正十七边形做法及证明.

高斯正十七边形原理

高斯正十七边形原理嘿，朋友们！今天咱来聊聊高斯正十七边形原理。

你说这高斯正十七边形，那可真是数学里的一颗璀璨明珠啊！想象一下，就好像是在数学的大花园里，正十七边形就是那朵最特别、最耀眼的花。

咱平常看到的图形，什么三角形、四边形，那都太常见了。

可这正十七边形，它可不一样。

它就像是一个神秘的密码，等待着我们去解开。

高斯啊，那可是个超级厉害的数学家。

他就像是一个神奇的魔法师，轻轻挥动手中的魔法棒，就把这复杂无比的正十七边形给搞定了。

你说这神奇不神奇？咱普通人可能连想都不敢想能画出正十七边形，可高斯就能做到。

这就好像是别人都还在山脚下徘徊，高斯一下子就登上了山顶，看到了别人看不到的风景。

那这正十七边形原理到底是啥呢？简单来说，就是通过一些巧妙的方法和计算，能精确地画出正十七边形。

这可不是随随便便就能做到的，得有深厚的数学功底和超级厉害的头脑才行。

咱平常过日子，有时候也得有点这种钻研的精神。

遇到难题别退缩，就像高斯面对正十七边形一样，勇往直前，去寻找解决的办法。

你想想看，要是我们都能有高斯这种精神，那还有什么事情是做不到的呢？是不是很多困难都会迎刃而解呢？这高斯正十七边形原理啊，还告诉我们一个道理，那就是别小看任何一个看似不可能的事情。

也许一开始觉得很难，觉得根本没法完成，但只要我们肯下功夫，说不定就能创造奇迹呢！就像高斯，他当初要是觉得正十七边形太难了，就放弃了，那我们现在还能知道这个神奇的原理吗？肯定不能啊！所以啊，朋友们，让我们向高斯学习，向这神秘又美妙的正十七边形原理致敬！在生活中遇到困难时，就想想高斯和他的正十七边形，告诉自己：只要努力，没有什么是不可能的！这就是我想说的，大家觉得有没有道理呢？原创不易，请尊重原创，谢谢!。

十七边形画法

十七边形画法
十七边形是一种非常特殊的多边形，它有着17条边和17个角。

虽然它在日常生活中比较少见，但在几何学和艺术中却有着重要的地位。

如果你对这种特殊的多边形感兴趣，那么你可以尝试用不同的方法来画出它。

以下是一些基本的十七边形画法：
1. 通过圆形来画十七边形。

首先画一个大圆，然后在圆上分别做出17个等分点。

然后连接相邻的点，就可以得到一个完整的十七边形。

2. 通过正多边形来画十七边形。

首先画一个正十七边形，然后再将其分割成更小的十七边形。

这种方法可以比较直观地展示出十七边形的特殊性质。

3. 通过三角形来画十七边形。

首先画一个等边三角形，然后在三边上分别做出17个等分点。

然后连接相邻的点，就可以得到一个内角度数为1020度的十七边形。

无论采用哪种方法，都需要耐心和细心去操作。

如果你喜欢几何学和艺术，那么尝试画出一个完整的十七边形，会是一种非常有趣和有挑战的体验。

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正十七边形尺规作图及证明

正十七边形尺规作图及证明正十七边形样本图正十七边形作法:第一步：在给定直线l上作一个圆O交直线于点A，B，分别以A，B为圆心，AB，BA为半径作弧，两弧交于点C，D，连接CD；第二步：以C为半径，CO为半径作弧交圆于点E，F，连接EF交CD于点K，再分别以K，O为圆心，KO，OK为半径作弧，两弧交于点G，H，连接GH交直线CD于点P，连接PB；第三步：再以P为圆心，小于PB的长度为半径作弧U，分别交AB，CD于点M，N，再分别以M，N为圆心，MN，NM为半径作弧，两弧圆外的交点为Q，连接QP交圆于点T，再分别以T，M为圆心，TM，MT为半径作弧，两弧圆外的交点为R，连接PR交弧U于上面的点S，下面的点W；第四步:连接S，W，再分别以S，W为圆心，SW，WS为半径作弧交于圆外的点Y，连接PY交弧U于点X，再分别以X，S为圆心SX，XS为半径作弧，两弧圆外的交点为Z，连接PZ；第五步：PZ交AB于点A₁，再分别以A₁，B为圆心，A₁B，B A₁作弧交于点A ₂，B₁，连接A₂，B₁交AB于点B₂，交圆于点C₁，连接B₂，C₁；第六步：再最后的C₁B依次戴取分点，直到最后作出十七个分点后连接，便是正十七边形。

