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2021年上海市静安区九年级数学一模试卷含答案

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上海市静安区2021年中考数学一模试卷附答案

上海市静安区2021年中考数学一模试卷附答案

中考数学一模试卷一、单选题（共6题；共12分）1.如果，那么下列计算正确的是（）A. B. C. D.2.下列多项式中，是完全平方式的为（）A. B. C. D.3.将抛物线平移后与抛物线重合，那么平移的方法可以是（）A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位4.在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为（）A. B. C. D.5.如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.6.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A= ，那么CD的长为（）A. B. C. D.二、填空题（共12题；共12分）7.的相反数是________．8.函数的定义域为________．9.方程的根为________．10.二次函数图像的开口方向是________．11.抛物线的顶点坐标为________．12.如果一次函数的图像经过第一、二、四象限，那么常数的取值范围为________．13.在二次函数图像的上升部分所对应的自变量x的取值范围是________．14.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，如果AD=2，AE=3，CE=1，那么BD长为________．15.在△ABC中，点G是重心，∠BGC=90°，BC=8，那么AG的长为________．16.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AB=12，BC=9，AC=6，四边形BCED的周长为21，那么DE的长为________．17.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB=2OD，设，，那么________．（用向量、的式子表示）18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，（如图），将△ABC绕点C旋转后，点A落在斜边AB上的点A’，点B落在点B’，A’B’与边BC相交于点D，那么的值为________．三、解答题（共7题；共65分）19.计算：．20.已知线段x、y满足求的值．21.如图，点A、B在第一象限的反比例函数图像上，AB的延长线与y轴交于点C，已知点A、B的横坐标分别为6、2，AB= ．（1）求∠ACO的余弦值；（2）求这个反比例函数的解析式．22.如图，一处地铁出入口的无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC、CD共走7米可到出入口，出入口点D距离地面的高DA为0.8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角（角度精确到1'，其他近似数取四个有效数字）．23.已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD2=AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．（1）求直线AB的表达式；（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线的表达式；（3）如果抛物线的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E、F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．25.已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN= ，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】A. ，故不符合题意B. ，故不符合题意C. ，故不符合题意D. ，故符合题意故答案为：D【分析】利用零指数幂的定义分别得出结果即可求解2.【解析】【解答】A. = ，故符合题意B. = ，故不符合题意C. = ，故不符合题意D. = ，故不符合题意故答案为：A【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．3.【解析】【解答】抛物线要通过平移得到，需要先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即．故答案为：A．【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则选出正确选项．4.【解析】【解答】解：当时，不能判定DE∥BC，A选项不符合题意；时，不能判定DE∥BC，B选项不符合题意；时，DE∥BC，C选项符合题意；时，不能判定DE∥BC，D选项不符合题意；故答案为：C．【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．5.【解析】【解答】∵，，而，∴，故答案为：C．【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案．6.【解析】【解答】解：根据题意作图如下：由题意知：AB=m，∠A= ，∴，∴，即，故答案为：B．【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果．二、填空题7.【解析】【解答】的相反数是，故答案为：．【分析】只有符号不同的两个数叫互为相反数，根据定义解答．8.【解析】【解答】解：根据二次根式和分式的性质，，且，解得．故答案是：．【分析】根据二次根式和分式的性质求出该函数的定义域．9.【解析】【解答】解：方程两边同时平方得：，∴，即，∴x1=x2=1，经检验，x=1是原方程的根，故答案为：x=1．【分析】方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再进行检验即可得出结果．10.【解析】【解答】解：∵-3＜0，∴二次函数图像的开口方向向下．故答案为：向下【分析】根据a的符号即可做出判断．11.【解析】【解答】抛物线的顶点坐标为（0，-6），故答案为：（0，-6）．【分析】根据二次函数的性质解答．12.【解析】【解答】∵一次函数的图像经过第一、二、四象限，∴，解得：1＜m＜2，故答案为：1＜m＜2【分析】根据一次函数y=（m-2）x+m－3的图象经过第一、二、四象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项大于0，进而得到关于m的不等式组，解不等式组即可得答案取值范围．13.【解析】【解答】∵= ，∴对称轴为直线x=1，∵1>0，图象开口向上，∴当x<1时，y随着x的增大而减小；当x>1时，y随着x的增大而增大，故答案为：x>1．【分析】先将函数解析式化为顶点式形式，根据函数的增减性解答．14.【解析】【解答】AC=AE+CE=3+1=4，∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△AED∽△ABC，∴，∴，∴AB=6，∴BD=6-2=4，故答案为：4．【分析】根据相似三角形的判定得出△AED∽△ABC，得出比例式，代入求出AB即可．15.【解析】【解答】解：延长AG交BC于D，∵点G是重心，∴点D为BC的中点，且AG=2DG，∵∠BGC=90°，BC=8，∴DG= BC=4，∴AG=2DG=8，故答案为：8．【分析】延长AG交BC于D，根据重心的定义，点D为BC的中点，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DG的长，再由重心的性质：三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍进行求解即可．16.【解析】【解答】如图：设DE=x，CE=y∵四边形BCED的周长为21，BC=9，∴BD+DE+CE=21-9=12=AB=BD+AD即AD=DE+CE=x+y∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴即即整理得：解得：x=6【分析】先设DE=x，CE=y根据线段数量关系得出AD=DE+CE=x+y，由相似三角形对应线段成比例得到关于x，y的二元一次方程组，解得x即可求解．17.【解析】【解答】∵OB=2OD，∴，∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴= ，∴，∵,∴= ，故答案为：．【分析】先证明△AOD∽△COB，推出= ，求出，由三角形法则得出即可根据求出答案．18.【解析】【解答】过作交于点，，，设，，在中，，，，，，，，，由旋转而得，，，，，，，，又，，，．故答案为：．【分析】先过作交于点，根据题意求出和，由面积公式求出，再根据旋转的性质得，，由，则，并求出，利用对顶角相等得，则，最后根据相似三角形性质可得三、解答题19.【解析】【分析】将各三角函数值代入，根据二次根式的混合运算法则计算．20.【解析】【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y2，化为，然后解一元二次方程，即可求解．21.【解析】【分析】（1）如图，分别过点A、B作AD⊥y轴，BE⊥x轴，可证∠ACO=∠ABH，由点A、B 的横坐标分别为6、2，可得AH=4，再由勾股定理可求得BH，即可求解∠ACO的余弦值；（2）设反比例函数的解析式为，根据点A、B在第一象限的反比例函数图像上,则点A（6，），B（2，），由BH=2可得，求出k值，此题即可得解．22.【解析】【分析】延长DC、AB相交于点E．由题意可知∠CEB=∠CBE，所以CE=CB，即可求出DE长，再利用勾股定理即可求出AE的长度，最后利用坡度计算公式即可求解．23.【解析】【分析】（1）由AD2=AE•AC，易证得△ADC∽△AED，即可得∠ACD=∠ADE，又由DE∥BC，易证得∠ECD=∠B，则可证得△BCD∽△CDE；（2）由△BCD∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，即可得，继而得到结论．24.【解析】【分析】（1）先设OA，OB，通过抛物线可求得OC，结合∠OCA=∠OAB，运用锐角三角形函数定义求解OA，OB即可；（2）过点D作DG⊥x轴，由△DGA≌△AOC推出D的坐标，从而结合A，D坐标运用待定系数法求解即可；（3）设抛物线的对称轴FE与OA交于点H，则可根据平行线分线段成比例列式求解AH和OH，从而求解出抛物线的对称轴，即可求解出抛物线的解析式．25.【解析】【分析】（1）根据CE∥BD，得出∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE结合题干证明出△ABD∽△ECB，进而得到，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE．（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．根据条件先证明出△CEB∽△CAE，得到，代入求出CE，再根据求出BD，利用三角函数求出BH，根据勾股定理即可求出AD．（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH= 根据△ECB∽△ABD得到，代入化简为即可求解．。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题15 几何综合(解答题25题压轴题)(逐题详解版)

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题15 几何综合(解答题25题压轴题)(逐题详解版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ． （1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值；（3）当AG AE =时，求CD 的长．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求∠MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ．（1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S 与ECF S 的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD 的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DF AB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．13. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．14.（2021宝山一模） 如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．15. （2021松江一模）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．16.（2021嘉定一模）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF .（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长； （2）如图12，如果12CF BC =， ①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段EF 的长.2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值； （3）当AG AE =时，求CD 的长．【答案】（1）494；（2）119169；（3． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB 的长，设CD=x ，则AD=12-x ，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x 的值，再利用正方形的面积公式求解即可；（2）先证∠BAC=∠EBF ，设边长为x ，利用三角函数求出x 的值，再求∠ABE 的正弦值即可；（3）设边长为x ，利用∠BCG∠∠EDG ，得出5DE DG x BC GC ==，然后联立512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，根据AG=AE ，求解即可．【详解】解：（1）Rt∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，13= ，设CD=x ，则AD=12-x ，在∠ADE 中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在∠BFE 中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在∠ABE 中，AE∠BE ，∠AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=72，∠正方形CDEF 的面积=CD²=72×72=494； （2）如图：延长ED 交AB 于H ，∠∠BEH∠∠ABG ，且∠ABG=∠EBH ，∠∠BEH=∠BAG ， ∠DE∠EF ，∠∠BEH=∠EBF ，∠∠BAC=∠EBF ，设边长为x ， 则tan∠EBF=5x x +，tan∠BAC=512，令5x x +=512，则x=257, ∠25125971284HDAH ADBCAB AC-====，∠59767138484AH =⋅=， ∠BH=13-AH=32584，HD=5929558484⋅=， ∠HE=HD+x=59584， 过H 作HM ，与BE 相交于M ，5sin sin 13B M AG HE ∠=∠=,595sin 84s 951419165in 81332HM HE HEM ABE BH BH ⨯⋅∠∠====；（3）∠DE//BC,∠∠BCG∠∠EDG ，设边长为x ，∠5DE DG xBC GC ==， ∠DG+GC=x ，∠DG=25x x +，GC=55x x +，则512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，令AG=AE ， 则或（舍去）．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A 、B 不重合），联结CM ，作∠CMF ＝90°，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ．点G 为线段MF 的中点，联结DG ．（1）如图1，如果AD ＝AM ＝4，当点E 与点G 重合时，求∠MFC 的面积；（2）如图2，如果AM ＝2，BM ＝4．当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD ＝x ，DG 2＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM ＝6，CD ＝8，∠F ＝∠EDG ，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）【答案】（1）20；（2）()4244644x x y x =-+<；（3）AD =或【分析】（1）运用ASA 证明∠AME DFE ≅∆求出FD 的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明FHM MHC △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点G 在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M 作MH∠DC ，垂足为H ，如图1易得四边形ADHM 是正方形，∠AE ED =又∠FED=∠MEA∠∠()AME DFE ASA ≅∆ ∠.4AM FD DH ===∠MH FC ⊥∠∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∠90FMC ∠=︒，∠∠FMH+∠HMC=90°∠∠FMH=∠HCM∠∠FMH∠∠MCH ∠12MH HC FH MH ==∠2CH =，CF 10=∠1202MFC S CF MH =⋅=△ （2）过M 作MH∠DC ，过G 点作GP∠DC ，垂足分别为H ，P ，如图2，∠FG GM =，//GP MH ∠111222GP MH AD x ===，12FP PH FH == ∠MH∠DC ，∠∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90° ∠∠FMC=90°，∠∠FMH+∠HMC=90° ∠∠FMH=∠HCM ，∠FHM MHC △∽△∠FH MH MH HC =，即4FH x x =，∠24x FH =∠28x PH =，228x DP =-，12GP x =∠222DG DP GP =+∠424644x x y =-+由00FH DP >⎧⎨>⎩ 可得4x <<∠定义域为4x <<（3）点G 在矩形内部时,延长DG 交AB 于J ，连接AG ，AF ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠∠AD BC =∠ADJ BCM ≌△△， 2AJ BM == ∠1GJ GMDG GF==，∠AG DG =∠∠12=∠∠∠1390+∠=︒∠∠3490+∠=︒ ∠∠90AGE =︒∠AG 垂直平分FM ∠6AF AM ==∠4DF MJ ==∠AD ===点G 在矩形外部时，延长DG 交BA 延长线于L ，连接DM ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠，AD BC =∠ADL BCM ≌△△， ∠2AL BM ==∠∠L CMD =∠，∠FMC 为直角，∠90DGE ∠=︒，DG 垂直平分FM ∠8DM DF ==，6AM =，∠AD =AD =或【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长； （3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BDx BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-；（3）)．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，再由∠DEC∠∠DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证∠BDC∠∠EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FDMF=y ，然后结合已知条件得出结果． 【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE ，∠∠DEC=∠CEB ，∠∠DEC∠∠CEB ，∠EC DE BE CE=，故CE²=BE·DE ； （2）由题意得∠DCE 是等腰三角形，DC=CE ，由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ， 同理可得∠DEC∠∠DCA ，AD=AC ，∠BC=AC ，∠BE=AD=BC=AC ，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-3，-6，-3，∠DE=AB-BD--3)=6-．（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠FD DECD BD=，∠tan∠FMD=y，∠FDMF=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF，∠FD FDCF MF==y，∠BDxBC=，BE=BC，∠BD BDxBE BC==，∠,FD BDy xCF BE==，∠DE=1xBDx-，CD=1yFDx-，∠FD DECD BD=，11y xy x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y-xy=x-xy，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ． （1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值； （3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =， 设,CF a = 再设DH x =， 利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==， 设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒， ∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAE BEA ∴∠+∠=︒， ,EF AE ⊥ 90BEA CEF ∴∠+∠=︒， ,BAE CEF ∴∠=∠ ,BEA CFE ∴∽ BE AB CF CE ∴=，,BE CFAB CE∴= 3,EC CF =3,AB BE ∴= 设,,CF a BE b == 3,CE a ∴= 3,AB BC b a ∴==+ 而33,AB BE b ==33,b a b ∴+= 3,2b a ∴= 9,2AB a ∴= 22992.34ABE CEFaSAB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FH AD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴ ,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠ ()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥ ,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===， 设,DH x = 22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴= ,DH a ∴= 1cos ,55DH a DDF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠ 1cos .5B ∴=（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,EC EH H ECH ∴=∠=∠ 23,CF CE CF ==， 6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y == 则2,DC AD x ==+ ,6HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ， ,//,B D AB CD ∴∠=∠ ,B ECH ∴∠=∠ ,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠ cos ,6EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠ ,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽ ,EH HF EF DF AD AF ∴== 622,26y y x x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+= 即菱形ABCD 的边长为：17. 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ==142ADB S DB AC ∴=⋅=12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH == 1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH∠CB 于H∠EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∠ACD EHD ．∠AC EH CD DH = 即44EH x x EH=--．∠()444x EH x -=+ ．∠EH∠CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∠)44x EB x -==+ ，AB =∠)44x AE x -=+∠EF AD ⊥，90C ∠=︒∠AFG ADC ∠=∠ ．∠EDB ADC ∠=∠ ∠AFG EDB ∠=∠．∠45FAE B ∠=∠=︒∠AFE BDE ．∠AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt∠MDB 中，DB=4-x,所以MD=MB=(4).2x - 在Rt∠ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+所以tan∠DAB=44DM x AM x -=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∠CDF 与∠AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan∠FDC=tan∠DAB,得44y x x x-=⋅+结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0. 解得-4 或--4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan∠CFD=tan∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x -=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或3-（舍去） 如果∠CFD=∠DAB, 44x x y x-=+与y=2x -4整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为-4、8- 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且2BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2或6；（3）33BP << 【分析】（1）证明∠BPQ∠∠BAC 即可；（2）由∠PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tan3AC B BC ===，求出∠B=30，30DPC ∠=︒，计算tan 30CD CP ︒===，根据BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，证明∠EQD∠∠CDP ，得到QE ED CD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值； （3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD =，'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 602CD =︒，即可得到3BP =【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∠4AB ==，∠BC AB ==，∠BQ BP =，∠BQ BP =∠BQ BC BP AB =，∠QBP CBA ∠=∠， BPQBAC ∴，∠90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∠ABC中，tan 3AC B BC ===，∠∠B=30， ∠9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒， ∠2AC =，点D 为边AC 的中点，∠CD=1，∠tan 30CD CP ︒===，BP BC CP ∴=-= 当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，∠∠EQD+∠EDQ=∠EDQ+∠CDP=90︒，EQD CDP ∴，QE ED CD CP∴=， 设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，∠∠B=30，∠BQP=90︒， ∠PQ=12t ，∠60QPB ∠=︒，∠cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 60QF PQ =⋅︒=，∠1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD t =-=-，134t -∴=t ∴=或t =（舍去）， 综上，BP或6；（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=3m ∴=； ②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∠60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1， ∠PC=tan 603CD =︒，∠3BP =BP <<． ．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35． 【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt △ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 △BCG ≌△DCN ，得到角相等，再由角相等，得△GMC ≌△NMC ，由DN DC =解答即可； （3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC ，再得△CPQ ∽△CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC ∵4AB AD ==，3CB CD ==∴AC 垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=∠MCN 在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3∴5== ∴sin MCN ∠=sin ∠ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ，∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90°∴△BCG ≌△DCN ∴∠G=∠CND ，CN=CG ，∠BCG=∠DCN∴∠MCN=12∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=12∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=12∠BCD=∠MCN ∵CM=CM ， ∠G=∠CND,∴△GMC ≌△NMC ∴∠G=∠MNC=∠DNC当DN=NC时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°∠ADO+∠CDO=90°∴∠ADO=∠COD=12∠BCD=∠MCN∴∠NDP=∠NCP∴D、C、N、P四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC∴△CPQ∽△CNM∴PQ CP MN CN=在Rt△CPN中，CPCN=cos∠MCN=cos∠ACB=35∴不会发生变化35PQMN=【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<+． 【分析】（1）根据CE∠BD ，得出∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE 结合题干证明出∠ABD∠∠ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ． （3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∠ECB∠∠ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∠CE∠BD ，∠∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE ．∠∠A=∠DBE ，∠∠A=∠BEC ．∠∠ABD∠∠ECB ，∠AD EB AB EC ＝．∠AD DF AB BC=，∠EB DFEC BC =，∠DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．∠CE∠BD，∠∠CEB=∠EBD=∠A，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠CE CACB CE=，∠2CE=CB CA⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936CE==⨯，∠CE=6．∠BD ABCE AC=，∠561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∠ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，∠AH=224AB BH-=．==．AD=4±（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∠∠ECB∠∠ABD，∠22EBCADBS BCS BD△△＝．∠1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∠21638252yx xx=-+，∠224825xyx x=-+．定义域为44x<．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，点D为斜边AB 的中点，ED AB⊥，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD QD⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED EDB AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可． （3）先证PDFBDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1）PD QD ⊥，ED AB ⊥∠A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，∠ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△，∠EQ EDAP AD= 又点D 为斜边AB 的中点，∠AD BD = ， EQ ED EDAP AD BD==又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQB BD AD AP==，又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10D 为AB 中点， ∠BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254AP x =，可得34EQ x =，BQ BE EQ =-， 253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （3）tan tan DQ ED EDFPD B DP AD BD∠====，∠FPD B ∠=∠，又∠PDF BDQ ∠=∠， ∠PDFBDQ △△，∠PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ=，542253544x =-，解得256x ．若BD BQ =， 253544x -=，解得53x =． ③若DQ BD =，2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E在边AB 上（点E与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）45x =或45x =【分析】（1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠； （2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x yx x-=+-，故可求解； （3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解． 【详解】解：（1）∠90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∠ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDFEAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠=∠FAD FCD △∽△∠2AB DC ==，1AD =，∠12DE AD DF CD == ∠1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△∠12EA DE AD FC DF CD ===∠22FC EA x ==∠AB //CD∠FCH FBE △∽△，∠FC CH FB BE =∠22212x y x x -=+-∠222(02)21x y x x +=<<+， （3）∠AE x =，DH y =，过点E 作EM∠CD 于M 点，∠四边形AEMD 为矩形∠MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∠2BE x =-，DE =EH =∠AB //CD∠AEG CHG △∽△∠EG AE HG CH =∠EG AE EH AE CH =+∠AEEG EH AE CH=⋅+∠BEG DHE ∠=∠， 若BEG DHE △∽△， ∠BE EG DH HE =∠BE AEDH AE CH =+即22x x y x y -=+- 化简得2240x y +-=∠22221x y x +=+∠222212240x x x +⨯-++=化简得22508x x +=-解得x =45x =若EGB HDE △∽△∠BE EG EH HD = ∠2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∠22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++=∠=372-4×26×20=-711＜0，∠方程无解综上，45x =和x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数； ()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∠AOP 和∠OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一： 作OG BC ⊥，∠BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==；方法二： 连接AC ，∠AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=； （2）∠AO=OP ，∠∠PAO=∠P ，∠P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPEOPA ∴∆∆P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠，C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠， CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠，AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠， 即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∠DH//OP ，∠∠ADH∠∠APO ，∠23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=，∠AB=4，∠OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==，∠DH//OP ，∠∠BOE∠∠BHD ， 28433EO OB EODH HB ∴===，1EO ∴=， AHD AOED HOEDS S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∠∠ACD∠∠PED ，∠ACB∠∠OEB ，2AD DP =，∠2CD AC ADDE PE DP===，2AC EP ∴=，又,AO BO =∠=2CB AC ABBE OE BO==，2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∠AO=OP ，∠∠PAO=∠APO ，∠PAO+∠APO=∠EOB=60°，∠30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切； （3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．。

2020-2021上海上海中学九年级数学上期末一模试题带答案

2020-2021上海上海中学九年级数学上期末一模试题带答案

2020-2021上海上海中学九年级数学上期末一模试题带答案一、选择题1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( ) A ．()1119802x x += B ．()1119802x x -= C ．()11980x x +=D ．()11980x x -=2．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和cy x=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞44．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2332π-B ．233π-C ．32π-D ．3π-5．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( ) A ．59B ．49C ．56D ．136．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．457．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（ ）A ．AC BCAB AC= B ．2·BC AB BC = C ．512AC AB -=D ．0.618≈BCAC8．下列函数中是二次函数的为（ ） A ．y ＝3x －1 B ．y ＝3x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 3＋2x －39．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根 10．已知点P （﹣b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点，则a 、b 的值分别是（ ） A ．﹣1、3B ．1、﹣3C ．﹣1、﹣3D ．1、311．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．100（1+2x ）＝150B ．100（1+x ）2＝150C ．100（1+x ）+100（1+x ）2＝150D ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2＝15012．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为( )A ．10B ．8C ．5D ．3二、填空题13．从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数 ，则数3被抽中的概率为_________．14．设二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ，B ，其顶点坐标为C ，则△ABC 的面积为_____．15．函数 2y 24x x =-- 的最小值为_____.16．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．17．若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为_____．18．心理学家发现：学生对概念的接受能力y 与提出概念的时间x （分）之间的关系式为y=﹣0.1x 2+2.6x+43（0≤x≤30），若要达到最强接受能力59.9，则需________ 分钟． 19．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 3035t ≤≤ 3540t <≤ 4045t <≤ 4550t <≤ 合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．20．一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=_____．（只需填一个）．三、解答题21．已知二次函数y=2x 2+m ．（1）若点（-2，y 1）与（3，y 2）在此二次函数的图象上，则y 1_________y 2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，-4），正方形ABCD 的顶点C 、D 在x 轴上，A 、B 恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．22．如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -.（1）求a的值和图象的顶点坐标。

2021-2022学年上海市静安区九年级(上)期末数学试卷(一模)(附答案详解)

2021-2022学年上海市静安区九年级(上)期末数学试卷(一模)(附答案详解)

