平面解析几何知识点教师版(已打)
平面解析几何知识点归纳
平面解析几何知识点归纳平面解析几何是研究平面上点、直线、圆及其相关性质和相互关系的数学分支。
在平面解析几何中，我们通过坐标系的建立和运用向量的概念，可以方便地描述和研究平面上的各种几何图形和问题。
本文将对平面解析几何中的一些重要知识点进行归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
1. 坐标系的建立平面解析几何中，坐标系是最基本的工具之一。
一般来说，我们可以建立直角坐标系、极坐标系或其他特定的坐标系来描述平面上的点。
以直角坐标系为例，我们用x轴和y轴分别表示水平和垂直方向，将一个点P的位置用有序数对(x, y)表示，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标。
2. 点的坐标计算对于已知坐标系的平面上的点P(x, y)，我们可以通过给定的信息计算出点的坐标。
例如，已知点A和点B的坐标，我们可以通过运用向量的加法和数乘运算，求得点P的坐标。
设向量OA的坐标为A(x1,y1)，向量OB的坐标为B(x2, y2)，则向量OP的坐标为P(x, y)，其中P 的坐标满足向量OP = 向量OA + 向量OB。
3. 向量的定义和运算在平面解析几何中，向量是重要的概念之一。
向量可以表示有大小和方向的量，并且可以与点一一对应。
向量的表示方法有很多种，常见的有坐标表示和位置向量表示。
在坐标表示中，向量通常用有序数对(x, y)表示。
在位置向量表示中，我们用一个固定点O与向量表示的点P的坐标差，来表示向量OP。
向量的运算包括加法、减法和数乘。
设向量u = (x1, y1)，向量v = (x2, y2)，实数k，向量u与v的加法定义为：u + v = (x1 + x2, y1 + y2)；向量u与v的减法定义为：u - v = (x1 - x2, y1 - y2)；向量u的数乘定义为：k * u = (kx1, ky1)。
4. 直线的方程直线是平面几何中的基本要素之一。
在平面解析几何中，我们可以通过直线上的点和直线的斜率来确定直线的方程。
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何一、直线与圆1.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； < ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；4.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径r=2422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: .若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 7.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d . 其中22B A CBb Aa d +++=.8.两圆位置关系的判定方法#设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .$二、圆锥曲线1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)． 3．圆锥曲线的几何性质&(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2=b 2+c 2，顶点为（a,0）,(0,b),焦点为（c,0）,离心率e=ac ，准线c a 2±=x (X 型). (2)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2+b 2=c 2，顶点为（a,0）,焦点为（c,0）,离心率e=a c （e>1）,渐近线为x ab y ±=. 4.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)共轭双曲线： 12222=-b y ax 与1-2222=a x b y 渐近线一样. (3)等轴双曲线：若双曲线与12222=-by a x 中a=b ，（e=2,渐近线为y=x ±）. 5.抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.准线：x=2p ,离心率为e=1.（点到焦点的距离等于点到准线的距离）.。
高中数学必修二平面解析几何知识点梳理教学内容
高中数学必修二平面解析几何知识点梳理平面解析几何1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.（2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+by a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：BA k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点．4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式：(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A C By Ax d +++=． 7．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221B A C C d +-=．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解．10．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ．（3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=． （2）一般方程的特点：① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D（3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．11．圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(r d l =+；（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则||11||1||22B A B A y y k x x k AB -+=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔．②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔．③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔． 【P 到圆心距离2200()()d a x b y =-+-】13．直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22BA CBb Aa d +++=):圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆．0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d ．14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； 无公切线内含⇔⇔-<21r r d ；条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ．15．圆系方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x（1）过直线0=++C By Ax l ：与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数．（2）过圆1C :011122=++++F y E x D y x 与圆2C :022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数．特别地，当1λ=-时，2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是 121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．16．圆的切线方程：（1）过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ．（3）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，即r d =，求出k ；或利用0=∆，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =．17．