分式乘除法及加减混合运算
分式乘除法加减法练习题(打印版)
分式乘除法加减法练习题（打印版）### 分式乘除法加减法练习题练习一：分式乘法1. \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \)求 \( \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \)。
2. \( \frac{m}{n} \times \frac{p}{q} \)如果 \( m = 2 \), \( n = 3 \), \( p = 4 \), \( q = 5 \)，计算结果。
3. 计算 \( \frac{2x}{3y} \times \frac{4y^2}{5x^2} \)。
练习二：分式除法1. \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times\frac{d}{c} \)求 \( \frac{3}{4} \div \frac{5}{6} \)。
2. \( \frac{m}{n} \div \frac{p}{q} \)如果 \( m = 2 \), \( n = 3 \), \( p = 4 \), \( q = 5 \)，计算结果。
3. 计算 \( \frac{2x^2}{3y} \div \frac{4y^3}{5x} \)。
练习三：分式加减法1. \( \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \)求 \( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \)。
2. \( \frac{m}{n} - \frac{p}{n} \)如果 \( m = 4 \), \( n = 5 \), \( p = 3 \)，计算结果。
3. 计算 \( \frac{2x}{3y} + \frac{4y}{3x} \)。
练习四：混合运算1. 计算 \( \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \)。
分式的乘除法掌握分式的乘除运算法则
分式的乘除法掌握分式的乘除运算法则分式是数学中的一种表示形式，它由分子和分母两部分组成。
分式的乘除法是对分式进行乘法和除法运算的方法。
正确掌握分式的乘除运算法则对于解决复杂的数学问题至关重要。
本文将介绍分式的乘除法，详细讲解分式的乘除运算法则。
一、分式乘法分式乘法是指两个分式相乘的运算。
当两个分式相乘时，我们将它们的分子相乘，分母相乘，然后将结果化简为最简分式。
具体操作步骤如下：1. 将两个分式相乘，将分子相乘得到新分子，将分母相乘得到新分母；2. 化简新分子和新分母，使其互质，得到最简分式。
例如，计算分式1/2和3/4的乘积。
解：1/2 * 3/4 = 1 * 3 / 2 * 4 = 3/8所以，1/2 * 3/4 = 3/8。
二、分式除法分式除法是指将一个分式除以另一个分式的运算。
当两个分式相除时，我们将被除数的分子乘以除数的分母，被除数的分母乘以除数的分子，然后将结果化简为最简分式。
具体操作步骤如下：1. 将被除数的分子乘以除数的分母，得到新分子；2. 将被除数的分母乘以除数的分子，得到新分母；3. 化简新分子和新分母，使其互质，得到最简分式。
例如，计算分式2/3除以4/5的结果。
解：2/3 ÷ 4/5 = 2/3 * 5/4 = 2 * 5 / 3 * 4 = 10/12化简得到最简分式：10/12 = 5/6所以，2/3 ÷ 4/5 = 5/6。
三、分式的乘除混合运算在实际应用中，我们经常会遇到分式的乘除混合运算。
在进行分式的乘除混合运算时，我们需要先进行分式的乘法，再进行分式的除法。
具体操作步骤如下：1. 先按照乘法法则计算所有的乘法运算；2. 再按照除法法则计算所有的除法运算；3. 若有多个乘法或除法运算，则按照从左到右的顺序进行计算。
例如，计算分式2/3 * 4/5 ÷ 1/2的结果。
解：2/3 * 4/5 ÷ 1/2 = (2/3 * 4/5) ÷ 1/2 = (2 * 4 / 3 * 5) ÷ 1/2 = 8/15 * 2/1 = 8/15 * 2 = 16/15所以，2/3 * 4/5 ÷ 1/2 = 16/15。
分式乘除法及加减混合运算
分式乘除法及加减混合运算分式乘除法及加减法一、知识整理分式乘除法：1、分式乘以分式，把分子相乘的积作积的分子，把分母相乘的积作积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
D B C A D C B A ⋅⋅=⋅ CB DA C DB A DC B A ⋅⋅=⋅=÷ 2、分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
n n nB A B A =⎪⎭⎫⎝⎛3、分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。
分式加减法：1、分式与分数类似，也可以通分。
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
2、分式的加减法：分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减。
（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示是：CBA CBC A ±=±； （2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
用式子表示是：BDBCAD BD BC BD AD D C B A ±=±=±。
3、分式的通分：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
通分的难点是寻找最简公分母，确定最简公分母的一般方法：①把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②把相同字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次．．．幂．作为最简公分母的一个因式；③把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
二、经典例题 分式乘除法 【例1】计算：（1）291643x y y x ⋅； （2）a a a a 21222+⋅-+；【例4】若b a 32=，求22225332bab a b ab a +-+-的值。
分式加减法【例1】计算：（1）2422---x x x ； （2）x x x --+-1112； （3）m n mn m n m n n m ---+-+22。
人教版数学八年级上册15.2.1分式的乘除法教案
在课程总结环节，我觉得可以尝试让学生自己来总结今天学到的知识点，这样既能检验他们对知识的掌握程度，也能提高他们的归纳总结能力。同时，我也要注意在课后及时了解学生的疑问，针对性地进行解答和辅导。
5.激发学生学习兴趣，培养合作交流、自主学习的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）分式乘除法的运算法则：重点是让学生掌握分式乘法（a/b × c/d = (a×c)/(b×d)）和分式除法（a/b ÷ c/d = (a×d)/(b×c)）的基本运算规律，并能够熟练运用这些法则进行计算。
举例：讲解分式乘法时，可以举例2/3 × 4/5，让学生明白分子相乘、分母相乘的运算过程。
（2）混合运算中的符号处理：难点在于如何正确处理混合运算中的符号问题，特别是在有括号的情况下，如何确定符号的变化。
举例：讲解符号处理时，可以举例(2/3) × (-4/5) ÷ (-1/2)，让学生掌握符号的处理方法。
（3）实际问题的建模：难点在于如何将实际问题转化为分式乘除的数学模型，特别是对于一些复杂的问题，如何提炼关键信息进行建模。
举例：面对一个复杂问题，如“某商品原价1000元，打8折后，再减去50元，求最终售价。”，指导学生如何建立分式模型来解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式的乘除法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算两个分数相乘或相除的情况？”（如购物打折、配比计算等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式乘除法的奥秘。
分式的混合运算
