线性代数第一章阶行列式哈工大版演示文稿
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线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
线性代数课件_第一章_行列式——5
证明 DD 1D2.
2019/7/23
课件
21
证明
对D1作运ri 算 kjr，把 D1化为下三角
p11
0
设为 D1 p11pkk;
pk1 pkk
对D2作运ci 算 kcj,把D2化为下三角
q11
0
设为 D2 q11qnn.
qn1 pnk
2019/7/23
课件
数之和.
a11 a12 (a1i a1i) a1n
例如
D
a21
a22
(a2i a2i)
a2n
an1 an2 (anian i) ann
则D等于下列两个行列式之和： a11 a1i a1n a11 a1i a1n
Da21 a2i a2n a21 a2i a2n
2019/7/23
课件
6
即当 ki, j 时, bkpakp; 当 ki, j时,
b ip ajp ,b jp a ip ,
于是
D 1 1 tb 1 p 1 b ii pb jjp b n np
1 ta 1 p 1 a iip a jjp a n np
ri kjra21
(a2i ka2j)
a2j
a2j
2019/7/23
an1 (anikanj) anj anj
课件
12
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 例１ D 2 0 4 2 1
4 1
3 5 7 14 6
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
哈尔滨工业大学数学系 第一章 行列式
a11a22-a12a21
=
a11 a12 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
返
二阶行列式
a11 a12 符号为二阶矩阵 称形如 a21 a22 的符号为二阶矩阵 a11 a12 的行列式,简称二阶行列式. 简称二阶行列式 的行列式 简称二阶行列式 a21 a22
2 3 =11≠0 解: D= 1 7 9 3 =75 D1= -4 7 2 9 =-17 D2= 1 -4
x=75/11 y=-17/11
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33+a12a23a31 +a13a21a32 -a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31
= ∑(-1)t(p1p2…pn) aP11aP22
bnPn aPnn = D
性质(2) 换行 (列) 换号（即 D1= - D ） a11 a12 … a1n r r b11 b12 … b1n i j b21 b22 … b2n D= a21 a22 … a2n
… … … … … … … … … …
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
返
三阶线性方程组
a11x1+a12x2 +a13x3 =b1 a21x1+a22x2 +a23x3 =b2 a31x1+a32x2 +a33x3 =b3 a11 a12 a13 若 D= a21 a22 a23 ≠0 a31 a32 a33
线性代数-行列式-PPT文档资料
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
线性代数课件 第一章 行列式1
a21 a22 a23 ? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 (6)
a31 a32 a33
? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31,
（6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式 a12 a13 D ? a21 a22 a23 .列标
x1
?a21 x1
? ?
a12 x2 a22 x2
? ?
b1 , b2 .
D1 ?
b1 b2
a12 , a22
? ?
a11
x1
?a21 x1
? ?
a12 x2 a22 x2
? ?
b1 , b2 .
D ? a11 a12 , a21 a22
2020/7/15
课件
9
? ?
a11
x1
?a21 x1
? ?
线性代数
2020/7/15
课件
1
第一章 行列式
2020/7/15
课件
2
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
? ?
a11
x1
?a21 x1
? ?
a12 x2 a22 x2
? ?
b1 , b2 .
?1? ?2?
?1?? a22 : ?2? ? a12 :
a11a22 x1 ? a12a22 x2 ? b1a22 , a12a21 x1 ? a12a22 x2 ? b2a12 ,
? ?
a12b2 ， a12a21
x2
?
a11b2 a11 a22
? ?
b1a21 a12a21
.
（3）
《线性代数》教学课件—第1章 行列式 第一节 二阶与三阶行列式
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
, .
（１）
解 用加减消元法，可得
((aa1111aa2222
a12 a21 ) x1 a12 a21 ) x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 - a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
xxaa122211
aa12b2b2 1,2
, D. 1
b1 b2
（aa1222１, ）D2
a11 a21
b1 , b2
a11 a 21
xx则11 当aaＤ1222
xx22０时bb，12 方,. 程组
（１）
有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
.
x1 b1a22例１a12求b2解线, 性方程组
注意：Ｄ称为系数 行数列项b式1,，b2Ｄ替j换是Ｄ用中常
的第 j 列 (j=1,2).
二、三阶行列式
引例 2 用消元法解关于 x,y,z 三元线性方
程组
ax by cz d , ex fy gz h , ix jy kz l .
解
为了记忆三元线性方程组的求解公式,可引入
三阶行列式. 三阶行列式的定义如下:
定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21a2a21, .（２）
为了记忆该公式，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元 素， aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位 置，第一个下标称为行标，表示该元素所在的行， 第二个下标称为列标，表示该元素所在的列，常 称 aij 为行列式的(i , j )元素或元．
线性代数教学课件第一章行列式第一节n 阶行列式
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
为了便于记忆，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行，
纵排叫列，aij叫行列式的元素，元素aij 的第一个
下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 13
二阶行列式的计算
行列式中的横排叫行，纵排叫列，叫元素. 三阶 行列式所表示的代数和可利用下图所示的对角线 法则来记忆，实线上三元素之积取正号，虚线上 三元素之积取负号.
