命题公式主合取范式的基础离散论文

命题公式主合取范式的基础

[摘要]：主合取范式是一种仅由有限个文字构成的析取式，在命题逻辑中发挥着重要的作用。一个简单合取范式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。主合取范式具有特有的性质与作用。为了进一步了解主合取范式，本文针对它的定义、作用、性质以及与真值表的关系展开讨论。

[关键词]：主合取范式极大值真值表推理法（求法）

在离散数学中，吸取范式和合取范式统称为范式，是命题逻辑表达式的重要组成部分。他们的作用相同与真值表，也就是说规范的主、合取范式可以表达真值表所能给出的一切信息。以下将从定义、求法、用途实例、与真值表的关系等四个方面进行阐述。

一、定义说明

在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题的变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现一次，且第i个命题变项或它的否定式出现在左算起的第i位上（若命题变项无角标，就按字典顺序排序），称这样的简单析取式极大项。

由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式形式出现且仅出现一次，因而n个命题变项共可产生2n个不同的极小项。其中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。若成真赋值所对应的二进制数转化为十进制数为i，就将所对应极小项记作m i。类似地，n个命题变项共可产生2n个不同的极大项，每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i做极大项的角标，记作M i。

定义：设由n个命题变项构成的合取范式中的所有的简单析取式都是极大项，则称该合取范式为主合取范式。

二、求法简述

（一）一般步骤。

主析取范式在给定的命题公式中，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式。

主析取范式的惟一性任意含n个命题变元的非永假命题公式A，其主析取范式是惟一

的。

主合取范式的惟一性任意含n个命题变元的非永真命题公式A，其主合取范式是惟一的。

真值表的主范式求法 :

（1）在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，即为此公式主析取范式。

（2）在真值表中，一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取，即为此公式主合取范式。

主范式的等值演算法 :

对于一个给定n个变元的命题公式A，都可通过等值变换，化为惟一的主析取范式或主合取范式。

主范式之间的关系 :

设命题公式中含有n个命题变元，且A的主析取范式中含有k个小项，则A的主合取范式必含有个大项。

如果命题公式A的主析取范式为：则A的主合取范式为：

从n个命题变元的公式A的主析取范式，求合取范式的步骤：

（1）求出A的主析取范式中未包含小项的。

（2）把（1）中求出的“下标”写成对应大项；

（3）把（2）中写成的大项合取，即为A的主合取范式。

（二）方法论证及分析。

下面讨论的问题是，如何求出与给定公式等值的主合取范式，并且是唯一的，再讨论它的求法。

任何命题公式都存在着与之等值的主合取范式，并且是唯一的。

首先证明存在性。设A是任一含n个命题变项的公式。有定理（任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式）可知，存在与A等值的合取范式B，即A B。若B的某简单析取式Bi中既不含命题变项pj，也不含它的否定式┐pj，则将Bi展成如下形式：Bi Bi∨0 Bi∨(pj∧┐pj) (Bi∨pj)∧(Bi∨┐pj)

继续这个过程，直到所有的简单析取式都含任意命题变项或它的否定式。

若在演算过程中出现重复出现的命题变项以及极大项和重言式时，都应“消去”：如用p代替p∧p，M i代替Mi∨Mi，1代替重言式等。最后就将A化成与之等值的主合取范式B’。

下面再证明惟一性。假设某一命题公式A存在两个与之等值的主合取范式B和C，即A B且A C，则B C。由于B和C是不同的主合取范式，不妨设极大项Mi 只出现在B中而不出现在C中，于是，脚标i的二进制表示为B的成假赋值，而为C的成真赋值，这与B C矛盾，因而B与C必相同。

三、实物实例

实例：

在上面证明过程中已经给出了求主合取范式的步骤，为了更好的了解求主合取范式下面我们先举个例子。

例一：求下面公式主合取范式。

（p→q）<->r

（p∨r）∧（┐q∨r）∧（┐p∨q∨┐r）

其中简单析取范式（┐p∨q∨┐r）已是极大项M5。利用矛盾律和同一律将不是极大项的简单析取范式化成极大项。

（p∨r）

（p∨（q∧┐q）∨r）

（p∨q∨r）∧（p∨┐q∨r）

M

0∨ M

2

（┐q∨r）

（（p∧┐ p）∨┐q∨r）

（p∨┐q∨r）∧（┐p∨┐q∨r）

M

2∧ M

6

于是：

（p→q）<->r

M

0∧ M

2

∧ M

5

∧ M

6

用途：

下面讨论一下主合取范式的用途。公式的主合取范式像公式的真值表一样，可以表达出公式以及公式之间关系的一切信息。

（1）求公式的成真与成假赋值

若公式A中含n个命题变项，A的主合取范式含s（0

（2）判断公式的类型

设公式A中含n个命题变项，容易看出：

1、A为重言式当且仅当A的主合取范式不含任何极大项，此时，记A 的主合取范

式为1。

2、A为矛盾式当且仅当A的主合取范式含全部2n个极大项。

3、A为可满足式当且仅当A的主合取范式中至少不含一个极大项。

（3）判断两个命题公式是否等值

设公式A，B共含有n个命题变项，按n个命题变项求出A与B的主合取范式A'与B'。若A'与B'相等，则A与B等值，否则A与B不等值。

例二：应用主合取范式分析和解决实际问题

某科研所要从3名科研骨干A，B，C中挑选1～2名出国进修。由于工作需要，选派时要满足以下条件：

（1）若A去，则C同去。

（2）若B去，则C不能去。

（3）若C不去，则A或B可以去。

问所里要如何选派他们？

解答：设p:派A去

q：派B去

r：派C去

由已知的条件可得公式