线性代数——n阶行列式-精
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第1节 n阶行列式的定义(全)
表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式 二阶行列式， 数表所确定的二阶行列式，即
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
a 其中， 称为元素 元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第 行； 行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第 列. 列标，表明元素位于第j
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
3 2 3 D = 2 -3 4 4 -5 2
p 个奇排列均变成偶排列，故 p ≤ q ； 个奇排列均变成偶排列，
同理，对每个偶排列做同一变换， 同理，对每个偶排列做同一变换，则
q 个偶排列均变成奇排列，故 q ≤ p 。 个偶排列均变成奇排列，
从而， 从而，
n! p=q= 2
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
解 按对角线法则，有 按对角线法则，
D = 3 × ( −3) × 2 + 2 × 4 × 4 + 2 × ( −5) × 3
−3 × ( −3) × 4 − 2 × 2 × 2 − 3 × 4 × ( −5)
线性代数n阶行列式的定义PPT课件
为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的 位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。
对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及 列标排列同时经过一次对换。
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设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为t。
设经过一次对换后行标排列的逆序数为 s 列标排列的逆序数为 t
由定理，对换改变排列的奇偶性
定义3
奇排列： 逆序数为奇数的排列。 偶排列： 逆序数为偶数的排列。
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计算排列的逆序数的方法：
法 1：
n个数的任一n级排列，先看数1，看有多少个比1大的数
排在1前面，记为 m1 ;
再看有多少个比2大的数排在2前面，记为 m2 ;
继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，
记为 mn 0 ;
思考： n级排列中，自然排列只有一种 除此之外，任一n级排列都一定出现较大数码 排在较小数码之前的情况。
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定义2
1）在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的 数前面，就称这两个数构成一个逆序。
2）一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的
逆序数，通常记为 (i1 , i2 ,, in )
123，231，312 132，213，321
一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半
定义4： 把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。
将相邻的两个数对换，称为相邻对换。
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定理1： 对换改变排列的奇偶性。 证明思路： 先证相邻两数的对换，再证一般对换。
法3：
数 in1 后面比 in1 小的数的个数
(i1 , i2 ,, in ) 数 in 前面比 in 大的数的个数
线性代数
第1章行列式一、n阶行列式1、定义1：由自然数1，2，···，n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为排列。
2、定义2：在一个n级排列（i1i2···i t···i s···i n）中，若数i t·＞i s，则称数i t与i s构成一个逆序。
一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为N（i1i2···i t···i s···i n）。
3、定义4：由n2个元素a ij（i，j=1，2，···，n）组成的记号，称为n阶行列式。
而此行列式的值可以表示为：D=∑（-1）N（j1j2···jn）a1j1 a2j2···a njn4、定义5：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的方法称之为对换。
5、定理1：任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性改变。
6、推论1：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数是偶数。
7、定理2：n个自然数（n＞1）共有n！个n级排列，其中奇偶排列各占一半。
8、定理3：n阶行列式也定义为：D=∑（-1）S a i1j1 a i2j2···a injn其中S为行标和列标的逆序数之和，即S=N（i1i2···i n）+N（j1j2···j n）二、行列式的性质1、性质1：行列式与它的转置行列式相等，即D=D T。
2、性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。
3、推论1：若行列式有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零。
4、性质3：用数k乘行列式某一行（列），等于用数k乘此行列式。
§12n阶行列式
n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列 证： 有q个。 将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部 变为偶排列，于是有 排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有 。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换 （ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原 排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排 列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二 、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
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举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排 列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.