分式的混合运算【知识要点】1．分式的运算法则 同分母分式加减法：异分母分式加减法：2．分式的乘除法3．分式的乘方：4．常用的公式变形：211222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x221211222244-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x x x注：分式的计算中，分数线具有括号的作用！【典型例题】例1 计算：（1）22221106532xyx y y x ÷⋅ （2）mn nn m m m n n m -+-+--2（3）1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x （4）22224421y xy x y x y x y x ++-÷+--（5）m m -+-329122（6）a+2－a-24（7）262--x x ÷ 4432+--x x x（8）222)2222(xxx x x x x --+-+-（9）x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+ （10）2144122++÷++-a a a a a（11）y x axy28512÷ （12）xy x y 2211-+-例2 先化简，后求值：（1）168422+--x x xx ，其中x=5.（2）3,32,1)()2(222222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中（3）168422+--x x xx ，其中x=5例3 计算)1999x )(1998x (1.....)3x )(2x (1)2x )(1x (1)1x (x 1+++++++++++思考题：已知12,4-=-=+xy y x ，求1111+++++y x x y 的值；【大展身手】1．计算：2211xy x y x y x y ⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭2．计算：aa a a a a 4)22(2-⋅+--．3．计算：111112-+-∙-+a a a a 4．计算：⎪⎭⎫⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x【小试锋芒】一、选择题1．下列判断中，正确的是（ ）A ．分式的分子中一定含有字母;B ．当B ＝0时，分式BA无意义 C ．当A ＝0时，分式BA的值为0（A 、B 为整式）D ．分数一定是分式 2．下列各式正确的是（ ）A ．11++=++b a x b x aB ．22x y x y =C ．()0,≠=a ma na m nD ．am an m n --=3．下列各分式中，最简分式是（ ）A ．()()y x y x +-8534B ．y x x y +-22 C ．2222xy y x y x ++ D ．()222y x y x +- 4．化简2293mm m --的结果是（ ） A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m m-3 5．若把分式xyyx 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ．缩小6倍 6．A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．9448448=-++x x B ．9448448=-++x x C ．9448=+x D ．9496496=-++x x7．已知x y z ==，则3x y z +-的值是（ ）A ．17 B.7 C.1 D.138．汛期将至，我军机械化工兵连的官兵为驻地群众办实事，计划加固驻地附近20千米的河堤。
分式加减法运算法则
分式加减法运算法则分式加减法运算法则：1. 分式加法：分式加法是把分子相加或者相减，而分母保持不变，用一个新分式来表示和或差。
一般格式是：（分子1/分母）➕（分子2/分母）=（分子1+分子2/分母）。
2. 分式减法：分式减法也是把分子相减或者相加，而分母保持不变，用一个新分式来表示差。
一般格式是：（分子1/分母）➖（分子2/分母）=（分子1-分子2/分母）。
3. 分式整体乘法：分式整体乘法是将两个分式的分子相乘，而分母相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）×（分子2/分母2）=（分子1×分子2/分母1×分母2）。
4. 分式整体除法：分式整体除法是将分式的分母相乘，而分子相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）÷（分子2/分母2）=（分子1×分母2/分母1×分子2）。
5. 一般的分式的运算：在分式加减法和分式乘除法之后，还可以进行一般的计算，比如：（分子/分母）+（x/分母）+3=（分子+x+3×分母/分母）。
其中的 +x 和+3 就是一般的计算。
因此，在做分式加减法和乘除法的时候，我们首先要确定每个分式中分子和分母，然后根据其法则做整体或一般计算，得出正确结果。
此外，分母一般不能为0，否则会出现无穷大或者不可定义解答；分子和分母要使用相同的符号，否则会导致结果的正负不正确；如果分子和分母出现了负数，要根据实际情况将负号带到分子或者分母，以便能够得到正确的答案。
此外，分式的运算还有一个重要的技巧，即分数化简，就是用数学技巧找出分数的最简形式。
常用的分数化简诀窍就是先分子分母分别除以最大公约数，然后将分子和分母比较，可以将分母统一为最小值，再算出最终结果。
例如，有分式等式：（4/8）=（2/4），明显可以看出它们的最简形式应该为：（1/2）=（1/2），所以，我们只要在做分数运算的时候注意分数化简，就可以得出正确的答案。
总之，分式加减法和乘除法运算都要掌握其基本原理和规律，熟悉一般计算技巧，注意分数化简，以及分母不能为0，就可以得出正确的结果了。
初中数学·分式知识点归纳全总结
分式知识点归纳一、分式的定义:一般地,如果A ，Ｂ表示两个整数,并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式,A 为分子，Ｂ为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义:分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为０：分子为０且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ) ④分式值为正或大于0：分子分母同号(⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于０:分子分母异号(⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ) ⑥分式值为1：分子分母值相等（Ａ＝B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（Ａ+B=０）三、分式的基本性质（１）分式的分子和分母同乘（或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式,C ≠0。
（２）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变, 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意:在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件Ｂ≠0。
四、分式的约分1.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
２.步骤:把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3.两种情形:①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解,再约分。
4.最简分式的定义:一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法:1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2）取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式，然后判断公因式.五、分式的通分1．定义:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
沪教版七年级 分式的四则运算,带答案