把两圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 方程相减即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．18．对称问题：（1）中心对称：① 点关于点对称：点),(11y x A 关于),(00y x M 的对称点)2,2(1010y y x x A --．② 直线关于点对称：法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．法2：求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程．（2）轴对称：① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．点 A A '、关于直线l 对称⎩⎨⎧''⇔上中点在⊥l A A l A A ⎩⎨⎧'-=⇔'方程中点坐标满足·l A A k k l A A 1 ． ② 直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）法1：若b a ,相交，求出交点坐标，并在直线a 上任取一点，求该点关于直线l 的对称点．若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距离相等．法2：求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程．（3）点(a , b )关于x 轴对称：(a ,- b )、关于y 轴对称：(-a , b )、关于原点对称：(-a ,- b )、点(a , b )关于直线y=x 对称：(b , a )、关于y=- x 对称：(-b ,- a )、关于y = x +m 对称：(b -m 、a +m )、关于y=-x+m 对称：(-b+m 、-a+m ) ．19．若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛++++33321321y y y x x x ，． 20．各种角的范围：直线的倾斜角 ︒<≤︒1800α 两条相交直线的夹角 ︒≤<︒900α两条异面线所成的角︒0α︒90<≤。
平面解析几何知识点总结
第一部分直线一、直线的斜率和倾斜角1.倾斜角α（1）定义：直线l 向上的方向与x 轴正方向所称的角叫直线的倾斜角（2）范围：1800<≤α2.斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作αtan =k （1）倾斜角为 90的直线没有斜率（2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直x 轴时，其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时应考虑到斜率的存在与不存在两种情况，否则会产生漏解。
（3）经过),(),,(2211y x B y x A 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，1212tan x x y y k --==α；当21x x =时， 90=α，斜率不存在（4）切线斜率的求法：设平面曲线的方程为0),(=y x F ，则该曲线在),(00y x 点的斜率为)(')('00y F x F k -=，其中)('0x F 表示),(y x F 对x 求导得到的函数在0x x =下的值，)('0y F 表示),(y x F 对y 求导得到的函数在0y y =下的值。
若平面曲线方程为)(x f y =，则该曲线在),(00y x 点的斜率为)('0x f k =，其中)('0x f 表示)(x f 对x 求导得到的函数在0x x =下的值。
若平面曲线的参数方程为)(),(t y y t x x ==，则该曲线在0t t =时的点的斜率为)(')('00t x t y k =，其中)('0t y 表示)(t y 对t 求导得到的函数在0t t =下的值,其中)('0t x 表示)(t x 对t 求导得到的函数在0t t =下的值。
3.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x.线性规划问题平面区域的非线性规划第二部分解析几何中的范围问题（研究性学习之二）在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结平面解析几何是高中数学的重要组成部分，它将代数与几何巧妙地结合在一起，通过建立坐标系，用代数方法研究几何图形的性质。
下面我们来详细总结一下这部分的重要知识点。
一、直线1、直线的倾斜角直线倾斜角的范围是0, π)，倾斜角α的正切值叫做直线的斜率，记为 k ＝tanα。
当倾斜角为 90°时，直线的斜率不存在。
2、直线的方程（1）点斜式：y y₁＝ k(x x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k 是直线的斜率。
（2）斜截式：y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
（3）两点式：（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁)，其中(x₁, y₁)，（x₂, y₂)是直线上的两点。
（4）截距式：x/a ＋ y/b ＝ 1，其中 a 是直线在 x 轴上的截距，b 是直线在 y 轴上的截距。
（5）一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）3、两条直线的位置关系（1）平行：两条直线斜率相等且截距不相等，即 k₁＝ k₂且 b₁ ≠ b₂。
（2）垂直：两条直线斜率的乘积为－1，即 k₁k₂＝－1（当一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时也垂直）。
4、点到直线的距离公式点 P(x₀, y₀)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²)二、圆1、圆的方程（1）标准方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。
（2）一般方程：x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0（D²＋ E² 4F ＞ 0），圆心坐标为(D/2, E/2)，半径 r ＝√（D²＋ E² 4F) ／ 22、直线与圆的位置关系（1）相交：圆心到直线的距离小于半径，d ＜ r。
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结高中数学中的平面解析几何是一个重要的知识板块，它将代数与几何巧妙地结合在一起，为我们解决几何问题提供了全新的思路和方法。
下面就让我们一起来详细梳理一下平面解析几何的相关知识点。
一、直线1、直线的方程点斜式：若直线过点\（（x_0,y_0)＼），斜率为\（k\），则直线方程为\（y y_0 ＝ k(x x_0)＼）。
斜截式：若直线斜率为\（k\），在\（y\）轴上的截距为\（b\），则直线方程为\（y ＝ kx ＋ b\）。
两点式：若直线过点\（（x_1,y_1)＼）和\（（x_2,y_2)＼），则直线方程为\（＼frac{y y_1}｛y_2 y_1} ＝＼frac{x x_1}｛x_2 x_1}＼）。
截距式：若直线在\（x\）轴、＼（y\）轴上的截距分别为\（a\）、＼（b\）（＼（a\neq 0\），＼（b\neq 0\）），则直线方程为\（＼frac{x}｛a} ＋＼frac{y}｛b} ＝ 1\）。
一般式：＼（Ax ＋ By ＋ C ＝ 0\）（＼（A\）、＼（B\）不同时为\（0\））。
2、直线的位置关系平行：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）平行，当且仅当\（k_1 ＝ k_2\）且\（b_1 ＼neq b_2\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y ＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）平行，当且仅当\（A_1B_2 A_2B_1 ＝ 0\）且\（A_1C_2 A_2C_1 ＼neq0\）。
垂直：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）垂直，当且仅当\（k_1k_2 ＝－1\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y ＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）垂直，当且仅当\（A_1A_2 ＋ B_1B_2 ＝ 0\）。
平面解析几何知识点