线性代数 §12 n阶行列式 习题与答案
§1.2 n 阶行列式为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念。
为此，先介绍排列的有关知识。
㈠排列与逆序：(课本P4)１、排列的定义：由数码1，2，…，n ，组成一个有序数组12n i i i ，称为一个n 级排列。
【例1】1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列。
(课本P4中例)【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。
【例3】数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列。
２、逆序的定义：在一个n 级排列12n i i i 中，如果有较大的数t i 排在si 的前面，则称t i 与s i 构成一个逆序。
(课本P4)【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。
3、逆序数的定义：一个n 级排列12n i i i 中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为12()n N i i i 。
(课本P4)【例5】排列3412的逆序数为N (3412) = 4，排列52341的逆序数为N (52341) = 7， 自然序排列的逆序数为0。
4、奇、偶排列的定义：如果排列12n i i i 的逆序数12()n N i i i 是奇数，则将12n i i i 称为奇排列；如果排列12n i i i 的逆序数12()n N i i i 是偶数，则将12n i i i 称为偶排列。
(课本P4)【例6】由于N (3412) = 4，知排列3412是偶排列，由于N (52341) =7，知排列52341是奇排列， 由于N (123…n ) = 0，知自然排列123…n 是偶排列。
【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。
线性代数-行列式(完整版)
a11a22 a12a21
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横 排称为行， 竖排称为列 ,
aij中i称为行标, j称为列标, aij 表示第i行第j列元素, 左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线， 例１
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
a21 a22 a31 a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
主对角线法
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a21 a22 a31 a32
9
例4 计算三阶行列式
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
19
对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未 发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
n!个） 称为一个n级排列（总数为 . 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相
反)——构成逆序.
15
(2)排列的逆序数
定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in).
第1讲n阶行列式的定义与性质PPT幻灯片课件
逆序数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数
的组合数即 ：
(
p1
p2 ... pn )
(
pn
pn1 ... p1 )
C
2 n
n(n 2
1)
(
pn
pn1 ... p1 )
n(n 1) 2
k
例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k 的逆序数,并讨论奇偶性。
解：2k 的逆序数为 2k 1 ；1 的逆序数为 0
程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位， 在其他课程、科学研究和工程技术中有广泛的应用。因 此，工科学生必须具备有关线性代数的基础理论知识以 及解决实际问题的能力， 从而为学习后续课程和进一步 扩大数学知识打下必要的数学基础。
教学内容与时间分配:
1-行列式(4学时)
2-矩阵及其应用(4学时)
(q1q2 L qn )
an1 an2 ... ann
(1) aq11aqq2 2...aqnn
q1q2 ...qn
(1)
1
2
a a ...a l1s1 l2s2
ln sn
1 (l1l2 ln)
2 (s1s2 L sn )
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1 p1 ...aipi ...a jpj ...anpn
定理4
a11 a12 ... a1n
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
(1) aq1 a1 q2 2 ...aqnn
q1q2 ...qn
an1 an2 ... ann
(1)
1
a a 2 l1s1 l2s2
的组合数即 ：
(
p1
p2 ... pn )
(
pn
pn1 ... p1 )
C
2 n
n(n 2
1)
(
pn
pn1 ... p1 )
n(n 1) 2
k
例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k 的逆序数,并讨论奇偶性。
解：2k 的逆序数为 2k 1 ；1 的逆序数为 0
程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位， 在其他课程、科学研究和工程技术中有广泛的应用。因 此，工科学生必须具备有关线性代数的基础理论知识以 及解决实际问题的能力， 从而为学习后续课程和进一步 扩大数学知识打下必要的数学基础。
教学内容与时间分配:
1-行列式(4学时)
2-矩阵及其应用(4学时)
(q1q2 L qn )
an1 an2 ... ann
(1) aq11aqq2 2...aqnn
q1q2 ...qn
(1)
1
2
a a ...a l1s1 l2s2
ln sn
1 (l1l2 ln)
2 (s1s2 L sn )
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1 p1 ...aipi ...a jpj ...anpn
定理4
a11 a12 ... a1n
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