正十七边形证明我们知道，一个正多边形的中心角的余弦值如果不是超越数，就可以用尺规作出该正多边形，求出的中心角的三角函数值代数式也就是包含了过程。

计算360cos 17⎛⎫︒ ⎪⎝⎭设正十七边形的中心角为α，则17360α=︒即16360αα=︒-亦即()sin16sin 360sin ααα=︒-=-由诱导公式()cos 2cos παα-=，我们发现：()()()()()()()()()()()()cos cos 360cos 17cos16cos 2cos 3602cos 172cos15cos3cos 3603cos 173cos14cos 4cos 3604cos 174cos13cos5cos 3604cos 175cos12cos 6cos 3606cos 176cos11cos 7ααααααααααααααααααααααααααααααα=︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-=()()()()cos 3607cos 177cos10cos8cos 3608cos 178cos9ααααααααα=︒-=-==︒-=-=因此我们有结论1：cos cos16cos 2cos15cos3cos14cos 4cos13cos5cos12cos 6cos11cos 7cos10cos8cos9αααααααααααααααα======== 该结论我们以后使用。

正十七边形高斯画法

正十七边形高斯画法
正十七边形高斯画法是一种用直尺和圆规画正多边形的方法，也称为高斯多边形构造法。

以下是画正十七边形的步骤：
1. 画一个圆，作为正十七边形的外接圆。

2. 用圆规量取圆的半径，然后在圆心处画一个半径为r的圆。

3. 以外接圆的圆心为中心，画一个半径为2r的圆。

4. 在内圆上任取一点，记为A。

5. 以A为圆心，以2r为半径，画一个圆，与外接圆交于B、C两点。

6. 以B、C为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于D、E两点。

7. 连接AD、AE，得到正十七边形的两个顶点。

8. 以D、E为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于F、G两点。

9. 连接AF、AG，得到正十七边形的两个顶点。

10. 以F、G为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于H、I两点。

11. 连接AH、AI，得到正十七边形的两个顶点。

12. 以H、I为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于J、K两点。

13. 连接AJ、AK，得到正十七边形的两个顶点。

14. 以J、K为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于L、M两点。

15. 连接AL、AM，得到正十七边形的两个顶点。

16. 以L、M为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于N、O两点。

17. 连接AN、AO，得到正十七边形的两个顶点。

18. 此时，正十七边形的所有顶点已经画出来了，可以用直尺连接相邻的顶点，得到正十七边形的边。

以上就是画正十七边形高斯画法的步骤。

高斯与正十七边形尺规作图法

高斯与正十七边形尺规作图法【作图原理】首先要给出一条定理。

定理1：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，其中c是方程的实根。

上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为的线段。

而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是的线段。

设则有即是方程的根，由定理1可知，长为和的线段可以做出。

令则有同样由定理1可知，长度是的线段都可以做出来的。

再由这样，是方程较大的实根。

显然也可以做出来。

证毕1、OD=1/4，2、OA=1，3、DA=170.5/4，4、OA1=(170.5-1)/16，5、A1A=(17-170.5)/16，6、DA1=(34-2*170.5)0.57、O O1=(170.5+1)*((34-2*170.5)0.5-4)/64，8、O1A1= OA1-O O1，9、DO1=（1/16+ O O12）0.5，10、OJ=(1-4* O O1)/4( 1+4* O O1)，11、DJ=(16+OJ2)，12、AK=JK=KL=（1+OJ）/2，13、OK=1-AK，14、O1K=OK-OO1，15、OL=（KL2-OK2）0.5，16、O1L= O1 M =（OL2+ O O12）0.5，17、OM=OM1+ O O1=（O O12+OJ）0.5+ O O1=COS3a，OJ=OL2，18、LA=(1+OL2)0.5，设正17边形中心角为α,则17α=360度,即16α=2π-α故sin16α=-sinα,又sin16α =2sin8αcos8α=22sin4αcos4αcos8α=2 4sinαcosαcos2αcos4αcos8α因sinα不等于0,两边同除有:16cosαcos2αcos4αcos8α=-1又由2cosαcos2α=cosα+cos3α等,有2(cosα+cos2α+…+cos8α)=-1注意到cos15α=cos2α,cos12α=cos5α,令x=cosα+cos2α+cos4α+cos8αy=cos3α+cos5α+cos6α+cos7α有:x+y=-1/2又xy=(cosα+cos2α+cos4α+cos8α)(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)=1/2(cos2α+cos4α+cos4α+cos6α+…+cosα+cos15α)经计算知xy=-1又有x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4其次再设:x1=cosα+cos4α,x2=cos2α+cos8αy1=cos3α+cos5α,y2=cos6α+cos7α=cos6α+cos10α故有x1+x2=(-1+√17)/4y1+y2=(-1-√17)/4注意到:x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=(-1+√17)/4注意到:x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=(-1+√17)/4=x1+2x12-2y1-2，同理：y1+y2=(-1-√17)/4=y1+2y12-2x2-2=(-1-√17)/4,联立可求出x1,y1y1=2×O O1=（根号17+1）×根号（34-2×根号17-4）/32又c osα+cos4α=x1,cosαcos4α=(y1)/2可求cosα之表达式,它是值的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出。

