2011电磁场数值计算(本)-02
电磁场数值计算及其应用简介
例 1) 忽略端部效应的平板电源自器中的静电场其为一维问题, 可以解析求解。
•
场域中电位满足Laplace方程： 边界条件：
2 2
x 2
0
|x0 0
|xd U
通解与特解： C1x C2 U x d
E=U/d
d
2) 考虑端部效应的平板电容器
• •
二维Laplace方程: 边界条件：
四、现状
算法研究较少，主要是应用研究。 因算法研究效果大大低于计算机发展速度带来的效果。 但仍有计算技术方面的研究。
重点为通用、实用软件的开发。
商业软件已经使得非电磁场数值计算人员可以实现对实际 问题的计算机仿真。
目前流行的软件： OPERA(算法专业、使用较难)， Ansoft(傻瓜型、低频、高频、时变电路计算模块齐全)， ANSYS(开放型、专业型、以低频为主、多场耦合计算)
▲ 同时也在算法上做了一些改进。
3. 80年代国外提出一些有效处理Maxwell方程组求解的方法。 ▲ 有效位函数的引入与求解。
关键与难点是解的唯一“规范”约束的实现问题。
4. 74年在英国召开第一届COMPUMAG
Conference on Computation of Electromagnetic Fields
六、有待解决的问题 软件性能的提高。计算方法和技术，时变瞬态场，耦合场
问题，场路结合, 优化问题，逆问题（故障诊断、多解性）
七、我们的工作
有七限、元我法们的计工算作
变压器升高座电磁场
升高座涡流分布
低磁钢板
导磁钢板
升高座涡流损耗密度分布
电流互感器磁场计算
三维计算模型
电流互感器磁场计算
电流互感器电场计算
电磁场的数值计算方法
电磁场的数值计算方法物理系0702班学生杜星星指导老师任丽英摘要：数值计算方法是一种研究并解决数学问题数值近似解的方法，广泛运用于电气、军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众多领域。
本文综述了电磁场数值计算方法的发展历史、分类，详细介绍了三种典型的数值计算方法—有限差分法、有限元法、矩量法, 对每种方法的解题思路、原理、步骤、特点、应用进行了详细阐述, 并就不同方法的区别进行了深入分析, 最后对电磁场数值计算方法的应用前景作了初步探讨。
关键词：电磁场；数值计算；有限差分法；有限元法；矩量法引言自从1864年Maxwell建立了统一的电磁场理论，并得出著名的Maxwell方程以来，经典的数学分析方法是一百多年来电磁学学科发展中一个极为重要的手段, 围绕电磁分布边值问题的求解国内外专家学者做了大量的工作。
在数值计算方法之前, 电磁分布的边值问题的研究方法主要是解析法，但其推导过程相当繁琐和困难,缺乏通用性,可求解的问题非常有限。
上个世纪六十年代以来,伴随着电子计算机技术的飞速发展,多种电磁场数值计算方法不断涌现,并得到广泛地应用,相对于解析法而言,数值计算方法受边界形状的约束大为减少,可以解决各种类型的复杂问题。
但各种数值计算方法都有一定的局限性,一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，因此如何充分发挥各种方法的优势,取长补短,将多种方法结合起来解决实际问题,即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。
本文综述电磁场的数值计算方法，对三种常用的电磁场数值计算方法进行分类和比较。
1电磁场数值计算方法的发展历史在上世纪四十年代，就有人试探用数值计算的方法来求解具有简单边界的电磁场问题，如采用Ritz法[1]，以多项式在整个求解场域范围内整体逼近二阶偏微分方程在求解域中的解。
五十年代，采用差分方程近似二阶偏微分方程，诞生了有限差分数值计算方法，开始是人工计算，后来采用机械式的手摇计算机计算，使简单、直观的有限差分法得到应用和发展，该方法曾在欧、美风行一时。
2011电磁场数值计算(本)-08
8
电磁场数值计算
6.1 有限元网格划分
主讲人： 王泽忠
在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。
网格划分就是把求解区域划分成有限个三角形
或四边形。单元边长尽量接近或内角大小尽量接近。
如图，将一个较大的区域划分成有限个三角形单
元，显示网格的一部分。
在三维情况下，可以将求解区域划分为有限个四
面体或六面体。
（ m 1, 2,, nn ）
将不含未知函数 u 的项移至方程右端，得
aM m ud bM mud M m f d cM md
Biblioteka 将由基函数线性组合构成的近似函数代入方程，
得
2019/10/4
华北电力大学电气与电子工程学院
16
电磁场数值计算
六十年代初有限元法被正式命名，随后被广泛应 用于结构力学、流体力学、传热学和电磁学等领域。
2019/10/4
华北电力大学电气与电子工程学院
3
电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
六十年代中期以来在电磁场数值计算（计算电磁
学）领域，有限元法迅速成为一种主要方法。
目前，有限元法（FEM）、矩量法（MOM）和时域
第 4 章中已经论述了基函数与单元插值形状函数的
关系。这里利用这种关系将整个场域中有限元离散化方
程组系数矩阵和右端向量的计算转化为单元系数矩阵
和右端向量的计算。
通过逐个单元系数矩阵和右端向量的计算和对应
叠加，形成整体有限元离散化方程组。
2019/10/4
华北电力大学电气与电子工程学院
6
电磁场数值计算
7
电磁场数值计算
电磁场数值计算(平行平面和轴对称)
任课教师：王泽忠
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
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电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
开域截断-人工边界
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
3
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电位1
远 边 界 电位2 ？
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
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电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
流
流
正
正
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
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电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
流
流
正
负
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
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电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
对称性简化
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
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电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
位
位
正
正
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
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电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
位
位
正
负
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电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
rz 平面的轴对称矢量场经过旋度运算可以得到另一个相应的矢量场，
M r, z
电磁场数值分析
电磁场数值分析电和磁现象在自然界普遍存在，两者相互依存形成一个不看分割的整体。
电能产生磁，磁能生电。
很早以前人们就注意到电现象和磁现象，但是两者之间的这种相互联系在很长的一段时间内都没有被人们认识。
直到奥斯特首先发现了通电直导线周围存在磁场这一现象人们才开始把电和磁放在一起来研究。
然而这个时候人们依然没有办法揭示电和磁中间的秘密，只是停留在实验研究阶段，没有形成科学的理论。
1831年法拉第发现了电磁感应定律，从此电和磁的计算可以量化了，人类历史也开启了一个新的时代—电气时代。
由于法拉第的杰出工作，电和磁不再是不可触摸的了，人们已经掌握了运用它的钥匙。
在法拉第之后，另一位杰出的科学家麦克斯韦则更进一步，建立了麦克斯韦方程组，电和磁的理论已经到了相当完美的程度。
现代电机，不管结构多么复杂，都是基于法拉第电磁感应定律和麦克斯韦方程组的原理来运行的，其电和磁的相关量都可以利用这两个定律来进行精确地分析，在设计电机时，我们也是基于这两个定律对电机的电磁过程来进行精确的设计，从而设计出理想的电机。
学会电磁场分析，主要是基于麦克斯韦方程组的相关计算，对电机的学习非常重要。
它为我们今后的学习打下基础。
在学习过程中，主要要把握以下几个度之间的关系：梯度、旋度、散度，这三者的变换正体现了电和磁之间的转换。
一基本原理电磁场的内在规律由电磁场基本方程组—麦克斯韦（Maxwell ）方程组表达。
这些方程是由麦克斯韦对大量实验结果及基本概念进行了数学加工和推广归纳而成的。
麦克斯韦方程组是分析和计算电磁场问题的出发点，它既可写成微分形式，又可写成积分形式。
微分形式的麦克斯韦方程组为 t DJ H ∂∂+=⨯∇（1） t BE ∂∂-=⨯∇（2） 0=⋅∇B（3） ρ=⋅∇D （4）式中，E 为电场强度（V/m ）；B 为磁感应强度（T ）；D 为电位移矢量（C/m 2）；H 为磁场强度（A/m ）；J 为电流密度（A/m 2）；ρ为电荷密度（C/m 2）。
工程电磁场数值计算(七)
SndS Sm 40 r rn
矩量法算例（五）
• 阻抗矩阵的计算（二）
zmn
Sm
1 dS 'dS
Sn 40 r r '
In (r)dS
Sm 40
zmn
Sm
In (r)dS 4 0
Sm
N i1
wi In (ri )
1
In(r)
Sn
dS rr'
可解析求解
zmn
Sm
1 dS 'dS
s (r ') S 40
1 rr'
dS ' s (r) 2 0
1n E1(r) 2n E2(r)
s (r) 1 2 n s (r ') 1 dS ' 0
20 1 2 S 40 r r '
稳恒电流场问题（六）
s (r) 1 2 n s (r ') 1 dS ' 0
取 q dV '
根据叠加原理,某点电位是所有电荷的贡献和
(r) (r ')dV '
V 40 r r '
静电场问题（三）
• 定义Green 函数
G(r, r ') 1
40 r r '
显然满足
2G(r, r ') (r r ')
可见，给定源分布求解电磁场分布的关键在 于获得Green函数。
O'
S
S
'
nˆ
P P P P0
l l
l
源
矩量法的难点（六）
dS ' lim
S R 0
S S
s
电磁场数值方法计算
电磁场数值方法姓名： 侯大有 学号： P1******* 专业： 电磁场与微波技术1. TM 极化平面波以00=ϕ入射到半径a=λ的无限长理想导体圆柱，应用MOM 编程计算目标上的电流分布和双站RCS 。
程序如下：clc;clear;ticlamda=0.01;a=lamda;k=2*pi/lamda;e=2.7183;sita=[pi/180:pi/180:2*pi];delta_sita=pi/180;N=length(sita); %计算x 和Cnsita=sita-delta_sita/2;% 取弧长中心x=a*cos(sita);y=a*sin(sita);Cn=sqrt((a*sin(sita)).^2+(a*cos(sita)).^2)*delta_sita; %小段弧长V=exp(-j*k*x);%入射波for m=1:NZ(m,:)=Cn.*k*120*pi/4.*besselh(0,2,k*sqrt((x-x(m)).^2+(y-y(m)).^2));Z(m,m)=k*120*pi/4*Cn(m)*(1-j*2/pi*log(1.78107*k*Cn(m)/(4*e)));endJ=inv(Z)*(V.');S=200*lamda;%远区场；K=exp(-j*(k*S+3*pi/4))/sqrt(8*pi*k*S);E_s=k*120*pi*K*exp(-j*k*(cos(sita.')*x+sin(sita.')*y))*(Cn.'.*J);%散射场RCS=2*pi*S*(abs(E_s).^2).';figure(1);plot(sita(1:360),abs(J(1:360).')*120*pi);xlim([0,2*pi]);xlabel('phi');ylabel('J')title('电流分布');figure(2);plot(sita(1:360),sqrt(RCS(1:360)));xlim([0,2*pi]);xlabel('phi');ylabel('RCS')title('雷达散射截面');toc运行结果如下图:2. 设一接地金属槽如图1-1所示，其上盖对地绝缘且具有电位 1002=ϕ(相对值) ，侧壁与底壁为地电位01=ϕ。
电磁场数值分析课件
湖北工业大学研究生考试答题纸考试科目工程电磁场数值计算研究生姓名陈天丽学号120130104任课教师邹玲教授学院、专业电气与电子工程学院成绩二0一四年6 月19日《工程电磁场数值计算》课程学习总结这一学期的工程电磁场数值计算学完了，在老师的教导下以及与同学的课堂交流中我学习了很多很多东西，接下来我将从以下七个方面来总结以下这一学期我们学习的东西。
1.高斯消元法 1.1高斯消元法概念高斯消除法是求解线性代数方程组最古老的方法之一。
它不仅容易在计算机上实现，同时，又是构造其他方法的基础。
基本思想：按序逐次消去未知量，把原来的方程化为等价的三角形方程组，或者说，用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为简单三角形矩阵；然后按相反方向顺序向上回代求解方程组。
一．下面以一个例子来说明高斯消除法的计算过程。
123123123234 6 (1)352 5 (2)433032 (3)x x x x x x x x x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 将上述方程写成矩阵形式23463525433032⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）以第一行为基底，消元：12121132*==k k k 131311422*===k k k （2）第二行减去第一行乘以12*k21211112332()02**=+∙=+⨯-=k k k k222212123153()22**=+∙=+⨯-=k k k k23231312324()42**=+∙=+⨯-=-k k k k221312356()42**=+∙=+⨯-=-p p k k（3）同理，第三行减去第一行乘以13*k31311113442()02**=+∙=+⨯-=k k k k32321213433()32**=+∙=+⨯-=-k k k k333313134304()222**=+∙=+⨯-=k k k k331334326()202**=+∙=+⨯-=p p k p变形后矩阵变为234600.544032220⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（4）同理，以第二行为基地，消元：232322360.5*-===-k k k 323212233(3)0.5()00.5**=+∙=--⨯-=k k k k 33331313322(4)()20.5**=+∙=--⨯-=-k k k k331323320(4)()40.5**=+∙=--⨯-=-p p k k再次变形后的矩阵为234600.544004﹣﹣﹣2﹣⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的方程为1232340 (1)++=x x x 230.54 4 (2)-=-x x 32 4 (3)-=-x解得3212813x x x ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩二.