命题公式主合取范式的基础离散论文
离散数学14.主合取范式
例2 求((PQ)R)P的主合取范式. 解: 原式 ((P∨Q)∨R)∨P (P∨Q)∧(R∨P ) (合取范式) ((P∨Q)∨(R∧R ))∧((R∨P )∨(Q∧Q)) (P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧ (P∨Q∨R) (P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R) (主合取范式)
⑶用“∧”联结上述大项，即可.
例1 求 PQ和PQ的主合取范式
P Q PQ PQ
FF T
T
FT T
F
TF F
F
TT T
T
PQ M2 P∨Q PQ M1∧M2
(P∨Q )∧(P∨Q)
方法2：用公式的等价变换 ⑴先写出给定公式的合取范式
A1∧A2∧...∧An . ⑵除去合取范式中的所有为永真的合取项. ⑶合并相同的析取项和相同的变元. (4)为使每个Ai变成大项，对缺少变元的析取式Ai补全变
主合取范式
主合取范式
1.定义：给定的命题公式，如果有一个等价公式， 它仅由大项的合取所组成，则该等价式称作原式的主 合取范式.
2.主合取范式的求法 方法1：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表. ⑵找出真值表中每个“F”对应的大项.
如何根据一组指派写对应的为“F”的大项：如果变 元P被指派为F，P在大项中以P形式出现；如变元P被指 派为T，P在大项中以P形式出现(确保该大项为F).
命题公式主范式的求法及运用
毕业论文(设计)
题 目: 命题公式主范式的求法及应用
院 ( 系 ): 专业年级: 姓 名: 学 号: 指导教师:
数学与信息科学学院 数学与应用数学 05 级 马蓓蓓 051030233 屈聪 硕士
2009 月 3 日
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
离散数学期末试卷及部分答案 (2)
离散数学试题(A 卷及答案）一、证明题（10分）1)(⌝P ∧(⌝Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔((⌝P ∧⌝Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ⇔(⌝(P ∨Q)∨(P ∨Q))∧R ⇔T ∧R(置换)⇔R2)∃x(A(x)→B(x))⇔ ∀xA(x)→∃xB(x)证明 ：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x ⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x) 二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)⇔⌝(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))⇔（⌝P ∧(⌝Q ∨⌝R)）∨(P ∧Q ∧R) ⇔(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R)⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(⌝P ∧Q ∧⌝R))∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R) ⇔m0∨m1∨m2∨m7 ⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1） C ∨D, (C ∨D)→ ⌝E, ⌝E →(A ∧⌝B), (A ∧⌝B)→(R ∨S)⇒R ∨S证明：(1) (C ∨D)→⌝E(2) ⌝E →(A ∧⌝B)(3) (C ∨D)→(A ∧⌝B) (4) (A ∧⌝B)→(R ∨S) (5) (C ∨D)→(R ∨S)(6) C ∨D(7) R ∨S2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明（1）∃xP(x) (2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)∃x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍证明 设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。
离散数学主析取范式和主合取范式
离散数学主析取范式和主合取范式好嘞，今天我们来聊聊离散数学里的主析取范式和主合取范式。
别看这名字听起来有点高大上，其实它们就像是数学里的两个小伙伴，各自有各自的特长。
先说主析取范式。
想象一下，你正在和朋友们讨论晚餐吃什么。
有人说吃披萨，有人说吃汉堡，还有人提议中餐。
每个人都在表达自己的想法，你得把这些意见整合在一起。
这就是主析取范式的味道。
它把不同的逻辑表达式用“或者”连接起来，形成一个大的表达式。
简单来说，就是“要么…要么…”的那种感觉。
就像我们平时说的“你要是去超市，就顺便帮我买点牛奶。
”这里的“要么”就是一个选项，让我们感觉选择的乐趣满满。
再看看主合取范式。
这个听起来就像个正式的聚会，但实际上，它和主析取范式有点像过年的团圆饭，大家一起吃个团圆。
主合取范式是把各种条件用“而且”连接起来，形成一个综合的表达式。
比如，你想去爬山，得有天气好、朋友愿意去、车子开得了，这样才能顺利出发。
“如果天气好，而且朋友愿意去，而且车子也没问题，那我们就去爬山！”这就是主合取范式的魅力所在。
它把多个条件紧紧相连，就像一个不可分割的整体，让人觉得踏实。
咱们说说这两者的区别。
主析取范式就像是在众多选择中找到你最喜欢的，简简单单的“或”就能让你感到满足。
而主合取范式呢，就像在拼图一样，每一块都得恰如其分地嵌进去，缺一不可。
这就让人觉得，逻辑的世界真是千变万化，特别有趣。
就像生活中的各种选择，有时候你要在“吃披萨”或者“吃汉堡”中做决定，但有时候却需要“天气好而且朋友有空而且车能开”这种条件，才敢下定决心。
说到这里，很多人可能会觉得，这些范式好像没什么太大用处。
它们就像数学中的调味料，能让复杂的逻辑问题变得清晰。
