBC 中，有BP 2+ CP 2＝

BC 2，即16+x 2+16+(10－x)2＝100，所以x 2－10x+16＝0，即(x －5)2＝9，所以x －5＝±3，所以x ＝8，x ＝2，即AP ＝8或2，②能.仿照①可求得AP ＝4.

19.如图△ABC 中，BC BM AC AN BC AC ACB ====︒=∠,,5,12,90则MN= 4

20、※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）

（A

）2d （B

d （C

）2d （D

）d

解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,

12S ab

=

. 由勾股定理,得222a b c +=.

所以

()2

22222444a b a ab b c S d S

+=++=+=+.

所以a b +=所以a b c ++

=2d .故选（C ）

21※．在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006

,,P P P ,

记

()21,2,2006i i i i

m AP BP PC i =+⋅= ,则

122006

m m m ++

=_____.

图

8