1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+bya x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：BA k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截．距相等．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式：(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ．6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200BA CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221BA C C d +-=．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．． ② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=． ③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=． ② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x yg x y ==的解．10．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ． （3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=．（2）一般方程的特点：① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D （3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．11．圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(r d l =+；（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则||11||1||22B A B A y y kx x k AB -+=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔． ②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔．③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔． 【P 到圆心距离d =13．直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22BA C Bb Aa d +++=):圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆．0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d ．14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； 无公切线内含⇔⇔-<21r r d ； 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ．15．圆系方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x （1）过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程：1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程．（2）过直线0=++C By Ax l ：与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数．（3）过圆1C :011122=++++F y E x D y x 与圆2C :022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数．特别地，当1λ=-时，2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线． 16．圆的切线方程：（1）过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ．（3）过圆220x y Dx Ey F ++++=上的点),(00y x P 的切线方程为:0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=． (4) 若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB 的方程为200xx yy r +=(5) 若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（6）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，即r d =，求出k ；或利用0=∆，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =．17．把两圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 方程相减即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 18．空间两点间的距离公式:若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB =19、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）⑴、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。
备战2021高考 专题05 平面解析几何(教师版含解析)
专题05 平面解析几何1．(2020届安徽省皖南八校高三第三次联考)已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的渐近线方程为0x±=，则双曲线C的离心率为( )ABC．D【答案】A【解析】由题知ba=又222+=a b c，解得3cea==.故选A。
2．(2020届甘肃省高三第一次高考诊断)已知双曲线()22105x ymm-=>的一个焦点为()3,0F-，则其渐近线方程为( )A．y x=B．y x=C．52y x=±D．25y x=±【答案】B【解析】由于双曲线()22105x ymm-=>的一个焦点为()3,0F-，则2354m=-=，双曲线的标准方程为22154x y-=，其渐近线方程为y x=±.故选B。
3．(2020届甘肃省高三第一次高考诊断)已知抛物线()220y px p=>经过点(M，焦点为F，则直线MF的斜率为( )A．BC．2D．-【答案】A【解析】抛物线()220y px p =>经过点(M(222p =⨯，2p =，()1,0F ，MF k =，故选A 。
4．(2020届甘肃省兰州市高三诊断)已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线过点(2，﹣1)，则它的离心率是( )A B C D ．【答案】A【解析】因为(2，﹣1)在双曲线的渐近线y ba=-x 上， 所以a ＝2b ，即a 2＝4b 2，所以e 2===，故选A 。
5．(2020届甘肃省兰州市高三诊断)已知点()4,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为( )A ．1+B ．CD ．5【答案】D 【解析】根据抛物线定义得PF PQ =，1l FQ ⊥，则1l 为FQ 的垂直平分线，FR RQ ∴=，()224125QR MR FR MR FM ∴+=+≥=++=.故选D 。
平面解析几何知识点归纳
