正十七边形做法及证明

步骤一：

给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，

作C点使OC＝1/4OB，

作D点使∠OCD＝1/4∠OCA

作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度

步骤二：

作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，

此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆

过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三：

过G4作OA垂直线交圆O于P4，

过G6作OA垂直线交圆O于P6，

则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

正十七边形的尺规作图存在之证明:

设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a

故sin16a=-sina,而

sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2 4 sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有:

16cosacos2acos4acos8a=-1

又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有

2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1

注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令

x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a

y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a

有:

x+y=-1/2

又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)

=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)

经计算知xy=-1

又有

x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4

其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

故有x1+x2=(-1+根号17)/4

y1+y2=(-1-根号17)/4

最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2

可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出