正十七边形尺规作图与详解

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。

父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。

可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。

这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。

有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。

小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。

高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。

”布德勒抬头一看，大吃一惊。

小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。

前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。

第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。

高斯的作业：如何用尺规画十七边形？

⾼斯的作业：如何⽤尺规画⼗七边形？⼏⽇前天纵君（SKYLABS）和孩⼦曾经讲过伽利略著名的⽐萨斜塔⼩球落体试验，因此特别整理了《逻辑的胜利：⽐萨斜塔的⼩球落体试验》这篇⽂章给⼤家。

今天这篇关于“⾼斯”的⽂章，其实也来⾃与我给孩⼦讲的另外⼀个故事。

关于少年学霸⾼斯，有⼀个著名的段⼦是说他在读书时，有⼀次⽼师例⾏给他布置了三道课后作业题。

前两道题在两个⼩时内就边形。

19岁的⾼斯感到⾮常吃要求只⽤圆规和⼀把没有刻度的直尺，画出⼀个正17边形顺利完成了。

第三道题写在另⼀张⼩纸条上：要求只⽤圆规和⼀把没有刻度的直尺，画出⼀个正⼒。

时间⼀分⼀秒的过去了，第三道题竟毫⽆进展。

这位青年绞尽脑汁，但他发现，⾃⼰学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。

但困难激起了他的⽃志终于当窗⼝露出曙光时，青年长舒了⼀⼝⽓，他终于结完了这道难题。

当⾼斯见到⽼师时，他有些内疚和⾃责的对⽼师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整⼀个通宵，我辜负了您对我的栽培……”。

⽼师接过学⽣的作业⼀看，当即惊呆了。

导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了⼀桩有两千多年历史的数学悬案！阿基⽶德没有解决，⽜顿也没有解决，你竟然⼀个晚上就解出来了。

你是⼀个真正的天才！”原来⽼师也⼀直想解开这道难题。

那天，他是因为失误，才将写有这道题⽬的纸条交给了学⽣。

据说⾼斯也视此为⽣平得意之作，还交待了要把正⼗七边形刻在他的墓碑上，但后来负责刻碑的⼈认为正⼗七边形实在和圆太像了，不容易分辨。

因此其⽤了多⾓形加以代替，以⽰纪念⾼斯的成就。

天纵君这⾥也特别找到了⾼斯墓地的照⽚，传说是否如此？⼤家可以仔细找找看看。

最后让我们⼀起⽤动图的⽅式，去欣赏⼀下这个经典⽽优美的尺规作图。

这样的尺规作图是如此经典⽽美丽，以⾄于它让我们深切的感受到了⼈的智慧所能达到的极限，体会到了⽤孩童都能看懂的⽅法和技巧去实现⼀个绚烂⽽复杂的架构。

由衷的向⾼斯、以及所有伟⼤的科学前辈们致敬！。

正十七边形尺规作图与详解.docx

实用标准文档解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯 (Carl Friedrich Gauss1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工的父算工人的周薪。

父算了好一会儿，于将果算出来了。

可是万万没想到，他身来幼嫩的童音：“爸爸，你算了，数是⋯⋯”父感到很惊异，赶忙再算一遍，果高斯的答案是的。

的高斯只有 3 ！高斯上小学了，教他数学的老布特勒(Buttner)是一个度劣的人，他从不考学生的接受能力，有用鞭子学生。

有一天，布德勒全班学生算1+2+3+4+5+⋯⋯+98+99+100＝？的和，并且威：“ 算不出来，就不准回家吃！”布德勒完，就坐在一旁独自看起小来，因他，做一道目是需要些的。