2021-2022学年上海市静安区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列实数中，有理数是()A. √3B. πC. √4D. √932.计算x÷2x2的结果是()A. 2x B. 12xC. x2D. 2x3.已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED//BC，如果AD：DB=1：4，ED=2，那么边BC的长是()A. 8B. 10C. 6D. 44.将抛物线y=x2−2x向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标是()A. (1,−1)B. (−1,1)C. (1,0)D. (0,0)5.如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是()A. 0<sin A<12B. 0<cosA<√32C. √33<tanA<1 D. 1<cotA<√36.下列说法错误的是()A. 任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B. 任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C. 任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D. 任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.−5的绝对值是______．8.如果√3−x在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是______．9.已知a2=b3，那么b−ab+a的值是______．10.已知线段AB=2cm，点P是AB的黄金分割点，且AP>PB，那么AP的长度是______cm.(结果保留根号)11. 如果某抛物线开口方向与抛物线y =12x 2的开口方向相同，那么该抛物线有最______点．(填“高”或“低”)12. 已知反比例函数y =1x 的图象上的三点(−2,y 1)、(−1,y 2)、(1,y 3)，判断y 1，y 2，y 3的大小关系：______.(用“<”连接)13. 如果抛物线y =x 2+mx +4的顶点在x 轴上，那么常数m 的值是______．14. 如果在A 点处观察B 点的仰角为α，那么在B 点处观察A 点的俯角为______.(用含α的式子表示)15. 如图，在△ABC 中，AB =AC =6，BC =4，点D 在边AC 上，BD =BC ，那么AD 的长是______．16. 在△ABC 中，DE//BC ，DE 交边AB 、AC 分别于点D 、E ，如果△ADE 与四边形BCED的面积相等，那么AD ：DB 的值为______．17. 如图，在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点G ，如果AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(用含向量a ⃗ 、b ⃗ 的式子表示) 18. 如图，正方形ABCD 中，将边BC 绕着点C 旋转，当点B 落在边AD 的垂直平分线上的点E 处时，∠AEC 的度数为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：tan45°sin60∘⋅cot30∘−√(sin30°−1)2+2cos 245°．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高，BC=√14，cos∠ACD=3，4求AB、CH的长．21.我们将平面直角坐标系xOy中的图形D和点P给出如下定义：如果将图形D绕点P顺时针旋转90°得到图形D′，那么图形D′称为图形D关于点P的“垂直图形”．已知点A的坐标为(−2,1)，点B的坐标为(0,1)，△ABO关于原点O的“垂直图形”记为△A′B′O，点A、B的对应点分别为点A′、B′，(1)请写出：点A′的坐标为______；点B′的坐标为______；(2)请求出经过点A、B、B′的二次函数解析式；(3)请直接写出经过点A、B、A′的抛物线的表达式为______．22.据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处．金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K.与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE.射向地面的太阳光线可看作平行线(AC//DE).此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米．求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度(结果均保留四个有效数字)．23.如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，QP⊥BP，QP交BD于点E．(1)求证：△APQ∽△DBR；(2)当∠QED等于60°时，求AQ的值．DR24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx经过点A(2,0)和点B(−1,m)，顶点为点D．(1)求直线AB的表达式；(2)求tan∠ABD的值；(3)设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．25.如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB=9，AE=6，AE2=AB⋅AD，且DC//AE．(1)求证：DE2=AE⋅DC；(2)如果BE=9，求四边形ABCD的面积；(3)如图2，延长AD、BC交于点F，设BE=x，EF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、√3是无理数，不符合题意；B、π是无理数，不符合题意；C、√4=2，是有理数，符合题意；D、√93是无理数，不符合题意．故选：C．利用有理数的定义判断即可．此题考查了实数，以及有理数，整数和分数统称为有理数．2.【答案】B【解析】解：原式=(1÷2)(x÷x2)=12⋅1 x=12x，故选：B．根据整式的除法法则计算即可得出答案．本题考查了整式的除法，掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：如图，∵DE//BC，∴△EAD∽△CAB，∴EDBC =ADAB，∵ADDB =14，DE=2，∴ADAB =13，∴2BC =13，∴BC=6．故选：C．根据相似三角形的判定定理得出△EAD∽△CAB，根据相似三角形的性质求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出△EAD∽△CAB是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵y=x2−2x=(x−1)2−1，∴抛物线y=x2−2x的顶点坐标是(1,−1)，则其向左平移1个单位，再向上平移1个单位后的顶点坐标是(0,0)．故选：D．根据二次函数图象的平移规律(左加右减，上加下减)进行解答即可．本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．5.【答案】A【解析】解：A.∵sin30°=12，∴0<sin25°<12，故A符合题意；B.∵cos30°=√32，∴cos25°>√32，故B不符合题意；C.∵tan30°=√33，∴tan25°<√33，故C不符合题意；D.∵cot30°=√3，∴cot25°>√3，故D不符合题意；故选：A．根据30°的三角函数值，以及锐角三角函数的增减性判断即可．本题考查了特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：A、任意一个直角三角形被斜边的中线分割成两个等腰三角形，说法正确；B、有的等腰三角形不能分割成两个等腰三角形，说法错误；C、任意一个直角三角形可以被斜边的高分割成两个直角三角形，说法正确；D、任意一个等腰三角形可以被底边上的高分割成两个直角三角形，说法正确；故选：B．根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质判断即可．此题考查三角形，关键是根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质解答．7.【答案】5【解析】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|−5|=5．绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．解题的关键是掌握绝对值的性质．8.【答案】x≤3【解析】解：由题意得：3−x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．9.【答案】15【解析】解：设a2=b3=k，∴a=2k，b=3k，∴b−ab+a =3k−2k3k+2k=k5k=15，故答案为：15．利用设k法即可解答．本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．10.【答案】(√5−1)【解析】解：由于P为线段AB=2cm的黄金分割点，且AP是较长线段，则AP=2×√5−12=(√5−1)cm．故答案为：√5−1．根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=√5−12AB，代入数据即可得出AP的长度．本题主要考查了理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值进行计算，难度适中．11.【答案】低【解析】解：∵y=12x2中12>0，∴抛物线开口向上，∴抛物线有最低点．故答案为：低．由12>0可得抛物线开口向上，有最低点．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12.【答案】y2<y1<y3【解析】解：∵点(−2,y1)、(−1,y2)、(1,y3)是反比例函数y=1的图象上的三点，x∴y1=−1，y2=−1，y3=1，2∴y1、y2、y3的大小关系是y2<y1<y3，故答案为：y2<y1<y3．的图象上的三点(−2,y1)、(−1,y2)、(1,y3)，求得三个点的纵坐先根据反比例函数y=1x标，再比较大小．本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．13.【答案】±4【解析】解：由题意可得Δ=b2−4ac=0，即m2−16=0，解得m=±4．故答案为：±4．由抛物线顶点在x轴上可得判别式Δ=0，进而求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与x轴交点个数与Δ之间的关系．14.【答案】α【解析】解：如图：A、B两点的水平线分别为AM、BN，由题意得：AM//BN，∠BAM=α，∴∠ABN=∠BAM=α，∴如果在A点处观察B点的仰角为α，那么在B点处观察A点的俯角为α，故答案为：α．根据题目的已知条件画出图形即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件画出图形去分析是解题的关键．15.【答案】103【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC，∴∠ABC=∠BDC，∵∠ACB=∠BCD，∴△ABC∽△BDC，∴ABBC =BCDC，即64=4DC，∴DC=83，∴AD=AC−AD=6−83=103．故答案为：103．利用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，∠C=∠BDC，则∠ABC=∠BDC，于是可判断△ABC∽△BDC，然后利用相似比计算出CD的长，最后计算AC−AD即可．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，灵活利用相似比进行几何计算．也考查了等腰三角形的性质．16.【答案】√2+1【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2，∵△ADE与四边形BCED的面积相等，∴(AD AB )2=12， ∴AD AB =√22， ∴AD DB=√22−√2=√2+1．故答案为：√2+1．先证明△ADE∽△ABC ，利用相似三角形的性质得到S △ADES △ABC=(AD AB )2=12，则AD AB=√22，然后利用比例的性质得到ADDB 的值．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，灵活利用相似比进行几何计算．17.【答案】23a ⃗ +43b ⃗【解析】解：在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点G ， ∴点G 为△ABC 的重心，∴GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ ，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ +13a ⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ +43b ⃗ ． 故答案为：23a ⃗ +43b ⃗ ． 由重心的性质可得GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用三角形法则，即可求得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的长，又由中线的性质，即可求得答案．此题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．18.【答案】45°或135°【解析】解：如图，当点E在BC的上方时，连接BE∵MN是AD的垂直平分线，四边形ABCD是正方形，∴MN垂直平分BC，∴BE=EC，∵将边BC绕着点C旋转，∴BC=CE，∴△BEC是等边三角形，∴∠EBC=∠BEC=60°，∴∠ABE=30°，∵AB=BC=BE，∴∠AEB=75°，∴∠AEC=75°+60°=135°；当点E′在BC的下方时，同理可得△BE′C是等边三角形，∴BC=BE′，∠BE′C=60°=∠CBE′，∴∠ABE′=150°，∵AB=BC=BE′，∴∠AE′B=15°，∴∠AE′C=45°，故答案为：45°或135°．分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得△BEC是等边三角形，由等腰三角形的性质可求解．本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．19.【答案】解：tan45°sin60∘⋅cot30∘−√(sin30°−1)2+2cos 245°=1√32×√3−|12−1|+2×(√22)2=23−12+1 =76．【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20.【答案】解：过D 作DE ⊥AC 于E ，则∠AED =∠CED =90°，∵∠ACB =90°， ∴∠AED =∠ACB ， ∵DE//BC ，∵CD 是△ABC 的中线， ∴AD =BD ， ∴CE =AE ， ∵BC =√14， ∴DE =12BC =√142， ∵cos∠ACD =CECD =34， ∴设CE =3x ，CD =4x ，由勾股定理得：DE =√CD 2−CE 2=√(4x)2−(3x)2=√7x ， 即√7x =√142， 解得：x =√22，∴AE =CE =3x =3√22， 即AC =AE +CE =3√2，由勾股定理得：AB =√AC 2+BC 2=√(3√2)2+(√14)2=4√2， ∵S △ABC =12×AC ×BC =12×AB ×CH ，∴12×3√2×√14=12×4√2×CH ， 解得：CH =3√144， 即AB =4√2，CH =3√144．【解析】过D 作DE ⊥AC 于E ，求出AE =CE ，求出DE 解直角三角形求出CE ，求出AC ，再根据勾股定理求出AB ，再根据三角形的面积公式求出CH 即可．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，勾股定理等知识点，能求出AC 的长是解此题的关键．21.【答案】(1,2) (1,0) y =13x 2+23x +1【解析】解：(1)如图，由旋转可得A′B′=AB =2，OB′=OB =1， ∴点A′坐标为(1,2)，点B′坐标为(1,0)． 故答案为：(1,2)，(1,0)．(2)设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ，将(−2,1)，(0,1)，(1,0)代入y =ax 2+bx +c 得{1=4a −2b +c1=c 0=a +b +c，解得{a =−13b =−23c =1，∴y =−13x 2−23x +1．(3)设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ，将(−2,1)，(0,1)，(1,2)代入y =ax 2+bx +c 得{1=4a −2b +c1=c 2=a +b +c，解得{a =13b =23c =1，∴y =13x 2+23x +1．故答案为：y =13x 2+23x +1．(1)由旋转可得A′B′=AB =2，OB′=OB =1，进而求解． (2)通过待定系数法求解． (3)通过待定系数法求解．本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握图形旋转的性质，掌握待定系数法求函数解析式．22.【答案】解：由题意得：BK =12FG =12×160=80(米)，∴BC =BK +KC =80+250=330(米)， ∵射向地面的太阳光线看作平行线， ∴AB BC=DOOE，即AB 330=1.22.7， 解得：AB =4403≈146.7，∴斜坡AK 的坡度=AB BK=440380≈1.833，答：高度AB 约为146.7米，斜坡AK 的坡度约为1.833．【解析】根据题意求出BK ，进而求出BC ，根据平行投影列出比例式计算求出AB ，根据坡度的概念求出斜坡AK 的坡度．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题、平行投影，掌握坡度的概念是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，OB =OD =12BD ，AC =BD ，∠QAP =∠BDR =45°， ∴∠BOC =∠DOC =90°，OA =OB ，∴∠OBP+∠OPB=90°，∵QP⊥BP，∴∠QPB=90°，∴∠OPB+∠QPA=90°，∴∠APQ=∠DBR，∴△APQ∽△DBR；(2)解：由(1)可得△APQ∽△DBR，∴AQDR =APDB，∵∠QED=60°，∴∠BEP=∠QED=60°，∴∠OPE=90°−∠BEP=30°，∴PE=2OE，OP=√3OE，设OE为a，则EP=2a，OP=√3a，在Rt△BEP中，BE=PEcos60∘=2a12=4a，∴OB=BE−OE=4a−a=3a，∴BD=2OB=6a，∵OA=3a，OP=√3a，∴AP=OA+OP=3a+√3a，∴APBD =3a+√3a6a=3+√36，∴AQDR =3+√36．【解析】(1)利用正方形的性质可得∠QAP=∠BDR=45°，AC⊥BD，根据已知QP⊥BP，利用同角的余角相等可得∠APQ=∠DBR，即可解答；(2)由(1)可得△APQ∽△DBR，从而可得AQDR =APDB，根据已知可得∠BEP=60°，设OE为a，然后在Rt△OEP中，表示出OP=√3a，EP=2a，从而在Rt△BEP中求出BE=4a，进而求出OB，然后进行计算即可解答．本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．24.【答案】解：(1)将A(2,0)代入y =x 2+bx ，∴4+2b =0， ∴b =−2， ∴y =x 2−2x ，将B(−1,m)代入y =x 2−2x ， ∴m =3， ∴B(−1,3)，设直线AB 的解析式为y =kx +b ， ∴{−k +b =32k +b =0，∴{k =−1b =2，∴y =−x +2；(2)∵y =x 2−2x =(x −1)2−1， ∴D(1,−1)，∴AD =√2，AB =2√5，BC =3√2，∵AB 2=AD 2+BC 2， ∴△ABD 是直角三角形， ∴tan∠ABD =ADAB =13；(3)设直线BD 的解析式为y =k 1x +b 1， ∴{k 1+b 1=−1−k 1+b 1=3， ∴{k 1=−2b 1=1， ∴y =−2x +1， 令y =0，则x =12， ∴P(12,0)， 设C(t,0)，如图1，当∠ABC =∠APB 时，△ABC∽△APB ， ∴∠ACB =∠ABP过B 点作BQ ⊥x 轴交于点Q ， ∴tan∠BCQ =13=3CQ ，∴CQ=9，∴CO=10，∴C(−10,0)；当C点与P点重合时，△ABC≌△ABP，此时C(12,0)；综上所述：C点坐标为(−10,0)或(12,0)．【解析】(1)将A(2,0)代入y=x2+bx，求出抛物线解析式，再将B(−1,m)代入y=x2−2x，求出m的值，然后用待定系数法求直线AB的解析式即可；(2)利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；(3)求出P点坐标(12,0)，设C(t,0)，当∠ABC=∠APB时，△ABP∽△APC，过B点作BQ⊥x轴交于点Q，则tan∠BCQ=13=3CQ，求出CQ=9，即可求C(−10,0)；当P点与C点重合时，△ABC≌△ABP，即可求C点坐标．本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键．25.【答案】(1)证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∵AE2=AB⋅AD，∴ABAE =AEAD，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB=∠ADE，∵DC//AE，∴∠AEB=∠DCE，∠AED=∠CDE，∴∠ADE=∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴AEDE =DEDC，∴DE2=AE⋅DC；(2)解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE=9=AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由(1)可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2=AB⋅AD，AB=BE=9，AE=6，∴AD=4，DE=6，CE=4，AG=3，∴△ADE≌△ECD(SAS)，在Rt△ABG中，BG=√AB2−AG2=√92−32=6√2，∴S△ABE=12×AE×BG=12×6×6√2=18√2，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED=9：4，∴S△AED=S△CDE=8√2，∴S四边形ABCD=S△ABE+S△AED+S△CDE=18√2+8√2+8√2=34√2；(3)解：如图3，由(1)知：△ABE∽△AED，∴ABBE =AEDE，∵BE=x，AB=9，AE=6，AE2=AB⋅AD，AD=4，∴9x =6DE，∴DE=23x，由(1)知：DE2=AE⋅DC，∴DC=227x2，∵△ADE∽△ECD，∴ADAE =CEDE=23，∴CE=49x，∵DC//AE，∴△AEF∽△DCF，∴CFEF =DCAE=x281，∴CF=x281EF，∴CEEF =EF−CFEF=EF−x281EFEF=81−x281，∴y=EF=8181−x2CE=8181−x2×49x=36x81−x2，∵{x>0y>0x+AE>AB即{x>0y>0x+6>9，∴3<x<9，∴y关于x的函数解析式为y=36x81−x2，定义域为3<x<9．【解析】(1)先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB=∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE=∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；(2)如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD(SAS)，再求得S△ABE=12×AE×BG=18√2，根据△ABE∽△AED且相似比为3：2，可求得S△AED=S△CDE=8√2，由S四边形ABCD=S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；(3)由△ABE∽△AED，可求得：DE=23x，进而得出DC=227x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE=49x，再利用DC//AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF=x281EF，再结合题意得出答案．本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．。

2020-2021上海静安区教育学院附属学校初三数学上期中一模试题附答案

2020-2021上海静安区教育学院附属学校初三数学上期中一模试题附答案

2020-2021上海静安区教育学院附属学校初三数学上期中一模试题附答案一、选择题1．﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．-13D ．132．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．343．如图在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…若点A （32，0），B （0，2），则点B 2018的坐标为（ ）A ．（6048，0）B ．（6054，0）C ．（6048，2）D ．（6054，2） 4．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且35．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按逆时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A 1、B 、C 在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°6．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间7．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4B ．k≤4C ．k<4且k≠3D ．k≤4且k≠3 8．如图所示，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，P 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠APB 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．45° 或135°D ．60° 或120°9．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 10．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（ ）．A ．摸出的4个球中至少有一个球是白球B ．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C ．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D ．摸出的4个球中至少有两个球是白球12．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ）A ．2y xB ．2(12)y x =-C ．(12)y x x =-D ．2(12)y x =-二、填空题13．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图11所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是______．14．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；15．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多______步．16．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．17．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．18．如图，AD 为ABC 的外接圆O 的直径，如果50BAD ∠=︒，那么ACB =∠__________．19．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为______．20．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）三、解答题21．解方程：2220x x +-=.22．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数. 购买件数销售价格 不超过30件单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元23．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ．（I ）如图①，若BC 是⊙O 的直径，BC ＝4，求BD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠ABC 的平分线交AD 于点E ，求证：DE ＝DB ．24．2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（ 必考）， 物理和历史两个科目中任选 1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门，共计6门科目，总分750 分， 假设小丽在选择科目时不考虑主观性． （1）小丽选到物理的概率为 ；（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、 地理、 化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率．25．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O 的切线. （2）若3DE =30C ∠=︒，求AD 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数. 2．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．3．D解析：D【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．【详解】∵A （32，0），B （0，2）， ∴OA ＝32，OB ＝2，∴Rt △AOB 中，AB 52=， ∴OA +AB 1+B 1C 2＝32+2+52＝6， ∴B 2的横坐标为：6，且B 2C 2＝2，即B 2（6，2），∴B 4的横坐标为：2×6＝12， ∴点B 2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B 2018的纵坐标为：2， 即B 2018的坐标是（6054，2）．故选D ．【点睛】此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是解决本题的关键．4．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.5．D解析：D【解析】根据题意旋转角为∠ABA 1，由∠ABC=60°，∠C=90°，A 、B 、C 1在同一条直线上，得到∠ABA 1=180°-∠A 1BC 1=180°-60°=120°解：旋转角为∠ABA 1，∵∠ABC=60°，∠C=90°，∴∠ABA 1=180°-∠A 1BC 1=180°-60°=120°；故答案为D点评：本题考查了弧长的计算公式：l=n R 180π，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数． 6．B解析：B【解析】【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【详解】设每天的利润为W 元，根据题意，得：W=（x-28）（80-y ）-5000()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎭ 2112984164x x =-+- ()2125882254x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x=260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．7．B解析：B【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点. 8．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA ，OB ，由⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，即可求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB 的度数．【详解】连接OA，OB，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P在优弧ADB上，则∠APB=12∠AOB=45°；若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C．9．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x 1=0，x 2=k b a- 由图象知x 2＞1， ∴k b a-＞1 ∴k ＞a+b ， ∴⑤a+b ＜k 正确，即正确命题的是②③⑤．故选B ．10．C解析：C【解析】【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12b x a=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12b x a=-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,然后利用1c <-得到13a >-. 【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值， 当x m =代入2y ax bx c =++得：2y am bm c =++， ∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12b x a=-=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,根据图象得1c <-，∴13a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.11．B解析：B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【详解】解：A 、是随机事件，故A 选项错误；B 、是必然事件，故B 选项正确；C 、是随机事件，故C 选项错误；D 、是随机事件，故D 选项错误．故选B ．【点睛】本题考查随机事件．12．C解析：C【解析】【分析】根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y 与x 的函数.【详解】∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，∴另一边为12-x ，故面积2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为(12)y x x =- 故选C【点睛】此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.二、填空题13．P ＞Q 【解析】∵抛物线的开口向下∴a ＜0∵∴b ＞0∴2a-b ＜0∵∴b+2a=0x=-1时y=a-b+c ＜0∴∴3b-2c ＞0∵抛物线与y 轴的正半轴相交∴c ＞0∴3b+2c ＞0∴P=3b-2cQ=b解析：P ＞Q【解析】∵抛物线的开口向下，∴a ＜0， ∵02b a-> ∴b ＞0，∴2a-b ＜0， ∵02b a-= ∴b+2a=0， x=-1时，y=a-b+c ＜0． ∴102b bc --+< ∴3b-2c ＞0， ∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴3b+2c ＞0，∴P=3b-2c ，Q=b-2a-3b-2c=-2a-2b-2c ，∴Q-P=-2a-2b-2c-3b+2c=-2a-5b=-4b ＜0∴P ＞Q ，故答案是：P ＞Q ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．14．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x ）即100（1-x ）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．根据题意，得100（1-x）2=64，即（1-x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．15．12【解析】【分析】设长为x步宽为(60-x)步根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得【详解】设长为x步宽为(60-x)步x(60-x)=864解得x1=36x2=24(舍去)∴当x=36时60解析：12【解析】【分析】设长为x步，宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得.【详解】设长为x步，宽为(60-x) 步，x(60-x)=864 ，解得，x1=36，x2=24(舍去)，∴当x=36 时，60-x=24 ，∴长比宽多：36-24=12 (步)，故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 16．【解析】【分析】根据题意使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目根据概率的计算方法计算可得答案【详解】根据题意从有4根细木棒中任取3根有234；345；23解析：3 4【解析】【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=3 4 .故其概率为：34．【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．15【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π故答案为15π考点：圆锥的计算解析：15π【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．圆锥的侧面积=12•2π•3•5=15π．故答案为15π．考点：圆锥的计算．18．40°【解析】【分析】连接BD如图根据圆周角定理得到∠ABD=90°则利用互余计算出∠D=40°然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数【详解】连接BD 如图∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径∴∠ABD解析：40°．【解析】【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．【详解】连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°-∠BAD=90°-50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了圆周角定理．熟练掌握并运用圆周角定理是解决本题的关键.19．-1【解析】【分析】根据关于x 的一元二次方程x2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0求出m 的取值即可【详解】解：由已知得△=0即4+4m=0解得m=-1故答案为-1【点睛】本题考查的是根的判别解析：-1【解析】【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m 的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．20．③④【解析】【分析】【详解】由抛物线的开口向下可得a ＜0；由与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上可得c ＞0；因对称轴为x==1得2a=-b 可得ab 异号即b ＞0即可得abc ＜0所以①错误；观察图象根据抛物线解析：③④【解析】【分析】【详解】由抛物线的开口向下，可得a ＜0；由与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，可得c ＞0；因对称轴为x=2b a-=1，得2a=-b ，可得a 、b 异号，即b ＞0，即可得abc ＜0，所以①错误； 观察图象，根据抛物线与x 轴的交点可得，当x=-1时，y ＜0，所以a-b+c ＜0，即b ＞a+c ，所以②错误；观察图象，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标在-1和0之间，根据对称轴为x=2b a -=1可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标在2和3之间，由此可得当x=2时，函数值是4a+2b+c ＞0，所以③正确；由抛物线与x 轴有两个交点，可得b 2-4ac ＞0，所以④正确．综上，正确的结论有③④.【点睛】本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与系数的关系：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异） ③常数项c 决定抛物线与y 轴交点， 抛物线与y 轴交于（0，c ）．④抛物线与x 轴交点个数：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．三、解答题21．11=-x 21=-x ．【解析】【分析】把常数项移到右边 ，然后利用配方法进行求解即可．【详解】2220x x +-=，222x x +=，22121x x ++=+，()213x +=，1x +=11=-x ，21=-x【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．配方法的步骤：先把常数项移到等号的右边，把二次项系数化1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，两边开平方进行求解．22．王老师购买该奖品的件数为40件．【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．试题解析：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x 件，则每件商品的价格为：[40﹣（x ﹣30）×0.5]元，根据题意可得： x[40﹣（x ﹣30）×0.5]=1400，解得：x 1=40，x 2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．考点：一元二次方程的应用．23．（I ）BD ＝；（II ）见解析.【解析】【分析】（I）连接OD，易证△DOB是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BD的长；（II）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD＝∠DEB，由此即可证出BD＝DE．【详解】解：（I）连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°，∵BC＝4，∴BO＝OD＝2，∴222222BD=+=；（II）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵∠BAD＝∠CBD，∴∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE．又∵∠DEB＝BAE+∠ABE，∴∠EBD＝∠DEB，∴BD＝DE．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的定义，熟练掌握和圆有关的性质是解题的关键．24．（1）12；（2）16【解析】【分析】（1）由题意可知小丽只有两种可选择：物理或历史，即可求解；（2）从所有等可能结果中找到同时包含生物和化学的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】（1）因为小丽只有两种可选择：物理或历史，所以小丽选到物理的概率为1 2（2）设思想政治为 A ， 地理为 B ， 化学为 C ， 生物为 D ，画出树状图如下：共有 12 种等可能情况， 选中化学、生物的有2 种，∴P （选中化学、生物）=212=16. 【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．25．（1）见解析；（2）AD 23π=【解析】【分析】（1）连结OD ，根据等腰三角形性质和等量代换得1B ∠=∠，由垂直定义和三角形内角和定理得290B ∠+∠=︒，等量代换得2190∠+∠=︒，由平角定义得90DOE ∠=︒，从而可得证.（2）连结AD ，由圆周角定理得90ADC ∠=︒，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得60AOD ∠=︒，在Rt DEB ∆中，由直角三角形性质得23BD CD ==，在Rt ADC ∆中，由直角三角形性质得2OA OC ==，再由弧长公式计算即可求得答案.【详解】（1）证明：如图，连结OD ．∵OC OD =，AB AC =，∴1C ∠=∠，C B ∠=∠，∴1B ∠=∠，∴DE AB ⊥，∴290B ∠+∠=︒，∴2190∠+∠=︒，∴90ODE ∠=︒，∴DE 为O 的切线．（2）解：连结AD ，∵AC 为O 的直径． ∴90ADC ∠=︒．∵AB AC =，∴30B C ∠=∠=︒，BD CD =，∴60AOD ∠=︒．∵DE =∴BD CD ==∴2OC =， ∴60221803AD ππ=⨯= 【点睛】 本题考查切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．。

【2022年上海市初中一模数学卷】2022年上海市静安区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案

【2022年上海市初中一模数学卷】2022年上海市静安区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案