有限元的方程组的求解方法归纳：13121110112223202122001020300n n n n n n n n n k k p k k p k k k k p k k k k ϕϕϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦高斯法如下：以第一行为基底消元：11ij ijp p k *=1111j jk k k *=第二 行减去第一行乘12k *第n 0行减去第一行乘01n k *同理有如下通式111111ii i i i p p p k p p k k **=-∙=-∙111111j ij ij j jij i k k k k kk k k **=-∙=-∙1.2列主元消除法一．基本实例 二．基本思想 给出增广矩阵111211,1212222,112,1a ，b =n n n n n n nnn n a a a a a a a A aa a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦用增广矩阵表示方程组，在增广矩阵上进行计算，其计算步骤是： （1） 选1,111a max i i i na ≤≤=，交换第1行和第1i ，然后进行消元得，()()()()()()()()()()()()()()111111121n 1,1111111212222,11111n12,1a ，b =n n n n nn n n a a a a a a a A a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2） 选()21,1i22a max i i n a ≤≤=，交换第2行和第2i ，然后进行消元，得()()22，b A ⎡⎤⎣⎦依次类推，每次消元前都要换行取最大的列元素为主元 三.列主元消去法技巧和注意在消元过程中适当选取主元素是十分必要的。
电磁场数值计算.
U0＝ n1
Fnsh(nπ)
sin(
nπ a
x)
n1
En
sin(
nπ a
x)
En
2 a
U a 00
sin
nπ xdx a
0 4U 0
nπ
n 0,2,4..... n 1,3,5.....
局限性
得不到槽外空间电场。
上页 下页
1 有限差分法
数值计算
1. 二维差分方程的建立 ① 场域的离散
x2 y2
（阴影区域）
U ( xb,0 yb及yb,0 xb)
0 ( x2 y2 a2 ,x0, y0)
x 0 ( x0,b ya )
y 0 ( y0,bxa ) 上页
下页
2. 数值计算的基本过程
物理 问题
计算 模型
选择数值 计算方法
注
局部坐标只
在单元中有定义。
η Nm
上页 下页
局部坐标与整体坐标的转换
数值计算
i
y
Δm Δj
Δi
m
Ni
N
j
i j
21（a1 b1x c1y) 21（a2 b2x c2 y)
j
N
m
i
21（a3
b3x c3 y)
计算 结果 的可 视化 处理
关键步骤
数值计算
评判 结果 的合 理性 和正 确性
上页 下页
3. 数值计算的基本思想
数值计算
① 将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求 解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。
电磁场理论-2011-2[1]
![电磁场理论-2011-2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/9b8462c7bb4cf7ec4afed0be.png)
q ne , (n , ,) 1 2
静电场—静电场的基本规律
上式中，基元电荷电量在数值上等于一个电子所带 的电量。即
密立根油滴实验说明：物体所带电量是不连续的， 即自然界中的电荷是量子化的。 现代科学实验证明，任何物体都由大量的原子构 成，而原子则由带正电的原子核和带负电的电子组 成。 通常，同一个原子中正负电量数值相等，因而整 个物体呈现电中性。当它们因为某种原因，例如摩 擦、受热、化学变化等失去一部分电子时，则表现 为正电性；当获得额外电子时，则呈现负电性。
静电场的保守力性质也可以用另一个等价形式表 示，即
上式表明：在静电场中，电场强度沿任意闭合环 路的线积分恒等于零。 通常，将某一个量沿任意闭合环路的线积分称为 该物理量的环流。于是上式又可以表述为：在静电 场中，电场强度的环流为零。这一结论称为静电场 的环路定理，它是静电场的基本规律之一。
静电场—静电场的基本规律
静电场—静电场的基本规律
例题5 半径为a 的球中充满密度为ρ(r)的体分布电 荷，已知
求：电荷密度为ρ(r)。 解：由高斯定理，在球内有
静电场—静电场的基本规律
解得
(r ) 5 0 r 4 0 Ar
2
又考虑在球外，有
0
0
r