16
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
28
同理可得下三角行列式
a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann
a11a22 ann .
29
特殊情况:
a11 0 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 0 a33 0 0 a11a22 ann . 0 0 0 0 ann
这种行列式称为对角行列式.
30
类似可证：
关，如方程 x2 1 0
在有理数范围和实数范围均无解，但在复数
范围有解：x i
5
因此同一问题在不同的数集内可有不同的结 果. 另一方面，有理数、实数和复数有许多共同 的关于加、减、乘、除的运算性质, 为了把具有 这些共同运算性质的数集统一处理，便引入以下 数域的概念.
定义1.1 设F是至少含有两个不同复数的数集，若 中任意两个数（可以相同）的和、差、积、商（除 数非零）仍为F中的数，则称F是一个数域(field of numbers). 若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F中， 则称F关于这一运算封闭. 因此，F为数域当且仅当 至少含有两个不同数且关于加、减、乘、除（除数 非零）的运算封闭.
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
高等数学线性代数行列式教学ppt(1)
例1 计算下列排列的逆序数.
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-习题课
00 00
x 1
0 0 x 1
00
x 1 0 0
0 0 (1)nn( x a1) 0 x
00
0 1
00 0x
证法二：按第一列展开，得
Dn=xDn-1+an 再根据上面的递推公式可得结果。
c1 xc2 xn1cn
证法三：Dn
0
1 0
0
x 1
00 00
0
00
0
0
an
例2 计算
1111
abcd D
a2 b2 c2 d 2
a4 b4 c4 d 4
解：构造
1111 1 abcd x
f (x) a2 b2 c2 d 2 x2
a3 b3 c3 d 3 x3
a4 b4 c4 d 4 x4
（这是一个范德蒙行列式）
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开，可得
1
11
1
an
an1 an Dn1
an1 an (a1a2 an2 an1Dn2 )
方法三：升级法。看例1
11
1 11
1
解：原式= 0 1 a1
1
1
a1
0
01
1 an 1 0
an
1 aa c1
i
n 2
1 ai 1
ci
n 1
i1 i
1
1
0
a1
0
5. 行列式按行（列）展开
1 ) 余子式与代数余子式 ２）关于代数余子式的重要性质
a A n ki k 1
Ch1n阶行列式
a11 a21
a12 a22
a1n a2 n
an1 an 2Biblioteka ann (1) a a (i1i2 in ) i11 i2 2
ainn
i1i2 in
注 行列式还有其它的定义方式
一般行列式不用定义来求值
主要利用行列式性质求值
27
1.2 n 阶行列式的性质
定义
设D
aij
，称
n
a11 a21 an1
a11 a12
a1n
a i1 a i2
a in
a j1 a j2
a jn
a j1 a j2
a jn
a i1 a i2
a in
a n1 a n2
a nn
a n1 a n2
a nn
29
推论 两行(列)同值为零,即
a11 a12
a1n
ai1 ai2 ai1 ai2
ain 0
ain
an1 an2
ann
列的奇偶性决定. 注 用定义只能计算一些简单的行列式.
22
例5 证明对角形行列式,上(下)三角形行 列式都等于其主对角元素的乘积, 即
a11 a22
a11 a12
a1n
a 22
a2n
a11 a21 a22
an1 an2
ann
a nn
n
a i i a11a22 ann
ann
i1
23
证 以下三角行列式为例来证明.
1 1
2 0 0 6 1 9 4
35
性质5 (消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即
《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-2
证明
互换相同的两行，有 D= -D， 所以D=0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 kai 1
a12 a1n
a11
a12 a1n
kai 2 kain k a i 1 a i 2 a in a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
§1.2 行列式的性质
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n a11 a21 a21 a22 a2 n a12 a22 T D D an1 an 2 ann a1n a2 n
T
a n1 an 2
ann
行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.
k 0. kai 1 kai 2 kain a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. a a (a a ) a
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
例１
1 1 1 1 1 2 D 2 5 2 1 2 3
3 1 1 2
a b
例2 计算 n 阶行列式
b a b
b b a b
b b b a
b b b a
1 2 n 1 2 n
又因为行列式D可表示为
t D 1 a p 1a p 2 a p n .
1 2 nຫໍສະໝຸດ 故D DT .证毕
线性代数-行列式(完整版)ppt课件
设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
线性代数课件1-1-2n阶行列式的定义
线性代数课件1-1-2n阶行列式的 定义
• 引言 • n阶行列式的定义 • 特殊类型的n阶行列式 • n阶行列式的性质与运算 • n阶行列式的应用举例 • 课程小结与思考题
01
引言
行列式的起源与发展
最初形态
重要成果
行列式的概念最初起源于17世纪，由 日本数学家关孝和与德国数学家莱布 尼茨在解线性方程组时独立提出。
和，反映了方阵的线性变换性质。
03
n阶行列式可以用递归的方式定义，即n阶行列式可
以由n-1阶行列式表示。
n阶行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等。
互换行列式的两行（列），行列式变号。 行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列 式。
n阶行列式的性质
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
在行列式的发展过程中，涌现出了许多重 要的成果，如拉普拉斯定理、范德蒙德行 列式等，为线性代数的发展奠定了基础。
发展历程
经过多个世纪的发展，行列式逐渐从最 初的二阶、三阶形式扩展到n阶，同时 其性质和应用也得到了深入研究。
行列式在数学中的地位
基础工具
行列式是线性代数中的基础工具 之一，对于研究向量空间、矩阵 等概念具有重要意义。
上三角行列式
举例 $$begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}
上三角行列式
0 & a_{22} & cdots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots
上三角行列式
• 0 & 0 & \cdots & a_{nn}
• 引言 • n阶行列式的定义 • 特殊类型的n阶行列式 • n阶行列式的性质与运算 • n阶行列式的应用举例 • 课程小结与思考题
01
引言
行列式的起源与发展
最初形态
重要成果
行列式的概念最初起源于17世纪，由 日本数学家关孝和与德国数学家莱布 尼茨在解线性方程组时独立提出。
和，反映了方阵的线性变换性质。
03
n阶行列式可以用递归的方式定义，即n阶行列式可
以由n-1阶行列式表示。
n阶行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等。
互换行列式的两行（列），行列式变号。 行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列 式。
n阶行列式的性质
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
在行列式的发展过程中，涌现出了许多重 要的成果，如拉普拉斯定理、范德蒙德行 列式等，为线性代数的发展奠定了基础。
发展历程
经过多个世纪的发展，行列式逐渐从最 初的二阶、三阶形式扩展到n阶，同时 其性质和应用也得到了深入研究。
行列式在数学中的地位
基础工具
行列式是线性代数中的基础工具 之一，对于研究向量空间、矩阵 等概念具有重要意义。
上三角行列式
举例 $$begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}
上三角行列式
0 & a_{22} & cdots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots
上三角行列式
• 0 & 0 & \cdots & a_{nn}
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如果 D 0，那么对于三元一次方程组：
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
利用消元法也有相同的结果，x1Fra bibliotekD1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
其中， a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
123，231，312 此三项均为正号 132，213，321 此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆 序数的概念及性质。
全排列及其逆序数
定义 由1，2，···，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。（简称排列）记为 j1 j2 ···jn.
例如 32541 是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列
第一节 行列式的概念
行列式起源于解方程组
引例
方程组
2x 1
x 2 1
3x2 8 x2 3
系数行列式
23 2 (2) 13 7
1 2
称为二阶行列式。
二阶行列式（determinant）
给定 a、b、c、d 四个复数，称
ab ad bc
cd
为二阶行列式。 为方便记
D a11 a21
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2
a31 a32 b3
三阶行列式
称
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
2 7
考虑线性方程组：
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
通过消元法，有：
((aa1111aa2222
a12a21 ) x1 a12a21 ) x2
b1a22 b2a11
b2a12 b1a21
于是，当 a11a22 a12a21 0, 有唯一解：
x1
b1a22 a11a22
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
例2 证明 证明：
a2 ab b2 2a a b 2b (a b)3 111
左边 a2 (a b) 2ab2 2ab2 b2 (a b) 2a2b 2a2b a3 a2b 2ab2 2ab2 ab2 b3 2a2b 2a2b a3 3a2b 3ab2 b3 （a b）3 右边
b2a12 a12a21
,
x2
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
写成行列式形式有：
b1
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
b2 a11
a21
a12
a22 D1
a12
D
a22
a11
x2
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
a21 a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行标，第二个下标 j 为列 标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
a12
a11a22 a12a21.
副对角线
a21
a22
例如
13 1 7 (2)3 13
2 三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
为三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆
a11 a12 a13 a21 a22 a23
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
a31 a32 a33
1 2 -4 例1 计算三阶行列式 D - 2 2 1
线性代数第一章阶行列式哈工 大版演示文稿
（优选）线性代数第一章阶行 列式哈工大版
第一章 n阶行列式
第一节 行列式的概念 第二节 行列式的性质 第三节 行列式按行(列)展开 第四节 克莱姆法则
本章的基本要求与重难点
❖ 深刻理解n阶行列式的定义。 ❖ 熟记行列式的性质。 ❖ 熟练掌握行列式的计算。 ❖ 重点：行列式的计算。 ❖ 难点：n阶行列式的计算。
在三阶行列式，共有 3! 6项；
每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为
i i 大的数排在jt j一s 个较小的数前面，即， ts 则称这两个数组成此排列的一个逆序。 例如 排列 32514 中 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列 j1 j2 ···jn 中所有逆序的总数称为此排
3级全排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，132，213，321 n级全排列的种数为
n(n 1)321 n!
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的
自然数，规定由小到大为自然排序（标准次序）。
如：123…n 是自然排序
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若某个较
b1
b2 D2
a12
D
a22
说明
1. 行列式是一个数； 2. 计算规则：对角线法则； 3. 每一项都是不同行不同列的两个数相乘，前面的
正负号不同；共有 2! 2
4. 一行一列称为1阶行列式， 记为 a a
5. 二行二列称为2阶行列式 三行三列称为3阶行列式 ………………… n行n列称为n阶行列式