(1) aq1 a1 q2 2 ...aqnn
q1q2 ...qn
an1 an2 ... ann
(1)
1
a a 2 l1s1 l2s2
3、n阶行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
p1 p2 pn
1
p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
7
线性代数
n阶行列式
说明 1、行列式是一种运算符，它是根据求解方程个 数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义 的；
元素在行列式ij中的余子式仍然是在行列式ij39线性代数n阶行列式ijijnnijijijijij所以命题得证40线性代数n阶行列式4443424133242322211413121144424124222114121133例如动画演示41线性代数n阶行列式行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和即1112njnj定理定理利用行列式的性质4拆分原理有44行列式按行行列式按行列列展开展开42线性代数n阶行列式nn121112111211行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即njni推论推论命题得证43线性代数n阶行列式把行列式行展开有detjnjn把行列式中的换成可得jknjni44线性代数n阶行列式55关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质kjkijkik其中45线性代数n阶行列式66应用举例应用举例46线性代数n阶行列式66应用举例应用举例按第二行展开得1356352747线性代数n阶行列式48线性代数n阶行列式1所以245351225184410319631849线性代数n阶行列式41按第4行展开5a413a422a432a444450线性代数n阶行列式第四行各元素余子式之和为分析41424344表示中元素的余子式则有ij1186851线性代数n阶行列式52线性代数n阶行列式53线性代数n阶行列式54线性代数n阶行列式解法一55线性代数n阶行列式56线性代数n阶行列式57线性代数n阶行列式58线性代数n阶行列式解法二59线性代数n阶行列式三小结三小结32211331231233221133211232231131221311121122122121221112212211121321222331323360线性代数n阶行列式余子式与代数余子式余子式与代数余子式ij划去后留下来的阶行列式叫做元素的余子式阶行列式中把元素所在的第ijij叫做元素的代数余子式
线性代数课件 n阶(方阵的)行列式
例4
a11
计算上三角行列式
a12 a1n a22 a2 n ann
a11 a22
ann
a11a22 ann
注意！
d1 dn dn
-13-
d1
n( n 1) ( 1) 2 d
1d 2 d n
性质7
a11 a1k a k 1 a kk D c11 c1k c n1 c nk
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
an1
an2 ann
DT
a11 a 21 a n1 a12 a 22 a n 2 a1n a 2 n a nn
1 0 0 D 2 1 0 0 1 2
1 2 0 0 1 1 DT 0 0 2
说明
行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立， 反之亦然。
3 100 204 100 100 204 200 200 395 1 200 395 1 300 600 300 300 600
-10-
性质6
把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加
到另一行对应的元素上去,行列式的值不变。 只用 ri k r j 这种变换，把行列式化为 三角形，然后计算行列式的值。
0 b11 b1n bn1 bnn
b11 b1n D2 det(bij ) , bn1 bnn
a11 a1k D1 det(a ij ) , a k 1 a kk
则 D D1 D2
-14-
例5
0 0 0 0 0 0
-1-
n阶行列式的定义——线性代数
0001 0020 0300 4000
解 展开式中项的一般形式是 a a a a 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4
若 p1 4 a1 p1 0, 从而这项为零，
所以 p1只能等于 4 , 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
§4 n阶行列式的定义 © 2009, Henan Polytechnic University
a31 a32 a33
t为排列 p1p2 p3 的逆系数
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33
二、n阶行列式的定义
第一章 行列式
定义 由 n2 个数组成的n阶行列式等于所有取自
不同行不同列的n个元素的乘积的代数和
(1)t a1p1a2 p2 anpn
所以不为零的项只有a11a22 ann . 即
a11 a12 0 a22
a1n
a2n
1
a a a t 12n
11 22
nn
a11a22 ann .
00
ann
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1111
同理可得下三角行列式
66
例1.证明行列式
a1 a2 a1 a1 b1 b2 b3 b4 c1 c2 0 0 d1 d2 0 0 e1 e2 0 0
a1 b5 0 0 0 0
第一章 行列式
§4 n阶行列式的定义 © 2009, Henan Polytechnic University
77
第一章 行列式
例2 计算行列式
99
例3 计算上三角行列式
解 展开式中项的一般形式是 a a a a 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4
若 p1 4 a1 p1 0, 从而这项为零，
所以 p1只能等于 4 , 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
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a31 a32 a33
t为排列 p1p2 p3 的逆系数
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二、n阶行列式的定义
第一章 行列式
定义 由 n2 个数组成的n阶行列式等于所有取自
不同行不同列的n个元素的乘积的代数和
(1)t a1p1a2 p2 anpn
所以不为零的项只有a11a22 ann . 即
a11 a12 0 a22
a1n
a2n
1
a a a t 12n
11 22
nn
a11a22 ann .