2
a r
5
Ar 4 0 Ar
4
即求得电荷密度
(r ) 5 0 r
2
静电场—电势及静电势能
电势
§2.2 电势及静电势能
电势差
静电场环路定理说明：电场力移动电荷所作的功 只与电荷的始末位置有关，而与具体的路径无关。 因此可以用一个位置函数φ(x,y,z)描述电场力电荷 所作的功，即
电磁场数值计算边值问题分解备课讲稿
条件构成。基本方程为矢量双旋度方程
1
A
J
在库仑规范下，为矢量泊松方程
1 2 A J
2024/10/21
电磁场数值计算
相应的边界条件，第一类边界条件，在整个边界上给 定矢量磁位或其切线分量。（对应的法向分量）
A A0 或 At At0
2 0
相应的边界条件，在已知电压的电极表面上有 第一类边界条件
0
2024/10/21
电磁场数值计算
在已知流出或流入电流分布的电极表面上有第 二类边界条件
n
J n0
在导体与绝缘体分界面上有第二类齐次边界条
件
0
n
2024/10/21
电磁场数值计算
根据电流分布的对称性，也可构造对称 面上相应的齐次边界条件。
当材料和边界条件沿直角圆柱坐标系中 z 方向不变
时，三维恒定电场简化为二维平行平面场。
2024/10/21
电磁场数值计算
平行平面恒定电流场中，拉普拉斯算子表示为
2 2 2 x2 y2
在平行平面场中，内部衔接条件和外部边界条 件设置在材料的分界线和场域的边界线上。
当材料和边界条件沿圆柱坐标系中旋转坐标 方向不变， 即材料和边界条件围绕圆柱坐标系的 z
电磁场数值计算
电磁场数值计算边值问题分解
电磁场数值计算
2.1 静电场的边值问题
1、电位的基本方程和内部分界面衔接条件 根据静电场环路定理的微分形式
E 0 由矢量恒等式 0 ，可以设
E
静电场的辅助方程为
2024/10/21
电磁场数值计算
D E
有
工程电磁场数值分析(有限元法)
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
电磁场数值计算方法
第四组
数值计算背景
数值计算
数值计算方法是一种研究并解决数学问 题数值近似解的方法， 广泛运用于电气、 军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众 多领域。
数值计算方法从求解方程的形式看，主要分 为积分方程法和微分方程法两大类。积分方程法
主要有矩量法和边界元法，微分方程法主要有
有限差分法和有限元法
当正方形网格分的足够多时，网格的边长h可以足够
小，则式（1-6）中的
以上项都可以忽略，
则式子（1-6）可以近似为：
（1-7）
同理你妹~，老子最讨厌同理！
（1-8）
（1-9） （1-10）
将式（1-10）代入式（1-9）得
（1-11）
这是一个二维区域中一点的泊松方程的有 限差分形式，它描述了该节点与周围四个节点 的电位和该点电荷密度的之间的关系。对于无 源区域， =0，则式（1-11）变为
（1-12）
此式子记住了，后 面会用到，很重要
对于给定的区域和电荷分布，当用网格将区域 划分后，对于每一个节点我们可以写出式（1-11） 或式（1-12）那样的差分方程，于是就可以得到一 个方程数与未知电位网点数相等的线性差分方程组。 对于给定的连续边界条件，当用网络将区域划分后， 我们可以给出它在边界节点上的离散值。余下的问 题就是在已知边界节点电位的条件下，用迭代法求 解区域内各节点上的的电位。
用有限差分法求解电位的精度主要取决于两个因素， 一是划分网格数的多少，二是迭代次数的多少。如 果区域划分网格较细，则网络的边长h较小。若将式 （1-4）减去式（1-5），并忽略三次方及以上的项， 可得
（1-13）
小结
差 分 方 程 组 的 求 解 这™什
么玩意？
电磁场数值计算方法
电磁场数值计算方法引论计算电磁学：现代数学方法、现代电磁场理论与现代计算机相结核的一门新兴学科。
目的：求解电磁场分布以及计算电磁场与复杂目标的相互作用。
电磁场计算方法分类分类方法按数学模型：微分方程、积分方程、变分方程。
按求解域：频域、时域法。
按近似性：解析法、半解析法、渐进法和数值法。
1、解析法求出电磁分布的数学表达式。
其优点：（1）、精确（2）、参数改变时不要重新推导（3）、解中包含了对某些参数的依赖关系，容易发现规律性主要方法有：分离变量法、级数展开法、格林函数法、保角变换法和积分变换法。
缺点：只有个别情况才能用解析法解决，一般情况较难应用。
2、渐进法由求解物体的线度l与波长λ的关系可以划分为（1）、低频区。
lλ≈（2）、谐振区。
lλ（3）、高频区。
lλ低频区：静态场近似，电路近似（等效电路）高频区：光学近似。
GO 几何光学法 GTD 几何绕射光学UTD 一般几何绕射 UAT 一致渐进理论PTD 衍射的物理理论 STD 衍射谱理论缺点：求解复杂系统的电磁场问题时可能引起大的误差，只能应用于简单的电大系统。
3、数值法把数学方程离散化，把连续问题化为离散问题，把解析方程化为代数方程。
把连续连续的场分布转换为计算离散点的场值或者表达场的级数表达式的数值化系数。
（1）、有限差分法——求解电磁场满足的微分方程。
（麦氏方程、泊松方程以及波动方程）△、用差商近似代替导数，用查分近似代替微分。
△、把微分方程转化为差分方程（代数方程）。
特点：简单，物理概念明确。
（2）、矩量法——求解电磁场积分方程。
△、把未知函数展开为选定基函数表示的级数，存在未知函数。
△、把求解未知函数问题转变为求解系数问题。
△、再选择合适权函数，计算加权平均意义下的误差。
△、令误差为零，积分方程变为关于系数的代数方程。