分式的四则运算课时目标1．理解通分的意义，理解最简公分母的意义.2．理解分式乘、除法，乘方的法则，会进行分式乘除运算. 3．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．知识精要1. 分式的乘除法法则a bcdacbd⋅=；abcdabdcadbc÷=⋅=当分子、分母是多项式时，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘.2. 分式的加减法（1）同分母的分式加减法法则：acbca bc±=±.（2）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3. 通分：根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式的过程．4. 求最简公分母的法则（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；（3）相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的.5. 分式加减法的注意事项（1）通分的过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等，分式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商；（2）通分后，当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误.（3）分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分式或整式.6. 分式乘方的法则：()a b a bn nn =（n 为正整数）注意：①分式的乘方，必须把分式加上括号.②在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算 乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分.热身练习1. (－2b a)2n的值是（ ）A ．222n n b a +B ．－222n n b a +C ．42n n b aD ．－42nn b a2. 计算(2x y)2·(2y x )3÷ (－y x )4得（ ）A ．x 5B ．x 5yC ．y 5D ．x 153．计算（2x y ）·（y x ）÷（－y x ）的结果是（ ）A ．2x yB ．－2x y C ．x y D ．－x y4．（－2b m）2n +1的值是（ ）A ．2321n n b m ++B ．－2321n n b m ++C ．4221n n b m ++D ．－4221n n b m ++5．化简：(3x y z )2·(xz y )·(2yzx )3等于（ ）A ．232y z xB ．xy 4z 2C ．xy 4z 4D ．y 5z6.计算（1） 322)23(c ab - （2）43222)()()(xym m y x xy m ÷-⋅-（3） 22222)(b a b a b a b a +-÷+- （4）)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅（5）22)2(4422-++---x x x x x x （6）6554651651222222-+-+-++--++x x x x x x x x x （7）()()222624x x x ---+ （8）223y xy xy xy x y x +-+++（9）545422++-+x x x （10）()2222222222945929y x xyy x y y x y x y x --+--+--精讲名题例1. 223342222333243)125()25(])4()8()4()2([xy y x xy y x y x xy --÷---⨯--例2. ()242223232222222+++++--+-a a a a a a a a例3. 计算：xx xx x x x x x x x 4122121035632222-+-++---+++例4. 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c a c b a+++++的值例5.已知6112=++a a a ，试求1242++a a a 的值 例6. 1814121111842+-+-+-+--x x x x x例7. 计算 45342312+++++-++-++x x x x x x x x巩固练习类型一：分式的乘除运算（1）2222294255)23(m x m y x y x x m --⋅++- （2）xx x x x x x -++⋅+÷+--36)3(446222类型二：分式的加减运算（1） 2221311a a a a a ---+-- （2） 232a b c a b c b ca b c b c a c a b-+-+--++--+--（3）2422---x x x （4）22211y x xy x y x -+--+（5）224--+a a （6） 222244242x y y x y x y y x -+-++ (7) 已知y x a x y -=，y xb x y+=，求22a b -类型三：分式的混合运算(1)222244232n mn m n mn m n m n m +-+-+-- (2) 4222xx x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭(3)245(3)33x x x x -÷----- (4)111111--++x x(5)2222222265232y x y x y xy x y x y xy x y xy x -+⋅---÷+++-(6)已知：,02=-y x 求()()323322y x y x y x y x +-÷+-类型四：化简求值类型题（1）13)11132(22--÷-+----x x x x x x x ．其中x ＝2（2）232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）．其中x =－45．（3）当1x =时，226336x x x x x x --+⋅-+-的值为多少？类型五：分式的拆分 1．设n 为自然数，计算：)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n .2．计算：)100)(99(1)2)(1(1)1(1++++++++x x x x x x .自我测试一、选择题2. 下列分式是最简分式的（ ） A ．ba a 232 B ．aa a 32- C ．22b a b a ++ D ．222b a ab a --3. 化简)2()242(2+÷-+-m mm m 的结果是（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．（m ＋2）24. 已知2111=-b a ，则b a ab -的值是（ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．－25. 化简(x y －y x ) ÷x yx -的结果是（ ）A ．1yB ．x y y +C ．x y y -D ．y二、填空题6. 如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 .7. 化简： aa 12-÷(1+a 1)= ．8. 化简：4)222(2-÷--+x x x x x x 的结果为 ．9. 若x 2-3x +1=0，则2421x x x ++的值为_________．10.化简12-a ·442++a a ÷2+a ＋12-a ，其结果是________．三、计算题 11. 计算(1) 22399xx x --- (2) x x x x x x x x x x 23832372325322222--+--+++--+ (3)()()3232x y xy y x yx -+- (4))50153050152(5015222+-++---+-x x x x x x x x(5)aaa a a a -÷+--36)33( (6)5132651813261522-+÷----⨯-+-x x x x x x x x12.化简求值 (1)aa -+-21442，并求时原式的值.(2)先化简，再求值：1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a ．(3)按下列程序计算：答案平方−→−-−→−÷−→−+−→−−→−n n n n 填表并请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简． 输入n 3… 输出答案 11分式的四则运算课时目标1．理解通分的意义，理解最简公分母的意义.2．理解分式乘、除法，乘方的法则，会进行分式乘除运算. 3．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．知识精要1. 分式的乘除法法则a b c d ac bd ⋅=；a b c d a b d c adbc÷=⋅= 当分子、分母是多项式时，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘. 2. 分式的加减法（1）同分母的分式加减法法则：a cbc a bc±=±.（2）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3. 通分：根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等 的同分母的分式的过程． 