通过主析取范式和主合取范式，我们能把复杂的逻辑表达式化繁为简，抓住问题的核心。
试想一下，生活中遇到的各种选择和条件，常常让人头大。
用这些范式整理思路，真的是帮了大忙。
就像做菜时，调料一加，味道立马提升。
更有趣的是，这两个范式还可以互相转换。
离散数学第三讲-范式与主范式
合取范式
E14 分配律
2)、将否定联结词¬移到命题变量的前面, 摩根律E10,E11；
析取范式
E11: (P∧Q) P∨ Q; E10: (P∨Q) P∧ Q
3)、消除多余的否定联结词，双否定律 PP 4)、用∧对∨的分配律化成，析取范式。
∨对∧的分配律
（合取范式）
6
1、范式---析取范式与合取范式
9
n
m2 P Q 0 0 1 0
m1 P Q 0 1 0 0
m0 P Q 1 0 0 0
我们把对应的十进制数当作足标, 用mi表示这一项, 即
2、主范式
一般，n个变元的极小项是:
m 0 P1 P2 P3 Pn m 1 P1 P2 P3 Pn m 2 n 1 P1 P2 P3 Pn
10
2、主范式
2.主析取范式: 若干个极小项的析取,若与公式A等价，则称 它为A 的主析取范式。
例2. 求命题公式(P∧Q)∨R的主析取范式。
求命题公式A′的主析取范式的步骤：
1) 求公式A 的析取范式A′ 2) 展开：若A′的某简单质合取式B中不含命题变项pi或其否定 pi,则将 B展成如下形式： B B∧T B∧(Pi∨Pi) (B∧Pi)∨(B∧Pi) 3) 消去：将重复出现的命题变项、矛盾式及重复出现的极小项都“消 去”,如P∧P用P代,P∧P用F代,mi∨mi用mi代。
(0,2,4) 其中表示合取.
16
极小项与极大项之间的关系
1.
极小项与极大项的关系
一个命题公式的主析取范式和主合取范式紧密相关, 在它们的简 记式中, 代表极小项和极大项的足标是互补的,
离散数学第1章第5节 析取合取范式和推理理论
P∧ (Q ∨ R) (P∧Q) ∨(P∧R) E17
E7
E8 E9
P ∨(Q∧R) (P ∨ Q) ∧(P∨ R) E18
┐(P∧Q) ┐P ∨ ┐Q ┐(P ∨ Q) ┐P ∧┐Q E19 E20
P→Q ┐Q →┐P
P→ (Q→R) (P∧Q) →R P Q (P→Q) ∧(Q→P)
在数理逻辑中，集中注意的是研究和提供用来 从前提导出结论的推理规则和论证原理，这些规则 有关的理论称为推理理论。 在实际应用的推理中，我们常常把本门学科的 一些定律、定理和条件，作为假设前提，尽管这些 前提在数理逻辑中实非永真，但在推理过程中，却 总是假设这些命题为T，并使用一些公认的规则， 得到另外的命题，形成结论，这种过程就是论证。 注意，必须把推理的有效性和结论的真实性区 别开。
一、有效结论
1. 定义 定义1-8.1 设A和C是两个命题公式，当且仅当A→C为一 重言式，即A C，称C是A的有效结论。或C可由A逻辑 地推出。 2. 推广 有效结论定义可以推广到有n个前提的情况。 设H1，H2，……，Hn，C是命题公式，当且仅当 H1∧H2∧…∧Hn C (A) 称C是一组前提H1，H2，……，Hn的有效结论。 3 . 论证过程 判别有效结论的过程就是论证过程。
主合取范式: (P ∧Q ) ∨(┐P ∧R ) (┐P ∨ Q ∨┐R ) ∧ (┐P ∨ Q ∨R) ∧ (P ∨┐Q ∨R) ∧ (P∨ Q∨R) M000∧M010 ∧M100 ∧M101=∏ 0，2，4，5
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(P ∧Q ) ∨(┐P ∧R )的主析取范式: m001∨m011∨m110∨m111=∑ 1，3，6，7 (P ∧Q ) ∨(┐P ∧R )的主合取范式: M000∧M010 ∧M100 ∧M101=∏ 0，2，4，5 如果命题P的主析取范式为： ∑i1，i2，…，ik 则P的主合取范式为： ∏ 0,1,2,…,i1-1, i1+1, …, ik-1, ik+1, …,2n-1
命题逻辑中范式教学的思考与总结
命题逻辑中范式教学的思考与总结摘要：范式是命题逻辑中的重要概念，范式是把命题公式化归为一种标准的形式。
范式最大的作用是可以进行两个命题的等价判定。
本文通过剖析范式的定义和判定方法，帮助离散数学的初学者深入理解范式并能够熟练书写命题的范式。
关键词：范式;命题逻辑;等价判定;离散数学一、范式的引入在引入范式的定义之前，我们先来讲解一下判定的含义：以有限次步骤来决定命题公式是否为永真式、永假式还是可满足式，或者判定两个命题公式是否定价等这一类问题统称为判定问题。
在命题逻辑中，讲解了两个命题A和B等价（A<=>B）的充要条件是A<->B为永真式。
具体判断的方法可以归纳为三种：第一种是真值表法，即对于等价号两边的命题变元给予相同的真值指派，看结果是否相同，相同的话A<->B即为永真式，此时A<=>B。
第二种是命题演算的方法，即化简命题A<->B至最简式，看是否为T，然后判断。
第三种就是我们要介绍的范式判定的方法，将命题公式A和B分别化成主析取范式（或主合取范式）。
如果化成后的主范式相同，则可以判定两个公式等价。
把命题公式化归为一种规范标准的形式，称此标准形式为范式。
二、析（合）取范式许多教材对析取和合取范式有着不同类型的定义。
这里我们先引入两个词的定义：基本积和基本和。
命题的析取式称为“和”，命题的合取式称为“积”。
基本积是指命题公式的变元和变元的否定之积。
同理，基本和是指命题公式的变元和变元的否定之和。
若“基本积”和“基本和”中有子公式，则称为基本积（和）的因子。
基本积和永假式有着密切的关系，一个基本积是永假式的充分必要条件是它至少包含一对因子，其中一个是另一个的否定。
该判定很容易理解，因为一旦包含这样的因子，那么其中必然含有F，由于基本积是合取，那么整个命题的值为F，即为永假命题。
同理，一个“基本和”必定为永真式的充分必要条件是该公式至少包含一对因子，其中一个是另一个的否定。
离散数学主析取范式主合取范式
实验二实验题目：生成主析取范式和主合取范式实验目的：1.熟悉地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算；通过实验提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力；使学生具备程序设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析。
2.掌握命题逻辑中的联接词、真值表、主范式等，进一步能用它们来解决实际问题。
实验内容：利用计算机构造真值表来建立主析取范式和主合取范式实验原理：1.合取：二元命题联结词。
将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P ∧Q。
这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P 为真, Q为真时方可P∧Q为真, 而P、Q只要有一为假则P∧Q 为假。
2.析取：二元命题联结词。
将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P ∨Q。
这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P为假, Q为假时方可P∨Q为假, 而P、Q只要有一为真则P∨Q为真。
3.真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。
列出命题公式真假值的表。
通常以1表示真，0 表示假。
命题公式的取值由组成命题公式的命题变元的取值和命题联结词决定，命题联结词的真值表给出了真假值的算法。
真值表是在逻辑中使用的一类数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效。
4.主析取范式：在含有n个命题变元的简单合取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单合取式为小项。
由若干个不同的小项组成的析取式称为主析取范式;与A等价的主析取范式称为A的主析取范式。
任意含n个命题变元的非永假命题公式A都存在与其等价的主析取范式,并且是惟一的。
5.主合取范式：在含有n个命题变元的简单析取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单析取式为大项。
由若干个不同的大项组成的合取式称为主合取范式;与A等价的主合取范式称为A 的主合取范式。
任意含n个命题变元的非永真命题公式A都存在与其等价的主合取范式,并且是惟一的。
离散数学论文
浅论离散数学的实际应用摘要：离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。
作为一门重要的专业基础课，对于我们电子专业的同学来说，学习离散数学史有其重要现实意义：它不仅能为我们的专业课学习打下基础，也为我们今后将要从事的软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础，同时也有助于培养我们的抽象思维、严格的逻辑推理和创新能力。
离散数学的应用非常广泛，本文主要研究其在我们所学的重要课程中的应用：数字电路中的门电路设计、软件技术基础中的一些技术以及解决现实生活中的一些问题的应用。
关键字：离散数学、电路设计、软件技术、应用1.什么是离散数学1.1简介离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
1.2离散数学的内容离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域，它通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、代数结构、关系论、函数论、图论、组合学、数论等。
2.离散数学在门电路设计中的应用2.1 逻辑门的概念逻辑门是集成电路中的基本组件。
简单的逻辑门可由晶体管组成。
这些晶体管的组合可以使代表两种信号的高低电平在通过它们之后产生高电平或者低电平的信号。
高、低电平可以分别代表逻辑上的“真”与“假”或二进制当中的1和0，从而实现逻辑运算。
常见的逻辑门包括“与”门，“或”门，“非”门，“异或”门（也称：互斥或）等等。
主范式的求解及其应用
主范式的求解及其应用黄忠铣;周榕【摘要】数理逻辑作为数学及思维科学的一个分支，在各学科领域的发展中，有着广泛的应用。
讨论数理逻辑中的重要概念主范式的求解方法：真值表法、等值演算法、等值替换结合二进制数法及构造树法等；并且论述主范式在命题公式中的若干作用。
%As a branch of mathematics and noetic science, Mathematical logic has a broad real application in the development of vari-ous disciplines. we sum up the four methods of solving the principal normal form, such as: truth table method, equivalent algorithm, re-placement combining binary number method and tree construction method, etc. And we sum up the main applications of special normal forms in the proposition formula.【期刊名称】《武夷学院学报》【年(卷),期】2016(035)003【总页数】4页(P51-54)【关键词】主析取范式;主合取范式;极小项;极大项【作者】黄忠铣;周榕【作者单位】武夷学院数学与计算机系，福建武夷山354300;武夷学院数学与计算机系，福建武夷山354300【正文语种】中文【中图分类】O158作为信息科学和计算机科学的数学基础离散数学，是一门核心课程。
它能够培养学生思维形式和逻辑表达的能力，从而应用于实际解决问题，而且对于学术的研究也是非常重要的［1］。
数理逻辑是离散数学的重要组成部分，而主范式是数理逻辑的重要概念，在理论及应用中都有重要的地位，它在计算机科学与技术专业和信息与计算科学的后续课程，比如数据结构、编译原理、软件工程等有广泛的实质性应用［1］。
命题公式主范式的求法及应用
(2)若 中出现的命题变项(按字母顺序)为 …， 的赋值 是指 ，最后的字母赋值 .其中 为 或 , .不难看出，含 个命题变项的公式共有 个不同的赋值.例如，在 中， 为成真赋值， 为成假赋值.
根据公式在各种赋值下的取值情况，可按下述定义将命题公式进行分类.
定义1.1.2设 … 是出现在公式 中的全部命题变项，给 各指定一个真值，称为对 的赋值或解释.若指定的一组值使 为 ，则称这组值为 的成真赋值，若指定的一组值使 为 ，则称这组值为 的成假赋值.将命题公式在所有赋值下取值情况列成表，称为 的真值表.
在本文中，对含 命题变项的公式 的赋值采用下述方式：
定义1.1.9所有简单合取式(简单析取式)都是极小项(极大项)的析取范式(合取范式)称为主析取范式(主合取范式).
注:主析取范式可能为空，空的主析取范式规定为0；主合取范式可能为空，空的主合取范式规定为1.主析范式恰由使公式成真所对的极小项组成；主合取范式恰由使公式成假所对的极大项组成.
1.2命题公式主范式重要的相关定理
3.5利用主范式可以写出一个命题公式的真值 10
3．6利用主范式可以判断推理过程的准确性 10
3.7可以应用主范式分析和解决实际问题 11
4.附录 14
5.参考文献 15
6.致谢 16
逻辑学是研究思维和论证的科学，也就是研究关于人类推理的学问.在20世纪的下半个世纪，伴随着计算机科学技术的迅猛发展，新的逻辑学分支——数理逻辑也发展起来.数理逻辑也称为符号逻辑，是一门运用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的边缘性学科.其内容相当广泛，包括逻辑演算(命题演算与谓词演算)、公理集合论、证明论、递归函数论等，其中逻辑演算是其它各部分的基础.它在逻辑电路、自动控制、人工智能、程序设计、数据库理论以及计算机科学的其它领域有着广泛的应用.
离散数学析取范式与合取范式
第四页，编辑于星期日：二十二点 八分。
定理（范式存在定理） 任何命题公式都存在着 与之等值的析取范式与合取范式.
求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在） (2) 内移或消去否定联结词 (3) 利用分配律 对分配（析取范式） 对分配（合取范式）
公式的范式存在，但不惟一，这是它的局限性.
例1.17 求公式 (pq)r 的主析取范式.
(pq)r
(pq)r , （析取范式） ①
其中 (pq)
(pq)(rr)
(pqr)(pqr)
m6m7 ,
②
16
16
第十六页，编辑于星期日：二十二点 八分。
r
(pp)(qq)r
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m1m3m5m7
③
②, ③代入①并排序，得
(pq)r m1m3m5 m6m7（主析取范 式）
17
17
第十七页，编辑于星期日：二十二点 八分。
例1.18 求下列公式的主析取范式. (1) (pq) ( p r ) (2) (( p q) r ) p
答案: (1) (pq) ( p r ) m2 m3m5 m7
(2) (( p q) r ) p m2 m4m5 m6m7
12
第十二页，编辑于星期日：二十二点 八分。
由 p, q, r 三个命题变项形成的极小项:
公式 p q r p q r p q r p q r p q r
p q r p q r pqr
成真赋值 000 001 010 011 100 101 110 111
极小项
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
(2) q r (3) r (p q) ③ (1) ~ (3)构成的合取式为 A=( p r )(q r)(r (p q))
离散数学课程总结论文
离散数学课程总结论文一、课程的性质与任务离散数学是现代数学的一个重要分支,是计算科学专业的专业主干课之一, 课程结合计算科学的特点研究离散对象及相互关系, 对提高学生的抽象思维与逻辑推理能力有重要作用.它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,在计算科学中的数据结构、操作系统等有广泛的应用。
二、课程内容、基本要求（一）命题逻辑1.理解命题的概念, 掌握常用的命题联结词。
2.理解命题的合式公式概念, 会用真值表来判别公式的真假。
3.知道公式的等价关系和蕴含关系,会利用真值表和常用的基本等值式作等值演算。
4.会用真值表法及等值演算求合式公式的主析取范式和主合取范式。
5.知道命题演算的推理理论, 掌握直接证明、条件证明、反证法, 能进行一些简单推理。
重点: 求合式公式的主析取范式和主合取范式。
难点: 利用基本等值作等值演算。
（二）谓词逻辑1.熟悉一阶谓词逻辑的谓词、量词等概念。
知道谓词公式的概念。
2.知道谓词演算中关于量词的等值式。
3.熟悉常见谓词演算的基本规则；掌握谓词演算的推理理论。
重点: 谓词演算的基本规则。
难点: 谓词演算中关于量词的等值式。
（三）集合的基本概念1.理解集合的概念, 掌握集合和元素间的关系。
2.熟悉集合与集合之间的关系（相等、包含）。
3.熟练掌握集合之间的运算及基本运算规律。
4.掌握幂集及笛卡尔积的计算。
重点: 集合之间的运算及基本运算规律。
难点: 幂集及笛卡尔积的计算。
（四）关系与函数1.理解关系的基本概念, 掌握关系的图及其矩阵表示方法。
2.掌握关系的运算, 理解关系的几种特性。
3.掌握关系的闭包运算。
4.理解等价关系、等价类、商集、偏序关系的概念, 会用哈斯图表示偏序关系, 会根据等价关系求等价类,理解并掌握等价关系与集合划分之间的重要关系会求出等价关系所产生的一个集合的划分。
5.了解函数的基本概念, 掌握复合函数、逆函数的计算。
重点: 关系的几种特性、关系的闭包运算。
离散数学求命题公式的主析取范式和主合取范式
离散数学求命题公式的主析取范式和主合取范式Description输⼊命题公式的合式公式，求出公式的真值表，并输出该公式的主合取范式和主析取范式。
Input命题公式的合式公式Output公式的主析取范式和主合取范式，输出形式为：“ mi ∨ mj ; Mi ∧ Mj” ，极⼩项和∨符号之间有⼀个空格，极⼤项和∧符号之间有⼀个空格；主析取范式和主合取范式之间⽤“ ; ”隔开，“ ; ”前后各有⼀个空格。
永真式的主合取范式为 1 ，永假式的主析取范式为 0 。
输⼊公式的符号说明：! ⾮，相当于书⾯符号中的 “ ¬ ”& 与，相当于书⾯符号中的 “ ∧ ”| 或，相当于书⾯符号中的 “ ∨ ”蕴含联结词，相当于书⾯符号中的 “ → ”等价联结词，相当于书⾯符号中的 “ ↔ ”( 前括号) 后括号Code#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#define N 1000#define MAX 10000000char s[N];bool table[30];int explain[30];int value[MAX];int sum = 0;int priority(char c){switch (c){case '#': return -1;case '!': return 5;case '&': return 4;case '|': return 3;case '-': return 2;case '+': return 1;case '(': return 0;default: return 0;}}void postfix(){char post[N] = { '\0' };int pp = -1;char stack[N] = { '#' };int ps = 0;int len = strlen(s);for (int i = 0; i < len; i++){if (s[i] >= 'a' && s[i] <= 'z'){post[++pp] = s[i];continue;}if (s[i] == '!' || s[i] == '&' || s[i] == '|' || s[i] == '-' || s[i] == '+'){while (priority(s[i]) <= priority(stack[ps]))post[++pp] = stack[ps--];stack[++ps] = s[i];continue;}if (s[i] == '('){stack[++ps] = s[i];continue;}if (s[i] == ')'){while (stack[ps] != '(') post[++pp] = stack[ps--];ps--;continue;}}while (ps) post[++pp] = stack[ps--];strcpy(s, post);int l = strlen(s);}void settable(){memset(table, 0, sizeof(table));int len = strlen(s);for (int i = 0; i < len; i++){if (s[i] >= 'a' && s[i] < 'z')table[s[i] - 'a'] = true;}for (int i = 0; i < 26; i++)if (table[i]) sum++;sum = pow(2, sum);}int btoi(){int sum = 0, weight = 1;for (int i = 25; i >= 0; i--)if (table[i]){if (explain[i]) sum += weight;weight *= 2;}return sum;}int calc(int a, int b, char c){switch (c){case '&': return a * b;case '|': if (a + b) return 1; else return 0;case '-': if (a == 1 && b == 0) return 0; else return 1; case '+': return !((a + b) & 1);}}int work(){int stack[N], ps = -1;int len = strlen(s);for (int i = 0; i < len; i++){if (s[i] >= 'a' && s[i] <= 'z'){stack[++ps] = explain[s[i] - 'a'];continue;}if (s[i] == '!'){stack[ps] = (stack[ps] + 1) & 1;continue;}int ans = calc(stack[ps - 1], stack[ps], s[i]);stack[--ps] = ans;}return stack[0];}void assign(){int x = btoi();int ans = work();value[x] = ans;}void generate(char c){while (c <= 'z' && table[c - 'a'] == false) c++;if (c > 'z'){assign();return;}explain[c - 'a'] = 0;generate(c + 1);explain[c - 'a'] = 1;generate(c + 1);}void output1(){int i = 0;while (i < sum && !value[i]) i++;if (i >= sum){printf("0 ; ");return;}printf("m%d", i);for (i++; i < sum; i++)if (value[i]) printf(" ∨ m%d", i);printf(" ; ");}void output2(){int i = 0;while (i < sum && value[i]) i++;if (i >= sum){printf("1\n");return;}printf("M%d", i);for (i++; i < sum; i++)if (!value[i]) printf(" ∧ M%d", i);printf("\n");}int main(){scanf("%s", s);postfix();settable();memset(value, 0, sizeof(value));memset(explain, 0, sizeof(explain)); generate('a');output1();output2();return 0;}。
离散数学论文
离散数学论文
本文主要探讨了离散数学的一些基础性理论与应用，包括集合论、图论、逻辑、组合数学等方面。
在集合论部分，我们简要介绍了集合的定义和基本操作，包括交、并、差、补集等；在图论部分，我们介绍了常见的有向图和无向图的概念、图的遍历算法以及最短路径算法等；在逻辑部分，我们讨论了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和定理，并介绍了一些基本的证明方法，例如归纳证明和反证法；在组合数学部分，我们介绍了常见的排列、组合、二项式定理等概念，并简要讨论了图论中的应用。
在具体应用方面，我们分别从网络流算法、密码学以及编码理论三个方面进行了论述。
在网络流算法部分，我们介绍了常见的最大流算法和最小割算法，并讨论了其在实际问题中的应用，例如电力网络优化和运输问题；在密码学部分，我们简要介绍了对称加密算法和公钥加密算法，并讨论了一些密码学的基本概念和常见的攻击手段；在编码理论部分，我们介绍了奇偶校验码、汉明码等基本概念，并讨论了其在通信领域的重要性。
总的来说，离散数学在计算机科学领域中扮演着重要的角色，它不仅为计算机科学提供了必要的数学基础，还为计算机科学的实践应用提供了重要的工具和技术。
因此，深入理解离散数学的基本概念和方法是非常有必要的。
命题公式主合取范式的基础离散论文
命题公式主合取范式的基础[摘要]：主合取范式是一种仅由有限个文字构成的析取式，在命题逻辑中发挥着重要的作用。
一个简单合取范式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。
主合取范式具有特有的性质与作用。
特有的性质与作用。
为了进一步了解主合取范式，为了进一步了解主合取范式，为了进一步了解主合取范式，本文针对它的定义、本文针对它的定义、本文针对它的定义、作用、性质以及与真作用、性质以及与真值表的关系展开讨论。
[关键词]：主合取范式极大值真值表推理法（求法）在离散数学中，吸取范式和合取范式统称为范式，是命题逻辑表达式的重要组成部分。
他们的作用相同与真值表，也就是说规范的主、合取范式可以表达真值表所能给出的一切信息。
以下将从定义、求法、用途实例、与真值表的关系等四个方面进行阐述。
一、定义说明在含有n 个命题变项的简单析取式中，若每个命题的变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现一次，且第i 个命题变项或它的否定式出现在左算起的第i 位上（若命题变项无角标，就按字典顺序排序），称这样的简单析取式极大项。
由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式形式出现且仅出现一次，因而n 个命题变项共可产生2n 个不同的极小项。
其中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。
若成真赋值所对应的二进制数转化为十进制数为i ，就将所对应极小项记作m i 。
类似地，类似地，n n 个命题变项共可产生2n 个不同的极大项，每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i 做极大项的角标，记作M i 。
定义：设由n 个命题变项构成的合取范式中的所有的简单析取式都是极大项，个命题变项构成的合取范式中的所有的简单析取式都是极大项，则称该合则称该合取范式为主合取范式。
二、求法简述（一）一般步骤。
主析取范式在给定的命题公式中，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式。
主析取范式的惟一性任意含n 个命题变元的非永假命题公式A ，其主析取范式是惟一的。
离散数学主析取范式主合取范式
离散数学主析取范式主合取范式主析取范式和主合取范式是离散数学中逻辑表达式的两种常见形式。
它们在逻辑推理、计算机科学和人工智能等领域具有重要的应用价值。
本文将介绍主析取范式和主合取范式的概念、特性以及如何通过布尔运算将任意逻辑表达式转化为主析取范式或主合取范式。
一、主析取范式（DNF）主析取范式是一个逻辑表达式的标准形式，它由多个子句的析取组成。
每个子句由多个文字的合取构成。
主析取范式的最简形式是由至少一个子句组成的合取。
例如，逻辑表达式(A ∧ B) ∨ (C ∧ D ∧ E)就是一个主析取范式。
其中，(A ∧ B) 和 (C ∧ D ∧ E) 是两个子句，分别由 A、B 和 C、D、E 构成。
主析取范式的特性：1. 每个子句中的文字可以是变量或其否定形式。
2. 主析取范式中的每个文字都是变量的析取或否定析取。
3. 主析取范式可以使用布尔运算来简化和优化。
如何得到主析取范式？可以通过真值表法或布尔代数的演算法来将任意逻辑表达式转化为主析取范式。
方法如下：2. 找到真值表中使得逻辑表达式为真的行。
3. 对每一行，在真值为真的列上取出对应的文字，并将它们合取起来构成一个子句。
4. 将所有子句析取起来得到主析取范式。
二、主合取范式（CNF）主合取范式是一个逻辑表达式的标准形式，它由多个子句的合取组成。
每个子句由多个文字的析取构成。
主合取范式的最简形式是由至少一个子句组成的析取。
例如，逻辑表达式(A ∨ B) ∧ (C ∨ D ∨ E)就是一个主合取范式。
其中，(A ∨ B) 和 (C ∨ D ∨ E) 是两个子句，分别由 A、B 和 C、D、E 构成。
主合取范式的特性：1. 每个子句中的文字可以是变量或其否定形式。
2. 主合取范式中的每个文字都是变量的合取或否定合取。
3. 主合取范式可以使用布尔运算来简化和优化。
如何得到主合取范式？可以通过真值表法或布尔代数的演算法来将任意逻辑表达式转化为主合取范式。
离散数学论文小论文
离散数学论文小论文离散数学论文小论文离散数学论文篇一：离散数学小论文一、对这门课的认识：首先要明确的是，由于《离散数学》是一门数学课，且是由几个数学分支综合在一起的，内容繁多，非常抽象，因此即使是数学系的学生学起来都会倍感困难，对计算科学专业的学生来说就更是如此。
大家普遍反映这是大学四年最难学的一门课之一。
作为一门理论抽象，内容广泛，结构严谨的计算机专业基础可它不仅与计算机专业基础课（数据结构，操作系统。
数据库原理。
人工智能，编译原理，网络理论等）有紧密联系，而且对培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力有着重要作用，为我们今后在是计算机科学的研究与技术的卡法提供了重要的工具。
鉴于《离散数学》在计算科学中的重要性，这是一门必须牢牢掌握的课程。
既然如此，在学习《离散数学》时，大家最应该注意学习过程是一个扎扎实实积累的过程，不能打马虎眼。
离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学集合论、数理逻辑和图论有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。
《离散数学》的特点是：1、知识点集中，概念和定理多：《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。
不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。
掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。
要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。
2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。
通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。
《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。
但是《离散数学》证明题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。
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命题公式主合取范式的基础
[摘要]：主合取范式是一种仅由有限个文字构成的析取式，在命题逻辑中发挥着重要的作用。
一个简单合取范式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。
主合取范式具有特有的性质与作用。
为了进一步了解主合取范式，本文针对它的定义、作用、性质以及与真值表的关系展开讨论。
[关键词]：主合取范式极大值真值表推理法（求法）
在离散数学中，吸取范式和合取范式统称为范式，是命题逻辑表达式的重要组成部分。
他们的作用相同与真值表，也就是说规范的主、合取范式可以表达真值表所能给出的一切信息。
以下将从定义、求法、用途实例、与真值表的关系等四个方面进行阐述。
一、定义说明
在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题的变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现一次，且第i个命题变项或它的否定式出现在左算起的第i位上（若命题变项无角标，就按字典顺序排序），称这样的简单析取式极大项。
由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式形式出现且仅出现一次，因而n个命题变项共可产生2n个不同的极小项。
其中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。
若成真赋值所对应的二进制数转化为十进制数为i，就将所对应极小项记作m i。
类似地，n个命题变项共可产生2n个不同的极大项，每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i做极大项的角标，记作M i。
定义：设由n个命题变项构成的合取范式中的所有的简单析取式都是极大项，则称该合取范式为主合取范式。
二、求法简述
（一）一般步骤。
主析取范式在给定的命题公式中，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式。
主析取范式的惟一性任意含n个命题变元的非永假命题公式A，其主析取范式是惟一
的。
主合取范式的惟一性任意含n个命题变元的非永真命题公式A，其主合取范式是惟一的。
真值表的主范式求法 :
（1）在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，即为此公式主析取范式。
（2）在真值表中，一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取，即为此公式主合取范式。
主范式的等值演算法 :
对于一个给定n个变元的命题公式A，都可通过等值变换，化为惟一的主析取范式或主合取范式。
主范式之间的关系 :
设命题公式中含有n个命题变元，且A的主析取范式中含有k个小项，则A的主合取范式必含有个大项。
如果命题公式A的主析取范式为：则A的主合取范式为：
从n个命题变元的公式A的主析取范式，求合取范式的步骤：
（1）求出A的主析取范式中未包含小项的。
（2）把（1）中求出的“下标”写成对应大项；
（3）把（2）中写成的大项合取，即为A的主合取范式。
（二）方法论证及分析。
下面讨论的问题是，如何求出与给定公式等值的主合取范式，并且是唯一的，再讨论它的求法。
任何命题公式都存在着与之等值的主合取范式，并且是唯一的。
首先证明存在性。
设A是任一含n个命题变项的公式。
有定理（任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式）可知，存在与A等值的合取范式B，即A B。
若B的某简单析取式Bi中既不含命题变项pj，也不含它的否定式┐pj，则将Bi展成如下形式：Bi Bi∨0 Bi∨(pj∧┐pj) (Bi∨pj)∧(Bi∨┐pj)
继续这个过程，直到所有的简单析取式都含任意命题变项或它的否定式。
若在演算过程中出现重复出现的命题变项以及极大项和重言式时，都应“消去”：如用p代替p∧p，M i代替Mi∨Mi，1代替重言式等。
最后就将A化成与之等值的主合取范式B’。
下面再证明惟一性。
假设某一命题公式A存在两个与之等值的主合取范式B和C，即A B且A C，则B C。
由于B和C是不同的主合取范式，不妨设极大项Mi 只出现在B中而不出现在C中，于是，脚标i的二进制表示为B的成假赋值，而为C的成真赋值，这与B C矛盾，因而B与C必相同。
三、实物实例
实例：
在上面证明过程中已经给出了求主合取范式的步骤，为了更好的了解求主合取范式下面我们先举个例子。
例一：求下面公式主合取范式。
（p→q）<->r
（p∨r）∧（┐q∨r）∧（┐p∨q∨┐r）
其中简单析取范式（┐p∨q∨┐r）已是极大项M5。
利用矛盾律和同一律将不是极大项的简单析取范式化成极大项。
（p∨r）
（p∨（q∧┐q）∨r）
（p∨q∨r）∧（p∨┐q∨r）
M
0∨ M
2
（┐q∨r）
（（p∧┐ p）∨┐q∨r）
（p∨┐q∨r）∧（┐p∨┐q∨r）
M
2∧ M
6
于是：
（p→q）<->r
M
0∧ M
2
∧ M
5
∧ M
6
用途：
下面讨论一下主合取范式的用途。
公式的主合取范式像公式的真值表一样，可以表达出公式以及公式之间关系的一切信息。
（1）求公式的成真与成假赋值
若公式A中含n个命题变项，A的主合取范式含s（0<s<2n）个极大项，则A有s个成假赋值，它们是所含极大项角标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成真赋值。
（2）判断公式的类型
设公式A中含n个命题变项，容易看出：
1、A为重言式当且仅当A的主合取范式不含任何极大项，此时，记A 的主合取范
式为1。
2、A为矛盾式当且仅当A的主合取范式含全部2n个极大项。
3、A为可满足式当且仅当A的主合取范式中至少不含一个极大项。
（3）判断两个命题公式是否等值
设公式A，B共含有n个命题变项，按n个命题变项求出A与B的主合取范式A'与B'。
若A'与B'相等，则A与B等值，否则A与B不等值。
例二：应用主合取范式分析和解决实际问题
某科研所要从3名科研骨干A，B，C中挑选1～2名出国进修。
由于工作需要，选派时要满足以下条件：
（1）若A去，则C同去。
（2）若B去，则C不能去。
（3）若C不去，则A或B可以去。
问所里要如何选派他们？
解答：设p:派A去
q：派B去
r：派C去
由已知的条件可得公式
（p→r）∧(q→┐r) ∧(┐r→(p∨q))
经过演算可得
（┐p∨r）∧（┐q∨┐r）∧（p∨q∨r）
(┐p∨q∨r) ∧(┐p∨┐q∨r) ∧(p∨┐q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨┐r)∧(p∨r ∨q)
M4∧M6∧M3∧M7∧M0
由以上的结果可知，该公式的成真命题为
M1=┐p∧┐q∧r，M2=┐p∧q∧┐r, M5=p∧┐q∧r
这样，我们就可以知道，有3种选派方法：
（a）C去，A、B都不去
（b）B去，A、C都不去
（c）A、C同去，B不去
四、真值表和主合取范式的关系
A Ｂ当且仅当有相同的真值表，又当且仅当Ａ与Ｂ有相同的主合取范式。
因而可以这样说，真值表与主合取范式是描述命题公式标准形式的两种不同的等价形式。
因而两者是可以相互确定的，即由Ａ的主合取范式，立刻可确定Ａ的真值表，反之，由Ａ的真值表可以立刻确定Ａ的主合取范式．
[参考文献]：《离散数学》高等教育出版社耿素云屈婉玲编著。