平面解析几何知识点归纳◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 X 围：直线的倾斜角α的取值X 围为),0[π 2.斜率：)2(tan πα≠=a k ，R k ∈斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为121221x x y y k P P --=3.直线方程的几种形式能力提升斜率应用例1.函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，那么cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小关系例2.实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，试求23++x y 的最大值和最小值两直线位置关系 两条直线的位置关系设两直线的方程分别为：222111:b x k y l +=或0:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A直线间的夹角：①假设θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；②假设θ为1l 和2l 的夹角，那么12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；③当0121=+k k 或02121=+B B A A 时，o90=θ；直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2(πθθα≤=或)2(πθθπα>-=；距离问题1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 那么 )()(121221y y x x P P -+-=2.点到直线距离公式点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=3.两平行线间的距离公式两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，那么1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=4.直线系方程:假设两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，那么过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)对称问题1.中点坐标公式：点),(),,(2211y x B y x A ，那么B A ,中点),(y x H 的坐标公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。
解析几何常用知识点总结
“解析几何”一网打尽（一）直线1.[)⎪⎭⎫⎝⎛≠≠--==∈2112122tan 0x x x x y y k l ，，，直线的倾斜角πααπα2.直线的方程（1）点斜式11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).特别的：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =；已知直线横截距0x，常设其方程为x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =.知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或x x =(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等 ⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数 ⇔直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等 ⇔直线的斜率为1±或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合. 3、几个距离公式（1）两点间距离公式：1122(,)(,)A x y B x y AB =点点 (2)00(,)x y P 到直线0Ax By C ++=的距离为d =特别地，当直线L: 0x x =时，点P (00,x y )到L 的距离0d x x =-； 当直线L: 0y y =时，点P (00,x y )到L 的距离0d y y =-.(3).两平行线间的距离公式：设1122:0,:0,l Ax By C l Ax By C d ++=++==则4.两直线的位置关系：12121212121()0l l k k k k A A B B ⊥⇔=-⇔+=、都存在时；{{1212211212121221//()k k A B A B l l k k b b AC A C ==⇔⇔≠≠、都存在时；重合5.三角形的重心坐标公式 ：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.（二）圆1. 圆的三种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ) 注意：（1）.圆心必在弦的中垂线上；两圆相切，两圆心连线必过切点；辅助线一般连圆心与切点或者连圆心与弦中点。
高中数学平面解析几何知识点归纳
高中数学平面解析几何知识点归纳推荐文章高中数学知识点全总结热度：高中数学知识点全总结最全版热度：高中数学全部知识点提纲整理热度：高中数学函数知识点归纳热度：高中数学立体几何知识点大全热度：高中数学平面解析几何知识点有哪些你知道吗?近年的高中数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，一起来看看高中数学平面解析几何知识点，欢迎查阅!平面解析几何初步：①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。
直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的'集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。
③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。
空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。
高中数学平面解析几何知识点平面解析几何，又称解析几何(英语：Analytic geometry)、坐标几何(英语：Coordinate geometry)或卡氏几何(英语：Cartesian geometry)，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。
解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。
高中数学必修二平面解析几何知识点梳理
平面解析几何1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+bya x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：BAk -=． 4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式：(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=． 21P P 的中点是),(00y x M ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200BA CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离： 002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221BA C C d +-=．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=． （2）垂直直线系方程：与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．10．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ． 11．圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(r d l=+；（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，||11||1||22B A B A y y kx x k AB -+=-+= 12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 ①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔． ②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔．③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔． 【P到圆心距离d =13．直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22BA C Bb Aa d +++=):圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆．0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d ．14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； 无公切线内含⇔⇔-<21r r d ； 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ．17．