4. 求最简公分母的法则（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； （3）相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的. 5. 分式加减法的注意事项（1）通分的过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等，分式的分子、 分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商；（2）通分后，当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项， 从而避免符号错误.（3）分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分， 将结果化为最简分式或整式.6. 分式乘方的法则：()a b a bn nn =（n 为正整数）注意：①分式的乘方，必须把分式加上括号.②在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算 乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分.热身练习1. (－2b a)2n的值是（ C ）A ．222n n b a +B ．－222n n b a +C ．42n n b aD ．－42nn b a2. 计算(2x y)2·(2y x )3÷ (－y x )4得（ A ）A ．x 5B ．x 5yC ．y 5D ．x 153．计算（2x y ）·（y x ）÷（－y x ）的结果是（ B ）A ．2x yB ．－2x y C ．x y D ．－x y4．（－2b m）2n +1的值是（ D ）A ．2321n n b m ++B ．－2321n n b m ++C ．4221n n b m ++D ．－4221n n b m ++5．化简：(3x y z )2·(xz y )·(2yzx )3等于（ B ）A ．232y z xB ．xy 4z 2C ．xy 4z 4D ．y 5z6.计算（1） 322)23(c ab - （2）43222)()()(x ym m y x xy m ÷-⋅-解： 原式=663827c b a - 解：原式=338ym x -（3） 22222)(b a b a b a b a +-÷+- （4）)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅ 解：原式=))(()(223b a b a b a +-+ 解：原式=32916ax b（5）22)2(4422-++---x xx x x x （6）6554651651222222-+-+-++--++x x x x x x x x x解：原式=21-+x x 解：原式=64+-x x （7）()()222624x x x ---+ （8）223y xy x y xy x y x +-+++ 解：原式=21-x 解：原式=xy x y -3（9）545422++-+x x x （10）()2222222222945929y x xyy x y y x y x y x --+--+-- 解：原式=)1)(5(24-+-x x x 解：原式=0精讲名题例1. 223342222333243)125()25(])4()8()4()2([xy y x xy y x y x xy --÷---⨯-- 解：原式=)55()2222(426912624242669661244yx y x y x y x y x y x -÷⋅=)1()(51022y x y x -⋅=361yx -例2. ()242223232222222+++++--+-a a a a a a a a 解：原式=326322=++a a例3. 计算：x x xx x x x x x x x 4122121035632222-+-++---+++解：原式=)2)(2(12)1)(2()1()2)(5()1)(5(2-++-+---+++x x x xx x x x x x x=)2)(2(122121-+++---+x x x x x x =)2)(2(126-++x x x=26-x例4. 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c a c b a+++++的值解：由已知得：a c b b c a c b a -=+-=+-=+,,∴原式=a cb c c b a b c a b a +++++ =acb c b a b c a +++++ =－3例5.已知6112=++a a a ，试求1242++a a a 的值 解：由已知得：612=++a a a ，即611=++aa 51=+∴a a 232)1(1222=-+=+∴aa a a2411122224=++=++∴a a a a a 2411242=++∴a a a例6. 1814121111842+-+-+-+--x x x x x 解：原式=181412128422+-+-+--x x x x =181414844+-+--x x x =181888+--x x =11616-x例7. 计算 45342312+++++-++-++x x x x x x x x 解：原式=411311211111++++--+--++x x x x =41312111+++-+-+x x x x =)3)(2(52)4)(1(52+++-+++x x x x x x=24503510104234+++++x x x x x巩固练习类型一：分式的乘除运算（1）2222294255)23(m x m y x y x x m --⋅++- （2）xx x x x x x --+⋅+÷+--36)3(446222解：原式=)23(5--x m y x 解：原式=22--x类型二：分式的加减运算（1） 2221311a a a a a ---+-- （2） 232a b c a b c b c a b c b c a c a b-+-+--++--+-- 解：原式=2- 解：原式=0（3）2422---x x x （4）22211y x xy x y x -+--+ 解：原式=2+x 解：原式=yx +2（5）224--+a a （6） 222244242x y y x y x y y x -+-++ 解：原式=242++-a a 解：原式=yx x 22+(7) 已知y x a x y -=，y xb x y+=，求22a b - 解：原式=4)2(2))((-=-⋅=-+yxx y b a b a类型三：分式的混合运算(1)222244232n mn m n mn m n m n m +-+-+-- (2) 4222xx x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭ 解：原式=nm nm 222-- 解：原式=)2(2+x x(3)245(3)33x x x x -÷----- (4)111111--++x x 解：原式=22+-x 解：原式=)2)(1()1)(2(-+-+x x x x(5)2222222265232y x yx y xy x y x y xy x y xy x -+⋅---÷+++- 解：原式=yx yx 26+-(6)已知：,02=-y x 求()()323322y x y x y x y x +-÷+- 解：原式=))(()())(()(223334y xy x y x y x y x y x y x +--+=+-+又x y 2=，代入得： 原式=－9类型四：化简求值类型题（1）13)11132(22--÷-+----x x x x x x x ．其中x ＝2解：原式=34--x ， 当x ＝2时，原式=4.（2）232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）．其中x =－45．解：原式=11+x ， 当x =－45时，原式=5.（3）当1x =时，226336x x x x x x --+⋅-+-的值为多少？ 解：原式=22-+x x ， 当1x =时，原式=－3.类型五：分式的拆分1．设n 为自然数，计算：)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n . 解：原式=11141313121211+-++-+-+-n n =111+-n =1+n n3．计算：)100)(99(1)2)(1(1)1(1++++++++x x x x x x . 解：原式=100199********+-++++-+++-x x x x x x =10011+-x x =)100(100+x x 自我测试一、选择题A. a +bB. a -bC. a 2-b 2D. 12. 下列分式是最简分式的（ C ）A ．b a a232 B ．a a a 32- C ．