精品-勾股定理综合性难题及答案

勾股定理练习题
1、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．
2、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）
（A ）22d S d ++ （B ）2d S d --
（C ）222d S d ++ （D ）22d S d ++
3、如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =, 4CE =,求DE 的长.
4、如图在Rt △ABC 中,3,4,90==︒=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。

如图所示：
要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）
5．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm
6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，请说明：AB 2－AP 2=PB ×PC 。

7．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另
一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?
8．长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m ．
9．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE
⊥DF ．求证：AE 2＋BF 2＝EF 2．
C O
A B D E F 第5题图 A B P C 第6题图
10．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，
求证：AF ⊥FE ．
11．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理
由．
12．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．
13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长?如果从点A 开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长?
14. 三角形的三边长为
ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形
（C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.
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勾股定理练习题答案
1、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．
2、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）
（A ）22d S d ++ （B ）2d S d --
（C ）222d S d ++ （D ）22d S d ++
解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,1
2S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.
所以()222
222444a b a ab b c S d S +=++=+=+.
所以22a b d S +=+.所以a b c ++=222d S d ++.故选（C ）
3、如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,
4CE =,求DE 的长.
解:如右图：因为ABC ∆为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=︒.
所以把AEC ∆绕点A 旋转到AFB ∆,则AFB AEC ∆≅∆.
所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=︒.连结DF . 所以DBF ∆为直角三角形. 由勾股定理,得222222435DF BF BD =+=+=.所以5DF =.
因为45,DAE ∠=︒所以45DAF DAB EAC ∠=∠+∠=︒.
所以()ADE ADF SAS ∆≅∆. 所以5DE DF ==.
4、如图在Rt △ABC 中,3,4,90==︒=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。

如图所示：
要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）
解：要在Rt △ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。

要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。

下图中的四种拼接方法供参考。

5．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm
6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，请说明：AB 2－AP 2=PB ×PC 。

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C O
A B D E F 第5题图 A B P C 第6题图
作AD⊥BC交BC于D，AB²=BD²+AD²（1）AP²=PD²+AD²（2）
（1）-（2）得：AB²-AP²=BD²-PD²，
∴AB²-AP²=（BD+PD）（BD-PD），∵AB=AC，∴D是BC中点，
∴BD+PD=PC，BD-PD=PB，∴AB²-AP²=PB·PC
7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?
8．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．
9．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE ⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．
证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，
连接EM．∵AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF．∴AM=BF，MD=DF．
又∵DE⊥DF，∴EF=EM．∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．
10．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝
CB
4
1
，
求证：AF⊥FE．
解：连结AE ，设正方形的边长为4a ，计算得出AF ，EF ，AE 的长，由AF 2+EF 2=AE 2得AF ⊥FE
11．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理
由．
解：原式变为（a-5）2+ （b-12）2+ （c-13）2=0所以a=5，b=12，c=13
所以a 2+b 2=c 2所以△ABC 为直角三角形。

12．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．
13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长?如果从点A 开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长?
将长方体展开，连接A 、B′，
∵AA′=1+3+1+3=8（cm ），A′B′=6cm ，
根据两点之间线段最短，AB′= =10cm ．
如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，
相当于直角三角形的两条直角边分别是8n 和6
14. 三角形的三边长为
ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形
（C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.
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