把两圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 方程相减即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 18．对称问题： （1）中心对称：① 点关于点对称：点),(11y x A 关于),(00y x M 的对称点)2,2(1010y y x x A --．② 直线关于点对称：法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程． 法2：求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程． （2）轴对称：① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．点 A A '、关于直线l 对称⎩⎨⎧''⇔上中点在⊥l A A l A A ⎩⎨⎧'-=⇔'方程中点坐标满足·l A A k k l A A 1 ． ② 直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）法1：若b a ,相交，求出交点坐标，并在直线a 上任取一点，求该点关于直线l 的对称点．若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距离相等．法2：求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程．。
平面解析几何知识点总结
平面解析几何知识点总结在平面解析几何中，我们研究的是平面上的点、线和图形之间的关系，通过运用代数和几何的方法来解决相关问题。
本文将对平面解析几何的一些重要知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一领域。
一、点的坐标表示平面解析几何中，用坐标表示点的位置是非常常见的。
一般情况下，我们使用直角坐标系来描述平面空间。
直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，通常记作x轴和y轴。
点在该坐标系中的位置可以通过一个有序数对(x, y)来表示，其中x是该点在x轴上的投影，y是该点在y轴上的投影。
二、直线的表示与性质1. 点斜式方程：对于已知一点P(x1, y1)和斜率k的直线L，可以使用点斜式方程y - y1 = k(x - x1)来表示该直线的方程式。
2. 截距式方程：对于已知直线L与x轴的截距a和与y轴的截距b的情况，可以使用截距式方程x/a + y/b = 1来表示该直线的方程式。
3. 斜截式方程：对于已知直线L的斜率k和与y轴的截距b的情况，可以使用斜截式方程y = kx + b来表示该直线的方程式。
4. 直线的性质：在平面解析几何中，直线有许多重要的性质，如平行、垂直、相交等。
其中，两条直线平行的条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
三、图形的表示与性质1. 点与点之间的距离：对于平面上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以使用勾股定理来计算，即d = √[(x2 - x1)² + (y2 -y1)²]。
2. 中点坐标：对于平面上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们连线的中点的坐标可以通过取x轴和y轴的平均值来计算，即中点M的坐标为[(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2]。
3. 直线与直线的交点：两条直线的交点可以通过求解它们的方程组来确定。
如果两条直线有唯一交点，则它们必定相交于一点；如果两条直线重合，则它们有无数个交点；如果两条直线平行，则它们没有交点。
届数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系教师文档教案文
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页［基础梳理］1．直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d〈r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d〉r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x（或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.①Δ〉0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ〈0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r错误!(r1〉0)，圆O2＋（y－b2＝r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d〉r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2）一组实数解内含0≤d〈|r1－r2|(r1≠r2）无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ(Ax＋By＋C）＝0.（2）经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0。
[四基自测]1．（基础点:直线与圆的位置关系）直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为（)A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系）两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切 D.内含答案：B3．（基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点,则｜AB｜＝________．答案：104．（易错点:求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋错误!）和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或3授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的判断/ 自主练透[例1](1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D。
平面解析几何知识点
1直线方程的五种形式点斜式：)(00x x k y y -=-， (斜率存在) 斜截式：b kx y += (斜率存在)两点式：121121x x x x y y y y --=--，(不垂直坐标轴) 截距式：1=+b ya x (不垂直坐标轴,不过原点) 一般式：0=++C By Ax2.直线与直线的位置关系：（1）有斜率的两直线l 1：y=k 1x+b 1；l 2：y=k 2x+b 2； 有：①l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1；③l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2 ④l 1与l 2重合⇔k 1=k 2 且b 1=b 2。
（2）一般式的直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0 有：①l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0；且B 1C 2-B 2C 1≠0 ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0 ③l 1与l 2相交⇔ A 1B 2-A 2B 1≠0 ④l 1与l 2重合⇔ A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0。
3.点与直线的位置关系：点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离：2200BA C By Ax d +++=。
平行直线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0之间的距离为2221B A C C d +-=两点间距离公式：12||PP =4直线系方程①过直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线系方程为：A 1x+B 1y+C 1+λ（A 2x+B 2y+C 2）=0（λ∈R ）(除l 2外)。
