二项式定理(通项公式)

二项式定理

二项式知识回顾

1. 二项式定理

0111

()n n n k n k k

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++

++

+,

以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k

k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.

（请同学完成下列二项展开式）

0111

()(1)(1)n n n k k n k k

n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+

+-，1(1)k k n k k

k n T C a b -+=-

01(1)n k k

n n

n n n n x C C x C x C x +=++

+++ ① 01

11

(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++

++

+

1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++

+ ②

① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01

2n n n n n C C C ++

+=，即二项式系数和等于2n

；

偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213

12n n n n n C C C C -++

=++

=

② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.

2. 二项式系数的性质

（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m

n n C C -=.

（2）二项式系数k

n C 增减性与最大值： 当12n k +<

时，二项式系数是递增的；当1

2

n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n

n

C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n

C -和12n n

C

+相等，且同

时取得最大值.

3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n

⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)

⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n

a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)

1()1(-+f f

⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=

2

)

1()1(--f f

经典例题

1、“n b a )(+展开式：

例1．求4)13(x

x +的展开式；

【练习1】求4)13(x

x -的展开式

2.求展开式中的项

例2.已知在

n 的展开式中，第6项为常数项.

（1） 求n ； （2）求含2

x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.

【练习2】若

n 展开式中前三项系数成等差数列.求：

（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.

3.二项展开式中的系数

例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n

x -的展开式的二项式系数和大992，

求21(2)n

x x

-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项

[练习3]已知*22)()n n N x

∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1. (1)求展开式中含32

x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数

例4．

7

2)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；

5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数

例5（04改编）3)21

(-+

x

x 的展开式中，常数项是 ；

6、求中间项

例6求（103

)1

x

x -

的展开式的中间项；

例7 103

)1

(x

x -的展开式中有理项共有 项；

8、求系数最大或最小项

（1） 特殊的系数最大或最小问题

例8（00）在二项式11

)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；

（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(x

x +

展开式中系数最大的项；

（3） 系数绝对值最大的项

例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；

9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和

例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值

为 ；

【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；

【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；

【练习3】9

2

)21(x

x -展开式中9x 的系数是 ；