因式分解最全方法归纳.pdf

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

式分解最全方法归纳

水散人整理于2015.09

一、因式分解的概念与原则

1、定义:把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种恒等变换叫做因式分解,也叫作分解因式。

2、原则:

(1)分解必须要彻底(即分解之后的因式均不能再做分解);

(2)结果最后只留下小括号;

(3)结果的多项式是首项为正,为负时提出负号;

()结果个因式的多项式为最简整式,还可以化简的要化简;

()如有单项式和多项式相乘,应把单项式提到多项式前;

()相同因式的乘积写成幂的形式;

()如无特殊要求,一般在有理数范围内分解。如另有要求,在要求的范围内分解。

3、因式分解的一般步骤

(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;

(2)如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;

(3)如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项法来分解;

(4)检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。

也可以用一句话来概括:“看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要相对合适。”

二、因式分解的方法

1、提取公因式

公因式:一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以是单项式,也可以是多项式。

确定公因式的方法:公因数的常数应取各项系数的最大公约数,多项式第一项为负的,要提出负号;字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数最低的。

提取公因式:公因式作为一个因式,原式除以公因式的商作为另一个因式。

意事项:

(1)先确定公因式,一次把公因式全部提净;

()提完公因式后,商的项数与原式相同,与公因式相同的项,其商为1不可丢掉;

()提取的公因式带负号时,多项式的各项要变号。

例1、分解因式: –9a c+3

解:原式=-3c+1)

2、分解因式:–12+4

解:原式=–4–y)

结(口诀):找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。

1

2、公式法

分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解成因式。

平方2b2b)b

平方b)22b22a b+b+c)22b2+2a b+2c+2ca

方3b3b)2b2b

方和3b3b)2b2b)

项立方和3b333a bc b+)2b22b–bc)

方b)3a b²+3a²b b³b)3a b²-3a²b-b³

次方和–b–b)[–1)+a–2)+…+b–2)+b–1)

次方差+b+b)[–1)-a–2)+…-b–2)+b–1)为奇数)

部分公式的推导:

+a+a)+b)+b)+b)+b))

b b-b+b b)b b)b)b b)b)

b)b b)b)b+b)

b b+b-b b)b b)b)b b)b)

b)b b)b)b+b)

、分解因式:-6

解一:原式=))+8))

+2)+4))+2+4)

解二:-6)–)–4)+8+16–4)

+2)–2)[+4)–)

+2)–2)+2+4)–2+4)

意:分解时既用平方差公式又用立方差公式,一般先用平方差公式,可简化步骤。

、分组分解法

多项式含有多个单项式时,从整体看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从局部看,能够提取公因式或利用公式的,进行适当的分组,使得分组后能够提取公因式或利用公式。

、分解因式: a+bm bn

解:原式=)bm+bn)b b

、分解因式:+b–c–2

解:原式=–2+b)–c–b)–c–b+c)–b–c)

、十字相乘法

(1)形如+b+c的二次三项式,如果有,q=c,且q+n则可把该式分解为+b+c=+p)+q)。

意:凡是能十字相乘法分解的二次三项式ax2+bx+c,都要求判别式Δ=b24ac,能在有理数范围内分解的,还必须是一个完全平方数。

、分解因式:–11x+10

解:原式1)+[1×-5)+3-2)+–2)–5)

-2)-5)

、分解因式:–x–15

解:原式+[–5)+3+3–5)

+3)-5)

、已知为正整数,+3+k能够在整数范围内分解因式,求。

解:–49–8,9,且为正整数

1

9、(州)要是二次三项式+p在整数范围内能进行因式分解,那么整

数的取值可以有()。

、个、个、个、无数个

解:(–5)–4–4,即

只要能分解为和为的两个数,这样的数有无数组,故选

()二次项系数为1时,是相对上面标准二次三项式的简化。

++q)+p q=+p)+q)

10、分解因式:x+6

解:原式+[–2)+–3)+–2)–3)–2)–3)

11、分解因式:–3

解:原式+[+–7)+5–7)+5)–7)

()对齐次多项式+b+cy,将一个字母当做常数处理,把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式,就可以利用十字相乘法进行分解。

12、分解因式:15+7-4

解:原式+4))

13、分解因式:–6+8

解:原式))

()对次多项式形如+b+c或+b+cy的,参照上面方法进行,分解后的多项式由于次数较高,如果有能继续分解的要继续分解,直至分解彻底。

14、分解因式:–5+3

解:原式–1)–3)+1)–1)–3)

15、分解因式:12–19m–18

解:原式–9n)+2)+3)–3)+2)

、拆项法(包含添项法)

把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项,一个不存在的项也可以拆成其和为的两项或多项(也称添项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

意:拆项(或添项)必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换,否则此处一步错,后面步步错。

16、分解因式:–3+4

解一:原式+1–3+3+1)–x+1)–3+1)–1)

+1)–x+1–3+3)+1)–4+4)+1)–2)

解二:原式–3–4)+4+4-3)+4+1)

+1)–4)+4+1)+1)–4+4)+1)–2)

17、分解因式:c+c)+ca c)+b)

解:原式c c-a+a+b)+ca c)+b)

c c)+ca c)+b c+b)+b)

c c)+a)+b+b)c)c+b)c)+b)

18、分解因式:9+x+x

解:原式9–1+x–1+x–1

–1)+x+1)+–1)+1)+–1)

–1)+x+1+x+1+1)-1)+x+1)+2+3)

相关文档
最新文档