静安区2021学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷 2022.1（完成时间：100分钟 满分：150分 ）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤； 3. 答题时可用函数型计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列实数中，有理数是（A ）3； （B ）π； （C ）4； （D ）39． 2．计算22x x ÷的结果是 （A ）x 2； （B ）x21； （C ）2x ； （D ）x 2．3．已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上，且ED ∥BC ，如果AD ：DB=1∶4，ED = 2，那么边BC 的长是（A ）8； （B ）10； （C ）6； （D ）4．4．将抛物线x x y 22−=向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（A ）)1,1(−； （B ）)1,1(−； （C ）)0,1(； （D ）)0,0(． 5．如果锐角A 的度数是°25，那么下列结论中正确的是 （A ）21sin 0<<A ； （B ）23cos 0<<A ； （C ）1tan 33<<A ； （D ）3cot 1<<A ． 6．下列说法错误的是（A ）任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形； （B ）任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形； （C ）任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形； （D ）任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．5−的绝对值是 ．8．如果x −3在实数范围内有意义，那么实数x 的取值范围是 ． 9．已知32b a =，那么ab ab +−的值是 ． 10．已知线段AB =2cm ，点P 是AB 的黄金分割点，且AP >PB ，那么AP 的长度 是 cm ．（结果保留根号） 11．如果某抛物线开口方向与抛物线221x y =的开口方向相同，那么该抛物线有最 点．（填“高”或“低”） 12．已知反比例函数xy 1=的图像上的三点),2(1y −、),1(2y −、),1(3y ，判断y 1，y 2，y 3的大小关系： ．（用“<”连接）13．如果抛物线42++=mx x y 的顶点在x 轴上，那么常数m 的值是 ． 14．如果在A 点处观察B 点的仰角为α，那么在B 点处观察A 点的俯角为 ． （用含α的式子表示）15．如图，在△ABC 中，AB =AC =6，BC =4，点D 在边AC 上，BD =BC ，那么AD 的长是 ． 16．在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 交边AB 、AC 分别于点D 、E ，如果△ADE 与四边形BCED的面积相等，那么AD ︰DB 的值为 ．17．如图，在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点G ，如果,AD a BE b ==，那么 BC = ．（用含向量a 、b的式子表示） 18．如图，正方形ABCD 中，将边BC 绕着点C 旋转，当点B 落在边AD 的垂直平分线上的点E 处时，∠AEC 的度数为 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：°+−°−°⋅°°45cos 2)130(sin 30cot 60sin 45tan 22．20．（本题满分10分）（第17题图）A B C D E G （第18题图）A BC D （第15题图） AB C D（第22题图）EＤOF GHI 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 、CH 分别是AB 边上的中线和高，14=BC ，43cos =∠ACD ，求AB 、CH 的长．21．（本题满分10分, 其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题2分） 我们将平面直角坐标系xOy 中的图形D 和点P 给出如下定义：如果将图形D 绕点P 顺时针旋转90°得到图形D ’，那么图形D ’称为图形D 关于点P 的“垂直图形” ． 已知点A 的坐标为(2−，1)，点B 的坐标为(0，1)， △ABO 关于原点O 的“垂直图形”记为△A ’B ’O ，点 A 、B 的对应点分别为点A ’ 、B ’， （1）请写出：点A ’的坐标为 ；点B ’的坐标为 ； （2）请求出经过点A 、B 、 B ’ 的二次函数解析式；（3）请直接写出经过点A 、B 、A ’ 的抛物线的表达式为 ． 22．（本题满分10分）据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB 是大金字塔的高．在某一时刻，阳光照射下的金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A 的影子落在地面上的点C 处．金字塔底部可看作方正形FGHI ，测得正方形边长FG 长为160米，点B 在正方形的中心，BC 与金字塔底部一边垂直于点K ．与此同时，直立地面上的一根标杆DO 留下的影子是OE ．射向地面的太阳光线可看作平行线（AC ∥DE ）．此时测得标杆DO 长为1.2米，影子OE 长为2.7米，KC 长为250米．求金字塔的高度AB 及斜坡AK 的坡度（结果均保留四个有效数字）．ＣＤＢ（第20题图）H23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，边长为1的正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点Q 、R 分别在边AD 、DC 上，BR 交线段OC 于点P ，QP ⊥BP ，QP 交BD 于点E ． （1）求证：△APQ ∽△DBR ； （2）当∠QED 等于60°时，求DRAQ的值．24．（本题满分12分，其中每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线bx x y +=2经过点A （2, 0）和点B （－1，m ），顶点为点D ．（1）求直线AB 的表达式； （2）求ABD ∠tan 的值；（3）设线段BD 与 x 轴交于点P ，如果点C 在x与△ABP 相似，求点C 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图1，四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交边BC 于点E ，已知AB =9，AE =6，AD AB AE ⋅=2，且DC //AE ．（1）求证：DC AE DE ⋅=2；（2）如果BE =9，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，延长AD 、BC 交于点F ，设x BE =，y EF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．DE DCBAFECBA （第23题图）BCR （第24题图）参考答案一、选择题： 1．C ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．A ； 6．B ．二、填空题： 7．5；8．3≤x ； 9．51； 10．15−； 11．低； 12．312y y y <<； 13．4,4−； 14．α； 15．310； 16．12+； 17． a b 3234+； 18．45°或135°．三、解答题： 19．解：原式＝22)22(2)121(3231×+−−× ……………………………………（5分） ＝21221231×+− ……………………………………（3分）＝67． ……………………………………（2分） 20．解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∵CD 是AB 边上的中线,∴DC=DA ，∴∠A=∠ACD .………………………………（2分） ∵43cos =∠ACD ，∴43cos ==BC AC A ， ……………………………………（1分）设AC =3k , AB =4k ,则BC=14722==−k AC AB ……………………………（1分）∴2=k ，∴244==k AB ．……………………………………（2分） 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CH 是AB 边上的高,即CH ⊥AB ∵△ABC 面积一定，∴CH AB BC AC ⋅=⋅2121……………………………………（2分）∵233==k AC ，∴CH ×=×241423，∴1443=CH …………………（2分）所以，AB 的长为24 ，CH 的长为1443．21．解：（1）A ’（1，2）、B ’（1，0）； ……………………………………（4分） （2）设抛物线解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，∵经过A （-2，1）、B （0，1）、B ’（1，0）；∴代入可得：=++=+−=0101241b a b a c ， 解得：=−=−=13231c b a ，…………………………（1+2分） ∴经过点A 、B 、 B ’ 的二次函数解析式为132312+−−=x x y ；…………（1分）（3）经过点A 、B 、A ’ 的抛物线的表达式为132312++=x x y ．…………（2分）22．解：∵AC//DE ，AB 、DO 均垂直于地面． ∴∠C=∠E ，∠ABC=∠O =90°．∴Rt △BAC ∽Rt △ODE ，∴OE BC DO AB =．……………………………………（4分）由题意可知：BC =BK +KC =80+250=330（米），DO =1.2米，OE =2.7米………（1分） 代入可得7.23302.1=AB , 解得AB ≈146.7（米）．……………………………………（2分）联结AK ，Rt △ABK 中，5453.0:1807.146≈==BK AB i AK ．……………………………（3分）答：金字塔的高度AB 约为146.7米，斜坡AK 的坡度约为5453.0:1．23．（1）证明：∵正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， ∴∠DAB=∠ADC =90°，AC ⊥DB ， ∴°°=×=∠=∠459021BDC DAC ．…………………………（2分）又∵QP ⊥BP ，∴∠EPO+∠OPB =90°，∵Rt △BOP 中，∠OBP+∠OPB =90°，…………………………（2分） ∴∠OBP =∠EPO , 即∠APQ =∠DBR ，…………………………（1分） ∴△APQ ∽△DBR …………………………（1分）（2）解：∵正方形ABCD 的边长为1，∴222=+==AD AB BD AC ．…………（1分） ∵∠QED =60°，∴∠BEP =∠QED =60°，∵Rt △BPE 中，∠BPE =90°，∴∠EBP+∠BEP =90°，∴∠PBE = 30°．………………（1分） 又∵Rt △BOP 中，2221==BD BO ，33tan ==∠OB OP OBP ，∴66=OP ．…………………………（1分） 又∵2221==AC AO ，∴AP=6622+．…………………………（1分）∵△APQ ∽Rt △DBR ，∴63326622+=+==BD AP DR AQ .…………………………（2分）24．解：（1）抛物线bx x y +=2经过点A （2, 0）和点B （－1，m ），将点A （2, 0）代入bx x y +=2得：2−=b ．…………………………（1分）又∵x x y 22−=过点B （－1，m ），代入得：3=m ，∴B （－1，3），…………（1分） 设直线AB 的表达式为)0(≠+=k c kx y ；将A （2, 0）、B （－1，3）代入得．=+−=+302c k c k ，解得：=−=21c k ∴直线AB 的表达式为2+−=x y ；…………………………（2分）（2）∵x x y 22−=顶点为点D ，∴D （1，-1），…………………………（1分） ∴5220)13()11(22==++−−=BD ，2)10()12(22=++−=AD ，23183)21(22==+−−=BA ，∴222BA AD BD +=，…………………………（2分）∴△ABD 是直角三角形，即∠BAD =90°，∴31232tan ===∠AB AD ABD ；…………（1分）（3）设线段BD 的表达式为)0(,≠+=e f ex y ，过B （－1，3），D （1，-1），−=+=+−13f e f e ，解得： =−=12f e ，∴线段BD 的表达式为12+−=x y ； ∴线段BD 与 x 轴交点P 的坐标为)0,21(．…………（1分） 由题意可知△ABP 是钝角三角形，∠BP A 是钝角 ∵点C 在x 轴上，且△ABC 与△ABP 相似，①当点C 在点A 右侧时，∠BAC=∠BP A +∠PBA >∠BP A ,不合题意,舍去； ②当点C 在点A 左侧，且与点P 重合时，点C )0,21(；……………………（1分） ③当点C 在点A 左侧，且与点P 不重合时，由△ABC 与△ABP 相似，∠BAP=∠CAB可得∠APB = ∠ABC, ∠PBA=∠ACB, 过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ， ∵31tan =∠ABD ，∴31tan ==∠CH BH ACB∵B （－1，3），∴BH =3，∴CH =9，∴CH =9，∴C （－10，0）．…………（2分） 综上所述，点C 的坐标为)0,21(1C 、)0,10(2−C ．25．（1）证明：∵四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠EAD,∵AD AB AE ⋅=2，∴AE AD AB AE =，∴△ABE ∽△AED , …………………………（2分）∴∠AED =∠B ,又∵∠AEC =∠B +∠BAE , 即∠AED +∠DEC=∠B +∠BAE ， ∴∠DEC=∠BAE ，∴∠DEC=∠EAD .…………………………（1分）∵DC //AE ，∴∠CDE=∠DEA ，∴△AED ∽△E DC …………………………（1分）∴DE AE DC DE =，∴DC AE DE ⋅=2； …………………………（1分） （2）解：∵AB =9，AE =6，AD AB AE ⋅=2，∴AD =4.∵BE =AB =9，∴∠BEA=∠BAE . ∵∠BAE =∠EAD , ∴∠BEA=∠EAD ,∴AD //BC ， ∵DC //AE ，∴四边形AECD 是平行四边形.…………………（2分） ∴EC =AD =4，BC =9+4=13.过点B 作BG ⊥AE ，过点A 作AH ⊥BE ，垂足分别为G 、H .∵Rt △BAG 中，321==AE AG ，∴26392222=−=−=AG AB BG .………………（1分）∵△BAE 面积一定，∴AH BE BG AE ⋅=⋅2121, ∴24=AH .…………………………（1分）∴梯形ABCD 的面积=23424)134(21=×+；…………………………（1分） （先算出三角形ABE 面积后，用面积比等于相似比的平方，得到另两个三角形的面积，从而求出四边形面积）（3）解：∵△ABE ∽△AED ∽△E DC ，x BE =，y EF = ，AB =9，AE =6，AD =4，∴3296===AB AE BE DE ，∴DE =x BE 3232=，∴AE DE AD EC =，∴32==AE AD DE EC ，x x EC 943232=×=…………………（1分）∵DC AE DE ⋅=2，∴2272x DC =.…………………………（1分）又∵DC //AE ，∴AE DC EF CF =，∴8162729422x xy x y ==−. 所以28136xxy −=，定义域: 93<<x ．…………………………（2分）。

2021年上海市静安区中考数学一模试卷祥细答案与解析

2021年上海市静安区中考数学一模试卷祥细答案与解析

2021年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 已知a =√x +√y ，b =√x −√y ，那么ab 的值为（ ）A.2√xB.2√yC.x −yD.x +y2. 已知点P 在线段AB 上，且AP:PB ＝2:3，那么AB:PB 为（ ）A.3:2B.3:5C.5:2D.5:33. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE // BC ，AD:DB ＝4:5，下列结论中正确的是（ ）A.DE BC =45 B.BC DE =94 C.AE AC =45 D.EC AC =544. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90∘，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a ＝3b ，那么∠A 的余切值为（ ）A.13B.3C.√24D.√10105. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA →=a →，OB →=b →，下列式子中正确的是（ ）A.DC →=a →+b →B.DC →=a →−b →C.DC →=−a →+b →D.DC →=−a →−b →6. 如果将抛物线y ＝x 2−2平移，使平移后的抛物线与抛物线y ＝x 2−8x +9重合，那么它平移的过程可以是（ ）A.向右平移4个单位，向上平移11个单位B.向左平移4个单位，向上平移11个单位C.向左平移4个单位，向上平移5个单位D.向右平移4个单位，向下平移5个单位二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）因式分解：x2−5x＝________．已知f(x)=√3x+1，那么f(3)＝________．方程x−1x+1=12的根为________．已知：xy =34，且y≠4，那么x−3y−4=________．在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD＝6，那么AG＝________．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是________．如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x(x>0)，六月份的营业额为y万元，那么y关于x的函数解式是________．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为________．已知二次函数y＝a2x2+8a2x+a(a是常数，a≠0)，当自变量x分别取−6、−4时，对应的函数值分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是：y1>y2（填“>”、“<”或“＝”）．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD // BC，AD＝4，BC＝9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么DFFC=________．如图，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60∘，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）先化简，再求值：x−y x+2y ÷x 2−y 2x 2+4xy+4y 2，其中x ＝sin 45∘，y ＝cos 60∘．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，AC ＝20，sin A =34，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求BD 的长；（2）设AC →=a →，BC →=b →，用a →、b →表示AD →．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2+bx +1（b 为常数）的对称轴是直线x ＝1．（1）求该抛物线的表达式；（2）点A(8, m)在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A′，求点A′的坐标；（3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45∘方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22∘方向上．（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M沿着南偏东30∘的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin22∘≈0.375，cos22∘≈0.927，tan22∘≈0.404，√3≈1.732．）如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2＝OB⋅OE．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC＝BD，AE⋅AF＝AD⋅BF，求证：△ABE∽△ACD．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图象经过点A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)，联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果S△ABD:S△BCD＝3:2，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图象的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE⋅DC，DE:EC＝3:1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90∘，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．参考答案与试题解析2021年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.【答案】C【考点】二次根式的化简求值【解析】将a、b直接代入ab，利用平方差公式求值即可．【解答】∵a=√x+√y，b=√x−√y，∴ab＝(√x+√y)(√x−√y)＝x−y，2.【答案】D【考点】比例线段【解析】根据比例的合比性质直接求解即可．【解答】由题意AP:PB＝2:3，AB:PB＝(AP+PB)：PB＝(2+3)：3＝5:3；3.【答案】B【考点】相似三角形的性质与判定【解析】由平行线证出△ADE∽△ABC，得出AEAC =DEBC=ADAB=49，即可得出答案．【解答】故选：B．4.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据余切函数的定义即可求解．【解答】∵ 在Rt △ABC 中，∠C ＝90∘，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，a ＝3b ， ∴ cot A =b a =13．5.【答案】C【考点】*平面向量平行四边形的性质【解析】利用平行四边形的性质与计算机向法则求出AB →即可解决问题．【解答】∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB // CD ，AB ＝CD ，∵ AB →=AO →+OB →∴ DC →=AB →=−a →+b →，6.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换【解析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．【解答】∵ 抛物线y ＝x 2−8x +9＝(x −4)2−7的顶点坐标为(4, −7)，抛物线y ＝x 2−2的顶点坐标为(0, −2)，∴ 顶点由(0, −2)到(4, −7)需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【答案】x(x −5)【考点】因式分解-提公因式法因式分解【解析】根据提公因式法，可分解因式．【解答】x 2−5x ＝x(x −5)．【答案】 √10【考点】函数值【解析】将x＝3代入f(x)=√3x+1计算即可．【解答】当x＝3是，f(3)=√3×3+1=√10，【答案】x＝3【考点】解分式方程【解析】根据分式方程的解法，方程两边同时乘以2(x+1)，将分式方程化为整式方程求解即可．【解答】方程两边同时乘以2(x+1)，得2(x−1)＝x+1，解得x＝3，经检验，x＝3是原方程的根，∴原方程的解为x＝3，【答案】34【考点】比例的性质【解析】根据分比性质可得答案．【解答】∵xy =34，且y≠4，∴x−3y−4=34．【答案】4【考点】三角形的重心三角形中位线定理相似三角形的性质与判定【解析】由三角形的重心的概念和性质求解．【解答】∵AD、BE为△ABC的中线，且AD与BE相交于点G，∴G点是三角形ABC的重心，∴AG=23AD=23×6=4，【答案】16:25【考点】相似三角形的性质【解析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【解答】两个相似三角形面积的比是(4:5)2＝16:25．【答案】15√3【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】解直角三角形即可得到结论．【解答】由题意得，∠BAC＝90∘，∠ACB＝60∘，AC＝15，∴tan∠ACB=ABAC =AB15=√3，∴AB=√3AC＝15√3，【答案】y＝200x2+400x+200【考点】二次函数的应用【解析】根据增长率问题公式列出函数解析式即可．【解答】根据题意，得y＝200(1+x)2＝200x2+400x+200．【答案】240【考点】矩形的性质解直角三角形【解析】由矩形的性质和三角函数求出CD，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积．【解答】如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90∘，AC＝BD＝26，∵tan∠DAC=CDAC =513，∴CD＝10，∴AD=√AC2−CD2=√262−102=24，∴矩形的面积＝AD×CD＝24×20＝240，故答案为：240．【答案】>【考点】二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征【解析】求出二次函数的对称轴x＝−4，由于函数开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，即可求解．【解答】y＝a2x2+8a2x+a＝a2(x2+8x)+a＝a2(x+4)2+a−16a2，∴对称轴x＝−4，∵x分别取−6、−4时，在对称轴左侧，∴y随x的增大而减小，∴y1>y2，【答案】23【考点】梯形相似三角形的性质与判定【解析】连接BD交EF于G，由EF是梯形ABCD的“比例中线”，得出EF2＝AD×BC＝36，EF＝6，由平行线证出△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出EGAD =BGBD，DFDC=GFBC=DGBD，求出EG AD +GFBC=BGBD+DGBD=BDBD=1，即EG4+6−EG9=1，解得EG=125，得出GF＝6−EG=185，即可得出答案．【解答】故答案为：23．【答案】17【考点】等边三角形的性质与判定翻折变换（折叠问题）解直角三角形菱形的性质如图，连接BD ．设BC ＝2a ．在Rt △BEF 中，求出EF ，BF 即可解决问题． 【解答】如图，连接BD ．设BC ＝2a ．∵ 四边形ABC 都是菱形，∴ AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2a ，∠A ＝∠C ＝60∘， ∴ △BDC 是等边三角形， ∵ DE ＝EC ＝a ， ∴ BE ⊥CD ，∴ BE =√BC 2−EC 2=√3a ， ∵ AB // CD ，BE ⊥CD ， ∴ BE ⊥AB ， ∴ ∠EBF ＝90∘，设AF ＝EF ＝x ，在Rt △EFB 中，则有x 2＝(2a −x)2+(√3a)2， ∴ x =7a 4，∴ AF ＝EF =7a4，BF ＝AB −AF =a4， ∴ cos ∠EFB =BF EF=a47a 4=17，三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 【答案】 原式=x−yx+2y ÷(x+y)(x−y)(x+2y)2=x−yx+2y ⋅(x+2y)2(x+y)(x−y)=x+2y x+y，当x ＝sin 45∘=√22，y ＝cos 60∘=12时，原式=√22+2×12√22+12=√2．【考点】特殊角的三角函数值 分式的化简求值 【解析】现将原式化简为x+2yx+y ，再将x ＝sin 45∘=√22，y ＝cos 60∘=12代入计算即可．【解答】 原式=x−yx+2y ÷(x+y)(x−y)(x+2y)2=x−yx+2y ⋅(x+2y)2(x+y)(x−y)=x+2y x+y，当x ＝sin 45∘=√22，y ＝cos 60∘=12时，原式=√22+2×12√22+12=√2．∵ CD ⊥AB ，∴ ∠ADC ＝∠BDC ＝90∘， 在Rt △ACD 中，sin A =CDAC ， ∴ CD ＝AC ⋅sin A ＝20×35=12，∴ AD =√AC 2−CD 2=√202−122=16， ∴ tan A =CDAD =34，∵ ∠ACB ＝90∘，∴ ∠DCB +∠B ＝∠A +∠B ＝90∘， ∴ ∠DCB ＝∠A ．∴ BD ＝CD ⋅tan ∠DCB ＝CD ⋅tan A ＝12×34=9． ∵ AB ＝AD +DB ＝16+9＝25， ∴ ADAB =1625，又∵ AB →=AC →+CB →=a →−b →， ∴ AD →=1625AB →=1625a →−1625b →．【考点】 *平面向量 解直角三角形【解析】（1）解直角三角形求出CD ，AD ，再在Rt △CDB 中求出BD 即可． （2）利用三角形法则求解即可． 【解答】∵ CD ⊥AB ，∴ ∠ADC ＝∠BDC ＝90∘， 在Rt △ACD 中，sin A =CD AC，∴ CD ＝AC ⋅sin A ＝20×35=12，∴ AD =√AC 2−CD 2=√202−122=16， ∴ tan A =CDAD =34，∵ ∠ACB ＝90∘，∴ ∠DCB +∠B ＝∠A +∠B ＝90∘， ∴ ∠DCB ＝∠A ．∴ BD ＝CD ⋅tan ∠DCB ＝CD ⋅tan A ＝12×34=9． ∵ AB ＝AD +DB ＝16+9＝25，∴AD AB=1625，又∵ AB →=AC →+CB →=a →−b →， ∴ AD →=1625AB →=1625a →−1625b →．【答案】∵ 对称轴为x =−b2，∴ −b2=1，∴ b ＝−2，∴ 抛物线的表达式为y ＝x 2−2x +1； ∵ 点A(8, m)在该抛物线的图象上，∴ 当x ＝8时，y ＝x 2−2x +1＝82−2×8+1＝49． ∴ 点A(8, 49)，∴ 点A(8, 49)关于对称轴对称的点A ′的坐标为(−6, 49)； −1,0,1,2,3,4,1,0,1,4 【考点】二次函数的性质二次函数图象与几何变换 二次函数图象上点的坐标特征 待定系数法求二次函数解析式【解析】（1）根据对称轴公式求得b 的值，即可求得抛物线的解析式；（2）把点A(8, m)代入解析式求得m 的值，然后根据轴对称的性质即可求得A′的坐标； （3）列表、连线，画出函数的图象即可． 【解答】∵ 对称轴为x =−b2，∴ −b2=1，∴ b ＝−2，∴ 抛物线的表达式为y ＝x 2−2x +1； ∵ 点A(8, m)在该抛物线的图象上，∴ 当x ＝8时，y ＝x 2−2x +1＝82−2×8+1＝49． ∴ 点A(8, 49)，∴ 点A(8, 49)关于对称轴对称的点A ′的坐标为(−6, 49)； 列表：y…41014…描点、连线，画出图象如图：【答案】过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，∵在Rt△CDM中，CD＝DM⋅tan∠CMD＝x⋅tan22∘，又∵在Rt△ADM中，∠MAC＝45∘，∴AD＝DM，∵AD＝AC+CD＝100+x⋅tan22∘，∴100+x⋅tan22∘＝x，∴x=1001−tan22≈1001−0.404≈167.79，答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．作∠DMF＝30∘，交l于点F．在Rt△DMF中，DF＝DM⋅tan∠FMD＝DM⋅tan30∘=√33DM≈√33×167.79≈96.87米，∴AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈167.79+96.87＝264.66<300，所以该轮船能行至码头靠岸．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，解直角三角形即可得到结论；（2）作∠DMF＝30∘，交l于点F．解直角三角形即可得到结论．【解答】过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，∵在Rt△CDM中，CD＝DM⋅tan∠CMD＝x⋅tan22∘，又∵在Rt△ADM中，∠MAC＝45∘，∴AD＝DM，∵AD＝AC+CD＝100+x⋅tan22∘，∴100+x⋅tan22∘＝x，∴x=1001−tan22≈1001−0.404≈167.79，答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．作∠DMF＝30∘，交l于点F．在Rt△DMF中，DF＝DM⋅tan∠FMD＝DM⋅tan30∘=√33DM≈√33×167.79≈96.87米，∴AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈167.79+96.87＝264.66<300，所以该轮船能行至码头靠岸．【答案】证明：∵OD2＝OE⋅OB，∴OEOD =ODOB，∵AD // BC，∴△AOD∽△COB，∴OAOC =ODOB∴OAOC =OEOD∴AF // CD，∴四边形AFCD是平行四边形；证明：∵AF // CD，∴∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，∴BEBD =BFBC，∵BC＝BD，∴BE＝BF，∠BDC＝∠BCD，∴∠AED＝∠BCD．∵∠AEB＝180∘−∠AED，∠ADC＝180∘−∠BCD，∴∠AEB＝∠ADC．∵AE⋅AF＝AD⋅BF，∴AEBF =ADAF，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF＝CD，∴AEBE =ADDC，∴△ABE∽△ADC．【考点】梯形相似三角形的判定平行四边形的性质与判定【解析】（1）由已知得出OEOD =ODOB，由平行线得出△AOD∽△COB，得出OAOC=ODOB，证出OAOC=OEOD，得出AF // CD，即可得出结论；（2）由平行线得出∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，得出BEBD =BFBC，证出∠AEB＝∠ADC．由已知得出AEBF =ADAF，由平行四边形的性质得出AF＝CD，得出AEBE=ADDC，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】证明：∵OD2＝OE⋅OB，∴OEOD =ODOB，∵AD // BC，∴△AOD∽△COB，∴OAOC =ODOB∴OAOC =OEOD∴AF // CD，∴四边形AFCD是平行四边形；证明：∵AF // CD，∴∠AED＝∠BDC，△BEF∽△BDC，∴BEBD =BFBC，∵BC＝BD，∴BE＝BF，∠BDC＝∠BCD，∴∠AED＝∠BCD．∵∠AEB＝180∘−∠AED，∠ADC＝180∘−∠BCD，∴∠AEB＝∠ADC．∵AE⋅AF＝AD⋅BF，∴AEBF =ADAF，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF＝CD，∴AEBE =ADDC，∴ △ABE ∽△ADC ．【答案】将A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)代入y ＝ax 2+bx +c ， 得，{c =−3a +b +c =09a +3b +c =0 ，解得，{a =−1b =4c =−3，∴ 此抛物线的表达式是y ＝−x 2+4x −3； 过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，则S △ABDS △BCD=12AD⋅ℎ12DC⋅ℎ=AD DC =32，又∵ DH // y 轴， ∴ △CHD ∽△COA ， ∴ CHOC =DCAC =DH OA =25，∴ CH ＝DH =25×3=65， ∴ BH ＝BC −CH ＝2−65=45， ∴ tan ∠DBC =DHBH =32；∵ y ＝−x 2+4x −3＝−(x −2)2+1，∴ 对称轴为直线x ＝2，设直线x ＝2与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线x ＝2，垂足为F ，∵ OA ＝OC ＝3， ∠AOC ＝90∘，∴ ∠OAC ＝∠OCA ＝45∘， ∵ AF // x 轴，∴ ∠FAC ＝∠OCA ＝45∘， ∵ AC 平分∠BAE ， ∴ ∠BAC ＝∠EAC ，∵ ∠BAO ＝∠OAC −∠BAC ，∠EAF ＝∠FAC −∠EAC ， ∴ ∠BAO ＝∠EAF ，∵ ∠AOB ＝∠AFE ＝90∘， ∴ △OAB ∽△FEA ， ∴ OBOA =EFAF =13， ∵ AF ＝2， ∴ EF =23，∴ EG ＝GF −EF ＝AO −EF ＝3−23=73， ∴ E(2, −73)．【考点】二次函数综合题 【解析】（1）将A 、B 、C 的坐标直接代入y ＝ax 2+bx +c 即可；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，求出AD 与DC 的比，证△CHD ∽△COA ，可求出CH ，DH ，BH 的长，可根据正切定义求出结果；（3）求出抛物线对称轴为直线x ＝2，设直线x ＝2与x 轴交于点G ，过点A 作AF 垂直于直线x ＝2，垂足为F ，证∠OAC ＝∠OCA ＝45∘，∠FAC ＝∠OCA ＝45∘，推出∠BAO ＝∠EAF ，证△OAB ∽△FEA ，即可求出AF 的长，EF 的长，EG 的长，即可写出点E 的坐标． 【解答】将A(0, −3)、B(1, 0)、C(3, 0)代入y ＝ax 2+bx +c ， 得，{c =−3a +b +c =09a +3b +c =0 ，解得，{a =−1b =4c =−3，∴ 此抛物线的表达式是y ＝−x 2+4x −3； 过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为ℎ，则S △ABDS △BCD=12AD⋅ℎ12DC⋅ℎ=AD DC =32，又∵ DH // y 轴，∴△CHD∽△COA，∴CHOC =DCAC=DHOA=25，∴CH＝DH=25×3=65，∴BH＝BC−CH＝2−65=45，∴tan∠DBC=DHBH =32；∵y＝−x2+4x−3＝−(x−2)2+1，∴对称轴为直线x＝2，设直线x＝2与x轴交于点G，过点A作AF垂直于直线x＝2，垂足为F，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90∘，∴∠OAC＝∠OCA＝45∘，∵AF // x轴，∴∠FAC＝∠OCA＝45∘，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠EAC，∵∠BAO＝∠OAC−∠BAC，∠EAF＝∠FAC−∠EAC，∴∠BAO＝∠EAF，∵∠AOB＝∠AFE＝90∘，∴△OAB∽△FEA，∴OBOA =EFAF=13，∵AF＝2，∴EF=23，∴EG＝GF−EF＝AO−EF＝3−23=73，∴E(2, −73)．【答案】与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：∵AB2＝BE⋅DC，∴BEAB =ABDC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BEAB =ACDC，∴△ABE∽△DCA．∵△ABE∽△DCA，∴∠AED＝∠DAC．∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC，∴∠DAE＝∠C．∴△ADE∽△CDA；∵△ADE∽△CDA，又∵DF平分∠ADC，∴DGDF =DEAD=ADCD，设CE＝a，则DE＝3CE＝3a，CD＝4a，∴3aAD =AD4a，解得：AD＝2√3a，∴DFDG =ADCD=2√3a4a=√32；∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45∘，∴∠DAE＝∠C＝45∘∵DG⊥AE，∴∠DAG＝∠ADF＝45∘，∴AG＝DG=√22AD=√22×2√3a=√6a，∴EG=√DE2−DG2=√(3a)2−(√6a)2=√3a，∴AE＝AG+EG＝(√6+√3)a，∵∠AED＝∠DAC，∴△ADE∽△DFA，∴ADDF =AEAD，∴DF=AD2AE =√3a)2(√6+√3)a=4(√6−√3)a，∴DGDF =√6a4(√6−√3)a=2+√24．【考点】相似三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定【解析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；（2）由相似三角形的性质即可得出答案；（3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．【解答】与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：∵AB2＝BE⋅DC，∴BEAB =ABDC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BEAB =ACDC，∴△ABE∽△DCA．∵△ABE∽△DCA，∴∠AED＝∠DAC．∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC，∴∠DAE＝∠C．∴△ADE∽△CDA；∵△ADE∽△CDA，又∵DF平分∠ADC，∴DGDF =DEAD=ADCD，设CE＝a，则DE＝3CE＝3a，CD＝4a，∴3aAD =AD4a，解得：AD＝2√3a，∴DFDG =ADCD=2√3a4a=√32；∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45∘，∴∠DAE＝∠C＝45∘∵DG⊥AE，∴∠DAG＝∠ADF＝45∘，∴AG＝DG=√22AD=√22×2√3a=√6a，∴EG=√DE2−DG2=√(3a)2−(√6a)2=√3a，∴AE＝AG+EG＝(√6+√3)a，∵∠AED＝∠DAC，∴△ADE∽△DFA，∴ADDF =AEAD，∴DF=AD2AE =√3a)2(√6+√3)a=4(√6−√3)a，∴DGDF =√6a4(√6−√3)a=2+√24．。

2021-2022学年上海市静安区九年级上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)

2021-2022学年上海市静安区九年级上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)

2021-2022学年上海市静安区九年级上学期期末数学试卷(一模)一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.计算−(√2)2+(√2+π)0+(−12)−2的结果是()A. 1B. 2C. 114D. 32.三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类5块，小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是()A. m+2nB. 2m+nC. 2m+2nD. m+n3.把抛物线y=x2+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y=x2−3x+5，则有()A. b=3，c=7B. b=−9，c=−15C. b=3，c=3D. b=−9，c=214.如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=12∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F.若BC=2，则EF的长为()A. √3−1B. √32C. 1 D. √225.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA的值为()A. 513B. 1213C. 512D. 1256.如图，在等腰直角三角形ABC中，，AC=6，D是AC上一点，若，则AD的长为()A. 2B. 1C.D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.化简：−(−√2)= ． 8. 已知声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x(℃)之间有这样的关系：y =35x +331.当声音的传播速度为343m/s 时，则气温为______℃.9. 方程√5−x =3的根是______． 10. 已知抛物线y =x 2+2bx +5的顶点在y 轴的右侧，则b 的取值范围为______ ．11. 函数y =x 2的顶点坐标为______ ，若点(a,4)在其图象上，则a 的值是______ ．12. 直线l 1：y =x +1与直线l 2：y =mx +n 相交于点P(a,2)，则关于x 的不等式组0<x +1≤mx +n 的解集为______．13. 若点A(−2,y 1)，B(1,y 2)，C(3,y 3)在二次函数y =2x 2+4x −1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是______(用“<”连接)．14. 如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，AC 与BD 相交于点O ，则△ABO 的面积与△CDO 的面积的比为______ ．15. 如图，点G 是△ABC 的重心，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示为______ ．16.如图，在△ABC中，DE//BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD=4，则DB的长为______．17.如图，已知梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于点O，如果S△AOB=2S△AOD，AB=10，那么CD的长是______．18.如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm.三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为______cm．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：(π−2019)0+6sin45°+√−83．20.(1)已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长．(2)已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．21.如图，以O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点，延长AB至点D，连接DC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB=∠DAC．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD=6，tan∠DCB=23，求CE的长．22.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=814米，BC=213米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=43°.求山峰的高度CF.(结果精确到0.1米)【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】23.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是边BC的中点，∠DME=∠B，MD与射线BA相交于点D，ME与边AC相交于点E．(1)求证：BDDM =CMEM；(2)如果DE=ME，求证：ME//AB；(3)在第(2)小题的条件下，如果DM⊥AC，求∠ABC的度数．x2+bx+c过点A(3,0)，B(0,2).M(m,0)为线段OA上一个动点(点M与点A不24.如图，抛物线y=−43重合)，过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式；(2)如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；(3)如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC的中点，连结AD.过点C作CE⊥AD于点E，连结BE．(1)求证：BD2=DE⋅AD；(2)如果∠ABC=∠DCE，求证：BD⋅CE=BE⋅DE．参考答案及解析1.答案：D解析：解：−(√2)2+(√2+π)0+(−12)−2=−2+1+4=3故选：D ．首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 2.答案：A解析：解：当边长为m +2n 时，(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，此时需要A 类1块，B 类4块，C 类4块，此时多出一块C 类，故选项A 正确，当边长为2m +n 时，(2m +n)2=4m 2+4mn +n 2，此时需要A 类4块，B 类4块，C 类1块，不符合题意，故选项B 错误，当边长为2m +2n 时，(2m +2n)2=4m 2+8mn +4n 2，此时需要A 类4块，B 类8块，C 类4块，不符合题意，故选项C 错误，当边长为m +n 时，(m +n)2=m 2+2mn +n 2，此时需要A 类1块，B 类2块，C 类1块，不符合题意，故选项D 错误，故选：A ．根据题目中的选项，可以用假设法进行判断，即可得到哪个选项是正确的．本题考查完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用假设法解答本题．3.答案：A解析：解：∵y =x 2−3x +5=(x −32)2+114，∴y =x 2−3x +5的顶点坐标为(32,114)，∵向右平移3个单位，向下平移2个单位，∴平移前的抛物线的顶点的横坐标为32−3=−32，纵坐标为114+2=194，∴平移前的抛物线的顶点坐标为(−32,194 )，∴平移前的抛物线为y=(x+32)2+194=x2+3x+7，∴b=3，c=7．故选：A．先求出y=x2−3x+5的顶点坐标，再根据“左加右减”求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，整理成二次函数的一般形式，再根据对应项系数相等解答．本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据两个函数图象的顶点坐标确定平移方法更简便，要注意知道平移后的顶点坐标求平移前的顶点坐标的方法．4.答案：A解析：解：过F点作FG//BC．∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=CD=12BC=1，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=15°，AD⊥BC，∵∠ACE=12∠BAC，∴∠CAD=∠ACE=15°，∴AF=CF，∵∠ACD=(180°−30°)÷2=75°，∴∠DCE=75°−15°=60°，在Rt△CDF中，AF=CF=DCcos60°=2，DF=CD⋅tan60°=√3，∵FG//BC，∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：(2+√3)，解得GF=4−2√3，∴EF：EC=GF：BC，即EF：(EF+2)=(4−2√3)：2，解得EF=√3−1．故选：A．过F点作FG//BC.根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得AF=CF，在Rt△CDF中，根据三角函数可得AF=CF=2，DF=√3，根据平行线分线段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4−2√3，再根据平行线分线段成比例可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF=√3−1．综合考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得，三角函数，平行线分线段成比例，以及方程思想，本题的难点是作出辅助线，寻找解题的途径．5.答案：D解析：解：根据勾股定理可得：BC=√AB2−AC2=√132−52=12，∴tanA=BCAC =125．故选：D．利用勾股定理即可求得BC的长，然后根据正切的定义即可求解．本题考查了勾股定理和三角函数的定义，正确理解三角函数的定义是关键．6.答案：A解析：试题分析：作DE垂直AB，构造直角三角形，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边。

2020-2021上海静安区教育学院附属学校初三数学上期末一模试题附答案

2020-2021上海静安区教育学院附属学校初三数学上期末一模试题附答案

2020-2021上海静安区教育学院附属学校初三数学上期末一模试题附答案一、选择题1．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，分别以A 、C 为圆心，以2AC 的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分面积为（ ）A ．（24−254π）cm 2 B ．254πcm 2 C ．（24−54π）cm 2D ．（24−256π）cm 2 2．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是 A ．点A 在圆外 B ．点A 在圆上 C ．点A 在圆内D ．不能确定3．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>4．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ） A ．12B ．14C ．16D ．1125．关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（ ） A ．将y ＝﹣2x 2+1的图象向下平移3个单位得到y ＝﹣2x 2﹣2的图象 B ．将y ＝﹣2（x ﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y ＝﹣2（x+2）2的图象 C ．将y ＝﹣2x 2的图象沿x 轴翻折得到y ＝2x 2的图象D ．将y ＝﹣2（x ﹣1）2+1的图象沿y 轴翻折得到y ＝﹣2（x+1）2﹣1的图象6．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A ．4233π- B ．8433π- C ．8233π- D ．843π- 7．若关于x 的一元二次方程()26230a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为280m 的矩形花圃（墙长为12m ），围栏总长度为28m ，则与墙垂直的边x 为（ ）A ．4m 或10mB ．4mC ．10mD ．8m9．以394cx ±+=为根的一元二次方程可能是（ ） A ．230x x c --=B ．230x x c +-=C ．230-+=x x cD ．230++=x x c10．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ）A ．310B ．925C ．920D ．3511．下列对一元二次方程x 2+x ﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等实数根 B ．有两个相等实数根 C ．有且只有一个实数根 D ．没有实数根 12．下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的二、填空题13．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___．14．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为_______．15．抛物线y=2(x −3)2+4的顶点坐标是__________________．16．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____． 17．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，那么这个恒星的面积等于______．18．函数y ＝x 2﹣4x +3的图象与y 轴交点的坐标为_____．19．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x 2﹣6x ﹣16，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的线段CD 的长为_____．20．已知扇形的面积为12πcm 2，半径为12cm ，则该扇形的圆心角是_______.三、解答题21．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式． （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 22．小明在解方程2210x x --=时出现了错误，其解答过程如下： 解：221x x -=-（第一步）22111x x -+=-+（第二步）2(1)0x -=（第三步） 121x x ==（第四步）（1）小明解答过程是从第几步开始出错的，写出错误原因. （2）请写出此题正确的解答过程.23．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．24．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，等腰Rt△ABC 中，BA=BC ，∠ABC=90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE （1）求∠DCE 的度数；（2）若AB=4，CD=3AD ，求DE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】利用勾股定理得出AC 的长，再利用图中阴影部分的面积=S △ABC −S 扇形面积求出即可． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ， ∴22228610AC AB BC =+=+=cm ，则2AC=5 cm ， ∴S 阴影部分=S △ABC −S 扇形面积=2190525862423604ππ⨯⨯⨯-=-（cm 2），故选：A ． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，阴影部分的面积可以看作是Rt △ABC 的面积减去两个扇形的面积．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．2．C解析：C 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内判断出即可． 【详解】解：∵⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ， ∴d ＜r ，∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在圆内， 故选C ．3．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，而A （2，y 1）离直线x =﹣1的距离最远，C （﹣2，y 3）点离直线x =1最近，∴123y y y >>． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．4．C解析：C 【解析】 【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解. 【详解】 解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，∴两次都摸到白球的概率是：21 126．故答案为C．【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．5．D解析：D【解析】【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A选项,将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象,故A选项不符合题意;B选项,将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象,故B选项不符合题意;C选项,将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象,故C选项不符合题意;D选项,将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2+1的图象,故D选项符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的关键.6．C解析：C【解析】【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD＝2223OD OC+=∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=23 36023π⨯-⨯⨯π-，故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．7．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤193且a≠6，然后找出此范围内的最大整数即可．【详解】根据题意得a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，解得a≤193且a≠6，所以整数a的最大值为5.故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的定义和跟的判别式，一元二次方程的二次项系数不能为0；当一元二次方程有实数根时，△≥0.8．C解析：C【解析】【分析】设与墙相对的边长为（28-2x）m，根据题意列出方程x（28-2x）=80，求解即可.【详解】设与墙相对的边长为（28-2x）m，则0＜28-2x≤12，解得8≤x＜14，根据题意列出方程x（28-2x）=80，解得x 1=4，x 2=10 因为8≤x ＜14∴与墙垂直的边x 为10m 故答案为C. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x 值.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】设x 1，x 2是一元二次方程的两个根，∵x =∴x 1+x 2=3，x 1∙x 2=-c ，∴该一元二次方程为：21212()0x x x x x x -++=，即230x x c --=故选A. 【点睛】此题主要考查了根据一元二次方程的根与系数的关系列一元二次方程．10．A解析：A 【解析】 【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率： 【详解】 列表如下：∴63P 2010==两次红， 故选A.11．A解析：A 【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x 2+x ﹣3=0有两个不相等的实数根． 【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b 2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0， ∴方程x 2+x ﹣3=0有两个不相等的实数根， 故选A ．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．C解析：C 【解析】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案. 【详解】A 、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A 不正确； B 、∵﹣122b a =，∴抛物线的对称轴为直线x=12，选项B 不正确； C 、当x=0时，y=x 2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C 正确； D 、∵a ＞0，抛物线的对称轴为直线x=12， ∴当x ＞12时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确， 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），对称轴直线x=-2ba，当a ＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向上，当a ＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.二、填空题13．6【解析】【分析】【详解】解：设方程另一根为x1把x＝－2代入方程得（－2）2＋2a－3a＝0解得a＝4∴原方程化为x2－4x－12＝0∵x1＋（－2）＝4∴x 1＝6故答案为6点睛：本题考查了一元二解析：6【解析】【分析】【详解】解：设方程另一根为x1，把x＝－2代入方程得（－2）2＋2a－3a＝0，解得a＝4，∴原方程化为x2－4x－12＝0，∵x1＋（－2）＝4，∴x1＝6．故答案为6．点睛：本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋ x2＝ba，x1·x2＝ca．也考查了一元二次方程的解．14．【解析】【分析】设⊙O半径为r根据勾股定理列方程求出半径r由勾股定理依次求BE和EC的长【详解】连接BE设⊙O半径为r则OA=OD=rOC=r-2∵OD⊥AB∴∠ACO=90°AC=BC=AB=4在解析：213【解析】【分析】设⊙O半径为r，根据勾股定理列方程求出半径r，由勾股定理依次求BE和EC的长．【详解】连接BE，设⊙O半径为r，则OA=OD=r，OC=r-2，∵OD⊥AB，∴∠ACO=90°，AC=BC=12AB=4， 在Rt △ACO 中，由勾股定理得：r 2=42+（r-2）2，r=5，∴AE=2r=10，∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE=90°，由勾股定理得：BE=6，在Rt △ECB 中，EC ==.故答案是：【点睛】考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．15．(34)【解析】【分析】根据二次函数配方的图像与性质即可以求出答案【详解】在二次函数的配方形式下x-3是抛物线的对称轴取x=3则y=4因此顶点坐标为（34）【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质解析：(3,4)【解析】【分析】根据二次函数配方的图像与性质，即可以求出答案.【详解】在二次函数的配方形式下，x-3是抛物线的对称轴，取x=3,则y=4，因此，顶点坐标为（3，4）.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质.16．-2017【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出将其代入中即可得出结论【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为：-2017【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于两根之积等于是解题的关键解析：-2017【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【详解】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为：-2017．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 17．16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积依此列式计算即可【详解】解：如图2+2=4恒星的面积=4×4-4π=16-4π故答案为16-4π【点睛】本题考查了扇形面解析：16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积，依此列式计算即可．【详解】解：如图．2+2=4，恒星的面积=4×4-4π=16-4π． 故答案为16-4π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积．18．（03）【解析】【分析】令x ＝0求出y 的值然后写出与y 轴的交点坐标即可【详解】解：x ＝0时y ＝3所以图象与y 轴交点的坐标是（03）故答案为（03）【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标掌握二次解析：（0，3）．【解析】【分析】令x ＝0，求出y 的值，然后写出与y 轴的交点坐标即可．【详解】解：x ＝0时，y ＝3，所以．图象与y 轴交点的坐标是（0，3）．故答案为（0，3）．【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标，掌握二次函数与一元二次方程的联系是解答本题的关键.19．20【解析】【分析】抛物线的解析式为y=x2-6x-16可以求出AB=10；在Rt △COM 中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20【详解】抛物线的解析式为y=x2-6x-16则D （0解析：20【解析】【分析】抛物线的解析式为y=x 2-6x-16，可以求出AB=10；在Rt △COM 中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20．【详解】抛物线的解析式为y=x 2-6x-16，则D （0，-16）令y=0，解得：x=-2或8，函数的对称轴x=-2b a=3，即M （3，0）， 则A （-2，0）、B （8，0），则AB=10， 圆的半径为12AB=5， 在Rt △COM 中，OM=5，OM=3，则：CO=4，则：CD=CO+OD=4+16=20．故答案是：20.【点睛】考查的是抛物线与x 轴的交点，涉及到圆的垂径定理．20．30°【解析】设圆心角为n°由题意得：=12π解得：n=30故答案为30° 解析：30°【解析】设圆心角为n°，由题意得：212360n π⨯=12π， 解得：n=30，故答案为30°．三、解答题21．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x －65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．（2）根据利润计算公式列式即可；（3）进行配方求值即可．【详解】（1）设y=kx+b ，根据题意得806010050k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：k 2b 200=-⎧⎨=⎩∴y=－2x+200（30≤x≤60）（2）W=（x －30）（－2x+200）－450=－2x 2+260x －6450=－2（x －65）2 +2000）（3）W =－2（x －65）2 +2000∵30≤x≤60∴x=60时,w 有最大值为1950元∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．22．（1）一，移项没变号（或移项错误或等式性质用错均给分）；（2）11x =21x =-【解析】【分析】（1）第一步即发生错误，移项未变号；（2）可将采用配方法解方程即可.【详解】（1）一，移项没变号（或移项错误或等式性质用错）（2）解：221x x -=22111x x -+=+()212x -=即，11x =，21x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟悉各种解法的特点并灵活选择解法是解题关键.23．(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.24．（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．【解析】【分析】（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.(2)列一元二次方程求解.(3)总利润=单件利润⨯销售量：w ＝(x －20)(－2x ＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.【详解】(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b .把(22，36)与(24，32)代入，得22362432.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得280.k b =-⎧⎨=⎩∴y ＝－2x ＋80（20≤x≤28）.(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x 元，根据题意，得(x －20)y ＝150，即(x －20)(－2x ＋80)＝150.解得x 1＝25，x 2＝35(舍去)．答：每本纪念册的销售单价是25元．(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．25．解：（1）90°；（2）【解析】试题分析：（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．试题解析：（1）∵△ABCD为等腰直角三角形，∴∠BAD=∠BCD=45°．由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴=．∵CD=3AD，∴，．由旋转的性质可知：．∴=考点：旋转的性质．。

2021年上海市静安区中考一模数学试卷

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2021年上海市静安区中考一模数学试卷1.（2021·上海静安区·模拟）如果a≠0，那么下列计算正确的是( )A．(−a)0=0；B．(−a)0=−1；C．−a0=1；D．−a0=−1；2.（2021·上海静安区·模拟）下列多项式中，是完全平方式的为( )A．x2−x+14B．x2+12x+14C．x2+14x−14D．x2−14x+143.（2021·上海静安区·模拟）将抛物线y=2(x+1)2−3平移后与抛物线y=2x2重合，那么平移的方法可以是( )A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位4.（2021·上海静安区·模拟）在△ABC中，点D，E分别在边BA，CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为( )A．BCDE =ABADB．ACAD=ABAEC．ACCE=ABBDD．ACAB=BDCE5.（2021·上海静安区·模拟）如果锐角α的正切值为√32，那么下列结论中正确的是( ) A．α=30∘B．α=60∘C．30∘<α<45∘D．45∘<α<60∘6.（2021·上海静安区·模拟）在Rt△ABC中，∠C=90∘，CD是高，如果AB=m，∠A=α，那么CD的长为( )A．m⋅sinα⋅tanαB．m⋅sinα⋅cosαC．m⋅cosα⋅tanαD．m⋅cosα⋅cotα7.（2021·上海静安区·模拟）32的相反数是．8.（2021·上海静安区·模拟）函数f(x)=√2−x的定义域为．9.（2021·上海静安区·模拟）方程√3−2x=2−x的根为．10. （2021·上海静安区·模拟）二次函数 y =2x −3x 2 图象的开口方向是 ．11. （2021·上海静安区·模拟）抛物线 y =3x 2−6 的顶点坐标为 ．12. （2021·上海静安区·模拟）如果一次函数 y =(m −2)x +m −1 的图象经过第一、二、四象限，那么常数 m 的取值范围为 ．13. （2021·上海静安区·模拟）在二次函数 y =x 2−2x +3 图象的上升部分所对应的自变量 x 的取值范围是 ．14. （2021·上海静安区·模拟）如图，在 △ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，∠AED =∠B ，如果 AD =2，AE =3，CE =1，那么 BD 长为 ．15. （2021·上海静安区·模拟）在 △ABC 中，点 G 是重心，∠BGC =90∘，BC =8，那么 AG 的长为 ．16. （2021·上海静安区·模拟）如图，在 △ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，DE ∥BC ，如果 AB =12，BC =9，AC =6，四边形 BCED 的周长为 21，那么 DE 的长为 ．17. （2021·上海静安区·模拟）如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与 AC 相交于点 O ，OB =2OD ，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．（用向量 a ，b⃗ 的式子表示）18. （2021·上海静安区·模拟）在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =13，tanB =23（如图），将 △ABC绕点C旋转后，点A落在斜边AB上的点Aʹ，点B落在点Bʹ，AʹBʹ与边BC相交于点D，那么CDAʹD的值为．19.（2021·上海静安区·模拟）计算：cot30∘−cos45∘sin60∘−tan45∘．20.（2021·上海静安区·模拟）已知线段x，y满足2x+yx−y =xy，求xy的值．21.（2021·上海静安区·模拟）如图，点A，B在第一象限的反比例函数图象上，AB的延长线与y轴交于点C，已知点A，B的横坐标分别为6，2，AB=2√5．(1) 求∠ACO的余弦值：(2) 求这个反比例函数的解析式．22.（2021·上海静安区·模拟）如图，一处地铁出入口的无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC，CD共走7米可到出入口，出入口点D距离地面的高DA为0.8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角（角度精确到1′，其他近似数取四个有效数字)．23.（2021·上海静安区·模拟）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD2=AE⋅AC．求证：(1) △BCD∽△CDE；(2) CD2BC2=ADAB；24.（2021·上海静安区·模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+m(m>0)与x 轴、y轴分别交于点A，B．抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．(1) 求直线AB的表达式；(2) 如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线y=ax2+bx+4的表达式；(3) 如果抛物线y=ax2+bx+4的对称轴与线段AB，AC分别相交于点E，F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．25.（2021·上海静安区·模拟）已知∠MAN是锐角，点B，C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．(1) 如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF⋅CE=BC⋅BE；(2) 当点E在边AN上时，求AD的长；(3) 当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．答案1. 【答案】D2. 【答案】A3. 【答案】A4. 【答案】C5. 【答案】C6. 【答案】B7. 【答案】−328. 【答案】x<29. 【答案】x=110. 【答案】向下11. 【答案】(0,−6)12. 【答案】1<m<213. 【答案】x>114. 【答案】415. 【答案】816. 【答案】617. 【答案】13a+23b⃗18. 【答案】3√13519. 【答案】原式=√3−√22√32−1=√3−√2)(√3+2)(√3−2)(√3+2)=√6+2√2−4√3−6.20. 【答案】2xy+y2=x2−xy，x2−3xy−y2=0，∵y≠0．∴x2y2−3xy−1=0，∴xy =3±√132．21. 【答案】(1) 分别过点A，B作AD⊥y轴，BE⊥x轴，垂足分别为D，E，AD，BE相交于点H．∵BE∥y轴，∴∠ACO=∠ABH，∠AHB=∠ADC=90∘．∵点A，B的横坐标分别为6，2，∴AH=4．在Rt△ABH中，∵BH=√AB2−AH2=√(2√5)2−42=2．cos∠ACO=cos∠ABH=BHAB =2√5=√55．(2) 设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，设点A(6,k6)，则B(2,k2)，∴k2−k6=2，∴k=6．∴反比例函数解析式为y=6x．22. 【答案】延长DC，AB相交于点E．∵斜坡BC，CD的坡度相同，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB．∴DE=DC+CB=7米．在Rt△ADE中，AE=√AE2−AD2=√72−0.82≈6.9541（米)．∴i=AD:AE=0.8:6.9541≈1:8.693．∵tan∠AED=AD:AE≈0.11504，∴∠AED≈6∘34ʹ．答：无障碍通道的坡度约为1:8.693，坡角约为6∘34ʹ．23. 【答案】(1) ∵AD2=AE⋅AC，∴ADAE =ACAD，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠ADE=∠ACD，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∠B=∠ADE，∴∠B=∠ACD，∴△BCD∽△CDE．(2) ∵△BCD∽△CDE，∴CDBC =DECD．∴CD2BC2=CDBC⋅CDBC=CDBC⋅DECD=DEBC．∵DE∥BC，∴DEBC =ADAB．∴CD2BC2=ADAB．24. 【答案】(1) ∵直线y=−12x+m与x轴、y轴分别交于点A(2m,0)，B(0,m)．∴OA=2m，OB=m．∵∠OCA=∠OAB，∴tan∠OCA=tan∠OAB=OAOC =OBOA=12．∵y=ax2+bx+4(a≠0)经过点C(0,4)，OC=4．∴OA=2，OB=1．∴直线AB的表达式为y=−12x+1．(2) 过点D作DG⊥x轴，垂足为G，∵∠DGA=∠AOC=90∘，∠DAG=∠ACO，AD=AC，∴△DGA≌△AOC．∴DG =AO =2，AG =OC =4，OG =2， ∴ 点 D (−2,2)．∵ 抛物线 y =ax 2+bx +4 经过点 A ，D ， ∴{0=4a +2b +4,2=4a −2b +4,∴{a =−34,b =−12.∴ 抛物线的表达式为 y =−34x 2−12x +4． (3) 设抛物线的对称轴 FE 与 OA 交于点 H ， ∵EF ∥OC ， ∴AH AO=AE AB=EF BC=13，AH =23，OH =43．∴{0=4a +2b +4,−b 2a=43,∴{a =3,b =−8.∴ 抛物线的表达式为 y =3x 2−8x +4．当 x =43 时，y =−43，抛物线的顶点坐标为 (43,−43)．25. 【答案】(1) ∵CE ∥BD ，∴∠CEB =∠DBE ，∠DBA =∠BCE ， ∵∠A =∠DBE ， ∴∠A =∠BEC ． ∴△ABD ∽△ECB ． ∴ADAB =EB EC ． ∵ADAB =DFBC ， ∴EBEC =DFBC ，∴DF ⋅CE =BC ⋅BE ．(2) 过点 B 作 BH ⊥AN ，垂足为 H ． ∵CE ∥BD ，∴∠CEB =∠EBD =∠A ， 又 ∵∠BCE =∠ECA ， ∴△CEB ∽△CAE ，∴CE CB =CACE ， ∴CE 2=CB ⋅CA ， ∵AB =5，AC =9， ∴BC =4，∴CE 2=4×9=36， ∴CE =6． ∵BD CE=ABAC ，∴BD =AB⋅CE AC=5×69=103．在 Rt △ABH 中，BH =AB ⋅sinA =5×35=3， ∴AH =√AB 2−BH 2=4． DH =√BD 2−BH 2=√(103)2−32=√193．AD =4±√193．(3) 过点 B 作 BH ⊥AN ，垂足为 H ．BH =4，AH =3，DH =∣x −4∣．BD 2=DH 2+BH 2=(x −4)2+32=x 2−8x +25． ∵△ECB ∽△ABD ， ∴S△EBC S △ADB=BC 2BD 2．∵S △ABD =12AD ⋅BH =32x ，∴y 32x=16x 2−8x+25，∴y =24xx 2−8x+25．定义域为 4−√193<x <4+√193．。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题01 数与式、方程与不等式(逐题详解版)

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题01 数与式、方程与不等式(逐题详解版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题01 数与式、方程与不等式一、单选题1．（2021·上海静安区·九年级一模）如果0a ≠，那么下列计算正确的是（ ）A ．0()0a =-B ．0()1a -=-C ．01a -=D ．01a =--2．（2021·上海静安区·九年级一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A ．214x x -+B ．21124x x++C ．21144x x +-D ．21144x x -+ 二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 4．（2021·上海静安区·九年级一模）32的相反数是____． 5．（2021·上海松江区·九年级一模）计算sin30cot 60︒⋅︒=____．6．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知点Р是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果2AP =厘米，那么BP =________________ （厘米）．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．8．（20212x -的根为____．9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为x 米，可列出方程为________________________．10．（2021·上海宝山区·九年级一模）某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______． 三、解答题11．（2021·上海闵行区·九年级一模）计算：24sin 452cos 60cot 30tan 601︒︒︒︒-+-12．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．13．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题01 数与式、方程与不等式一、单选题1．（2021·上海静安区·九年级一模）如果0a ≠，那么下列计算正确的是（ ）A ．0()0a =-B ．0()1a -=-C ．01a -=D ．01a =--【答案】D【分析】利用零指数幂的定义分别得出结果即可求解【详解】A 选项0()a =1-，故错误，B 选项0()a =1-，故错误C 选项01a -=-，故错误，D 选项01a -=-，故正确，故选：D【点睛】熟记任何非零次幂的零次幂等于1是解决本题的关键2．（2021·上海静安区·九年级一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A ．214x x -+B ．21124x x++C ．21144x x +-D ．21144x x -+ 【答案】A【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．【详解】A 选项214x x -+=212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故正确，B 选项21124x x++=213416x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故错误 C 选项21144x x +-=216516256x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故错误，D 选项21144x x -+=216316256x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故错误 故选：A【点睛】本题考查配方法的运用，熟练添加常数项，即一次项系数一半的平方是解决问题的关键，添加之后要注意再减去添加的常数项，进行等价转化．二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 【答案】3-【分析】根据已知得到2y x =，代入所求式子中计算即可． 【详解】解：∵12x y =，∴ 2y x =，∴2332x y x x x x y x x x ++===----：故答案为：-3． 【点睛】本题考查了求分式的值，利用已知得到2y x =后再整体代入是解题的关键．4．（2021·上海静安区·九年级一模）32的相反数是____． 【答案】32- 【分析】只有符号不同的两个数叫互为相反数，根据定义解答． 【详解】32的相反数是32-，故答案为：32-． 【点睛】此题考查互为相反数的定义，掌握定义是解题的关键．5．（2021·上海松江区·九年级一模）计算sin30cot 60︒⋅︒=____．【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可．【详解】1sin 30cot 60=236︒⋅︒=⨯，故答案为：6． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数乘法运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．6．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知点Р是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果2AP =厘米，那么BP =________________ （厘米）．【答案】1+【分析】设BP x =厘米，得2AB x =+厘米，根据题意得()222x x =⨯+，通过求解方程，即可得到答案． 【详解】设BP x =厘米，根据题意得：2AB AP BP x =+=+厘米∵2BP AP AB =⋅，∴()222x x =⨯+ ，∴1x =±10-，故舍去；∴15x ，即1BP =1+．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式、线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．【答案】2【分析】如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b == 由三角形的周长关系可得：5,a b +=再证明：,ANM DEM ∽利用相似三角形的性质求解8,AN a =-再证明：,ANF CEF ∽可得：10432,b a ab +-=再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b ==()1,2AB BE AF AB BC AC ∴++=++ ()1101012815,2a b ∴++=++= 5,a b ∴+=:2:112BD CD BC ==，，84BD CD ∴==，， 8,DE a ∴=- M 为AD 的中点，,AM MD ∴= //AN BC ，,ANM DEM ∴∽ 1AN AM DE DM ∴==， 8,AN a ∴=- //AN BC ，,ANF CEF ∴∽ ,AN AF CE CF ∴= 即：8,848a b a b -=-+- ∴ 10432,b a ab +-= 510432a b b a ab +=⎧∴⎨+-=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩或94a b =⎧⎨=-⎩，经检验：94a b =⎧⎨=-⎩不合题意，舍去， 2.BE ∴= 故答案为：2.【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．8．（20212x =-的根为____．【答案】x 1=【分析】方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x 的值，再进行检验即可得出结果．【详解】解：方程两边同时平方得：()2322x x -=-，∴2210x x -+=，即()210x -=，∴x 1=x 2=1，经检验，x=1是原方程的根，故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程求解，先平方得到一元二次方程求解再验证根，掌握基本概念和解法是解题的关键．9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为x 米，可列出方程为________________________．【答案】()17324x x -=【分析】垂直于墙的一段篱筐长为x 米，共有三段垂直于墙的篱笆，所以垂直于墙的篱笆总长度为3x ，又因为篱笆总长为17米(恰好用完)，所以大长方形花圃的长为()173x -米，最后根据长方形的面积公式即可求解．【详解】解：由题意可得：()17324x x -=．故答案为：()17324x x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意大长方形花圃的宽有三段都是篱笆．10．（2021·上海宝山区·九年级一模）某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______． 【答案】()21001y x =+； 【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率)n,即可列方程求解． 【详解】依题意得：()21001y x =+，故答案为：()21001y x =+【点睛】考查了一元二次方程的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率)n =现有量，n 表示增长的次数． 三、解答题11．（2021·上海闵行区·九年级一模）计算：24sin 452cos 60cot 30tan 601︒︒︒︒-+-【答案】2【分析】分别把特殊角的三角函数值代入，再分别计算，结合分母有理化，合并化简即可解题．【详解】解：原式14122⨯=⨯1= 2=．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．． 【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y 2，化为22310x x y y --=，然后解一元二次方程，即可求解．【详解】解：222xy y x xy +=-，2230x xy y --=．∵0y ≠，∴22310x x y y --=，∴x y = ∵x 、y表示线段，∴负值不符合题意，∴x y = 【点睛】本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x 、y 的非负性．13．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-3． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ∴==142ADB S DB AC ∴=⋅=，12ADB S AB DH =⋅，DH ∴=AH ==1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH ⊥CB 于H∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒，∴ACD EHD ．∴AC EH CD DH = 即44EH x x EH =--．∴()444x EH x -=+ ．∵EH ⊥CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，∴)44x EB x -==+ ，AB =∴)44x AE x -=+，∵EF AD ⊥，90C ∠=︒，∴AFG ADC ∠=∠ ．∵EDB ADC ∠=∠，∴AFG EDB ∠=∠．∵45FAE B ∠=∠=︒，∴AFE BDE ． ∴AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+．整理得，()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt △MDB 中，DB=4-x,所以).x - 在Rt △ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+ 所以tan ∠DAB=44DM x AM x-=⋅+按照点F 的位置，分两种情况讨论△CDF 与△AGE 相似: ①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan ∠FDC=tan ∠DAB,得44y x x x-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.解得-4 或-4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan ∠CFD=tan ∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y xx x-=+结合y=2x-4，整理，得23160.x-=解得或3-（舍去）如果∠CFD=∠DAB,44x xy x-=+与y=2x-4，整理，得238160.x x-+=此方程无解.综上，CD的值为、8-或3．【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题07 相似图形的相关概念(解析版)

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题07 相似图形的相关概念(解析版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题07 相似图形的相关概念一、单选题1．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，已知BD 与CE 相交于点A ，DE BC //，如果2AD =，3AB =，6AC =，那么AE 等于（ ）A ．125B ．185C ．4D ．9【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例即可得到结论．【详解】解：∵ED∵BC ，∵AB AC AD AE =，即362AE=，∵AE=4，故选：C ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）下列命题中，说法正确的是（ ）A ．四条边对应成比例的两个四边形相似B ．四个内角对应相等的两个四边形相似C ．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似【答案】D【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．【详解】A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大．3．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，能判定//DE BC 的是（）A．AD DEAB BC=B．AD AEDB EC=C．DB AEEC AD=D．AD AEAC AB=【答案】A【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案．【详解】A、AD DEAB BC=,可证明DE∵BC,故本选项正确；B、AD AEDB EC=,不可证明DE∵BC,故本选项错误；C、DB AEEC AD=,不可证明DE∵BC,故本选项不正确；D、AD AEAC AB=不可证明DE∵BC,故本选项不正确．故选A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，对应线段成比例，两直线平行．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）A、B两地的实际距离AB=250米，如果画在地图上的距离A B''=5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1∵500B．1∵5 000C．500∵1D．5 000∵1【答案】B【分析】地图上距离与实际距离的比就是在地图上的距离A B ''与实际距离AB 的比值．【详解】解：∵250米=25000cm ，∵:A B AB ''=5：25000=1：5000．故选：B ．【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一． 5．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知线段a 、b 、c 、d 的长度满足等式ab cd =，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（ ）A ．a c b d =B ．a d c b =C ．b d c a =D ．b c d a= 【答案】A【分析】根据比例的两内项之积等于两外项之积逐项排查即可．【详解】解：A.由a c b d=可得bc=ad ，故A 选项符合题意； B.由a d c b=可得ab=cd ，故B 选项不符合题意； C.由b d c a=可得ab=cd ，故C 选项不符合题意； D.由b c d a =可得ab=cd ，故D 选项不符合题意．故答案为A ． 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，即掌握两内项之积等于两外项之积成为解答本题的关键． 6．（2021·上海闵行区·九年级一模）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】C【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．【详解】解：根据题意，设她穿的高跟鞋的高度是x cm ，则620.61815462x =+-， 解得：8.3x ≈，∵我认为选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳；故选：C ．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用；关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．7．（2021·上海奉贤区·九年级一模）下列两个图形一定相似的是（ ）A ．两个菱形B ．两个正方形C ．两个矩形D ．两个梯形【答案】B【分析】对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：两个菱形满足对应边成比例，但是对应角不一定相等，所以两个菱形不一定相似，故A 不符合题意；两个正方形满足对应边成比例，对应角相等，所以两个正方形一定相似，故B 符合题意；两个矩形满足对应角相等，但是对应边不一定成比例，故C 不符合题意；两个梯形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，故D 不符题意；故选：.B【点睛】本题考查的是四边形相似的判定，掌握多边形相似的判定是解题的关键． 8．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果实数a ，b ，c ，d 满足a c b d=，下列四个选项中，正确的是（ ） A ．a b c d b d++= B ．a c a b c d =++ C ．a c c b d d+=+ D ．22a cb d = 【答案】A 【分析】根据比例的性质选出正确选项．【详解】A 选项正确，∵11a c b d+=+，∵a b c d b d ++=； B 选项，当0a b +=或0c d +=时， 不成立；C 选项，当0b d +=时，不成立；D 选项不成立，例如：当1224=时，221224≠；故选：A ． 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．9．（2021·上海松江区·九年级一模）如果两个相似多边形的面积之比为1:4，那么它们的周长之比是（ ） A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】A【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为1:4，∵两个相似多边形周长的比等于1:2，∵这两个相似多边形周长的比是1:2．故选：A ．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．10．（2021·上海青浦区·九年级一模）已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，若2AB =，则AP 的长为A 1B 1CD ．3【答案】A【分析】利用黄金分割点的定义即可求AP 的长度【详解】利用黄金分割点的定义， AP AB = 111．（2021·上海徐汇区·九年级一模）下列说法中，正确的是（ ）A ．两个矩形必相似B ．两个含45︒角的等腰三角形必相似C ．两个菱形必相似D ．两个含30角的直角三角形必相似【答案】D 【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．【详解】A 、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；B 、如果一个等腰三角形的顶角是45︒，另一等腰三角形的底角是45︒，则不相似，此项错误；C 、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；D 、两个含30角的直角三角形必相似，此项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键． 12．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，DE BC //，DF AC //，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AD DE DB BC = B ．AE BF AC BC = C ．BD BF AD DE = D ．DG BF GF FC= 【答案】C【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可．【详解】解：∵DE∵BC ，DF∵AC ，∵四边形DFCE 是平行四边形，∵DE=CF ，DF=CE ，∵DE∵BC ，DF∵AC ，∵∵ADE∵∵ABC ，∵BFD∵∵BAC ，∵AD DE AB BC=，故A 错误；AE AD AC AB BC CF ==，即AE CF AC BC=，故B 错误； ∵DF∵AC ，∵BD BF BF AD CF DE==，故C 正确； ∵DE∵BC ，∵DG DE CF GF BF BF ==，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和平行线分线段成比例是解答的关键．13．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 、F 是边AB 上的点，点E 是边AC 上的点，如果∵ACD=∵B ，DE //BC ，EF //CD ，下列结论不成立的是（ ）A ．2AE AF AD =⋅B ．2AC AD AB =⋅C ．2AF AE AC =⋅D ．2AD AF AB =⋅【答案】C【分析】根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可．【详解】解：∵DE //BC ，EF //CD ，∵∵ADE=∵B ，∵ACD=∵AEF ，又∵∵ACD=∵B ，∵∵ADE=∵AEF ，∵∵ADE=∵AEF ，∵A=∵A ，∵AEF∵ADE ， ∵AE AD AF AE=，∵2AE AF AD =⋅，故选项A 正确； ∵∵ACD=∵B ，∵A=∵A ，∵ACD∵ABC ，∵AC AD AB AC=，∵2AC AD AB =⋅，故选项B 正确； ∵DE //BC ，∵AE AD AC AB =，∵EF //CD ，∵AE AF AC AD=，∵AF AD AD AB =，∵2AD AF AB =⋅，故选项D 正确；∵EF//CD，∵AE AFAC AD=，∵AF AC AE AD⋅=⋅，故选项C错误，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．14．（2021·上海静安区·九年级一模）在∵ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∵BC的为（）A．BC ABDE AD=B．AC ABAD AE=C．AC ABCE BD=D．AC BDAB CE=【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．【详解】解：当BC ABDE AD=时，不能判定DE∵BC，A选项错误；AC ABAD AE=时，不能判定DE∵BC，B选项错误；AC ABCE BD=时，DE∵BC，C选项正确；AC BDAB CE=时，不能判定DE∵BC，D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．15．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ长为（）A．1)B．C．2) - D．5(3【答案】C【分析】画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ、PB的长度，再根据PQ=AQ+PB－AB即可求出PQ的长度．【详解】解：如图，根据黄金分割点的概念，可知PB AQ AB AB ==∴AQ =PB ，AB =10，∴AQ =PB =11052⨯=，∴PQ =AQ +PB －AB =5510202)+-==． 故选：C ．【点睛】本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．二、填空题16．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知点P 在线段AB 上，如果2AP AB BP =⋅，4AB =，那么AP 的长是_____．【答案】2【分析】设AP=x ，则PB=4-x ，根据AP 2=AB•PB 列出方程求解即可，另外，注意舍去负数解．【详解】解：设AP=x ，则PB=4-x ，由题意，x 2=4（4-x ），解得x=2或2-（舍弃）故答案为：2．【点睛】本题考查的是比例线段与黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．注意方程思想的应用是解题的关键．17．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，////AB CD EF ，如果2AC =，3CE = ， 1.5BD =，那么BF 的长是______．【答案】3.75【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵直线////AB CD EF ，2AC =，3CE =， 1.5BD =， ∵AC BD AE BE = 22235==+，∵ 1.55=3.752BE ⨯=．故答案为：3.75． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．18．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知直线1l ，2l ，3l 分别交直线l 于点A ，B ，C ，交直线l 于点D ，E ，F ，且123////l l l ，4AB =，6AC =，10DF =，则DE =___．【答案】203【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】∵123////l l l 4AB =，6AC =，10DF =，∵AB DE AC DF = 即4610DE =, 可得：DE=203,故答案为：203． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． 19．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果4是a 与8的比例中项，那么a 的值为_______________________．【答案】2【分析】根据比例中项的概念：如果a 、b 、c 三个量成连比例，即::a b b c =，b 叫作a 和c 的比例中项，即可求解．【详解】4是a 与8的比例中项，∴:44:8a =，即248a =，∴2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握比例中项的概念是解题的关键．20．（2021·上海普陀区·九年级一模）已知52x y =，那么x y x y+=-__________． 【答案】73【分析】由52x y =，设()50x k k =≠，则2y k =，再把,x y 的值代入代数式即可得到答案． 【详解】解： 52x y =，∴ 设()50x k k =≠，则2y k =，52775233x y k k k x y k k k ++∴===--， 故答案为：7.3【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数法解决比例的问题是解题的关键．21．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果2a ＝5b （b ≠0），那么a b＝_____． 【答案】52【分析】利用比例的基本性质可得答案．【详解】解：∵2a ＝5b （b ≠0），∵5.2a b = 故答案为：52【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握基本性质是解题的关键．22．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如果:2:3a b =，那么代数式b a a-的值是_____． 【答案】12【分析】根据比例的性质可得23a b =，则代入原代数式计算即可．【详解】由题意：23a b =，∵213223b b b a a b --==，故答案为：12． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练根据比例的性质变形求解是解题关键．23．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，已知AC ∵EF ∵BD ．如果AE ：EB ＝2：3，CF ＝6．那么CD 的长等于_________．【答案】15【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式首先求得CF 的长，再求得DC 的长．【详解】解：∵AC ∵EF ∵BD ，CF ＝6，23AE CF BE DF ==，∵DF=9， ∵CD=DF+CF=9+6=15．故答案是：15．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 24．（2021·上海九年级一模）如果34a b =，那么b a b a -=+__________________． 【答案】17【分析】设a=3k ，得到b=4k ，代入b a b a -+化简即可求解． 【详解】解：设a=3k ，∵34a b =，∵b=4k ，∵4314377b a k k k b a k k k --===++．故答案为：17 【点睛】本题主要考查了比例化简求值，理解比例的意义，用含k 的式子分别表示a 、b 是解题关键． 25．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知三角形的三边长为a 、b 、c ．满足234a b c ==，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为________．【答案】16 【分析】设234a b c ===k ，根据三角形的周长列出方程即可求出k 的值，从而求出结论． 【详解】解：设234a b c ===k∵a =2k ，b =3k ，c =4k 由题意可知：a ＋b ＋c=36∵2k ＋3k ＋4k=36解得：k=4∵该三角形的最大边长为4×4=16故答案为：16．【点睛】此题考查的是比例的性质，掌握设参法是解题关键．26．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知线段2a =厘米，8c =厘米，那么线段a 和c 的比例中项b 的长度为______厘米．【答案】4【分析】根据线段的比例中项可直接进行列式求解．【详解】解：由题意可得：22816b ac ==⨯=，∵4b =cm ；故答案为4．【点睛】本题主要考查比例中项，熟练掌握比例中项是解题的关键．27．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知线段6cm AB =，点C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，那么线段AC 的长为________．【答案】3，列式计算即可．【详解】∵点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，∵AC AB =（3）cm ，故答案为3．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段叫做黄金比． 28．（2021·上海闵行区·九年级一模）如果23(0)a b b =≠，那么a b=__________． 【答案】32【分析】根据等式的性质解题即可，等式两边同时除以一个不为零的数，等式仍成立 【详解】323(0)2a ab b b =≠∴=故答案为：32． 【点睛】本题考查比例的性质，利用等式的性质解题即可．29．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，已知点D 在ABC ∆的边BC 上，联结,AD P 为AD 上一点，过点Р分别作AB AC 、的平行线交BC 于点,,E F 如果3BC EF =，那么AP PD=_______________________．【答案】2 【分析】根据平行线分线段成比例性质可得PD DE DF AD BD CD ==，再由等比性质可得13PD AD =，即可得出2AP PD=． 【详解】解：∵PE∵AB ，PF∵AC ， ∵PD DE AD BD =，PD DF AD CD =．∵DE DF BD CD=． ∵BC ＝3EF ，∵13DE DF EF BD CD BC +==+．∵13PD PD AD AP PD ==+．∵2AP PD=．答案：2． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，掌握平行线分线段成比例性质定理及等比性质是解答此题的关键．30．（2021·上海虹口区·九年级一模）如果:3:2a b =，那么a a b=+________． 【答案】35【分析】设a=3k ，然后用k 表示出b ，最后代入a a b+计算即可． 【详解】解：设a=3k∵:3:2a b =∵3:3:2k b =，即3b=6k ，解得b=2k ∵3333255a k k a b k k k ===++．故答案为35． 【点睛】本题主要考查了比例化简求值，设出中间量、分别表示出a 、b 成为解答本题的关键． 31．（2021·上海嘉定区·九年级一模）正方形的边长与其对角线长的比为________.【答案】1【分析】设正方形的边长为1，计算即得结果.【详解】解：设正方形的边长为1，所以正方形的边长与其对角线长的比为1【点睛】此题主要考查对正方形的性质和线段比的定义的理解及运用．难度不大，属于基础题型． 32．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知线段AB 的长为4厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP <），那么线段AP 的长是______厘米．【答案】6-【分析】根据黄金比值可知AP BP BP AB ==，计算得出结果即可．【详解】解：点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP <），∴12AP BP BP AB ==，可知2BP AB ==（厘米），6AP BP ==-（厘米）故答案为：6-．【点睛】本题考查的是黄金分割比，属于基础题，掌握黄金比值12是解题的关键． 33．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果::CF CA a b =，那么:BE AE 的值为____．（用含a 、b 的式子表示）【答案】a b a- 【分析】过点B 作BH∵AC 交EF 于点H ，先证明∵BDH∵∵CDF ，得出BH=CF ，再根据BE BH AE AF=得出=BE BH CF AE AF AF=即可得解． 【详解】解：过点B 作BH∵AC 交EF 于点H ，∵BE BH AE AF=，∵C=∵DBH, ∵点D 是边BC 的中点，∵BD=CD ，∵∵BDH=∵CDF ，∵∵BDH∵∵CDF ，∵BH=CF ，∵=BE BH CF AE AF AF =， ∵CF a CA b =，∵CF a AF b a =-，∵BE a AE b a=-，故答案为： a b a -．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确作出辅助线．34．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个矩形的两邻边长之比为1：2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为________．【答案】1或0.5或2【分析】根据题意，画出图形，然后分直线l∵AD和直线l∵AB两种情况，然后根据相似图形的性质列出比例式即可分别求出结论．【详解】解：如图所示，矩形ABCD中，AB：AD=1：2.5，∵AD=BC若直线l∵AD，交AB、CD于E、F根据题意和图形可知：矩形AEFD∵矩形BEFC此时这两个小矩形的相似比为AD：BC=1；根据相似图形的性质，两个相似图形中长边必定对应长边，故此时不存在其它情况；若直线l∵AB，交AD、BC于E、F此时存在两种情况：①若矩形ABFE∵矩形DCFE，如下图所示此时这两个小矩形的相似比为AB：DC=1；②若矩形BAEF∵矩形EDCF，如下图所示∵AB AEDE CD=设AB=CD=a，AE=x，则AD=2.5a，DE=2.5a x-∵2.5a xa x a=-解得：x=0.5a或x=2a当x=0.5a时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=0.5a：a=0.5；当x=2a时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=2a：a=2；综上：这两个小矩形的相似比为1或0.5或2．故答案为：1或0.5或2．【点睛】此题考查的是求相似图形的相似比，掌握相似多边形的性质和分类讨论的数学思想是解题关键．35．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果线段a、b满足52ab=，那么a bb-的值等于______．【答案】3 2【分析】根据1a b a b b -=-，再将52a b =代入计算即可． 【详解】解：∵52a b =，∵1a b a b b -=-512=-32=，故答案为：32． 【点睛】本题考查了比例的性质，将a b b-变形为1-a b 是解决本题的关键． 36．（2021·上海宝山区·九年级一模）如果线段AB 的长为2，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较短的线段AP =______．【答案】3【分析】设较短的线段AP x =，则BP AB AP =-，根据黄金分割点的性质列方程并求解，即可得到答案．【详解】设较短的线段AP x =∵AB 的长为2∵2BP AB AP x =-=- ∵BP AP AB BP= ∵222x x x-=- ∵()222x x -=∵3x =+3-32+>，故舍去∵(22310x -=-=≠∵3x =∵较短的线段3AP =3【点睛】本题考查了黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解． 37．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知53x y =，则x y y-＝_____． 【答案】23 【分析】由53x y =得到53x y =，代入式子计算即可. 【详解】∵53x y =，∵53x y =，∵x y y -5233y y y -==，故答案为：23.【点睛】此题考查比例的性质，正确进行变形，熟练掌握和灵活运用相关运算法则是解题的关键.38．（2021·上海虹口区·九年级一模）点P 是线段AB 上的一点，如果2AP BP AB =⋅，那么AP AB的值是________．【分析】设AB=1，AP=x ，则BP=1-x ，代入AP 2=BP·AB 求出x 的值，最后代入AP AB即可． 【详解】解：设AB=1，AP=x ，则BP=1-x ，∵AP 2=BP·AB ∵x 2=（1-x ）·1，即x 2+x -1=0，解得或（舍）∵21APAB ==． 【点睛】本题考查了成比例线段，设出合适的未知数、根据比例列式求出未知数成为解答本题的关键． 39．（2021·上海嘉定区·九年级一模）已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP ＞BP ，那么AP ：AB 的比值为______．【答案】12【分析】根据黄金分割的定义列即可得答案．【详解】∵点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP BP >，∵AP ：． 【点睛】题考查了黄金分割点的应用，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分；理解黄金分割点的定义是解题的关键．40．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知 ()2x 3y y 0=≠，那么x y y+=________． 【答案】52【分析】由已知得出比例式，表示出x ，y ，代入解答即可．【详解】由2x=3y （y≠0），可得：x y ＝32，所以x y y +＝232+＝52，故答案为52 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．三、解答题41．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，且AB=6，BC=8．（1）求DE DF的值； （2）当AD=5，CF=19时，求BE 的长．【答案】（1）37；（2）11 【分析】（1）根据AD //BE //CF 可得DE AB DF AC =，由此计算即可； （2）过点A 作AG //DF 交BE 于点H ，交CF 于点G ，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．【详解】解：（1）∵AD //BE //CF ，∵DE AB DF AC =，∵AB=6，BC=8，∵63687DE DF ==+， 故DE DF 的值为37； （2）如图，过点A 作AG //DF 交BE 于点H ，交CF 于点G ，∵AG //DF ，AD //BE //CF ，∵AD=HE=GF=5，∵CF=19，∵CG=CF -GF=14，∵BE //CF ，∵BH AB CG AC =，∵3147BH =，解得BH=6，∵BE=BH+HE=11． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．42．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．． 【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y 2，化为22310x x y y--=，然后解一元二次方程，即可求解．【详解】解：222xy y x xy +=-，2230x xy y --=．∵0y ≠，∵22310x x y y --=，∵x y =．∵x 、y 表示线段，∵负值不符合题意，∵x y =． 【点睛】本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x 、y 的非负性．43．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知:2:3,:3:4a b b c ==，且26a b c +-=，求,,a b c 的值【答案】4a =，6b =，8c =．【分析】根据比的性质，可得a ，b ，c 用k 表示，根据解方程，可得k 的值，即可得答案．【详解】∵:2:3a b =，:3:4b c =，∵设2a k =，3b k =，4c k =，∵()22346k k k ⋅+-=，整理得：36k =　，解得：2k =，∵24a k ==，36b k ==，48c k ==．【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出2a k =，3b k =，4c k =是解题关键．。

2024届上海市静安区初三一模数学试题及答案

2024届上海市静安区初三一模数学试题及答案

第6题图上海市静安区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列计算正确的是（）.A 010 ；.B 111 ；.C 111 ；.D 111 ．2.下列选项中的两个图形一定相似的是（）.A 两个平行四边形；.B 两个圆；.C 两个菱形；.D 两个等腰三角形．3..A 2．4.在//AC ，//DF AB ，且.A 5.）.A 3个单位；.C 个单位，再向下平移3个单位．6..A .C 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.0.5的倒数是．8.如果35a b （0b ），那么a b．9.已知线段2AB cm ，点P 是AB 的黄金分割点，且AP PB ，那么PB 的长度是cm ．（结果保留根号）10.如果二次函数2y ax bx c 图像对称轴的右侧部分是上升的，那么它的开口方向是．（填“向上”或“向下）11.已知抛物线29y x mx 的顶点在x 轴负半轴上，那么m 的值为．12.在三角形ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知4DE ，6BC ，:2:3AE AC ，那么能否得到//DE BC ？（填“能”或“否”）13.如果两个相似三角形对应边上的高之比是4:9，那么它们的周长之比等于．14.如图，小红沿坡度1:2.4i 的坡面由A 到B 行走了26米，那么小红行走的水平距离AC 米．15.16.在 处，那么DB 17.③31y x ；④y 18.点D 那么19.第20题图如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点 1,0A ，与双曲线my x（0x ）交于点 2,0B ．点 ,2P a 在直线AB 上，过点P 作x 轴的平行线分别交双曲线m y x （0x ）和my x（0x ）于点E 、F ．（1）求m 的值和直线l 的表达式；（2）联结EB 、FA ．求证：//EB FA ．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知AC 是矩形ABCD 的对角线，//DE AC ，DE 交BC 延长线于E ，AE 交DC 于F ，BF 交AC 于G ．（1）求证：点G 是ABE 的重心；（2）如果2BG BC ，求AEB 的正弦值．第21题图第23题图如图，某建筑物AB 高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的C 处（即CE 长为400米）．此时测得建筑物顶部A 的俯角为 ，当乘坐的热气球垂直上升到达D 处后，再次测得建筑物顶部A 的俯角为 ．（参考数据：tan 1.25 ，tan 1.75 ）（1）请在图中标出俯角 、 ，并用计算器求 、 的大小；， ；（精确到1''）（2）求热气球上升的垂直高度（即CD 的长）．23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在ABC 中，AB AC ，D 是BC 中点，点E 在BA 延长线上，点F 在AC 边上，EDF B ．（1）求证：BDE CFD ∽；（2）求证：2DF EF CF ．第22题图第24题图24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知点 2,0A 、 6,0B 、 0,8C 、322,3D在同一个二次函数的图像上．（1）请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；（2）如果射线BE 平分ABC ，交y 轴于点E ，①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段BE 的点F 处，求此时抛物线顶点F 的坐标；②如果点P 在射线BE 上，当PBC 与BOE 相似时，请求点P 的坐标．第25题图1第25题图2备用图25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB ，4AD ，3DC ，7BC ．点P 在射线BA 上，点Q 在射线BC 上（点P 、点Q 均不与点B 重合），且PQ BQ ，联结DQ ，设BP x ，DQC 的面积为y ．（1）如图1所示，求sin B 的值；（2）如图2所示，点Q 在线段BC 上，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当DQC 是等腰三角形时，求BP 的长．第1页共4页2023学年第一学期九年级期终考试数学答案要点及评分标准一、选择题：1．D ；2．B ；3．C ；4．C ；5．A ；6．B ．二、填空题：7．2；8．35；9．53 ；10．向上；11．6；12．否；13．4：9；14．24；15．b a 4121；16．5512；17．①②④；18．a 21．三、解答题：19．解：原式=23322122…………………………（4+1分）=2322221 …………………………（2分）=231=25……………………………………（1+2分）20．(1)∵点B (2，1)在双曲线x m y(x ＞0)上，代入得：21m，∴2 m ；…（2分）又直线l 经过点A (1，0)、B (2，1)，设直线l ：)0( k b kx y ，∴代入得：120b k b k ，解得 11b k ，直线l 的表达式是1 x y ；………………（2分）（2）点P (a ，2)在直线AB 上，∴12 a ，∴3 a ，点P (3，2)，…………（1分）过点P 作x 轴的平行线分别交双曲线x y 2(x ＞0)和xy 2 (x ＜0)于点E 、F ，可知点E 、F 纵坐标为2，分别代入解析式得F （-1，2），E （1，2）∴EP =2，EF =2，∵BP =2)12()23(22 ,BA =2)01()12(22 ,…………（4分）∴BAPBEF PE,∴EB ∥FA ．………………………………（1分）21．证明:（1）∵矩形ABCD ，∴AD ∥BE ，AD =BC ，……………………（1分）又∵DE ∥AC ，∴四边形ADEC 是平行四边形，……………………（1分）∴AD =CE ，∴BC =CE ，……………………（1分）∵四边形ADEC 是平行四边形，∴AF =FE ，……………………（1分）∴AC 、BF 是△ABE 的中线，∴点G 是△ABE 的重心.……………………（1分）（2）解：∵G 是△ABE 的重心，BG =BC =2，∴GF =1，BF =3，……………………（1分）第2页共4页∵矩形ABCD ，∴∠ABC=∠FCB =90°，……………………（1分）∴EF =BF =3，Rt △ECF 中，CE =BC =2，∴5232222CE EF CF ，∴35sin EF CF FEC ，即35sin AEB .………………………………（3分）22．（1）标图（略）…（1分），α≈///0252051，β≈///0181560（2）作AH ⊥DE ，垂足为点H ，由题意得AB 、DE 均垂直于地面，∴ABEH 为矩形则HE =AB =200米，∴CH =400-200=200(米)，…………（1分）Rt △AHC 中，∠CAH=α，,cot CHAH1605420025.11200cotCH AH (米)，………（3分）Rt △AHD 中，∠DAH=β，,tan AH DH 28047160tan AH DH （米），……………………（2分）∴CD =280-200=80(米).答：热气球垂直上升的高度CD 为80米．……………………（1分）23．（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，……………………（2分）∵∠EDC =∠B +∠BED =∠EDF +∠FDC ，……………………（2分）又∵∠EDF =∠B ，∴∠BED =∠FDC ，……………………（1分）∴△BDE ∽△CFD ……………………（1分）（2）∵△BDE ∽△CFD ，∴DC BE DF DE ，……………………（1分）又∵BD =DC ，∴BD BE DF DE ，即BDDF BE DE ，……………………（2分）又∠EDF =∠B ，∴△DFE ∽△BDE ，……………………（1分）∴△DFE ∽△CFD ,∴CFDFDF EF，∴CF EF DF 2.……………………（2分）24.(1)由二次函数的图像过A （－2，0）、B （6，0），可知其对称轴为直线2 x ，又∵D （2，332）在同一个二次函数的图像上，可知抛物线顶点为点D ，设解析式为332)2(2x a y ，将C （0，8）代入得：32a ，…………………（3分）∴解析式为3322-322）（x y ．…………………（1分）（第22题图）AB BADCFE（第23题图）第3页共4页或者)6)(2(32 x x y ，或者838322 x x y ．（2）由（1）得抛物线对称轴为直线2 x ，Rt △BOC 中，OB =6，OC =8，CB =1022 OB OC ，①作EH ⊥BC 于H ，∵BE 平分∠ABC ，EO ⊥OB ，得OE =EH ，设OE =m ，则CE =8-m ，由△BEC 面积一定可知，EH CB OB CE 2121，代入得：m m 106)8( ，∴m =3，即OE =3,∴E （0,3），…………………（2分）设二次函数对称轴交x 轴于点M ，则2163 OB OE MB FM ，2,4 FM MB ，即点F 的纵坐标y =2，又横坐标x =OM =2，∴F （2，2）.…………………（2分）②由△PBC 与Rt △BOE 相似，可知△PBC 为直角三角形，∠EBO =∠CBP ，536322 EB ，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ，∴PN ∥EO ，∴51533 EB EO PB PN ，PB PN 55 ，（i ）当∠BP 1C =90°时，525361 BE OB BC BP ，∴541BP ,411 N P ，Rt △P 1N 1B 中，21tan 11BN P ，∴82111 N P BN ，21 ON ，∴P 1(-2，4).…………………（2分）（ii ）当∠BCP 2=90°，256532 BO BE BC BP ,∴552 BP ，522 N P ，Rt △P 2N 2B 中，21tan 22BN P ，∴102222 N P BN ，42 ON ，∴P 2(-4，5).…………………（2分）综上所述，点P 的坐标为(-2，4)或(-4，5).25.（1）AD //BC ，AB =2，AD =4，DC =3，BC =7．作AE //DC 交BC 于点E ，∴四边形AECD 是平行四边形.则AE =DC =3，BE =BC －AD =3，∴AE =BE ，…………（2分）作EF ⊥AB 于F ，则BF =AF =1，EF =2222BFBE ，∴Rt △BFE 中，322sin BEEF B ;…………………（3分）B第25题图（1）第4页共4页（2）由（1）得，Rt △EFB 中，31cos BEBF B ，∵PQ =BQ ，BP =x ，作QK ⊥AB 于K ，∴BK =x 21，Rt △QKB 中，31cos BQ BK B ，∴x BK BQ 233 ，x QC 237 ，………（2分）作DH ⊥BC 于H ，AG ⊥BC 于G ，Rt △ABG 中，2342322sin B AB AG ，∵AD //BC ，∴234 AG DH ，又∵△DQC 的面积为y ．x x S DQC 22314234)237(21，∴x y 22314，3140( x .…………………（3分）（3）Rt △DHC 中，373247 CH ，97cos DC HC C ，点Q 在线段BC 上，当△DQC 是等腰三角形时，①DC =QC ，3237 x ，38 x ；②DC =DQ ，CH QC 2 ，237237 x ，914x ③DQ =QC ,过Q 点作QI ⊥DC 于I ，DC =2IC ，IC =1.5，Rt △QIC 中，1427cos CIC QC ，1427237 x ，2171x 点Q 在线段BC 延长线上，当△DQC 是等腰三角形时，④∠DCQ 为钝角，仅存在CD =CQ ，320,3723x x ∴综上，当△DQ C 是等腰三角形时，BP 长为38或914或2171或320.……………（4分）B第25题图（2）。

2021年上海市静安区中考数学一模试卷

2021年上海市静安区中考数学一模试卷

上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（每小题 4 分，共 24 分）— 11．（4 分）a 2（a ＞0）等于（ ）A ． aB ．﹣ aC ． a a aD ．﹣ a2．（4 分）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A ．x 2+y 2+2x +2yB ．x 2+y 2+2xy ﹣2C ．x 2﹣y 2+4x +4yD ．x 2﹣y 2+4y ﹣4AD 13．（4 分）在△ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上， = ，要使 DE ∥BC ，还需满足下列条件中的（ ）BD 2 DE 1 DE 1 AE 1 AE 1 A ．BC =2 B ．BC =3 C ． = AC 2 D ．AC =34．（4 分）在 Rt △ABC 中，∠C=90°，如果 AB=m ，∠A=α，那么 AC 的长为（ ）A ．m•sinαB ．m•cosαC ．m•tanαD ．m•cotα5．（4 分）如果锐角α的正弦值为 ，那么下列结论中正确的是（ ）A ．α=30°B ．α=45°C ．30°＜α＜45°D ．45°＜α＜60° 6．（4 分）将抛物线y=ax 2﹣1 平移后与抛物线 y=a （x ﹣1）2 重合，抛物线 y=ax 2 ﹣1 上的点 A （2，3）同时平移到 A′，那么点 A′的坐标为（ ）A ．（3，4）B ．（1，2）C ．（3，2）D ．（1，4）二．填空题（每个小题 4 分，共 48 分）7．（4 分）16 的平方根是 ．x —38．（4 分）如果代数式 x t 2有意义，那么 x 的取值范围为 ．x —ᓀ 29．（4 分）方程 2 + =1 的根为 ．x —1 x —110．（4 分）如果一次函数 y=（m ﹣3）x +m ﹣2 的图象一定经过第三、第四象限，那么常数 m 的取值范围为．11．（4 分）二次函数 y=x 2﹣8x +10 的图象的顶点坐标是．12．（4 分）如果点 A （﹣1，4）、B （m ，4）在抛物线 y=a （x ﹣1）2+h 上，那么 m 的值为．3 313．（4 分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC 与△DEF 相似比为1：4，那么△ABC 与△DEF 的面积比为．14．（4 分）在△ABC 中，如果AB=AC=10，cosB=距离为．4，那么△ABC 的重心到底边的ᓀ15．（4 分）已知平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，DE 与AC 相交于点‹‹‹‹‹‹‹F，设AB=a，BC=b，那么FD= （用a，b的式子表示）16．（4 分）在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE 的周长为．17．（4 分）如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，DE∥BC，∠BDC= ∠CED，如果DE=4，CD=6，那么AD：AE 等于．18．（4 分）一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=2（如图），将它3折叠使直角顶点C 与斜边AB 的中点重合，那么折痕的长为．三、解答题（共78 分）c݋s30°t s l i4ᓀ°19．（10 分）计算：．t a i݋0°—c݋t4ᓀ°20．（10 分）解方程组：x2 —x䁞t 2x䁦 0．x2 —݋x䁞t 组䁞2 䁦 421．（10 分）已知：如图，第一象限内的点A，B 在反比例函数的图象上，点C2在y 轴上，BC∥x 轴，点A 的坐标为（2，4），且cot∠ACB=3求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C 的坐标；（3）∠ABC 的余弦值．22．（10 分）将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB 与底板OA 夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC 后，电脑转到A O′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB 平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）23．（12 分）已知：如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，BC 上，BA•BD=BC•BE （1）求证：DE•AB=AC•BE；（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．24．（12 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+4 与x 轴的正半轴相交于点A，与y 轴相交于点B，点C 在线段OA 上，点D 在此抛物线上，CD ⊥x 轴，且∠DCB=∠DAB，AB 与CD 相交于点E．（1）求证：△BDE∽△CAE；（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．25．（14 分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AC 与BD 相交于点O，AC=BC，1点E 在DC 的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC= ．3（1）求证：BC2=CD•BE；（2）设AD=x，CE=y，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△DBC∽△DEB，求CE 的长．a2017 年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 24 分）— 11．（4 分）a 2（a ＞0）等于（ ）A ． aB ．﹣ aC ． a a aD ．﹣ a【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，分数指数幂，可得答案．【解答】解：a 故选：C ．— 1 112= 1= a 2= a ，2．（4 分）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）A ．x 2+y 2+2x +2yB ．x 2+y 2+2xy ﹣2C ．x 2﹣y 2+4x +4yD ．x 2﹣y 2+4y ﹣4 【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可． 【 解 答 】 解 ：A 、 原 式 不 能 分 解 ； B 、原式=（x +y ）2﹣2=（x +y + 2）（x +y ﹣ 2）； C 、原式=（x +y ）（x ﹣y ）+4（x +y ）=（x +y ）（x ﹣y +4）； D 、原式=x 2﹣（y ﹣2）2=（x +y ﹣2）（x ﹣y +2），故选：A ．AD 1 3．（4 分）在△ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上， = ，要使 DE ∥BC ，还需满足下列条件中的（ ）BD 2 DE 1 DE 1 AE 1 AE 1 A ．BC =2 B ．BC =3 C ． = AC 2 D ．AC =3【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE ∽△ABC ，根据相似推出∠ADE=∠B ，根据平行线的判定得出即可a3 2 3【解答】解： 只有选项 D 正确，AE 1理由是：∵AD=2，BD=4， = ，AC 3AD AE 1 ∴AB =AC = ， ∵∠DAE=∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴∠ADE=∠B ， ∴DE ∥BC ，根据选项 A 、B 、C 的条件都不能推出 DE ∥BC ， 故选：D ．4．（4 分）在 Rt △ABC 中，∠C=90°，如果 AB=m ，∠A=α，那么 AC 的长为（ ）A ．m•sinαB ．m•cosαC ．m•tanαD ．m•cotα 【分析】根据余角函数是邻边比斜边，可得答案． 【解答】解：由题意，得AC cosA= ，ABAC=AB•cosA=m•cosα， 故选：B ．5．（4 分）如果锐角α的正弦值为 ，那么下列结论中正确的是（）A ．α=30°B ．α=45°C ．30°＜α＜45°D ．45°＜α＜60°【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．1【解答】解：由 ＜ ＜ ，得2 3 230°＜α＜45°， 故选：C ．336．（4 分）将抛物线y=ax2﹣1 平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1 上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（）A．（3，4）B．（1，2）C．（3，2）D．（1，4）【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点 A 的平移规律，易得点A′的坐标．【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣1 的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线y=a（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0），∴将抛物线y=ax2﹣1 向右平移1 个单位，再向上平移 1 个单位得到抛物线y=a （x﹣1）2，∴将点A（2，3）向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位得到点A′的坐标为（3，4），故选：A．二．填空题（每个小题 4 分，共48 分）7．（4 分）16 的平方根是±4 ．【分析】根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x 就是a 的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2=16，∴16 的平方根是±4．故答案为：±4．8．（4 x—3x 的取值范围为x＞﹣2 ．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x+2＞0，解得，x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．9．（4 分）方程x—ᓀ 22 + =1 的根为x=2 ．x —1 x—1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣5+2x+2=x2﹣1，整理得：x2﹣3x+2=0，即（x﹣2）（x﹣1）=0，解得：x=1 或x=2，经检验x=1 是增根，分式方程的解为x=2，故答案为：x=210．（4 分）如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2 的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m 的取值范围为m＜2 ．【分析】根据一次函数的性质，一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2 的图象一定经过第三、第四象限，那么图象一定与y 轴的负半轴有交点，即可解答．【解答】解：∵一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2 的图象一定经过第三、第四象限，∴图象一定与y 轴的负半轴有交点，∴m﹣2＜0，∴m＜2，故答案为：m＜2．11．（4 分）二次函数y=x2﹣8x+10 的图象的顶点坐标是（4，﹣6）．【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标．【解答】解：∵y=2x2﹣8x+10=2（x﹣4）2﹣6，∴顶点坐标为（4，﹣6），故答案为：（4，﹣6）．12．（4 分）如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h 上，那么m 的值为 3 ．【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．【解答】解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h 上，得（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1 对称，3 m ﹣1=1﹣（﹣1），解得 m=3， 故答案为：3．13．（4 分）如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF 相似比为 1：4，那么△ABC 与△DEF 的面积比为 1：16 ．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF 相似比为 1：4，1∴△ABC 与△DEF 的面积比=（ ）2=1：16．4故答案为：1：16．14．（4 分）在△ABC 中，如果 AB=AC=10，cosB= 距离为 2 ．4，那么△ABC 的重心到底边的ᓀ【分析】根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在 BC 边的高上．根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍，求得 G 到 BC 的距离． 【解答】解：∵AB=AC=10， ∴△ABC 是等腰三角形∴三角形的重心 G 在 BC 边的高4∵cosB= ，ᓀ ∴在 BC 边的高=6， 根据三角形的重心性质 ∴G 到 BC 的距离是 2． 故答案为：215．（4 分）已知平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，DE 与 AC 相交于点‹ ‹ ‹ ‹‹ 1 ‹ 2 ‹ ‹ ‹ F ，设AB =a ，BC =b ，那么FD = b ﹣ 3a （用a ，b 的式子表示）3【分析】根据平行四边形的性质及中点的定义得 BC ∥AD 、BC=AD=2EC ，再证△AF 2 ‹ ‹ ‹ ‹ 2 ‹ ‹ 2 ‹‹ ADF ∽△CEF 得 = ，根据FD =AD — AF =AD ﹣ AC =AD ﹣ （AB t AD ）可得答案．AC 3 3 3【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 BC 的中点， ∴BC ∥AD ，BC=AD=2EC ，‹‹‹∴△ADF ∽△CEF ，BC 䁦 AD 䁦 b ， AF AD∴CF =EC =2， AF 2 则 = ， AC 3‹‹‹∴FD =AD — AF‹2 ‹=AD ﹣ AC3‹ 2 ‹ ‹ =AD ﹣ （AB t AD ）3 ‹ 2 ‹ ‹ =b ﹣ （a +b ）3 1 ‹ 2 ‹ = b ﹣ a ， 31 ‹2 ‹故答案为： 3 b ﹣ a ．316．（4 分）在△ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，△ADE ∽△ABC ，如果4ᓀAB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE 的周长为 4．【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出 DE 及 AE 的长，进而可得出结论．【解答】解：如图，∵△ADE ∽△ABC ， AD DE AE 3 DE AE 1ᓀ 组 ∴ = = ，即 = = ，解得 DE= ，AE= ， AB BC AC 4 ᓀ ݋ 4 2组 1ᓀ 4ᓀ∴△ADE 的周长=AD +AE +DE=3+ + = ；2 4 44ᓀ故答案为： 4．17．（4 分）如图，在△ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，DE ∥BC ，∠BDC= ∠CED ，如果 DE=4，CD=6，那么 AD ：AE等于3：2 ．【分析】由 DE ∥BC ，推出∠EDC=∠BCD ， AD BD AE = EC，由△BDC ∽△CED ，推出BD DC CE =DE ݋ 3= = ，由此即可解决问题． 4 2【解答】解：∵DE ∥BC ，AD BD ∴∠EDC=∠BCD ， ∵∠BDC=∠DEC ， AE =EC∴△BDC ∽△CED ，BD DC ݋ 3 ∴CE =DE = = ， 4 2 AD 3 ∴ = ． AE 2故答案为 3：2．18．（4 分）一张直角三角形纸片 ABC ，∠C=90°，AB=24，tanB= 2（如图），将它 3折叠使直角顶点 C 与斜边 AB 的中点重合，那么折痕的长为 13 ．【分析】根据直角三角形的性质求出CD，得到∠DCB=∠B，根据垂直的定义、等量代换得到∠OEC=∠B，根据正切的定义、勾股定理计算即可．【解答】解：∵CD 是斜边AB 上的中线，1∴DC=DB= AB=12，2∴∠DCB=∠B，由题意得，EF 是CD 的垂直平分线，∴∠OEC+∠OCE=90°，又∠DCB+∠OCE=90°，∴∠OEC=∠B，设CF=2x，则CE=3x，由勾股定理得，EF= 13x，1×2x×3x=1× 13x×6，2 2解得，x= 13，∴EF= 13× 13=13，故答案为：13．三、解答题（共78 分）c݋s30°t s l i4ᓀ°19．（10 分）计算：．t a i݋0°—c݋t4ᓀ°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．3t 2【解答】解：原式=2 23—13t݋t 3t 243 3= ．20．（10 分）解方程组：x2 —x䁞t 2x䁦 0．x2 —݋x䁞t 组䁞2 䁦 4【分析】由②得出x﹣3y=±2，由①得出x（x﹣y+2）=0，组成四个方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：x2 —x䁞t 2x 䁦0Ⓢx2 —݋x䁞t 组䁞2 䁦4Ⓢ由②得：（x﹣3y）2=4，x﹣3y=±2，由①得：x（x﹣y+2）=0，x=0，x﹣y+2=0，原方程组可以化为：x 䁦 0，x 䁦 0，x —䁞t 2 䁦 0，x —䁞t 2 䁦 0，x — 3䁞䁦 2 x — 3䁞䁦—2x — 3䁞䁦 2 x — 3䁞䁦— 2 解得，原方程组的解为：x1 䁦 0，x2 䁦 0，x3 䁦— 4，x4 䁦— 2．䁞1 䁦—2 䁞2 䁦2 䁞3䁦— 2 䁞4䁦 021．（10 分）已知：如图，第一象限内的点A，B 在反比例函数的图象上，点C2在y 轴上，BC∥x 轴，点A 的坐标为（2，4），且cot∠ACB=3求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C 的坐标；（3）∠ABC 的余弦值．【分析】（1）待定系数法求解可得；( 3t 2)( 3t1)=2( 3—1)( 3t1)3 ᓀ2 ᓀ2（2）作AE⊥x 轴于点E，AE 与BC 交于点F，则CF=2，根据cot∠ACB=3= AF=3，即可知EF，从而得出答案；CF AF得（3）先求出点 B 的坐标．继而由勾股定理得出AB 的长，最后由三角函数可得答案．k【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y=x，将点A（2，4）代入，得：k=8，8∴反比例函数的解析式y=x；（2）过点 A 作AE⊥x 轴于点E，AE 与BC 交于点F，则CF=2，2CF∵cot∠ACB= = ，3AF∴AF=3，∴EF=1，∴点C 的坐标为（0，1）；8（3）当y=1 时，由1=x可得x=8，∴点B 的坐标为（8，1），∴BF=BC﹣CF=6，∴AB= BF2 t AF2=3 ᓀ，BF ݋∴cos∠ABC= = = ．AB ᓀ22．（10 分）将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB 与底板OA 夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到A O′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB 平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，过B 作BD⊥AO 交AO 的延长线于D，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图4，过O′作EF∥OB 交AC 于E，根据平行线的性质得到∠FEA=∠BOA=115°，于是得到结论．【解答】解：（1）∵B′O′⊥OA，垂足为C，∠A O′B=115°，∴∠AO′C=65°，O'C，∵cos∠CO′A=O'A∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°=8.46≈8.5（cm）；（2）如图2，过 B 作BD⊥AO 交AO 的延长线于D，∵∠AOB=115°，∴∠BOD=65°，BD，∵sin∠BOD=OB∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12，∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3（cm），∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm；D（3）如图 4，过 O′作 EF ∥OB 交 AC 于 E ， ∴∠FEA=∠BOA=115°，∠FO′B′=∠EO′C=∠FEA ﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°， ∴显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 25 度．23．（12 分）已知：如图，在△ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，BC 上，BA •BD=BC •BE （1）求证：DE•AB=AC•BE ；（2）如果 AC 2=AD•AB ，求证：AE=AC ．A B 䁦BE ，结合∠B=∠B ，证△ABC ∽△EBD 得A B䁦【分析】（1）由BA •BD=BC •BE 得B CB D BEAC，即可得证； EDAB BE（2）先根据 AC 2=AD•AB 证△ADC ∽△ACB 得∠ACD=∠B ，再由BC 䁦 证△BAE BD∽△BCD 得∠BAE=∠BCD ，根据∠AEC=∠B +∠BAE ，∠ACE=∠ACD +∠BCD 可得∠ AEC=∠ACE ，即可得证．【解答】证明：（1）∵B A•BD=BC •BE ，AB 䁦 BE∴BC B，又∵∠B=∠B ， ∴△ABC ∽△EBD ， AB 䁦 AC∴ ， BE ED∴DE•AB=AC•BE ；（2）∵AC 2=AD•AB ， ∴AC 䁦AB AD AC ，∵∠DAC=∠CAB ， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴∠ACD=∠B ， AB 䁦BE∵BC ，∠B=∠B ， BD∴△BAE ∽△BCD ， ∴∠BAE=∠BCD ，∵∠AEC=∠B +∠BAE ，∠ACE=∠ACD +∠BCD ， ∴∠AEC=∠ACE ， ∴AE=AC ．24．（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax 2+bx +4 与 x 轴的正半轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B ，点 C 在线段 OA 上，点 D 在此抛物线上，CD ⊥x 轴，且∠DCB=∠DAB ，AB 与 CD 相交于点 E ． （1）求证：△BDE ∽△CAE ；（2）已知 OC=2，tan ∠DAC=3，求此抛物线的表达式．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA，根据相似三角形BE DE 的性质定理得到 EC = E A ，根据相似三角形的判定定理证明即可；（2）设 AC=m ，根据正切的定义得到 DC=3m ，根据相似三角形的性质得到∠DBA= ∠DCA=90°，根据勾股定理列出算式，求出 m 的值，利用待定系数法求出抛物线的解析式．【解答】（1）证明：∵∠DCB=∠DAB ，∠BEC=∠DEA ， ∴△BEC ∽△DEA ，BE DE∴EC =EA，又∠BED=∠CEA ， ∴△BDE ∽△CAE ；（2）解：∵抛物线 y=ax 2+bx +4 与 y 轴相交于点 B ， ∴点 B 的坐标为（0，4），即 OB=4， ∵tan ∠DAC=3， DC∴AC=3， 设 AC=m ，则 DC=3m ，OA=m +2，则点 A 的坐标为（m +2，0），点 D 的坐标为（2，3m ）， ∵△BDE ∽△CAE ， ∴∠DBA=∠DCA=90°，∴BD 2+BA 2=AD 2，即 22+（3m ﹣4）2+（m +2）2+42=m 2+（3m ）2， 解得，m=2，则点 A 的坐标为（4，0），点 D 的坐标为（2，6）， ∴ 1݋a t 4b t 4 䁦 0，4a t 2b t 4 䁦 ݋ 解得， a 䁦— 1，b 䁦 3∴抛物线的表达式为 y=﹣x 2+3x +4．25．（14 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与 BD 相交于点 O ，AC=BC ，1点 E 在 DC 的延长线上，∠BEC=∠ACB ，已知 BC=9，cos ∠ABC= ．3（1）求证：BC 2=CD•BE ；（2）设 AD=x ，CE=y ，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△DBC∽△DEB，求CE 的长．DC 【分析】（1）只要证明△DAC∽△CEB，得到CB 证明．AC=BE，再根据题意AC=BC，即可（2）过点C 作CF⊥AB 于F，AG⊥BC 于G，DH⊥BC 于H．由△CEB∽△DAC，得CE BC= ，由此即可解决问题．AD CD（3）首先证明四边形ABCD 是等腰梯形，再证明△ABG≌△DCH，推出CH=BG=2，推出x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5，再利用（2）中即可即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠DCB=∠ACD+∠ACB，∠DCB=∠EBC+∠BEC，∠ACB=∠BEC，∴∠ACD=∠EBC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=∠CEB，∴△DAC∽△CEB，DC AC∴= ，CB BE∴BC•AC=CD•BE，∵AC=BC，∴BC2=CD•BE．（2）过点 C 作CF⊥AB 于F，AG⊥BC 于G，DH⊥BC 于H．1在Rt△CBF 中，BF=BC•cos∠ABC=9× =3，3∴AB=6，1在Rt△ABG 中，BG=AB•cos∠ABC=6× =2，3∵AD∥BC，DH=AG，组x x 2—14x t 81 x 2—14x t 81 O ∴DH 2=AG 2=AB 2﹣BG 2=62﹣22=32， ∵AG ∥DH ，∴GH=AD=x ，∴CH=BC ﹣BG ﹣GH=7﹣x ，∴CD= CH 2 t DH 2= (t — x)2 t 32= x 2 — 14x t 81， ∵△CEB ∽△DAC ，CE BC ∴ = ， AD CD䁞 组 ∴x =∴组x∴y= （x ＞0 且 x ≠9）．（3）∵△DBC ∽△DEB ，∴∠DBC=∠DEB ， ∵∠DEB=∠BEC=∠ACB ，∴∠DBC=∠ACB ，∴OB=OC ，∵AD ∥BC ，AC BD∴ C =OB， ∴AC=BD ，∴四边形 ABCD 是等腰梯形，∴AB=CD ，∠ABC=∠DCB ，∵∠AGB=∠DHC=90°，∴△ABG ≌△DCH ，∴CH=BG=2，∴x=GH=BC ﹣BG ﹣CH=9﹣2﹣2=5．1ᓀ∴CE=y= 2．。

2021年上海市静安区中考数学一模试卷

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2 232C ．2x +3=0D ． 2021 年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4 分）化简（﹣a 2）•a 5 所得的结果是（ ）A ．a 7B ．﹣a 7C ．a 10D ．﹣a 102．（4 分）下列方程中，有实数根的是（ ）A ． x u l + l h 0B ．x + l h l 42 hu lx xul3．（4 分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC 和 BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA=3OC ，OB=3OD ），然后张开两脚，使 A ，B 两个尖端分别在线段 a 的两个端点上，当 CD=1.8cm 时，则 AB 的长为（ ）A ．7.2 cmB ．5.4 cmC ．3.6 cmD ．0.6 cm 4．（4 分）下列判断错误的是（ ）˙˙˙˙A ．如果 k=0 或a h 0，那么 ka h 0 ˙˙˙˙B ．设 m 为实数，则 mta + b) h ma + mbC ．如果a ˙" e ˙，那么a ˙h t a ˙ t e ˙‹‹‹D ．在平行四边形 ABCD 中，AD u At h tDl 5．（4 分）在 Rt △ABC 中，∠C=90°，如果 sinA= ，那么 sinB 的值是（ ）3A ．B ．2 2C ． 4D ．36．（4 分）将抛物线 y 1=x 2﹣2x ﹣3 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，与抛物线 y 2=ax 2+bx +c 重合，现有一直线 y 3=2x +3 与抛物线 y 2=ax 2+bx +c 相交，当 y 2≤y 3 时，利用图象写出此时 x 的取值范围是（）3A．x≤﹣1 B．x≥3C．﹣1≤x≤3 D．x≥0二、填空题：（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）a c l a+c7．（4 分）已知bhdh，则的值是．8．（4 分）已知线段AB 长是2 厘米，P 是线段AB 上的一点，且满足AP2=AB•BP，那么AP 长为厘米．9．（4 分）已知△ABC 的三边长是2、6、2，△DEF 的两边长分别是1 和3，如果△ABC 与△DEF 相似，那么△DEF 的第三边长应该是．10．（4 分）如果一个反比例函数图象与正比例函数y=2x 图象有一个公共点A（1，a），那么这个反比例函数的解析式是．11．（4 分）如果抛物线y=ax2+bx+c（其中a、b、c 是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是上升的，那么a0．（填“＜”或“＞”）12．（4 分）将抛物线y=（x+m）2向右平移2 个单位后，对称轴是y 轴，那么m 的值是．13．（4 分）如图，斜坡AB 的坡度是1：4，如果从点B 测得离地面的铅垂线高度BC 是6 米，那么斜坡AB′的长度是米．14．（4 分）在等腰△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=8，点G 是重心，联结BG，那么∠CBG 的余切值是．15．（4 分）如图，△ABC 中，点D 在边AC 上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB= ．16．（4 分）已知梯形ABCD，AD∥BC，点E 和点F 分别在两腰AB 和DC 上，且‹‹‹‹EF 是梯形的中位线，AD=3，BC=4．设A D h a，那么向量E t=．（用向量a 表示）b+d+17．（4 分）如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BC=6，直线 MN ∥BC ，且分别交边 AB ，AC 于点 M 、N ，已知直线 MN 将△ABC 分为面积相等的两部分．如果将线段 AM 绕着点 A 旋转，使点 M 落在边 BC 上的点 D 处，那么 BD=．18．（4 分）如图，矩形纸片 ABCD ，AD=4，AB=3，如果点 E 在边 BC 上，将纸片沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处，联结 FC ，当△EFC 是直角三角形时，那么 BE 的长为．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）3c t h 45° l19．（10 分）计算： ﹣tan60°×sin60°． c t s 30° 2c t s 60°+l20．（10 分）解方程组： x + h h 5Ⓢ．tx u h)2 u 2tx u h) u 3 h 0Ⓢ21．（10 分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点 A （1， 3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴的交点是 C 点，求△ABC 的面积．22．（10 分）如图，在一条河的北岸有两个目标 M 、N ，现在位于它的对岸设定两个观测点 A 、B ．已知 AB ∥MN ，在 A 点测得∠MAB=60°，在 B 点测得∠MBA=45°， AB=600 米．（1）求点 M 到 AB 的距离；（结果保留根号）（2）在B 点又测得∠NBA=53°，求MN 的长．（结果精确到1 米）（参考数据：3≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）23．（12 分）已知：如图，梯形ABCD 中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点E 是腰AD 上一点，作∠EBC=45°，联结CE，交DB 于点F．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）如果tCh5S OtCE的值．tD，求6 S OtDA24．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y=ax2+bx﹣点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求此抛物线顶点 C 的坐标；5，经过3（2）联结AC 交y 轴于点D，联结BD、BC，过点C 作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x 轴于G，联结HG，求HG 的长．25．（14 分）已知：如图，四边形ABCD 中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC 平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G，交线段AD 的延长线于点F（点F 可与点D 重合），∠AFB=∠ACB，设AB 长度是a（a 是常数，且a＞0），AC=x，AF=y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE 是等腰三角形时，求AC 的长（计算结果用含a 的代数式表示）C ．2x +3=0D ． 2018 年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4 分）化简（﹣a 2）•a 5 所得的结果是（ ）A ．a 7B ．﹣a 7C ．a 10D ．﹣a 10【分析】根据同底数幂的乘法计算即可． 【解答】解：（﹣a 2）•a 5=﹣a 7，故选：B ．2．（4 分）下列方程中，有实数根的是（ ）A ． x u l + l h 0B ．x + l h l 42 hu lx 【分析】A 、移项根据二次根式的性质即可判断； B 、去分母后，化为整式方程即可判断； C 、根据乘方的意义即可判断； D 、去分母化为整式方程即可判断；xul【解答】解：A 、由题意 x u l =﹣1＜0，方程没有实数根； B 、去分母得到：x 2﹣x +1=0，△＜0，没有实数根；3C 、由题意 x 4=﹣ ＜0，没有实数根，2 D 、去分母得到：x=﹣1，有实数根， 故选：D ．3．（4 分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC 和 BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA=3OC ，OB=3OD ），然后张开两脚，使 A ，B 两个尖端分别在线段 a 的两个端点上，当 CD=1.8cm 时，则 AB 的长为（ ）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD，∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD，OA At 3∴= = ，OC CD l∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．故选：B．4．（4 分）下列判断错误的是（）˙˙˙˙A．如果k=0 或a h 0，那么ka h 0˙˙˙˙B．设m 为实数，则mta + b) h ma + mbC．如果a˙" e˙，那么a˙h t a˙t e˙‹‹‹D．在平行四边形ABCD 中，AD u At h tD【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可．˙˙˙˙【解答】解：A、如果k=0 或a h 0，那么ka h 0，正确；˙˙˙˙B、设m 为实数，则mta + b) h ma + mb，正确；C、如果a˙" e˙，那么‹a h‹e或‹a + ‹e h 0，错误；‹‹‹D、在平行四边形ABCD 中，AD u At h tD，正确；故选：C．2 2 323 b+dl5．（4 分）在 Rt △ABC 中，∠C=90°，如果 sinA= ，那么 sinB 的值是（）3A ．B ．2 2C ． 4D ．3【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．l【解答】解：∵Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA= ，3 ∴cosA= l u sin 2A = l u t l)2=2 23 3， ∴∠A +∠B=90°， 2 2∴sinB=cosA= 3．故选：A ．6．（4 分）将抛物线 y 1=x 2﹣2x ﹣3 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，与抛物线 y 2=ax 2+bx +c 重合，现有一直线 y 3=2x +3 与抛物线 y 2=ax 2+bx +c 相交，当 y 2≤y 3 时，利用图象写出此时 x 的取值范围是（ ）A ．x ≤﹣1B ．x ≥3C ．﹣1≤x ≤3D ．x ≥0【分析】先利用配方法得到抛物线 y 1=x 2﹣2x ﹣3 的顶点坐标为（1，﹣4），再利用抛物线的变换规律得到平移后的抛物线解析式为 y=x 2 ， 然后解方程组 h h 2x + 3得 x hu l 或 x h 3，然后利用函数图象写出一次函数图象在抛物线h h x 2 h h l h h 9 y=x 2 上方（含交点）所对应的自变量的范围即可．【解答】解：y 1=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，则它的顶点坐标为（1，﹣4）， 所以抛物线 y 1=x 2﹣2x ﹣3 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后的解析式为 y=x 2， 解方程组 h h 2x + 3得 x hu l 或 x h 3， h h x2 所以当﹣1≤x ≤3． 故选：C ．h h l h h 9二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）a c l a+c l7．（4 分）已知b h d h ，则 的值是 3 ．2b b ac l a a+c【分析】根据等比性质：b h d h 【解答】解：由等比性质，得 ⇒ =b+d，可得答案．a+c b+d a l= = ， 3l故答案为： ．38．（4 分）已知线段 AB 长是 2 厘米，P 是线段 AB 上的一点，且满足 AP 2=AB •BP ，那么 AP 长为 （ 5﹣1） 厘米．【分析】根据黄金分割点的定义，知 AP 是较长线段，得出 AP= 据即可得出 AP 的长．【解答】解：∵P 是线段 AB 上的一点，且满足 AP 2=AB•BP ， ∴P 为线段 AB 的黄金分割点，且 AP 是较长线段，5u l 2AB ，代入数∴AP= 5u l 2 AB=2× 5u l2=（ 5﹣1）厘米．故答案为（ 5﹣1）．9．（4 分）已知△ABC 的三边长是 2、 6、2，△DEF 的两边长分别是 1 和 3，如果△ABC 与△DEF 相似，那么△DEF 的第三边长应该是 2 ．【分析】设第三边为 x ，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【解答】解：设第三边为 x ， ∵ 2： 6=1： 3，∵ 2与 1 是对应边， 6与 3是对应边， ∵△ABC 与△DEF 相似，x 3 l ∴ = 6= ， 2 解得 x= 2，即△DEF 的第三边应该是 2． 故答案为： 2．310．（4 分）如果一个反比例函数图象与正比例函数 y=2x 图象有一个公共点 A （1，2a ），那么这个反比例函数的解析式是 y=x．【分析】根据题意可以求得点 A 的坐标，再将点 A 的坐标代入反比例函数解析式即可解答本题．【解答】解：将 x=1 代入 y=2x ，得 y=2， ∴点 A （1，2），k 设反比例函数解析式为 y= ，x∵一个反比例函数图象与正比例函数 y=2x 图象有一个公共点 A （1，2），k ∴2= ．l解得，k=2，2即反比例函数解析式为 y=x，2故答案为：y=x．11．（4 分）如果抛物线 y=ax 2+bx +c （其中 a 、b 、c 是常数，且 a ≠0）在对称轴左侧的部分是上升的，那么 a ＜ 0．（填“＜”或“＞”）【分析】由抛物线在对称轴左侧的部分是上升的可得出抛物线开口向下，进而即可得出 a ＜0，此题得解．【解答】解：∵抛物线 y=ax 2+bx +c 在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴a ＜0． 故答案为：＜．12．（4 分）将抛物线 y=（x +m ）2 向右平移 2 个单位后，对称轴是 y 轴，那么 m 的值是 2 ．【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”填空．【解答】解：将抛物线 y=（x +m ）2 向右平移 2 个单位后，得到抛物线解析式为 y=（x +m ﹣2）2．其对称轴为：x=2﹣m=0， 解得 m=2．tD 2 +D G 2 42 + l 2 4故答案是：2．13．（4 分）如图，斜坡 AB 的坡度是 1：4，如果从点 B 测得离地面的铅垂线高度 BC 是 6 米，那么斜坡 A B′的长度是 6 l 7 米．【分析】先利用坡度的定义，求出水平宽度 AC 的长，再利用勾股定理得出斜坡 AB 的长度．【解答】解：∵斜坡 AB 的坡度 i=1：4， tC l ∴AC = ， ∵从点 B 测得离地面的铅垂线高度 BC 是 6 米， 6 l ∴ = ， AC 4解得：AC=24，则斜坡 AB 的长为： A C 2 + t C 2= 242 + 62=6 l 7（米）．故答案为 6 l 7．14．（4 分）在等腰△ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=8，点 G 是重心，联结 BG ，那么∠CBG 的余切值是 4 ．【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出 AD 的长，再利用重心的性质即可求出 GA 的长，进而得出 DG 的长，利用勾股定理和三角函数解答即可．【解答】解：：∵AB=AC=5，BC=8，点 G 为重心，l l∴AD ⊥BC ，BD=CD= BC= ×8=4，2 2 ∴AD= A C 2 u C D 2= 25 u l 6=3， ∴GA=2， ∴DG=1，∴BG= h h l 7，tD 4∴∠CBG 的余切值= = =4，DG l故答案为：415．（4 分）如图，△ABC 中，点 D 在边 AC 上，∠ABD=∠C ，AD=9，DC=7，那么 AB= 12 ．【分析】由∠ ABD= ∠ C 、∠ BAD= ∠ CAB 证△ ABD ∽ △ ACB ， 得At h AD ， 即AC AtAB 2=AC•AD ，据此可得．【解答】解：∵∠ABD=∠C 、∠BAD=∠CAB ， ∴△ABD ∽△ACB ， At AD ∴AC h At，即 AB 2=AC•AD ， ∵AD=9，DC=7 ∴AC=16， ∴AB=12， 故答案为：1216．（4 分）已知梯形 ABCD ，AD ∥BC ，点 E 和点 F 分别在两腰 AB 和 DC 上，且‹ ‹ ‹ 7 ‹ ‹EF 是梯形的中位线，AD=3，BC=4．设A D h a ，那么向量E t = 6a ．（用向量a表示）【分析】利用梯形的中位线定理即可解决问题； 【解答】解：∵EF 是梯形的中位线，l∴EF= （AD +BC ），23 2 2 3 2 2 ‹ ‹∵AD ：BC=3：4，AD =a ，4∴BC= AD ，3‹ l ‹ ‹l ‹ 4 ‹ 7 ‹ ∴Et = （AD +tC ）= （a + a ）= a ．2 23 6 7 ˙故答案为 a617．（4 分）如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BC=6，直线 MN ∥BC ，且分别交边 AB ，AC 于点 M 、N ，已知直线 MN 将△ABC 分为面积相等的两部分．如果将线段 AM 绕着点 A 旋转，使点 M 落在边 BC 上的点 D 处，那么 BD= 3 ．【分析】依据直线 MN ∥BC ，可得△AMN ∽△ABC ，再根据直线 MN 将△ABC 分A t 为面积相等的两部分，即可得到 S △AMN ：S △ABC =1：2，进而得出 =l2，解得 AM=3，过 A 作 AD ⊥BC 于 D ，则 AD= BC=3，故将线段 AM 绕着点 A 逆时针旋转 45°，可2l以使点 M 落在边 BC 上的点 D 处，此时 BD= BC=3．2【解答】解：∵△ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BC=6， ∴AB=cos45°×BC=3 2， ∵直线 MN ∥BC ， ∴△AMN ∽△ABC ，∵直线 MN 将△ABC 分为面积相等的两部分， ∴S △AMN ：S △ABC =1：2，A t l ∴ At = 2= A t ，即 = 2 ，解得 AM=3，l如图，过 A 作 AD ⊥BC 于 D ，则 AD= BC=3，222∴将线段AM 绕着点A 逆时针旋转45°，可以使点M 落在边BC 上的点 D 处，l此时，BD= BC=3．2故答案为：3．18．（4 分）如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E 在边BC 上，将纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，联结FC，当△EFC 是直角三角形时，那么BE 的长为 1.5 或3 ．【分析】分两种情况：①当∠EFC=90°时，先判断出点F 在对角线AC 上，利用勾股定理列式求出AC，设BE=x，表示出CE，根据翻折变换的性质可得AF=AB，EF=BE，然后在Rt△CEF 中，利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF=90°时，判断出四边形ABEF 是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE=AB．【解答】解：分两种情况：①当∠EFC=90°时，如图1，∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点A、F、C 共线，∵矩形ABCD 的边AD=4，∴BC=AD=4，在Rt△ABC 中，AC= At2 + tC2= 32 + 42=5，设BE=x，则CE=BC﹣BE=4﹣x，由翻折的性质得，AF=AB=3，EF=BE=x，+﹣ × 2∴CF=AC ﹣AF=5﹣3=2， 在 Rt △CEF 中，EF 2+CF 2=CE 2， 即 x 2+22=（4﹣x ）2， 解得 x=1.5， 即 BE=1.5；②当∠CEF=90°时，如图 2，l由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF= ×90°=45°，2∴四边形 ABEF 是正方形，∴BE=AB=3，综上所述，BE 的长为 1.5 或 3． 故答案为：1.5 或 3．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）3c t h 45° l19．（10 分）计算： ﹣tan60°×sin60°． c t s 30° 2c t s 60°+l【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式= 3×l + l 3 33 2×l +l 22l 3=2+ ﹣ 2 2 =1．20．（10 分）解方程组： x + h h 5Ⓢ．tx u h)2 u 2tx u h) u 3 h 0Ⓢ 【分析】利用②式求出 x ﹣y 即可解决问题． 【解答】解：由②得：（x ﹣y ﹣3）（x ﹣y +1）=0∴x ﹣y=3 或 x ﹣y=﹣1 ∴ x + h h 5或 x + h h 5 x u h h 3 x u h h 3 ∴ x l h 4或 x 2 h 2． h l h l h 2 h 321．（10 分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点 A （1， 3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴的交点是 C 点，求△ABC 的面积．【分析】（1）设顶点式 y=a （x ﹣3）2+5，然后把 A 点坐标代入求出 a 即可得到抛物线的解析式；（2）利用抛物线的对称性得到 B （5，3），再确定出 C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a （x ﹣3）2+5，l将 A （1，3）代入上式得 3=a （1﹣3）2+5，解得 a=﹣ ，2l∴抛物线的解析式为 y=﹣ （x ﹣3）2+5，2（2）∵A （1，3）抛物线对称轴为：直线 x=3 ∴B （5，3），l l l令 x=0，y=﹣ （x ﹣3）2+5= ，则 C （0， ），2 2 2 l l△ABC 的面积= ×（5﹣1）×（3﹣ ）=5．2 222．（10 分）如图，在一条河的北岸有两个目标 M 、N ，现在位于它的对岸设定两个观测点 A 、B ．已知 AB ∥MN ，在 A 点测得∠MAB=60°，在 B 点测得∠MBA=45°， AB=600 米．（1）求点 M 到 AB 的距离；（结果保留根号）（2）在 B 点又测得∠NBA=53°，求 MN 的长．（结果精确到 1 米）（参考数据： 3≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）【分析】（1）过点 M 作 MD ⊥AB 于点 D ，易求 AD 的长，再由 BD=MD 可得 BD 的长，即 M 到 AB 的距离；（2）过点 N 作 NE ⊥AB 于点 E ，易证四边形 MDEN 为平行四边形，所以 ME 的长可求出，再根据 MN=AB ﹣AD ﹣BE 计算即可． 【解答】解：（1）过点 M 作 MD ⊥AB 于点 D ， ∵MD ⊥AB ，∴∠MDA=∠MDB=90°，∵∠MAB=60°，∠MBA=45°，t D∴在 Rt △ADM 中， AD t Dh h a n ²t t D h l ， tD ∴t D h t D h 3A D ， ∵AB=600m ， ∴AD +BD=600m ，∴AD + 3AD h 600m ，∴AD h t300 3 u 300)m ，∴t D h t D h t 900 u 300 3)m ，∴点 M 到 AB 的距离t900 u 300 3)m ． （2）过点 N 作 NE ⊥AB 于点 E ， ∵MD ⊥AB ，NE ⊥AB ， ∴MD ∥NE ， ∵AB ∥MN ，∴四边形 MDEN 为平行四边形，h hanA h 3；在 Rt △BDM 中，At ∴NE h t D h t 900 u 300 3)m ，MN=DE ， ∵∠NBA=53°，∴在 Rt △NEB 中，t Eh c th53° t 0⠀75，NE∴tE t t675 u 225 3)m ，∴t N h A t u A D u t E t 225 u 75 3 t 95m ．23．（12 分）已知：如图，梯形 ABCD 中，DC ∥AB ，AD=BD ，AD ⊥DB ，点 E 是腰 AD 上一点，作∠EBC=45°，联结 CE ，交 DB 于点 F ． （1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）如果tC h 5S OtCE 的值．tD ，求6 S OtDA【分析】（1）依据∠CDB=∠DBA=45°=∠A ，∠EBA=∠CBD ，即可判定△CBD ∽△ EBA ；Ct tD （2）依据△CBD ∽△EBA ，可得 h tC h5得到S OtCE 的值．S OtDA，再根据∠CBE=∠DBA ， Et tD ，即可6【解答】证：（1）∵∠ADB=90°，AD=BD ， ∴∠A=∠DBA=45°， 又∵DC ∥AB ，∴∠CDB=∠DBA=45°=∠A ，h又∵∠CBE=∠DBA=45°，∴∠EBA=∠CBD，∴△CBD∽△EBA；（2）∵△CBD∽△EBA，∴CthtDEt At，tC 5∵∠CBE=∠DBA，，tD 6∴S OtCEh ttC)2h25．S OtDA tD 3624．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y=ax2+bx﹣点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求此抛物线顶点 C 的坐标；5，经过3（2）联结AC 交y 轴于点D，联结BD、BC，过点C 作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x 轴于G，联结HG，求HG 的长．【分析】（1）已知抛物线过A，B 两点，可将A，B 的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点C 的坐标．（2）本题介绍三种解法：方法一：分别求直线AC 的解析式和BD 的解析式，直线AC：y=﹣x﹣1，直线BD：3 33 5 5 t 5ly=5x ﹣1，可得 D 和 P 的坐标，证明△BPG ∽△CPH 和△HPG ∽△CPB ，列比例式 可得 HG 的长；方法二：如图2，过点H 作HM ⊥CG 于M ，先根据勾股定理的逆定理证明∠BCD=90°，利用面积法求 CH 的长，再证明△OBD ∽△MCH ，列比例式可得 CM 的长，从而 可得结论；方法三：直线 AC ：y=﹣x ﹣1，求 CH 和 BD 的解析式，联立方程组可得 H 的坐标， 由勾股定理可得 GH 的长．【解答】解：（1）把 A （﹣1，0）、B （5，0）代入抛物线解析式，a ub u 5 h 0 得： 25a + 5b u h 0，解得： a h l 3 ， b hu 4 ∴抛物线的解析式为：h h l x 2 u 4 x u 5 h ltx u 2)2 u 3，3 3 3 3 ∴顶点 C （2，﹣3）（2）方法一：设 BD 与 CG 相交于点 P ， 设直线 AC 的解析式为：y=kx +b把 A （﹣1，0）和 C （2，﹣3）代入得： u k + b h 02k + b hu 3解得： k h u l b hu l 则直线 AC ：y=﹣x ﹣1， ∴D （0，﹣1），l同理可得直线 BD ：y=5x ﹣1，∴Pt2，u 3)∵∠CHP=∠PGB=90°，∠GPB=∠CPH ∴△BPG ∽△CPH ，∴CP h PtPt PG∴△HPG ∽△CPB ， t G h P G∴tC P， 3 ∴ t G h 5， 3 2 3 26l 3 l 3 l 3l 3 l 3h ∴t G h 3 l 3；方法二：如图 2，过点 H 作 HM ⊥CG 于 M ，∵CD h 2 2，tC h 3 2，tD h 26，∴BD 2=CD 2+BC 2，∴∠BCD=90°，l l ∵S △BCD = BD•CH= 2 BC•CD ， 2∴C t h 2 2×3 2 h 6 26， 26l 3 ∵∠ABD=∠HCG ，∴△OBD ∽△MCH ，l 5 ∴ h 26 t t C t 6 l 3∴t t h 6 ，C t h 30，l 3 l 3∴G t h 9 ， 由勾股定理得：GH= ∴G t h 3 l 3， 方法三：直线 AC ：y=﹣x ﹣1，∴D （0，﹣1），l直线 BD ：y=5x ﹣1， ∵CH ⊥BD ，∴k BD •k CH =﹣1， ∴直线 CH ：y=﹣5x +7， h h l x u lx h 35联立解析式： 5 h hu 5x + 7 ，解得： l 3 ， h hu 6 ∴t t 35 ，u 6 )l 3 l 3∴t G h 3 l 3． t t 2 + G t 22625．（14 分）已知：如图，四边形ABCD 中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC 平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G，交线段AD 的延长线于点F（点F 可与点D 重合），∠AFB=∠ACB，设AB 长度是a（a 是常数，且a＞0），AC=x，AF=y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE 是等腰三角形时，求AC 的长（计算结果用含a 的代数式表示）x 【分析】（1）先判断出∠DAC=∠DCA ，∠BAC=∠BCA ，进而得出∠DCA=∠BAC ， ∠DAC=∠BCA ，即可得出结论；（2）先判断出△AEF ∽△ABC ，△ABC ∽△BEC ，得出比例式，即可得出结论；（3）分三种情况，①当 CG=EG 时，判断出点 F ，G 和点 D 重合，即：AF=AB ， 即可得出结论，②当 CG=CE 时，先判断出∠FDG=∠FGD ，得出 FG=FD ，即可得出 AF=BF ，进而判断出 FB=AC ，即可得出结论；③当 EG=CE 时，判断出∠CEG=∠CBF ，而∠CEG=∠CBF +∠ACB ，判断出此种情况不存在．【解答】（1）证明：∵AD=DC ，AB=BC∴∠DAC=∠DCA ，∠BAC=∠BCA又 AC 平分∠BAD∴∠DAC=∠BAC∴∠DCA=∠BAC ，∠DAC=∠BCA ，∴AB ∥DC ，AD ∥BC∴四边形 ABCD 为平行四边形又 AD=DC∴四边形 ABCD 是菱形（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AF ∥BC ，AB=BC∴∠AFB=∠CBF ，∠FAC=∠ACB ，∠ACB=∠BAC∴∠EBC=∠BAC=∠AFB=∠FAC=∠ACB∴△AEF ∽△ABC ，△ABC ∽△BEC∴EC h tC tC AC∴BC 2=EC•AC∴a 2=EC•x∴EC h a 2，a 2∴AE=AC ﹣EC=x ﹣ x，a C ∵△AEF ∽△ABC∴AE h At At A， xu a 2即 x h ha x∴h h x 2u a 2（ 2a ≤ x ＜2a ）；（3）解：∵△CEG 是等腰三角形， ①当 CG=EG 时，∴∠CGE=∠ECG ，∵∠ECG=∠CBF ，∴∠CGE=∠CBF ，∵∠CGB=∠ABF ，∴∠ABF=∠CBF ，此时，点 F ，G 和点 D 重合， ∴AF=AB ，∴y=a ，x 2ua 2即 ah a ∴x h 2a ， ②当 CG=CE 时，∴∠CEG=∠CGB ，∵∠CEG=∠ACB +∠CBF=2∠ACB=∠BCD ， ∴∠CGB=∠BCD ，∵∠FDG=∠BAD=∠BCD ，∴∠FDG=∠FGD ，∴FG=FD ，∴AF=BF ，∵∠EBCC=∠ECB ，∴BE=CE ，∵∠EAF=∠EFA ，2 ∴AE=EF ，∴FB=ACx 2ua 2∴y=x 即 ah x ∴x h 5+l a （负值已舍）， ③当 EG=CE 时， ∴∠CEG=∠ACD ， ∵∠ACD=∠CBF ， ∴∠CEG=∠CBF ，∵∠CEG=∠CBF +∠ACB ， ∴此种情况不存在． 综上所述：x h 2a 或 5+l2 a 时，△CEG 为等腰三角形．。