小朋友开始算：“ 1 + 2＝3，3+3＝6，6+4＝10，⋯⋯”数越来越大，算越来越困。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身。

高斯：“老，我做完了，你看不？“做完了？么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒都没抬，手：“ 了，了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸：“我个答案是的。

”布德勒抬一看，大吃一惊。

小石板上写着5050 ，一点也没有！高斯的算法是1＋ 2 ＋ 3＋⋯⋯＋ 98 ＋99 ＋ 100100＋99 ＋98＋⋯⋯＋3＋ 2＋1101＋ 101 ＋ 101 ＋⋯⋯＋101 ＋101 ＋ 101 ＝101 ×100 ＝1010010100 ÷2＝ 5050高斯并不知道，他用的种方法，其就是古代数学家期努力才找出来的求等差数列和的方法，那他才八！1796 年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚，开始做他独布置的三道数学。

前两道他不吹灰之力就做了出来了。

第三道写在另一小条上：要求只用和没有刻度的直尺，作出一个正十七形。

道把他住了——所学的数学知竟然解出道没有任何帮助。

一分一秒的去了，第三道竟毫无展。

正十七边形尺规作图与详细讲解

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。

父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。

可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。

这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。

有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。

小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。

高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。

”布德勒抬头一看，大吃一惊。

小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。

前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。

第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。

正17边形尺规作图研究的历史回顾

正17边形尺规作图研究的历史回顾正17边形尺规作图研究的历史回顾古代数学家很早就解决了正3、4、5、15边形，以及和（n为非负整数）边形的尺规作图问题。

但是直到19世纪末的这2000年间，竟然没有进展。

1796年，当高斯19岁，还是一个学生的时候，证明了仅当边数为（圆括号中为素数，为非负整数）时，正k边形可用尺规作出。

特别是，正17边形，可用尺规作出。

尔后，人们热衷于研究具体的作图方法。

兹对这一过程加以回顾。

1.我们先给出两种具体的作图方法，供大家赏析。

第一个方法：改编自考克赛特（H.Coxeter）的《几何引论》一书：[1]作⊙O(OA),作半径OB&perp;OA,作AC交OB于C,使OC= ,作&ang;OCD= ,且&ang;ECD=45°.以EA为直径作半圆，交OB于F,作⊙D(OF)交OA于H和G,过H、G作OA的垂线，交大圆O于P、Q.令点R平分,则PR和RQ就是正17边形的一边。

正257边形和正65537边形的作法，人们也已知道。

第2个方法：是由一个叫约翰•路利（John Lowry）的人，在1819年给出的，他的证明在当年《数学博览》杂志上，占去9页之多[2]：在半圆O的半径OC上，求出中点Q，并在垂直于该半径的直径AB上，自圆心O截取OD=，作DF=DE=DQ，作EG=EQ，FH=FQ，再作OK为OH与OQ的比例中项。

过K作KM//AB,而与罩住OG的半圆周相交于M.作MN//OC,与⊙O交于N.则就是圆周长的。

2.第3个方法：[3]来自《数学通讯》1954年5月号，欧阳琦的文章：“正十七边形作图法”。

要作正17边形，无异于要把圆周17等分。

假定Ak(k=0,1,…,16)依次是单位圆上17个等分点。

作直径A0A，连AAk,命A0Ak=ak,则显然，（1）易见，除a0外只要求出al中的任何一个，则问题解决。

高斯十七等分圆周证明(高斯的十七边形)

高斯十七等分圆周证明(高斯的十七边形)你可以理解为从圆心引出几条射线。

把圆分成几个面积相等的扇区，就是几个相等的部分。

平分线是一条射线和一个圆的交点。

这和平分一条线段是一样的。

等分圆周是指利用直尺和圆规将圆周n等分，这是一个古老的数学问题。

古代希腊数学家利用尺规作图可将圆周分成3，4，5，15等分，并进而将分点逐次倍增，将圆周无限等分。

高斯(Gauss，1777-1855)曾证明可用尺规作图将圆周17等分，因而找到了正十七边形的尺规作图法。

为此，后人把这一图形铭刻在高斯纪念碑上等分圆周(circumference in equal parts)是圆内接正多边形的作图问题。

若圆周上依次有n个点A1，A2，A3，…，An(n≥2)，把整个圆周分成n段相等的弧：则称点A1，A2，…，An把圆周n等分，简称n等分圆周。

除二等分圆周外，用圆规直尺等分圆周与内接正多边形的作图实质是相同的问题。

高斯(C.F.Gauss)对等分圆周曾做出巨大贡献。

1796年，年仅19岁的高斯根据式子发现，圆内接正十七边形可用圆规直尺作图。

1801年，高斯又研究确定用圆规直尺等分圆周，等分数所应满足的充分必要条件(参见下文“用圆规直尺等分圆周问题”)，高斯临终遗言“在墓碑上刻正十七边形”，德国格丁根大学为他建立了一座以正十七棱柱为底座的纪念像用圆规直尺等分圆周问题是几何学历史中的一个著名问题，能仅用圆规直尺把圆周n等分，当且仅当n是如下形式的整数：1.n=2m(m为大于1的正整数)。

