泛函分析的应用

现代数学基础学习报告

泛函分析应用

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摘要

信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。

1.泛函分析介绍

1.1泛函分特点和内容[1]

泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。

正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。

泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，是古典分析观点的推广，综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有

着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。

1.2泛函的理论[2]

1.2.1 集合

集合是泛函理论的基础，所以首先介绍集合。

集合：具有共同特征的元素汇到一起构成了集合。那么任意一类信号就可形成信号集。例如周期余弦表示成的周期余弦信号集为：

(){}()

,;,,j wt m S x x t Ae A w R θθ-+⎡⎤==ψ∈⎣⎦

连续时间信号可构成连续时间空间，记作C[T]空间，能量有限信号则可形成可积空间，记作L 2[T ]等等。

1.2.2 度量空间

设X 是非空集合ρ:X ∗X →R +=[0,+∞)是二元函数，如果满足 （1）ρ(x,y )≥0,ρ(x,y )=0⇔x =y; （2）ρ(x,y )=ρ(y,x ),∀x,y;

（3）∀x,y,z ∈X,ρ(x,y )≤ρ(x,y )+ρ(y,z )

则称是X 上的一个度量，称（X ，ρ）为一个度量空间。 例如在R n 空间可定义如下度量：

ρ1(x,y )=∑|x i −y i |n

i=1

ρ2(x,y )=(∑|x i −y i |2n

i=1

)1

2

ρ∞(x,y )=max 1≤i≤n

|x i −y i |,i =1,2,⋯,n

1.2.3 线性空间

对加减运算封闭的空间是线性空间。

1.2.4 线性空间的维数

如果X空间中有n个向量无关且任何n+1个向量都相关，那么我们称X是n维的。

1.2.5赋范线性空间

假设X是线性空间，设‖∙ ‖：X→[0,+∞)是一个映射，若满足：

(1)∀x∈X,‖x‖≥0,‖x‖=0⇔x=θ;

(2)∀x∈X,∀α∈F,‖αx‖=|α|‖x‖;

(3)∀x,y∈X,‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖

则称‖∙ ‖为X上的一个范数，称(X,‖∙ ‖)为赋范线性空间。并称ρ(x,y)=‖x−y‖,∀x,y∈X为由范数‖∙ ‖导出的度量。

1.2.6线性算子

设X、Y是线性空间，T：X→Y是映射，若∀x,y∈X,∀α∈F,都有

(1)T(x+y)=Tx+Ty；

(2)T(αx)=αTx

则称T为从X到Y的一个线性算子。若Y=R或C，则称T是线性泛函。

那么在信号处理中我们可以将线性系统可看作线性算子，冲激信号的取样特性可看作在L2[T]空间中的线性泛函。

1.2.7不动点

x0,则称x0为一个不动点。那么设X是度量空间，T：X→X是映射，x0∈X，如果T x

0=

我们求得某个泛函导数的不动点也就求出了输出信号的极值。

2.课题介绍

2.1微型扑翼飞行器的相关概念

目前的飞行器根据翼型运动方式的不同可以分为三类，分别为固定翼，旋翼和扑翼。其中固定翼和旋翼是两种常规飞行普遍采用的方式，两者都是通过机翼产生升力，目前大多数的飞行器均采用以上两种方式，扑翼飞行器目前并不常见，但这种飞行方式被自然界中的鸟类和昆虫广泛所采用，被认为是生物进化的最优飞行方式，从仿生学角度讲，自然界进化淘汰后的结构才是最优选。它的升力产生机理与固定翼和旋翼有很大的不同。扑翼式飞行器的优势在于[3-6]: