立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总

一、公理及其推论

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：A l,B l,A ,B l

作用：① 用来验证直线在平面内；

② 用来说明平面是无限延展的。

公理2|如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）

符号语言：P I I l且P l

作用：① 用来证明两个平面是相交关系；

② 用来证明多点共线，多线共点。

公理3|经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：A, B,C不共线A, B,C确定一个平面

推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a 有且只有一个平面，使A a，a

推论2|经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P 有且只有一个平面，使a ，b

推论3|经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：a//b 有且只有一个平面，使a ，b

公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理4|平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

a // b

符号语言：a//c 图形语言：

c // b

作用：用来证明线线平行。

二、平行关系

公理4平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）

a // b

符号语言：“- a//c 图形语言：

c // b 1. 线面平行的判定定理|如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行。

（2）

a

符号语言：b a //

图形语言：

a //

b 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条 直线和交线平行。（3）

a//

符号语言： a

a //

b 图形语言：

I b

2. 面面平行的判定定理|如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

(4) (a ,b ),al b O

符号语言： a//

b// 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 （5）

面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

// 面面平行的性质1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

// 图形语言:

符号语言:

oo

// oO

图形语言: (6) 符号语言：

1 a a//b I b

图形语言:

面面平行的性质2如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面 //

符号语言： a

面面平行的性质3平行于同一个平面的两个平面平行。 （9）

// // //

二、垂直关系

三垂线定理］在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（10）

PA

符号语言： POI O a PA 图形语言：

a 且 a AO

三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 射影垂直.（11）

PA

符号语言： POI O a AO 图形语言：

a 且 a PO

1.线面垂直的判定定理|如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个

平面。（12）

I m

符号语言： 1 n

1 图形语言：

（m ,n ）,ml n B 线面垂直的判定|如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

//

符号语言：a

a// 图形语言:

(8)

图形语言:

符号语言: 图形语言:

（13）

a//b

符号语言：a

线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（14）

a 符号语言：

b a//b

图形语言:

线面垂直的性质如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.(15) a

符号语言：b图形语言:

2.面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（

⑹AB

符号语言：AB图形语言:

面面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面(17)

符号语言：I CD AB 图形语言：

AB 且AB CD

最小角定理|斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，且有

图形语言:

COS COS ! COS 2 （其中，！，2如图中所示）图形语言: