矩形波导

由上节可知，磁场的纵向分量应满足本征值方程：
2H0z x2
2H0z y2
kc2 H0z
0
对于 H0z (x, y) 应用分离变量法求解：
H0z (x, y) X (x)Y ( y)
代入本征值方程：
1 X (x)
d
2 X (x) dx 2
1 Y ( y)
d 2Y (y) dy 2
k
2 c
0
则上式每一项必等于常数；定义分离变数为
Ez E0z e jz , H z H 0z e jz
本征值方程为：
2 E0z x 2
2 E0z y 2
k
2 c
E0
z
0
2H0z x 2
2H0z y 2
k
2 c
H
0
z
0
式中
k
2 c
k2
2
k
2
若介质有损耗，则
0 r (1 jtg ) 式中 tg /
是介质材料的损耗正切。
由于波导中不存在TEM波，故只有TE波和TM波。 下面分别讨论这两种情况：
利用分离变量法求解，对于 Ez (t, z)
令 Ez (t, z) E0z (t)Z (z)
代入上式：
2 t
E0
z
(t
)
d2 dz 2
Z (z)
k 2
E0z (t)
Z (z)
则得上到式导左波边方两程项，应本分征别值等方于程常( 数，k)c 设 0为 kc2和，则2
d2 Z (z)
dz 2
2 t
E0
H 0t ( x, y)e jz zˆH 0z ( x, y)e jz
横纵向场关系式: (P66)
Ex
k
j
2 c
E z x
H z
y
Ey
j
k
2 c
E z y
H z x
Hx
j
k
2 c
H z x
E z y
Hy
k
j
2 c
H z y
E z x
导行波的纵向场分量满足二维亥姆霍兹方程：
2Ez k2Ez 0 2Hz k2Hz 0
尺寸：
a b, a b
1．矩形波导的导模
E
Et
zEz
沿波导正z方向传播的电磁波复矢量可以写为 （略去时间因子）：
E(x, y, z) Et (x, y, z) zˆEz (x, y, z)
E0t ( x, y)e jz zˆE0z ( x, y)e jz
H (x, y, z) H x (x, y, z) zˆH z (x, y, z)
规则金属波导管壁材料：铜、铝，有时其壁上镀金或银。
金属波导优点：导体损耗和介质损耗小、功率容量大、 没有辐射损耗、结构简单、易于制造。
形状：横截面有矩形、圆形、脊形、椭圆形、三角形等。
使用范围：3000MHz（3GHz）~300GHz 导波模式：（非TEM波）TE波，TM波，混合波。
➢ 导波的种类
kxx
A2
cos kx x)(B1
cos k y
y
导波的种类
TE波 (M波)
TM波 (E波)
TEM波
Ez 0 Hz 0
的导波
Hz 0 Ez 0
的导波
Ez 0
Hz 0 的导波
➢导波场的求解方法
在规则导行系统中：
由麦克斯韦方程组导出横、纵向场关系式； 由麦克斯韦方程组导出电场或磁场纵向分量满足
各坐标系中的亥姆霍兹方程。 由各种情况下的边界条件（波导内壁：Et=0）求
H jE
E jH
• H 0
•E 0
对于导行系统中的电场和磁场，可分为横向场和纵向场
E(u,v, z) Et (u,v, z) zˆEz (u,v, z)
H (u,v, z) Ht (u,v, z) zˆH z (u,v, z)
式中z 表示导行波传输方向； t 表示与导行方向相垂直的横向场；
解各种情况下的亥姆霍兹方程的电场或磁场纵向 分量特解； 由横纵向场关系式求各横向场分量。
➢导波方程及其解的条件：
(1)波导内壁的电导率为无限大；
(2)波导内的介质是均匀无耗、线性及各向 同性的；
(3)波导内无自由电荷和传导电流(ρ=0, J=0)， 且远离波源；
(4)波导无限长。
➢对于时谐场，麦克斯韦方程组为：
1）TE模
对于TE模：
Ez 0, H z 0
导体边界上电场的 切向分量为零
其边界条件为：
Ex (x, y, z) Ey (x, y, z)
e jz
E0x (x, y)X (z) 0 E0y (x, y)Y (z) 0
由分离变量法分解得：
E0x (x, y) 0, E0y (x, y) 0,
y 0,b x 0,a
由分离变量法： Ez (t, z) E0z (t)Z (z)
代入上式并进行分离：
2 t
E0
z
(t
)
d2 dz 2
Z (z)
k 2
E0z (t)
Z (z)
则得到导波方程，本征值方程( kc ) 0 kc2和 2
d2 dz2 Z (z)
2Z(z) 0
2 t
E0
z
(t
)
kc2 E0z (t)
0
对于沿波导+z方向的场，其解为：
X (x)
Y (y)
则由纵横关系式可得电场：
E0x (x, y) 0, E0y (x, y) 0,
y 0,b x 0, a
E0x (x, y)
jk y
k
2 c
( A1 cos kx x
A2
sin
kx x)(B1
sin
ky y
B2
cos k y y)
E0y (x,
y)
jk x
k
2 c
( A1 sin
kx2和k
2 y
,得：
d
2 X (x) dx 2
k
2 x
X
( x)
0
d
2Y ( y)Βιβλιοθήκη dy 2k2 yY
(
y
)
0
相应的解为：
X (x) A1 cos kx x A2 sin kx x Y ( y) B1 cos ky y B2 sin ky y
式中
k
2 x
k
2 y
kc2
则可得到通解：
H0z (x, y) (A1 cos kx x A2 sin kx x)(B1 cos k y y B2 sin k y y)
则对于横向场：
2 Et k 2 Et 0 2Ht k2Ht 0
k 2 2
上式说明导波的横向场满足矢量亥姆霍兹方程。
则对于纵向场：
2Ez k2Ez 0 2Hz k2Hz 0
k 2 2
同理上式表明规则导行系统中导波场的纵向分量 满足标量亥姆霍兹方程。
➢沿z方向的场解
2Ez k2Ez 0
表示横向变量
z
(t
)
2Z(z) 0 kc2 E0z (t) 0
色散关系 ：
kc2 2 k 2
z方向分量的解为
Z (z) A1e jz A2e jz ----波动因子
式中 为导波的传播常数或相移系数 k 2 kc2 k 1 (kc / k)2
§3.1 矩形波导
矩形波导：截面为矩形的 金属波导管。