二次函数代数综合题 (寒假)

二次函数代数综合题

1．已知直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A (1，0)，B (3，2)．

(1)求m 的值和抛物线的解析式；

(2) 结合函数图象，求不等式m x c bx x +>++2

的解集．

2．如图，二次函数的图象经过点D (0，39

7)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴

上截得的线段AB 的长为6. (1)求二次函数的解析式；

(2)在该抛物线的对称轴上找一点P ，使P A +PD 最小，求出点P 的坐标．

3．已知抛物线2442

y ax ax a

=-+-，其中a是常数．(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)若

2

5

a>，且抛物线与x轴交于整数点(坐标为整数的点)，求此抛物线的解析式．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2

y mx n

=++经过P，A(0，2)两点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛

物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；

(3)在(2)的条件下，求到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标．

5．（2009年娄底）已知关于x 的二次函数y =x 2-（2m -1）x +m 2+3m +4.

（1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.

（2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且21x +2

2x =5，与

y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.

6.（2009年孝感）已知抛物线2

23

4

y x kx k =+-

（k 为常数，且k ＞0）．

（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；

（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123

ON OM -=，求k 的值．

7． 已知二次函数y =x 2－(2m +4)x +m 2－4(x 为自变量)的图象与y 轴的交点在原点下方，

与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，且A ，B 两点到原点的距离AO 、OB •满足3(•OB －AO )=2AO ·OB ，直线y =kx +k 与这个二次函数图象的一个交点为P ，且锐角∠POB •的正切值4．

(1)求m 的取值范围；(2)求这个二次函数的解析式；(3)确定直线y =kx +k 的解析式．

8．已知：二次函数y =2(32)220(0)mx m x m m -+++=>． (1)求证：此二次函数的图象与x 轴有两个交点；

(2)设函数图象与x 轴的两个交点方程的分别为(1x ,0)，(2x ,0)(其中12x x <)．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；

(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 满足什么条件时，2y m ≤．

9（1）f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么( ) A. f ⑵＜f ⑴＜f ⑷ B.f ⑴＜f ⑵＜f ⑷ C.f ⑵＜f ⑷＜f ⑴

D.f ⑷＜f ⑵＜f ⑴

（2）方程x 2－2|x|＝a(a ∈R)有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_______.

（3）关于x 的方程x 2－2ax ＋9＝0的两个实数根分别为α、β，则(α－1)2＋(β－1)2的最

小值是 _______________

（4）已知函数y ＝x 2－4ax ＋2a ＋30的图象与x 轴无交点，求关于x 的方程

3 a x

＝|a －1|＋1的根的范围.

（5）若关于x 的二次方程7x 2－(p ＋13)x ＋p 2－p －2＝0的两根α、β满足0＜α＜1＜β＜

2，求实数p 的取值范围.

10. 设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数y ＝(k 2＋k ＋1)x 2－2(a ＋k)2x ＋(k 2＋3ak ＋b)的图象与x 轴都交于点A(1，0). ① 求a 、b 的值；

② 若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求|AB|的最大值

11.（2009年北京市）已知关于x 的一元二次方程2

2410x x k ++-=有实数根，k 为正整数.

（1）求k 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

()1

2

y x b b k =

+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.

12.（2010四川省广元市）如图，抛物线y＝x＋bx＋3与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B，顶点为D，tan∠OAB＝3．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置．将抛物线y＝x2＋bx＋2沿y轴向上或向下平移后，经过点C，求点C的坐标和平移后抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1．点P在平移后的抛物线上，且满足△PBB1的面积是△PDD1的面积的两倍，求点P的坐标．

13.（2009年广西梧州）如图（9）-1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （1-，0），C （3，

2-）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分，求k 的值；

（3）如图（9）-2，过点E （1，1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转180°得△MNQ （点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应），使点M 、N 在抛物线上，作MG ⊥x 轴于点G ，若线段MG ︰AG ＝1︰2，求点M ，N 的坐标．

图（9）-1

图（9）-2