△、矩量法在应用时若直接采用分解法和迭代法求解则计算量非常大，例如计算电大目标散射问题的计算，为解决这个问题，产生了一系列的快速算法。
2011电磁场数值计算(FDTD)
主讲人： 王泽忠
2012-6-14
华北电力大学电气与电子工程学院
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
2012-6-14
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
2012-6-14
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电北电力大学电气与电子工程学院
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2
电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
三、有限元法 1、有限元的网格剖分 2、有限元的单元插值 3、有限元的离散化 4、有限元方程组的求解 5、矢量有限元 四、边界元法 五、差分法 六、模拟电荷法 七、ANSYS软件简介 八、工程电磁场分析举例
2012-6-14
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电磁场数值计算
吸收边界条件：
主讲人： 王泽忠
MUR 一阶、二阶
PML完全匹配层
2012-6-14
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电磁场数值计算
激励源：
主讲人： 王泽忠
平面波
线电流 偶极子
2012-6-14
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电磁场数值计算
吸收边界条件：
华北电力大学电气与电子工程学院
11
电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
2012-6-14
华北电力大学电气与电子工程学院
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
2012-6-14
华北电力大学电气与电子工程学院
13
电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
2012-6-14
工程电磁场数值计算第2版课件教学配套课件倪光正杨仕友邱捷等编著..
a
图4-13 场域离散化
迭代运算的差分方程：
( n 1)
(n)
4 ( 4 ) (i, j)
(i, j)
(n)
(n)
( n 1)
( n 1)
(n)
(i1, j )
(i, j1)
(i1, j )
(i, j1)
(i, j)
6/8
尚辅教学配套课件
启动 给定边值1，2 填写域内的初值 迭代次数计数N=0
x
x
2
x
n
b1
b
b2
bn
(1) 正消过程 在 aii≠0，(i＝1，2，…，n)的前提下，共包含如下 n-1步：
将A 和右端项向量b 合写成增广矩阵的形式，并对各元素加注上标“0”，即
aa12((1001))
A(0) , b(0) a3(10)
a (0) 12
a (0) 22
a (0) 32
H z y
H y z
Ex t
H z
x
H z x
Ey t
H y x
H x y
Ez t
E
n1 x
(i
1 2
,
j, k )
Exn (i
1 2
,
j, k )
1
t y
[H n
1 2
z
(i
1 2
,
j
1 2
,k)
Hn
1 2
z
(i
1 2
,
j
1 2
, k )]
1
t z
[H n
1 2
y
(i
1 2
,
j, k
尚辅教学配套课件
电磁场的数值计算方法
电磁场的数值计算方法：数值计算方法是一种研究并解决数学问题数值近似解的方法，广泛运用于电气、军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众多领域。
本文综述了电磁场数值计算方法的发展历史、分类，详细介绍了三种典型的数值计算方法—有限差分法、有限元法、矩量法, 对每种方法的解题思路、原理、步骤、特点、应用进行了详细阐述, 并就不同方法的区别进行了深入分析, 最后对电磁场数值计算方法的应用前景作了初步探讨。
关键词：电磁场；数值计算；有限差分法；有限元法；矩量法引言自从1864 年Maxwell 建立了统一的电磁场理论，并得出著名的Maxwell 围绕电磁分布边值问题的求解国内外专家学者做了大量的工作。
在数值计算方法之前, 电磁分布的边值问题的研究方法主要是解析法，但其推导过程相当繁琐和困难,缺乏通用性,可求解的问题非常有限。
上个世纪六十年代以来,伴随着电子计算机技术的飞速发展,多种电磁场数值计算方法不断涌现,并得到广泛地应用,相对于解析法而言,数值计算方法受边界形状的约束大为减少,可以解决各种类型的复杂问题。
但各种数值计算方法都有一定的局限性,一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，因此如何充分发挥各种方法的优势,取长补短, 将多种方法结合起来解决实际问题,即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。
本文综述电磁场的数值计算方法，对三种常用的电磁场数值计算方法进行分类和比较。