22b a b a ++ D ．222b a ab a -- 3. 化简)2()242(2+÷-+-m mm m 的结果是（ B ） A ．0B ．1C ．－1D ．（m ＋2）2 4. 已知2111=-b a ，则b a ab -的值是（ D ） A ．21 B ．21- C ．2 D ．－2 5. 化简(x y －y x ) ÷x y x -的结果是（ B ） A ． 1y B ． x yy + C ． x yy - D ．y二、填空题6. 如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 －3 . 7. 化简： aa 12-÷(1+a 1)= a －1 ． 8. 化简：4)222(2-÷--+x x x x x x 的结果为 x -6 ．10.化简122-+a a ·4412++-a a a ÷21+a ＋122-a ，其结果是11-a ． 三、计算题11. 计算(1) 22399x x x --- (2)x x x x x x x x x x 23832372325322222--+--+++--+ 解：原式=31+-x 解：原式=(3)()()3232x y xy y x yx -+- (4))50153050152(5015222+-++---+-x x x x x x x x 解：原式=2)(y x xy - 解：原式=53-x (5)aa a a a a -÷+--36)33( (6)5132651813261522-+÷----⨯-+-x x x x x x x x 解：原式=aa a a a a a a 633633-⋅+--⋅- 解：原式=252-x =)3(6361+-+-a a =31+-a12.化简求值 (1)aa -+-21442，并求3-=a 时原式的值. 解：原式=21+-a 当3-=a 时，原式=1.(2)先化简，再求值：1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a ． 解：原式=22--a a由已知得：02=-a a∴原式=－2(3)按下列程序计算：答案平方−→−-−→−÷−→−+−→−−→−n n n n 填表并请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简． 输入n3 … 输出答案 1 1解：12=-+n nn n。
分式基本概念与运算法则
乘方与开方的混合运算
乘方与开方的 混合运算是指 将分式的乘方 和开方进行混
合运算
混合运算的步 骤包括：先乘
方，后开方
混合运算的结 果是一个新的
分式
混合运算需要 注意的问题包 括：分式的符 号、分母的变
化等
分式与整式的运算
05
顺序
先乘除后加减的顺序
分式与整式的运算顺序： 先乘除后加减
乘除法运算：先计算乘除 法，再计算加减法
先进行分数与小数的运算
分数与小数的运算顺序：先分数后小数
分数与小数的运算方法：分数与小数可以相互转化，然后进行运算
分数与小数的运算技巧：利用分数与小数的性质和规律，简化运算过 程 分数与小数的运算应用：在实际问题中，分数与小数的运算可以解 决很多问题
先进行根式与分式的运算
根式与分式的运算顺序：先根式后分式 根式与分式的运算方法：根式运算法则、分式运算法则 根式与分式的运算技巧：简化、合并、化简 根式与分式的运算实例：具体例子，如根式与分式的加减乘除运算
乘除混合运算的 注意事项：注意 运算顺序，避免 错误
乘除混合运算的 应用：解决实际 问题，如计算面 积、体积等
04
分式的乘方与开方
分式的乘方法则
分式的乘方： 分式的分子 和分母分别 乘方
分式的开方： 分式的分子 和分母分别 开方
分式的乘除： 分式的分子 和分母分别 乘除
分式的加减： 分式的分子 和分母分别 加减
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分式基本概念与运算法则
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目 录
01 分 式 的 定 义 与 性 质 02 分 式 的 加 减 法 03 分 式 的 乘 除 法 04 分 式 的 乘 方 与 开 方 05 分 式 与 整 式 的 运 算 顺 序02分式的加减法
分式的加减法与乘除法
分式的加减法与乘除法分式（Fraction）是数学中的一个重要概念，用来表示有理数的形式。
分式由分子和分母组成，分子表示被分割的单位数量，而分母表示整体被分成的份数。
在数学中，我们经常会遇到需要对分式进行加减法和乘除法的运算。
本文将详细介绍分式的加减法和乘除法的运算规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。
一、分式的加减法1. 加法两个分式的加法规则：分子相乘加分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$这个规则同样适用于多个分式相加。
例如：$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$2. 减法两个分式的减法规则：分子相乘减分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}$同样地，这个规则也适用于多个分式相减。
例如：$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} - \frac{e}{f} = \frac{adf - bcf -bde}{bdf}$二、分式的乘除法1. 乘法两个分式的乘法规则：分子相乘，分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$这个规则同样适用于多个分式相乘。
例如：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} =\frac{ace}{bdf}$2. 除法两个分式的除法规则：将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数。
例如：$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$同样地，这个规则也适用于多个分式相除。
例如：$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \div\frac{\frac{e}{f}}{\frac{g}{h}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \div\frac{f}{e} \times \frac{h}{g} = \frac{adh}{bcfge}$三、实例演算让我们通过几个实际运算的例子来更好地理解分式的加减法和乘除法。
2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 分式的混合运算教学设计
第2课时分式的混合运算设计意图通过2个例题（例1为不带括号的，例2为带括号的）教学使学生掌握基础知识、基本的运算方法,并规范其解题书写格式，增强学生的运算能力. 例2(教材P141例8)计算：对应训练教材P142练习第1，2题.【对应训练】教材P142练习第1，2题.(4)忽视分数线的括号作用;(5)运算的最终结果不是最简分式或整式.设计意图分式的混合运算是高频考点，设置此例题是为了体现运算方法的灵活性和运算律的使用.例计算：问题1 这样做完了吗？教师引导学生观察：可将a＋b看成一个整体，然后分解因式，从而继续解答．接上面的步骤：＝（a＋b）－2a（a＋b）2a·1a＋b＝（a＋b）（1－2a）2a·1a＋b＝1－2a2a.问题2你还有其他更简便的解法吗？另解：原式＝[a＋b2a－(a＋b)]·1a＋b＝a＋b2a·1a＋b－(a＋b)·1a＋b＝12a－1＝1－2a2a.归纳总结：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算，注意使用运算律．【教学建议】教师需再次强调，分式的混合运算中如果存在整式，可将整式看作分母是1的“分式”，然后依照运算顺序及法则进行运算．【教学建议】学生独立思考，教师引导学生可利用运算律简化运算，学生将自己的解题过程写在练习本上．教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 分式混合运算的运算顺序是什么样的？ 【知识结构】【作业布置】1.教材P 146～147习题15.2第6，12，13题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时 分式的混合运算分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号里面的．教学反思在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率.解题大招一 与分式混合运算相关的化简求值 1．