00
ann
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1111
同理可得下三角行列式
66
例1.证明行列式
a1 a2 a1 a1 b1 b2 b3 b4 c1 c2 0 0 d1 d2 0 0 e1 e2 0 0
a1 b5 0 0 0 0
第一章 行列式
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第一章 行列式
例2 计算行列式
99
例3 计算上三角行列式
线性代数课件--01n阶行列式的定义及性质-PPT精品文档
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
课件 12
三 阶 行 列 式 的 计 算 对 角 线 法 则
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
a a a a a a a a a 12 23 31 13 21 32 11 22 33 a a a a a a a a a . 13 22 31 12 21 33 11 23 32
4
二、二阶行列式的定义
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 a a 11 12
a a 21 22 ( 4 )
表达式 a a a a 称为数表（ 4 ）所确定的 11 22 12 21 a 11 a 12 行列式，并记作 ( 5 ) a 21 a 22
即
a 11 a 12 a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三 元素的乘积冠以负号．
说明
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
课件
13
利用三阶行列式求解三元线性方程组
x x x a 11 1 a 12 2 a 13 3 b 1, a x x x 如果三元线性方程组 21 1 a 22 2 a 23 3 b 2, a x x x 31 1 a 32 2 a 33 3 b 3;
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
课件
10
例1 求解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解
3 2 3 ( 4 ) 7 0 , D 2 1
《n阶行列式》课件
转置行列式
n阶行列式等于其主对角线上的元素 的乘积减去副对角线上的元素的乘积 。
将行列式的行和列互换后所得到的行 列式称为原行列式的转置行列式，其 值与原行列式相等。
Laplace展开公式
将n阶行列式展开为若干个n-1阶行列 式的乘积，每个n-1阶行列式与原行 列式中的元素有关。
REPORT
CATALOG
代数余子式的计算方法
直接计算法
01
根据代数余子式的定义，直接计算n-1阶行列式，再乘以-1的相
应指数。
递推法
02
利用行列式的展开性质，将高阶行列式转化为低阶行列式，再
利用已知的低阶行列式计算高阶行列式。
公式法
03
利用已知的代数余子式公式进行计算，可以大公式
行列式展开公式
02
行列式可以用于计算矩阵的某些重要属性，如行列 式的值、矩阵的秩等。
03
行列式和矩阵在数值计算、线性代数等领域中有着 广泛的应用。
行列式与线性变换的关系
1
行列式描述了线性变换对空间的影响，特别是对 空间体积的影响。
2
行列式的值决定了线性变换的性质，如可逆性、 奇异性等。
3
在线性代数中，行列式是研究线性变换的重要工 具之一。
行列式与微积分的关系
01 行列式在微积分中常常用于解决某些积分问题， 如定积分、多重积分等。
02 行列式可以用于计算某些几何量，如体积、面积 等。
03 在微分学中，行列式可以用于计算某些函数的导 数和偏导数。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
特殊行列式介绍
范德蒙德行列式
三阶行列式的几何意 义：表示平行六面体 的体积。
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
2 当 k为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
线性代数第1章行列式n阶行列式的定义
行列式中如果有两行（ 列）元素成比例，则此 行列式等于零。
把行列式的某一列（行 ）的各元素乘以同一数 然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列 式不变。
行列式的计算
80%
直接计算法
按照定义直接计算，适用于低阶 行列式。
100%
降阶法
利用性质将高阶行列式降为低阶 行列式计算，适用于高阶行列式 。
80%
将深入讲解特征值与特征向量的定义、性质以及 计算方法等。
向量与线性方程组
将探讨向量的概念、向量的线性组合与线性方程 组的关系等内容。
二次型与正定矩阵
将介绍二次型的概念、正定矩阵的判定以及二次 型的标准化等内容。
学习建议与要求
熟练掌握行列式的定义、性 质和计算方法，能够灵活运 用所学知识解决相关问题。
线性代数第1章行列式n阶行列 式的定义
目
CONTENCT
录
• 引言 • n阶行列式的定义 • 行列式的性质与计算 • 克莱姆法则 • 行列式的应用 • 总结与展望
01
引言
线性代数的重要性
02
01
03
是数学的一个分支，研究线性方程组、向量空间、矩 阵等概念和性质。
在计算机科学、物理学、工程学等领域有广泛应用， 如计算机图形学、量子力学、电路分析等。
本章内容与目标
01
掌握n阶行列式的定义和性质，理解行列式与矩阵的关系。
02
学会计算低阶行列式，了解高阶行列式的计算方法和技巧。
03
了解克拉默法则及其在线性方程组中的应用，理解行列式在 解决实际问题中的意义和作用。
02
n阶行列式的定义
行列式的概念
行列式是数学中的一个基本概念，表示一个方阵的 数值特征。
线性代数
ai1 j1 ai2 j2 L ain jn
例3
若 ( −1)
N ( i 432 k ) + N ( 52 j14 )
ai 5 a42 a3 j a21ak 4是五阶
行列式 aij 的一项，则i,j,k应为何值？ 此时该项的符号是什么？
练习： 练习： 1. 在六阶行列式中，下列各元素连乘积前面应冠以 在六阶行列式中， 什么符号 (1) a23 a31a42 a56 a14 a65 (2) a33 a42 a14 a51a66 a25 2. 在四阶行列式中，含有因子a11a23的项为 ———— 在四阶行列式中，
(1) 36715284
(2)n(n-1)…21 …
定义 3 在一个排列 i1 Lis Lit Lin 它的两个数码
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中，如果仅将
is 和 it
对调，其他数码不变，得到另 对调，其他数码不变，
一个排列 i1 Lit Lis Lin ，这样的变换称为一个 对换，记为对换 (is , it ) 对换， 施以对换(1,3)后得到排列 后得到排列231 如，对排列213施以对换 对排列 施以对换 后得到排列 施以对换(3,4)后得到排列 后得到排列2413 如，对排列2314施以对换 对排列 施以对换 后得到排列 定理1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 定理 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 定理2 个数码 个数码(n>1)共有 个n级排列，其中奇偶排列 共有n!个 级排列 级排列， 定理 n个数码 共有 各占一半。 各占一半。
a n 2 L a nn
2）上三角行列式 ）
a11
a12 L a1n a 22 L a 2 n = a11a 22 L a nn M M M 0 L a nn
线性代数n阶行列式
a11a22 a34 a43
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1t (1234) a11a22a33a44 x3 ,
1t 1243 a11a22a34a43 2 x3 .
故 x 的系数为 1.
3
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三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性.
注 由例4我们可以直接得出例3中（1）的结果．
上页 下页 返回
例5
设
a11 a12 a1n D1 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
a11 a12b 1 a1nb1 n a21b a22 a2 nb 2 n
n 1 n 2 a n 1b an 2b ann 证明 D1 D2 .
a11 a12 a1n a 22 a 2 n 1t 12n a a a 11 22 nn 0 a nn
a11a22 ann .
上页 下页 返回
同理可得下三角行列式
a11 a 21 a n1 a 22
0
a11a22 ann .
a n 2 a nn
2. 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
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3. 排列的逆序 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
作出表中位于不同行不同列的 n个数的乘积
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
线性代数-行列式(完整版).
17
逆序数的计算方法
不 妨 设 元 素 为1至n的 自 然 数 ，并 规 定 从 小 到 大
为标准次序。设i1i2 in为一个n级排列。 考虑元素 i j (i 1,2 n), 如果比 i j大，且排在
i
前面的元素有
j
t
j个，那么ji的逆序是
t
j
个，全
体
元
素
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数，即
411
a2 1 0 a 1 或 a 1
a10
1 a 0 0 a 1 或 a 1
411
练习： 计算下列行列式
x1 1 x2 x2 x 1
1 0 1 35 0
04 1
解 x 1 1 ( x 1) ( x2 x 1) 1 x2 x2 x2 x 1 x3 1 x2
1 0 1
3 5 0 1511 34 7
04 1
§1.2 n阶行列式
1.排列及其逆序数 (1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
称为一个n级排列（. 总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
123 132 213 231 312 321
2
返 回
第1.1节 n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
3 4 2
解:由主对角线法，有
逆序数的计算方法
不 妨 设 元 素 为1至n的 自 然 数 ，并 规 定 从 小 到 大
为标准次序。设i1i2 in为一个n级排列。 考虑元素 i j (i 1,2 n), 如果比 i j大，且排在
i
前面的元素有
j
t
j个，那么ji的逆序是
t
j
个，全
体
元
素
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数，即
411
a2 1 0 a 1 或 a 1
a10
1 a 0 0 a 1 或 a 1
411
练习： 计算下列行列式
x1 1 x2 x2 x 1
1 0 1 35 0
04 1
解 x 1 1 ( x 1) ( x2 x 1) 1 x2 x2 x2 x 1 x3 1 x2
1 0 1
3 5 0 1511 34 7
04 1
§1.2 n阶行列式
1.排列及其逆序数 (1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
称为一个n级排列（. 总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
123 132 213 231 312 321
2
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第1.1节 n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
3 4 2
解:由主对角线法，有