②过定点00(,)M x y 的直线系方程为)(00x x k y y -=-（其中不包括直线0x x =）③和直线0=++C By Ax 平行的直线方程为'0Ax By C ++=(')C C ≠ ④和直线0Ax By C ++=垂直的直线方程为'0Bx Ay C -+=5.圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 6.圆的方程(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，其中r 为圆的半径，(a ，b)为圆心。
平面解析几何知识点归纳
平面解析几何知识点归纳直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2(tan πα≠=a k ，R k ∈斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为121221x x y y k P P --=倾斜角 斜率 方向向量 2πα≠⇒ t a nk α= ⇒ d =(cos ,sin )αα 或d =(1,)karctan ,0arctan ,0k k k k απ≥⎧=⎨+<⎩⇐ k =vu ⇐ (,)d u v =(0)u ≠3.直线方程的几种形式 名称方程方向向量法向量斜率 适用条件点方向式 00x x y y u v--= ()v u , ()u v ,- uv与坐标轴不垂直的直线点法向式 00()()0a x x b y y -+-=()a b ,-()a b ,所有直线斜截式 b kx y +=()k ,1 ()1,k - k 与x 轴不垂直的直线点斜式 )(00x x k y y -=-()k ,1 ()1,k - k截距式 1=+bya x 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式0=++C By Ax )0(22≠+B A所有直线例1．已知直线斜率2k =，则倾斜角α= ，一个方向向量是 ，一个法向量是 。
2．过(1,4)A 、(3,1)B 的直线的一个方向向量是 ，斜率是 ，倾斜角是 。
3．直线)0,0(>>=+b a ab by ax 的倾斜角是 ，且不经过第 象限。
两直线位置关系 两条直线的位置关系位置关系222111::b x k y l b x k y l +=+= 0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l平行 ⇔ 21k k =，且21b b ≠ A 1B 2-A 2B 1=0（验证）重合 ⇔ 21k k =，且21b b =D=Dx=Dy=0 相交 ⇔ 21k k ≠A 1B 2-A 2B 1≠0垂直⇔121-=⋅k k 02121=+B B A A设两直线的方程分别为：222111::b x k y l b x k y l +=+=或0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 直线间的夹角：①若θ为1l 到2l 的夹角，②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ（斜率都存在且121-≠k k ）；③当0121=+k k 或02121=+b b a a 时，o90=θ；例1.过点)2,2(-P 且与0143=++y x 平行的直线方程是 。
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平面解析几何知识点1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.（2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+by a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点．4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+， 222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式：(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221B A C C d +-=．8．直线系方程： （1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解． 10．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ．（3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=． （2）一般方程的特点：① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D（3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：① 0≠=C A ；② 0=B ；③ 0422>-+AF E D ．11．圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(r d l =+； （2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则||11||1||22B A B A y y k x x k AB -+=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔．②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔． ③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔． 【P 到圆心距离2200()()d a x b y =-+-】 13．直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22B A CBb Aa d +++=):圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆．0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d ．14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； 无公切线内含⇔⇔-<21r r d ；条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ．15．圆系方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x（1）过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程： 1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程．（2）过直线0=++C By Ax l ：与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数．（3）过圆1C :011122=++++F y E x D y x 与圆2C :022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数．特别地，当1λ=-时，2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．16．圆的切线方程：（1）过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ．（3）过圆220x y Dx Ey F ++++=上的点),(00y x P 的切线方程为:0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=． (4) 若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200xx yy r +=(5) 若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（6）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，即r d =，求出k ；或利用0=∆，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =．17．把两圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 方程相减即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．18．空间两点间的距离公式: 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB 222212121()()()x x y y z z =-+-+-19、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）⑴、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。