[试卷合集3套]上海市静安区2021届中考一模数学试题

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中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠.B ．m 1=.C ．m 1≥D ． m 0≠.【答案】A 【解析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可．【详解】由题意得：m ﹣1≠0，解得：m≠1，故选A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是两格点，如果 C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形,则这样的点C 有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】A 【解析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰△ABC 底边；②AB 为等腰△ABC 其中的一条腰．【详解】如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的C 点有2个；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的C 点有4个．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．3．一、单选题小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x 个/分钟，则列方程正确的是（ ）A ．1201806x x =+B ．1201806x x =-C ．1201806x x =+D ．1201806x x=- 【答案】C【解析】解：因为设小明打字速度为x 个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，可列方程得1201806x x =+， 故选C ．【点睛】本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．4．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，故选A ．5．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3πC ．23π-D ．223π-【答案】D【解析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，33，∴△ABC的面积为12BC•AD=1232⨯3S扇形BAC=2602360π⨯=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣3﹣3故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．6．关于x的一元二次方程230x x m-+=有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．94m<B．94m C．94m>D．94m【答案】A【解析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜94，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．下列各运算中，计算正确的是（）A ．a 12÷a 3=a 4B ．（3a 2）3=9a 6C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣ab+b 2D ．2a•3a=6a 2【答案】D 【解析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.【详解】A 、原式=a 9，故A 选项错误，不符合题意；B 、原式=27a 6，故B 选项错误，不符合题意；C 、原式=a 2﹣2ab+b 2，故C 选项错误，不符合题意；D 、原式=6a 2，故D 选项正确，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．8．计算：()()223311a a a ---的结果是( ) A ．()21a x - B ．31a -． C ．11a - D ．31a + 【答案】B【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式=()23-31a a -=()23-11a a -（） =31a - 故选；B【点睛】本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．9．某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( )A ．1000(1+x)2=1000+500B ．1000(1+x)2=500C ．500(1+x)2=1000D ．1000(1+2x)=1000+500【答案】A【解析】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x ，5月份投放科研经费为1000（1+x ），6月份投放科研经费为1000（1+x）（1+x），即可得答案.【详解】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x，则6月份投放科研经费1000（1+x）2=1000+500，故选A.【点睛】考查一元二次方程的应用，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．10．如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】D【解析】∵实数-3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，∴原点在点M与N之间，∴这四个数中绝对值最大的数对应的点是点Q．故选D．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB 为m(结果保留根号)．【答案】3【解析】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∴∠CAD=30°，∴AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD•sin∠33故答案是：312．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是_____千米．【答案】36【解析】作BE⊥AC于E，根据正弦的定义求出BE，再根据正弦的定义计算即可．【详解】解：作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，sin∠BAC＝BE AB，∴BE＝AB•sin∠BAC＝3633=由题意得，∠C＝45°，∴BC＝BEsin C ＝233362=，故答案为6．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．某中学数学教研组有25名教师，将他们分成三组，在38~45（岁）组内有8名教师，那么这个小组的频率是_______。

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静安区2020学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷 2021.1（完成时间：100分钟 满分：150分 ）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤； 3. 答题时需使用函数型计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果0a ≠，那么下列计算正确的是（A ）0()0a =-； （B ）01a =--（）； （C ）01a -=； （D ）01a =--．2．下列多项式中，是完全平方式的为 （A ）214x x -+； （B ）21124x x++； （C ）21144x x +-； （D ）21144x x -+． 3．将抛物线3)1(22-+=x y 平移后与抛物线22x y =重合，那么平移的方法可以是 （A ）向右平移1个单位，再向上平移3个单位； （B ）向右平移1个单位，再向下平移3个单位； （C ）向左平移1个单位，再向上平移3个单位； （D ）向左平移1个单位，再向下平移3个单位．4．在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，下列比例式中能判定DE //BC的为 （A ）BC AB DE AD =； （B ）AC AB AD AE =； （C ）AC AB CE BD =； （D ）AC BD AB CE=．5．如果锐角α，那么下列结论中正确的是 （A ）︒=30α； （B ）︒=60α； （C ）︒<<︒4530α； （D ）︒<<︒6045α．6．在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是高，如果AB =m ，∠A =α, 那么CD 的长为 （A ）sin tan m αα⋅⋅； （B ）sin cos m αα⋅⋅； （C ）cos tan m αα⋅⋅； （D ）cos cot m αα⋅⋅．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．32的相反数是 ▲ ． 8．函数()f x 的定义域为 ▲ ．92x =-的根为 ▲ ．10．二次函数223y x x =-图像的开口方向是 ▲ ． 11．抛物线236y x =-的顶点坐标为 ▲ ．12．如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为 ▲ ．13．在二次函数223y x x =-+图像的上升部分所对应的自变量x 的取值范围是 ▲ ． 14．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∠AED =∠B ，如果AD =2，AE =3，CE =1，那么BD 长为 ▲ . 15．在△ABC 中，点G 是重心，∠BGC =90°，BC =8，那么AG 的长为 ▲ .16. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ， 如果AB =12，BC =9，AC =6，四边形BCED 的周长为21，那么 DE 的长为 ▲ ．17．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 与AC 相交于点O ，OB =2OD ，设a AB =，AD b =，那么AO = ▲ ． （用向量a 、b 的式子表示）18. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =13，2tan 3B =（如图），将 △ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A ’，点B 落在 点B ’，A ’B ’与边BC 相交于点D ，那么CDA'D 的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：cot30cos45sin 60tan 45︒-︒︒-︒．（第17题图）（第18题图）BACED（第14题图）B AC ED （第16题图）20．（本题满分10分）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求xy的值．21．（本题满分10分, 其中每小题5分）如图，点A 、B 在第一象限的反比例函数图像上，AB 的延长线与y 轴交于点C ，已知点A 、B 的横坐标分别为6、2，AB =25．（1）求∠ACO 的余弦值； （2）求这个反比例函数的解析式． 22．（本题满分10分）如图，一处地铁出入口的无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC 、CD 共走7米可到出入口，出入口点D 距离地面的高DA 为0. 8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角(角度精确到1' ，其他近似数取四个有效数字).23．（本题满分12分，其中每小题6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，2AD AE AC =⋅．求证：（1）△BCD ∽△CDE ；（2）AB ADBCCD =22．BC AOyx（第21题图）（第22题图） D C DABCD CB A E （第23题图）24．（本题满分12分，其中每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线102y x m m =-+>（）与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠ 0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，∠OCA =∠OAB ．（1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD=AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式；（3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知∠MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，∠EBD =∠MAN ，且 CE //BD ，sin ∠MAN=35，错误!未找到引用源。

AB =5，AC =9． （1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE=BC ·BE ； （2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在∠MAN 外部时，设AD =x ，△BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．静安区2020学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷参考答案及评分说明2021.1（第24题图）（第25题图）（备用图）（图1）FABDC E NM一、选择题： 1．D ； 2．A ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ．二、填空题： 7．32-； 8．2x <； 9．1x =；10．向下； 11．（0, 6-）； 12．12m <<； 13．1x >； 14． 4； 15．8；16．6； 17．1233a+b ； 18三、解答题：19．解：原式＝··········································································· （4分）································································ （3分）6． ···························································· （3分）20．解：222xy y x xy +=-, ··········································································· （2分）2230x xy y --=, ············································································ （2分） ∵0y ≠，∴22310x xy y--=， ···························································· （2分）∴x y =， ············································································· （2分）∵负值不符合题意，∴x y ． ·················································· （2分） 21．解：（1）分别过点A 、B 作AD ⊥y 轴，BE ⊥x 轴，垂足分别为D 、E ，AD 、BE相交于点H ． ············································································· （1分） ∵BE//y 轴，∴∠ACO=∠ABH ，∠AHB=∠ADC =90°． ∵点A 、B 的横坐标分别为6、2，∴AH =4． ···································· （1分）在Rt △ABH 中，∵BH2． ················· （1分）cos cos BH ACO=ABH AB ∠∠===． ····································· （2分）（2）设反比例函数的解析式为(0)ky k x=≠， ············································ （1分） 设点A （6，6k ），则B (2，2k ) ， ······················································· （1分） ∴226k k-=， ················································································ （1分） ∴6k =． ······················································································ （1分）∴反比例函数解析式为6y x=． ·························································· （1分）22．解：（1）延长DC 、AB 相交于点E ． ························································· （1分）∵斜坡BC 、CD 的坡度相同，∴∠CEB =∠CBE ，∴CE =CB ． ··················· （2分） ∴DE ＝DC ＋CB ＝7米． ··································································· （1分）在Rt △ADE 中，AE = 6.9541（米）． ················ （2分）∴ i =AD ：AE =0.8：6.9541≈1：8.693． ················································· （2分）∵tan ∠AED =AD ：AE ≈0.11504，∴∠AED ≈6°34 '． ································· （1分）答：无障碍通道的坡度约为1∶8.693，坡角约为6°34 '． ······························· （1分）23．证明：（1）∵AC AE AD ⋅=2，∴ADACAE AD =． ·············································· （1分） 又∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACD ． ············································ （1分） ∴∠ADE =∠ACD ， ·································································· （1分） ∵DE ∥BC ，∴∠EDC =∠DCB ，∠B =∠ADE ， ······························ （1分） ∴∠B =∠ACD ， ······································································ （1分） ∴△BCD ∽△CDE ． ································································ （1分）（2）∵△BCD ∽△CDE ，∴CD DEBC CD =． ·············································· （2分） ∴22CD CD CD CD DE DE =BC BC BC BC CD BC=⋅⋅=． ············································· （2分） ∵DE ∥BC ，∴DE ADBC AB=． ························································· （1分） ∴ABADBC CD =22． ········································································· （1分）24．解：（1）∵直线12y x m =-+与x 轴、y 轴分别交于点A (2m ，0)、B (0，m )． ···· （1分）∴ OA =2m ，OB =m ．∵∠OCA =∠OAB ，∴tan ∠OCA =tan ∠OAB=OA OC =12OB OA =． ··················· （1分） ∵24y ax bx =++（a ≠ 0）经过点C (0，4)，OC =4．∴ OA =2，OB =1． ·········································································· （1分）∴直线AB 的表达式为112y x =-+． ··················································· （1分） （2）过点D 作DG ⊥x 轴，垂足为G ，∵ ∠DGA =∠AOC =90︒，∠DAG =∠ACO ，AD=AC ，∴△DGA ≌△AOC ． ······································································ （1分）∴ DG =AO =2，AG =OC =4，OG =2，∴点D （2-，2）． ·························· （1分） ∵抛物线42++=bx ax y 经过点A 、D ，∴0424,2424,=a b a b ++⎧⎨=-+⎩ ·········································································· （1分）∴3,412a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的表达式为231442y x x =--+． ···························· （1分）（3）设抛物线的对称轴FE 与OA 交于点H ， ∵ EF //OC ，∴13AH AE EF AO AB BC ===，AH =23，OH =43．························· （1分） ∴0424,4,23=a b b a ++⎧⎪⎨-=⎪⎩ ·········································································· （1分）∴3,8a b .=⎧⎨=-⎩∴抛物线的表达式为2384y x x =-+． ·································· （1分）当43x =时，43y =-，抛物线的顶点坐标为44)33（，-． ·························· （1分）25．解：（1）∵ CE //BD ，∴ ∠CEB =∠DBE ，∠DBA =∠BCE ． ························· （1分）∵∠A=∠DBE ，∴ ∠A =∠BEC ．∴ △ABD ∽△ECB ． ························· （1分）∴AD EBAB EC ＝． ··············································································· （1分） ∵AD DF AB BC =， ··············································································· （1分） ∴EB DF EC BC =，∴ DF ·CE=BC ·BE ． ···················································· （1分）（2）过点B 作BH ⊥AN ，垂足为H ． ∵ CE//BD ，∴∠CEB ＝∠EB D ＝∠A ，又∵∠BCE ＝∠ECA ，∴△CEB ∽△CAE . ············································ （1分） ∴CE CACB CE =，∴2CE =CB CA ⋅，∵AB =5，AC =9，∴BC =4，∴24936CE ==⨯，∴CE =6. ························· （1分）∵BD ABCE AC =，∴561093AB CE BD ==AC ⋅⨯=. ········································ （1分）在Rt △ABH 中，3sin 535BH AB A =⋅=⨯=，∴ AH4=．DH=．AD=4························· （2分） （3）过点B 作BH ⊥AN ，垂足为H ．BH =4，AH =3，DH =4x -．2222224)3825BD =DH +BH x x x =-+=-+（．···································· （1分）∵△ECB ∽△ABD ，∴22EBC ADB S BC S BD △△＝． ················································ （1分） ∵322ABD S AD BH x =⋅△１＝，∴21638252y x x x =-+， ······························· （1分） ∴224825x y x x =-+．定义域为44x <<+． ··························· （1分）。

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