直接化简求值有关分式的化简求值问题，一般是先把给定的分式运用分式的运算法则化为最简分式或整式，然后把已知数据代入，求分式的值．例1 先化简，再求值：已知(1－1a )÷(a 2＋1a －2)，其中a ＝2.解：(1－1a )÷(a 2＋1a －2)＝a －1a ÷a 2＋1－2a a ＝a －1a ·a （a －1）2＝1a －1.当a ＝2时，原式＝12－1＝1.2．与非负性结合的分式化简求值一般这类题的字母的值没有直接给出，需要利用非负性的特征(几个非负数或式相加和为0，则每个数或式分别为0)求出字母的值，然后代入化简后的分式计算即可．初中阶段的三个非负性如下：⎩⎪⎨⎪⎧1.绝对值的非负性，即|a|≥0；2.偶次幂的非负性，即a 2≥0；3.算术平方根的双重非负性，即a≥0，a≥0.例2 先化简，再求值：(a 2－b 2a 2－2ab ＋b 2＋a b －a )÷b 2a 2－ab，其中a ，b 满足|a ＋1|＋(b －4)2＝0.解：(a 2－b 2a 2－2ab ＋b 2＋a b －a )÷b 2a 2－ab ＝[（a ＋b ）（a －b ）（a －b ）2－a a －b ]·a （a －b ）b 2＝(a ＋b a －b －a a －b )·a （a －b ）b 2＝b a －b·a （a －b ）b 2＝ab .∵|a ＋1|＋(b －4)2＝0，∴a ＋1＝0，b －4＝0，解得a ＝－1，b ＝4. 当a ＝－1，b ＝4时，原式＝－14.3.化简后选择合适的值代入求值这类型一般在选择合适的数代入时需要注意所选取的值要使原分式有意义，并且要使分式的乘除法有意义．例3 先化简x －3x 2－1÷x －3x 2＋2x ＋1－(1x －1＋1)，再从－1≤x≤3的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．解：x －3x 2－1 ÷x －3x 2＋2x ＋1－(1x －1＋1)＝x －3（x ＋1）（x －1） ÷x －3（x ＋1）2－(1x －1＋x －1x －1)＝x －3（x ＋1）（x －1） ·（x ＋1）2x －3－x x －1＝x ＋1x －1－x x －1＝1x －1 .∵分式和除法要有意义，∴x≠±1且x≠3.∵－1≤x≤3且x 为整数，∴取x ＝0.当x ＝0时，原式＝10－1＝－1.(答案不唯一) 解题大招二 分式混合运算过程的纠错题的解法遇到与分式混合运算有关的纠错题可以从以下常见的几个错误方向来考虑： ①计算过程中漏掉了分母；②分式的运算中当分式前面是减号时，忽视分数线的括号作用； ③分式的基本性质用错等．例4 下面是某同学化简(x 2－9x 2＋6x ＋9－2x ＋3x ＋3)÷－3xx ＋3的部分过程，请认真阅读并完成相应任务．解：原式＝[（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2－2x ＋3x ＋3]·x ＋3－3x①；＝(x －3x ＋3－2x ＋3x ＋3)·x ＋3－3x②； ＝x －3－2x ＋3x ＋3·x ＋3－3x③；…(1)该同学第③步开始出现错误；请你改正错误，然后完成后续的化简过程． (2)该分式的值能(填“能”或“不能”)等于0；如果能，则x ＝－6. 解：(1)由题目中的解答过程可知，第③步开始出现错误， 正确的过程如下： 原式＝[（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2－2x ＋3x ＋3]·x ＋3－3x＝(x －3x ＋3－2x ＋3x ＋3)·x ＋3－3x＝x －3－2x －3x ＋3·x ＋3－3x＝－x －6x ＋3·x ＋3－3x ＝x ＋63x. (2)解析：令x ＋63x ＝0，解得x ＝－6，当x ＝－6时，原分式有意义，∴该分式的值能等于0，此时x 的值为－6.培优点逆运算型分式的混合运算例老师在黑板上写了一个分式混合运算的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一个式子，如下：（－x2－1x2－2x＋1)÷xx＋1＝x＋1x－1，求被遮住的式子．分析：根据“被除式＝商×除式，被减式＝差＋减式”，以及分式的乘除法和加减法运算法则进行计算，即可解答．解：被遮住的式子是x＋1x－1·xx＋1＋x2－1x2－2x＋1＝xx－1＋（x＋1）（x－1）（x－1）2＝xx－1＋x＋1x－1＝2x＋1x－1.。
冀教版八年级数学上册_12.3 第2课时 分式的混合运算PPT课件
x
1
3
x2 x 1
x2 9
(
x
3)2
x3 (x 3)2
x 1 x2
x2 9 x 3 x 1 (x 3)2 x 2
x2 x 6 (x 3)2
x 1 x2
(x
3)(x (x 3)2
2)
x ，原式= 1 .
3
课堂小结
分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
b2 (a b)
b2 (a b)
= 4ab b2 (a b)
= 4a b(a b)
=
4a ab b2
.
问题2
计算： 1
x
1
1
x
x 2
1
.
解：方法一：
1
1 x 1
x x2 1
= x 11 x x 1 x2 1
= x (x 1)(x 1) x 1;
x 1
x
方法二：1
1 x 1
x x2 1
= 1
1 x 1
x2 1 x
=1 x2 1 1 (x 1)(x 1) = x2 1 x 1 = x2 x x 1.
x x 1
x
xx
x
分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
注意 （1）对应分式的混合运算，应先将除法转化为乘法运 算，异分母相加减转化为同分母相加减.有括号的先算 括号里面的； （2）有理数的运算顺序及运算律对分式运算同样适用.
AC AC. BB B
讲授新课
一 分式的混合运算
问题1
计算：
2a b
2
a
1
b
a b
数学分式的计算方法
数学分式的计算方法数学分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成，分子和分母都可以是数或者变量的组合。
在计算数学分式时，我们需要掌握一些基本的计算方法和技巧。
一. 分式的加减法1. 分式的加法：当两个分式的分母相同时，可以直接将分子相加，并保持分母不变。
例如，计算1/3 + 2/3，由于分母相同，所以直接将分子相加得到3/3，即1。
2. 分式的减法：当两个分式的分母相同时，可以直接将分子相减，并保持分母不变。
例如，计算4/5 - 2/5，由于分母相同，所以直接将分子相减得到2/5。
3. 分式的加减法：当两个分式的分母不同时，我们需要先找到它们的最小公倍数作为通分的分母，并将分子进行相应的乘法运算后再进行加减。
例如，计算1/2 + 1/3，首先找到2和3的最小公倍数为6，然后将分子进行相应的乘法运算得到3/6 + 2/6，最后得到5/6。
二. 分式的乘除法1. 分式的乘法：将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
例如，计算2/3 * 4/5，将分子相乘得到8，分母相乘得到15，所以结果为8/15。
2. 分式的除法：将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数，作为新的分子，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子，作为新的分母。
例如，计算2/3 ÷ 4/5，将2/3乘以5/4得到10/12，最后可以化简为5/6。
三. 分式的化简与约分1. 分式的化简：将一个分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，可以得到一个化简后的分式。
例如，将12/16化简为3/4，因为12和16的最大公约数为4，所以同时除以4得到3/4。
2. 分式的约分：将一个分式的分子和分母同时除以它们的公因子，可以得到一个约分后的分式。
例如，将15/25约分为3/5，因为15和25的公因子为5，所以同时除以5得到3/5。
四. 分式的整数部分和真分数部分1. 分式的整数部分：当一个分式的分子大于或等于分母时，可以将其化简为一个整数和一个真分数相加。
专题08分式的加减法和乘除法(原卷版)(重点突围)
专题08 分式的加减法和乘除法
【考点导航】
目录
【典型例题】 (1)
【考点一同分母分式加减法】 (1)
【考点二异分母分式加减法】 (2)
【考点三整式与分式相加减】 (2)
【考点四已知分式恒等式，确定分子或分母】 (3)
【考点五分式乘除混合运算】 (3)
【考点六分式乘方】 (4)
【考点七含乘方的分式乘除混合运算】 (4)
【考点八分式加减乘除混合运算】 (4)
【考点九分式化简求值】 (5)
【过关检测】 (6)
【典型例题】
【考点一同分母分式加减法】
【变式训练】
【考点二异分母分式加减法】
【变式训练】
【变式训练】
【考点四已知分式恒等式，确定分子或分母】
【变式训练】
【变式训练】
【考点六分式乘方】
【变式训练】
【考点七含乘方的分式乘除混合运算】
【变式训练】