电磁场数值计算方法的发展历史在上世纪四十年代，就有人试探用数值计算的方法来求解具有简单边界的电磁场问题，如采用Ritz ，以多项式在整个求解场域范围内整体逼近二阶偏微分方程在求解域中的解。
五十年代，采用差分方程近似二阶偏微分方程，诞生了有限差分数值计算方法，开始是人工计算，后来采用机械式的手摇计算机计算，使简单、直观的有限差分法得到应用和发展，该方法曾在欧、美风行一时。
1964 年美国加州大学学者Winslow 以矢量位为求解变量，用有限差分法在计算机上成忻州师范学院物理系本科毕业论文（设计）1965年，Winslow 首先将有限元法从力学界引入电气工程中，1969 年加拿大MeGill 大学P. Silvester运用有限元法成功地进行了波导的计算Chari合作将有限元法应用于二维非线性磁场的计算，成功地计算了直流电机、同步电机的恒定磁场。
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23
电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
3、静电场边值问题的降维简化 一般静电场的求解问题是三维边值问题。 当场源 和材料结构具有无限延伸性或旋转对称性时， 可以简 化为二维边值问题。 当材料、 场源和边界条件沿直角坐标系某个坐标 （例如 z 坐标） 方向不变时， 三维静电场可简化为平 行平面场。 求解区域代表面为 x ， y 坐标系的平面区域。
2013-7-24
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
求解区域代表面为 z 轴右侧 r ， z 坐标系的平面区域。 在轴对称静电场中，拉普拉斯算子表示为
1 2 2 r 2 r r r z
轴对称开域静电场的人工边界及其第三类边界条件， 参照三维开域问题设置。 在平行平面场和轴对称场中，内部衔接条件和外部边 界条件设置在材料的分界线和外部边界线上。
Dn n
7
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电磁场数值计算
法线方向。
主讲人： 卢斌先
此处，t 代表分界面的切线方向， n 代表分界面的
代入场矢量的分界面衔接条件 E2t E1t ，
D2 n D1n ，得电位的分界面衔接条件
2 1 ，
1 2 1 2 n n
5
电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
2
得到静电场电位的基本方程
2
这种形式的方程称为标量泊松方程。 特别的，当场域中没有体电荷分布时， 0 ，上 式变为
2 0 ，称为拉普拉斯方程。
2013-7-24
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
将 R 和 R 看做是由 R 的增减得到，式中的 对数函数用泰勒级数展开并取前 2 项，得电位的 近似表达式
d cos 2 0 R
进一步的电位法向导数
d cos 1 0 0 0 2 n 20 R R
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
在平行平面静电场中，拉普拉斯算子表示为
2 2 2 2 2 x y
平行平面静电场若为开域且正负电荷数量相等， 则在远离源区中心的位置构造圆形人工边界。 在人工边界上将电场看做由相互靠近的两条正 负线电荷产生。
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
第一类边值问题表述为
2 0
已知求解区域内部的自由电荷分布，给定求 解区域边界 上电位的法向导数（相当于已知电 位移矢量的法向分量） ，计算求解区域中的电位 和电场强度分布，这类问题通常称为第二类边值 问题，又叫做聂以曼问题。相应的边界条件称为 第二类边界条件。
电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
电磁场数值 计算
主讲人：卢斌先 制作人：王泽忠
2013-7-24
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1
电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
2
电磁场边值问题的微分方程
实际工程中的电磁场问题， 往往只能已知空
间部分场源，其他部分场源可能存在于媒质当 中，也可能在给定的边界上或边界之外。 这些媒质中的场源和边界上或边界之外的 场源一般是未知的。 因此无法用直接积分方法计 算场的分布。
2013-7-24
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
2 0 1 0 0 n 2
混合边值问题包含了前面三种边值问题。 边值问题就是带有边界条件的偏微分方程 求解问题。
2013-7-24
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
若对称面两侧场域的材料结构和电荷分布相 同，则对称面为第二类齐次边界条件（即电位法 向导数为 0） 。 若对称面两侧场域的材料结构相同，电荷分 布相反，则对称面为第一类齐次边界条件（电位 为 0） 。 人工边界条件的情况比较复杂，这里只讨论 开域场远边界问题。
2013-7-24
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
第二类边值问题表述为
2 0 n
已知求解区域内部的自由电荷分布，给定 求解区域边界 上电位的法向导数与电位之 间的线性关系，计算求解区域中的电位和电场 强度分布，这类问题通常称为第三类边值问 题，又叫做劳平问题。
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电磁场数值计算
界条件。
主讲人： 卢斌先
静电场边值问题的三个要素是场源、材料和边
静电场求解区域的外边界，一般是导体表面、 对称面或人工边界。 若已知导体电位，则导体表面是第一类边界条 件； 若已知导体表面电荷密度，则导体表面为第二 类边界条件。
2013-7-24
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电磁场数值计算
对应的参数为
主讲人： 卢斌先
2 0 0 ； 0 0 R
这种情况的进一步近似简化，认为电场强度 线不会延伸到无限远处，因此在人工边界上可设
0 0 n
注意，将远处人工边界设为第二类齐次边界 条件必须满足正负电荷数量相等。
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
Q 4 0 R
电位的法向导数表示为
0 Q 0 0 0 E 2 n R 4R R
这就是人工边界的第三类边界条件。 对比第三类边界条件的一般表达式，可以看出
2013-7-24
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21
电磁场数值计算
其电位表达式为
主讲人： 卢斌先
p cos 2 40 R
其电位法向导数表达式为
p cos 2 0 0 En 0 3 n 2R R
比较第三类边界条件表达式， 可知人工边界 上可近似施加第三来边界条件。
2013-7-24
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3
电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
2.1 静电场的边值问题
1、电位的基本方程和内部分界面衔接条件 根据静电场环路定理的微分形式
E 0
由矢量恒等式 0 ，可以设
E
静电场的辅助方程为
2013-7-24
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
设线电荷密度为 ， 正负线电荷距离矢量为 d , 在圆柱坐标系中， d 方向 0 ，则人工边界上电位 表达式为
R ln (ln R ln R ) 20 R 20
d d [ln( R cos ) ln( R cos )] 20 2 2
2013-7-24
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
在三维坐标系（直角坐标系、圆柱坐标系 和球坐标系）中，如果场源、材料和边界条件 沿两个坐标方向都不变化，则静电场可进一步 简化为一维场。
2013-7-24
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电磁场数值Leabharlann 算主讲人： 卢斌先2013-7-24
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
当电荷存在于有限区域（不延续到无限远处）时， 在离电荷源区较远的场点， 电位近似与源区中心到场点 的距离成反比。 此处近似将源区的电荷 Q 集中在源区中心， 源区尺 寸越小，场点越远，上述近似的程度越高。 在远离源区的位置构造球面人工边界， 在人工边界 上电位表示为
2.2 恒定电流场的边值问题
1、电位的基本方程和内部分界面衔接条件 电源以外的恒定电场， 其电场强度满足环路定 理，即
E 0
由矢量恒等式
0
2013-7-24
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电磁场数值计算
可设
主讲人： 卢斌先
E
导电媒质中的恒定电流场满足电流连续性定理。 即
4
电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
D E
有
D
代入高斯通量定理的微分形式
D E E E
在均匀电介质中， 0 。将电位与电场强 度的关系 E 代入，得
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
当依靠导体表面和对称面无法完全将求解区 域限制在有限空间时，场域为无限大，这就是开域 问题。 开域问题的边界一部分或全部在无限远处。 有一些计算方法（如边界元法）擅长处理开域 问题。有一些方法（如有限元法）不擅长处理开域 问题。 可以将开域问题转换为有限区域问题。
当分界面上没有自由面电荷分布时，电位的分界 面衔接条件是
2013-7-24
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
2013-7-24
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电磁场数值计算
主讲人： 卢斌先
2、静电场的边值问题及其对应的外部边界条件 已知求解区域内部的自由电荷分布，给定求 解区域边界 上的电位 0 （相当于已知边界上电 场强度的切向分量） ，计算求解区域中的电位和电 场强度分布，这类问题通常称为第一类边值问题， 又叫做狄里赫利问题。 相应的边界条件称为第一类边界条件。