2.n=2m·p1·p2·…·pk，其中m=0，1，2，…，k=1，2，…，pi为型的不同素数，这是1801年高斯(C.F.Gauss)证明的，因此，在100以内可以用圆规直尺等分圆周的等分数只有24个：1型的五个为4，8，16，32，64；2型的十九个为3，6，12，24，48，96，5，10，20，40，80，15，30，60，17，34，68，51，85。

正十七边形尺规作图证明复数解法

正十七边形尺规作图证明复数解法作者：李孝民来源：《新教育时代》2015年第05期摘要：本论文对十八世纪末德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）所解决的正十七边形尺规作图问题再次进行了讨论。

当年高斯运用了三角函数的知识求出了cos■的表达式，它是数的加减乘除平方根的组合，故正17边形可用尺规作出。

而本论文主要运用了复数的知识，加以结合旋转对称的思想，通过另一种途径得出了cos■的表达式，与高斯用三角函数方法所得结果具有等价性。

然而在借助计算机帮助的过程中，发现了所得结果与原结果的差异性并且进行了大胆尝试与复杂的运算，将所得多重根式倒推，还发现了一些多元高次方程组与一元高次方程的联系。

关键词：尺规作图尺规作图复数Apply complex number to construct a regular heptadecagonAbstract：This article focuses on the problem of the construction of a regular heptadecagon by ruler and compass which had been solved by the German mathematician Johann Carl Friedrich Gauss in the end of the eighteenth century.In 1798，Gauss used the method of trig function and got the expression of cos■;;;; ，which is the combination of the addition，subtraction，multiplication，division and square root of numbers，demonstrating that a regular heptadecagon can be constructed by ruler and compass.This article mainly applies the complex number as the tool，combining with the thought of rotation and reflection，and gained the expression of cos■in another way.There is a obvious equivalence between the result using this method and the result of Gauss using the trig function as the tool.However，with the help of the computer，I found the differences between these two results and did some daring tries and complex operations.By reversely deducing the equation using the complex quadratic radical as the solution of it，I also discovered some relations between univariate equation of higher degree and multivariate equation set of higher degree.Key words：construction with ruler and compass，regular heptadecagon ，complex number引言尺规作图，是从古希腊时期的几何学家们开始就一直在探讨的问题，作图所用的直尺，是没有刻度的，尺规作图最简单的应用就是平分角。

高斯和他的正十七边形

导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，
回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。”导师请他
坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再
做出一个正17边形。青年很快做出了一个正17边形。
导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”
原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写
有这道题目的纸条交给了学生。每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：
“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远
也没有信心将它解出来”。这位青年就是数学王子高斯。
这个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平
得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来
尺规作图对于学过几何的人来说都不陌生，它是指用没有刻度的直尺和圆规作图。你也许可以用尺规作图作出正三
角形、正方形、正六边形等，但是你有没有想过用尺规作
图作正十七边形，甚至正十七边能不能用尺规作图作出来。
其实这一问题早在1796年就由德国著名的数学家高斯在他
19岁时解决，这其中还有一段趣闻:，一个很有数学天赋的 19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”

正十七边形文档

最早的十七边形画法创造人是高斯。

高斯（1777─1855年）德国数学家、物理学家和天文学家．高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才．年仅三岁，就学会了算术，八岁因运用等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩．大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位．高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义．并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献．下附正十七边形作法先计算或作出cos(360°/17)设正17边形中心角为a，则17a=360°,即16a=360°-a故sin16a=-sina,而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1又由2cosacos2a=cosa+cos3a(三角函数积化和差公式)等注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a(诱导公式)等,有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有:x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)经计算知xy=-1因而x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有x1+x2=(-1+√17)/4y1+y2=(-1-√17)/4最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出编辑本段步骤一给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，在OB上作C点使OC=1/4OB，在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度正十七边形尺规作图[1]编辑本段步骤二作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。