例题：（2022·吉林·长春博硕学校八年级阶段练习）化简：
【变式训练】
【考点九分式化简求值】
【变式训练】
【过关检测】
M N
八年级校考期末）计算：
2n m ，则代数式八年级统考期中）已知：
()
2
3
2x x +-八年级重庆实验外国语学校校考期末）。
专题03分式(讲练)(学生版)-2023年中考一轮复习讲练测(浙江专用)
2023年中考数学总复习一轮讲练测（浙江专用）第一单元数与式专题03分式（讲练）1.了解分式和最简分式的概念，掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件.2.利用分式的基本性质进行通分和约分.3.会进行分式的加减乘除运算并解决分式的化简求值问题1．（2022•衢州）计算结果等于2的是（）A．|﹣2|B．﹣|2|C．2﹣1D．（﹣2）02．（2021•宁波）要使分式1x+2有意义，x的取值应满足（）A．x≠0B．x≠﹣2C．x≥﹣2D．x＞﹣23．（2021•金华）1a +2a=（）A．3B．32a C．2a2D．3a4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f =1u+1v（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（）A．fvf−v B．f−vfvC．fvv−fD．v−ffv5．（2022•湖州）当a ＝1时，分式a+1a的值是 ． 6．（2022•温州）计算：x 2+xy xy +xy−x 2xy= ．7．（2020•湖州）化简：x+1x 2+2x+1= ．8．（2021•湖州）计算：2×2﹣1＝ ．9．（2021•丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a ，b 同时满足a 2+2a ＝b +2，b 2+2b ＝a +2，求代数式ba+ab 的值．结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当a ＝b 时，a 的值是 ．（2）当a ≠b 时，代数式ba+ab 的值是 ．10．（2021•衢州）先化简，再求值：x 2x−3+93−x，其中x ＝1．11．（2022•衢州）（1）因式分解：a 2﹣1． （2）化简：a−1a 2−1+1a+1．12．（2022•舟山）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）． （2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 13．（2022秋•拱墅区校级期中）（1）已知a+b a−b=7，求2(a+b)a−b−a−b 3(a+b)的值．（2）求当a =√3，b ＝﹣1时代数式﹣2a 2b ﹣a +3ba +a 2的值．1．分式的基本概念：(1)形如 (A ，B 是整式，且 中含有字母， ≠0)的式子叫做分式．(2)当 时，分式A B 有意义；当 时，分式A B 无意义；当 时，分式AB 的值为零．(3)最简分式需满足的条件：分子、分母 ．2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以) ，分式的值不变，用式子可表示为AB ＝ ，A B ＝A ÷M B ÷M(其中M 是不等于零的整式)． 3．分式的约分、通分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做 ．把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，叫做 ．4．分式的运算法则：(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变．用式子表示为：a b ＝－a －b ＝－a －b ＝－－a b ，－a b ＝a －b ＝－ab ．(2)分式的加减法：同分母相加减：a c ±bc ＝ ；异分母相加减：b a ±dc ＝ ．(3)分式的乘除法：a b ·c d ＝ ；a b ÷cd＝ ． (4)分式的乘方： ⎝⎛⎭⎫a b n＝ (n 为正整数)． 5．分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算 ，再将除法化为 ，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算 ．灵活运用运算律，运算结果必须是 或 ．考点一 分式的有关概念例1．（2021春•奉化区校级期末）当m 为何值时，分式m 2−4m 2−m−6的值为0？【变式训练】1．（2022春•嘉兴期末）要使分式x−2(x−2)(x−3)有意义，x 的取值应满足（ ） A ．x ≠2B ．x ≠3C ．x ≠2或x ≠3D ．x ≠2且x ≠32．（2022春•温州期末）若分式x−12x+1的值为0，则x 的值是（ ）A ．−12B ．0C ．12D ．13．（2022春•拱墅区期末）若分式1x−2值为正数，则x 的值可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022春•乐清市期末）当x ＝3时，分式x−b x+2b没有意义，则b 的值为（ ）A ．﹣3B ．−32C ．32D ．35．（2022春•西湖区校级期末）某人从A 地到B 地的速度为v 1，从B 地返回A 地的速度为v 2，若v 1≠v 2，则此人从A 地到B 地往返一次的平均速度是（ ） A ．v 1+v 22v 1v 2B ．v 1+v 22C ．以上都不对考点二 分式的基本性质及应用例2．不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数． （1）−2x−1x−1（2）3−x−x 2+2．【变式训练】1．（2022春•海曙区校级期中）若把x ，y 的值同时扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A ．x+2y+2B ．x−2y−2C ．x+y x−yD ．xyx+y2．（2022春•普陀区期末）如果把分式xy 3x−y中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A ．缩小3倍B ．不变C ．扩大3倍D ．扩大9倍3．（2022春•上虞区期末）不改变分式0.5x−10.3x+2的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（ ） A ．0.5x−13x+2B ．5x−100.3x+2C ．5x−13x+2D ．5x−103x+204．（2022春•滨湖区校级期中）已知x2=y 3=z4，则2x+y−z3x−2y+z= ．考点三 零指数幂和负整数指数幂例3．（2020春•安吉县期末）计算：（﹣2）3+（π﹣3）0．【变式训练】1．（2021•下城区一模）下列计算结果是负数的是（ ）A ．2﹣3B ．3﹣2C ．（﹣2）3D ．（﹣3）22．（2021•温州模拟）计算|﹣2|+2﹣1的结果是（ ）A ．﹣112B ．0C ．112D ．2123．（2022春•东阳市期末）计算：20220﹣（12）﹣1＝ ． 4．（2022•丽水）计算：√9−（﹣2022）0+2﹣1．5．（2021春•惠来县期末）计算：(−3)2+(12)−1+(π−3)0．考点四 分式的四则运算例4．（2022•临安区一模）以下是方方化简(a −1+1a+1)÷a 2+2aa+1的解答过程．解：原式=(a 2−1+1)⋅a+1a 2+2a=a 2×a+1a(a+2)=a 2+a a+2方方的解答过程是否有错误？如果有，请写出正确的解答过程．【变式训练】1．（2022春•钱塘区期末）下列分式中，最简分式是（ ） A ．a+1a 2−1B ．4a6bc2C ．2a2−aD ．a+ba 2+ab2．（2020春•江北区期末）计算2+m 2−m•（m 2﹣4）的结果是（ ） A ．m 2﹣4B ．4﹣m 2C ．m 2﹣4m ﹣4D ．﹣m 2﹣4m ﹣43．（2022春•嵊州市期末）下列运算正确的是（ ） A ．12a+1a=23a B ．1a−1−1a+1=2a 2−1C ．3b 4a ⋅2a9b 2=b 6D ．13ab+2b 23a=b 324．（2022春•嵊州市期末）如图，若x 为正整数，则表示(x−3)2x 2−6x+9−1x+1的值的点落在（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④5．（2020•乐清市一模）（1）计算：π0−√9+（13）﹣2；（2）化简：x 2−16x+4÷2x−84x．6．（2022春•定海区期末）化简：4x x 2−4−2x−2．言言同学的解答如下：4x x 2−4−2x−2=4x −2(x +2)=2x +4．言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．考点五 分式的化简求值例5．（2021•永嘉县校级开学）计算：先化简，再求值：(1−x +2x−1x+1)÷x−2x 2+2x+1，其中x 的值是一元二次方程x 2+x ﹣6＝0的解．【变式训练】1．（2022秋•西湖区校级期中）先化简再求值：x 2−2x+1x+2÷（2﹣x −3x+2），其中x ＝（2﹣2√3）0+（12）﹣1． 2．（2022•定海区校级开学）先化简，再求值：（3x 2−9−1x−3）⋅x+3x ，其中x ＝2．3．（2022春•余姚市校级期末）先化简代数式a 2−2a+1a 2−4÷(1−3a+2)+1a−2，再选择一个你喜欢的数代入求值．4．（2022春•南浔区期末）先化简，再求值：(1+2x+1)÷x 2+6x+9x 2−1，并从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．5．（2022春•江干区校级期中）（1）已知x ﹣3y ＝0（y ≠0），求分式x 2−3xy+y 2x 2+y 2的值．（2）已知x −1x =3，求x 2+1x 2和x 4+1x 4的值．。
分式的运算(含答案)
分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】例1：计算的结果是（）A. B. C. D.分析：原式故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。
例2：已知，求的值。
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。
解：原式例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。
化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。
最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。
这是解决条件求值问题的一般方法。
解：故原式例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解：由已知条件得：所以即又因为所以例5：化简：解一：原式解二：原式说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。
分式运算
知识梳理：1.基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:；2.零指数.3.负整数指数4.约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．5.通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．6.分式的加减法法则(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；(2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．7.分式的乘除法法则两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．8.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．例题：【例 1】 通分：a 25-,2432127,92ba cb a -.【例 2】 计算：（1）xyyx xy y x 3339+-+; （2）yx xy 2232121-; （3）a b abb b a a ----222; （4）2122442--++-x x x .【例 3】 下面是三位同学做的异分母的加减法，他们的解答正确吗？甲：计算：y x x -+22x xy y -.y x x -+22x xy y -=yx x -－)(2y x x y -=)(22y x x y x --.乙：计算：122-x x －x －1.122-x x －x －1=122-x x －11+x =1122---x x x . 丙：计算：132--x x －x +12.132--x x －x +12=)1)(1(3-+-x x x －)1)(1()1(2-+-x x x =x －3－2（x －1）=－x －1.【例 4】 化简：yx yx -+11.【例 5】 请你阅读下列运算过程，再回答所提出的问题：132--x x －x-13=)1)(1(3-+-x x x －13-x （A ） =)1)(1(3-+-x x x －)1)(1()1(3-++x x x （B ） =x －3－3（x +1）（C ） =－2x －6.（D ）（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？ .（2）从（B ）到（C ）是否正确？______.若不正确，错误的原因是 . （3）请你正确解答.【例 6】 若x +x 1=3,则x 2+21x =______.【例 7】 计算： （1）2243nm -÷6mn 4; （2）2222b ab b ab a -++÷2222b ab a b ab +-+.【例 8】 计算： （1）yx y xy x -+-24422÷（4x 2－y 2）;（2）222x ax a ax +-÷22x a ab -÷22x a bx-;（3）mn m nm -+2÷（m+n ）·（m 2－n 2）.【例 9】 化简求值：b a b -·32232b b a ab a -+÷222b ab b a +-,其中a=32,b=－3..【例 10】 小赵、小钱用电脑打字，小赵每分钟打m 个字，小钱每分钟打n 个字，则两人打1000字的时间比是 .【例 11】 在解题目：“当1949x =时，求代数式2224421142x x x x x x x-+-÷-+-+的值”时，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．【例 12】 给定下面一列分式：3579234,,,,x x x x y y y y-- ，（其中0x ≠）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式。
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2ab b2
a2 (
ab
2ab ) 。 2b a
【例 3】已知 3a 1 a
0 ，求
a2 a2
2a 1 2a
(a
2 1)
a 的值。
a1
（
3）
18a
2b
3
9 ab3 2；
5c 15c
（4）
x x2
3 1
(x 3)( x x 2 2x
1) ； 1
（ 5） (a 2 ab) b a 。 ab
【例 2】计算：
（ 1） x 2 (x
1 1)2
1 (x x1
1) ；
（2） 4
2a 4a
6 a2
(a
a 2 2a 3)
3a
1； a3
（ 3）
a2 ab
成为最简分式或者整式。
分式加减法：
1、分式与分数类似，也可以通分。根据分式的基本性质，把几个异分母的分式 分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 2、分式的加减法：
分式的加减法与分数的加减法一样， 分为同分母的分式相加减与异分母的分 式相加减。 （ 1 ）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示是：
分式乘除法及加减法
一、知识整理
分式乘除法：
1、分式乘以分式，把分子相乘的积作积的分子，把分母相乘的积作积的分母；
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
A C AC
A C A D AD
B D BD
BD
2、分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
B C BC
n
A
An
B
Bn
3、分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。化简分式时，通常要使结果
A B A B； CC C （ 2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。用式子 表示是：
A C AD BC AD BC 。
B D BD BD
BD
3、分式的通分：
化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。 通分的难点是寻找最简
公分母，确定最简公分母的一般方法：①把各分式分母系数的最小公倍数作为
最简公分母的系数；②把相同字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次 ．．． 幂．作为最简公分母的一个因式；③把只在一个分式的分母中出现的字母连同它 的指数作为最简公分母的一个因式。 二、经典例题
分式乘除法 【例 1】计算：
（ 1） 3xБайду номын сангаас4y
16 y 9x2 ；
（2） a a
2 2
a 2 1 2a ；