2019届上海市格致中学高三三模数学试题(解析版)

则圆 与正方形 的边有6个不同点.
临界条件为圆与 相切时半径取最小值4,圆过 时半径取最大值
故圆的半径 满足 ,即 ,即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标用法以及数形结合的思想等,属于中等题型.
三、解答题
17．如图，正方体 中， 分别是 上的点.
(1)若 分别是 上的中点，求证: ;
(2)若 ,求直线 与 所成角的大小.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)由正方体,可以直接以 为坐标原点建立空间直角坐标系,再证明 即可.
(2)根据 求得 再计算 与 所成角的大小即可.
【详解】
(1)证明：以 为坐标原点, 分别为 轴建立如图空间直角坐标系.
设正方体棱长为 ,则 ,故 .又
则 ,故 .
(2)由(1)的坐标系有当 时, ,
13．已知 垂直于 所在平面 为 的中点，又 与平面 所成的角分别为 ，若 ,则 __________．
【答案】
【解析】画图分析线面垂直的关系,再设 长为 算出底面的所有线段长度,再利用 互补利用余弦关系求解即可.
【详解】
画出图像,
易得 分别为 .
设 长为 ,则 ,设
, ,
故在 中,
,
代入得 ,
所以 ,故 ,
【答案】
【解析】根据在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为 与 可以计算出不产出废品的概率,再利用乘法原理计算即可.
【详解】
由第一、二道工序中生产出废品的概率分别为 与 ,且每道工序生产废品相互独立可得,经过两道工序后得到的零件是合格品的概率为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查互相独立事件概率乘法公式,属于简单题.
【答案】C
【解析】由题意当 为参数时曲线 为直线, 为参数时曲线 为圆,再根据直线过的定点与圆心进行判断即可.
【详解】
由题得当 为参数时曲线 为过点 倾斜角为 直线,
当 为参数时曲线 为以 为圆心,半径为 的圆.因为直线过圆心,所以 与 有且只有两个公共点.
故选：C
【点睛】
本题主要考查直线与圆的标准参数方程,属于基础题型.
2．明代数学家程大位(1533-1606年)所著《算法统宗》中有这样一个问题:“旷野之地有个桩，桩上系着一腔羊，团团踏破三亩二。试问羊绳几丈长”意思是“一条绳索系着一只羊，羊踏坏一块面积为 亩的圆形庄稼，试求绳的长度(即圆形半径)”(明代度量制: 步= 尺， 亩= 平方步， 丈= 尺，圆周率 .)
（）.
(1)试把船从甲地到乙地所需的总费用 ，表示为船速 (海里小时)的函数，并指出函数的定义域;
(2)当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少元?
【答案】(1) ；
(2)当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元
【解析】(1)由题意先设船速为 ,则每小时燃料费 ,求得参数 ,再写出自变量取值范围即可.
4．已知函数 ,则函数 的零点有（）.
A． 个B． 个C． 个D．多于 个
【答案】C
【解析】由 可写成分段函数的形式,再画图数形结合进行分析即可.
【详解】
由题得 ,则可画出图像
若 ,令 则 ,由图得 ,
由图像得 与 与 共有3个交点.即 有三个零点.
故选：C
【点睛】
本题主要考查绝对值函数的方法,同时注意数形结合的思想.属于中等题型.
3．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意设 中 ,且 最小内角,由题可得 ,根据 互余求出 ,进而求得
【详解】
设 中 ,且 最小内角,由题可得 ,
故 ,又 ,故 ,故
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数同角公式与诱导公式等,属于基础题型.
又 ,
故
所以 ,
即 ,又 ,故 与 所成角的大小 满足
故夹角
【点睛】
本题主要考查建立空间直角坐标系进行空间角度的计算的方法,属于中等题型.
18．已知函数 .
(1)求函数 的最大值及取得最大值时 的取值集合;
(2)设点 都在函数 的图像上，且满足: , ，求: 的值.
【答案】(1) 的最大值为2,取得最大值时 的取值集合为 , ;
【答案】
【解析】先根据只有第五项的二项式系数最大求得 ,
再根据 求解即可.
【详解】
由题意得第五项的二项式系数为 ,又只有第五项的二项式系数最大则 ,
又因为 ,当 时
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二项展开式及其最值问题,属于中等难度问题.
12．某工厂生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为 与 ，每道工序生产废品相互独立，那么经过两道工序后得到的零件是合格品的概率等于__________．(精确到 )
15．设函数 ，则不等式 的解集为________.
【答案】
【解析】【详解】
因为 ，所以 是奇函数。
= ，由于 都是定义域上的减函数，
所以函数f(x)是R上的减函数，（减函数+减函数=减函数）.
由 ，得 ，所以 .即 ，解之得： .
故答案为：
16．在边长为 的正方形 中， 是 的中点， 是 边上的一点，且 ,若对于常数 ,在正方形 的边上恰有 个不同的点 满足: ,则实数 的取值范围是__________．
(2) 1
【解析】(1)利用降幂公式将 化简为 ,再分析最大值时 的取值集合即可.
(2)将点 代入 求得 的关系,再根据正弦函数周期性求得 即可.
【详解】
(1)
,故 ,最大值为2,
当 的最大值时 ,即 ,
即 的最大值为2,取得最大值时 的取值集合为 ,
(2)点 在 上则 ,
又 , ,故 是以 为首项, 为公差的等差数列.
二、填空题
5．已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】先求出集合 中的取值范围.,再根据数轴分析 的取值范围即可.
【详解】
由 可得 ,所以
又 ,观察数轴可知, ,即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查集合之间的关系求参数范围,属于简单题型.
6．已知直线 与 平行，则 与 的距离为__________．
【详解】
因为点 在函数 的图像上,故 ,所以 ,
又当 时, ,所以 过
故 过 ,故 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查反函数的应用,若原函数过 则反函数过 属于基础题型.
8．已知 满足 ,则 的最小值等于__________．
【答案】
【解析】画出可行域分析取最小值的点再代入计算即可.
【详解】
画出对应三条直线分析可得可行域为
A． 丈B． 丈C． 丈D． 丈
【答案】B
【解析】由题得已知圆的面积,求圆的半径即可,注意单位的转换即可.
【详解】
由题得面积为 亩,即 平方步,由圆的面积设半径 步,则 ,
取 则 , 步,又 丈= 尺, 步= 尺,故 丈=2步,故 步 丈,
故选：B
【点睛】
本题主要考查圆的面积公式,注意单位转换即可,属于简单题.
【详解】
(1)双曲线 中 ,故 ,算得 ,
设 则将 ,带入
即 , ,因为 在第一象限,所以 故
代入 可得 ,故
(2)由 ,设 , , 则由题意
,
故 , ,所以 ,又因为 ,
所以 , ,
代入得 ,因为 ,所以
,即
(3)设 ,因为 所以
所以
为定值,则
故存在 使得 到直线 的距离与 之比为定值.
【点睛】
本题主要考查双曲线中设点表达题目所给条件的方法,主要是根据所设的点 在双曲线上满足双曲线的方程从而进行对题目条件的翻译与化简等.属于综合题型.
(3)若点 在左支上，是否存在实数 ,使得 到直线 的距离与 之比为定值?若存在，求出 的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1) ；(2)见解析；(3)
【解析】(1)根据 与 可算得 再设点列式求得 的坐标即可.
(2)设 再利用三点共线斜率相等求得 的坐标,再表达证明 即可.
(3)设 再表达出 到直线 的距离与 之比,化简求得对应的表达式再分析 的取值即可.
【详解】
都含有 个元素, 含有 个元素,故 共有 个元素,
又 ,故 中的元素也来自于 共有的20个元素.若不考虑 则一共有 种组合,其中包含了 的情况,共有
故共有
故答案为：1084
【点睛】
本题主要考查排列组合中求事件反面的方法,对于 类似的情况可以先求总的情况数,再减去 的情况简化计算.属于基本题型.
(2)由(1)中的表达式可知利用基本不等式求最小值.
【详解】
(1)设船速为 ,则每小时燃料费 ,根据题意有 ,故 , ,
则从甲地到乙地所需时间为 小时.
故总费用 .
又最大航速是 海里小时故
(2)由(1) ；
故 ,
当且仅当 即 时取得最小值.
故当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元
【点睛】
本题主要考查函数的实际运用,注意分析自变量与因变量的关系,同时注意取值范围.本题也考查了基本不等式的用法,属于中等题型.
20．双曲线 的左右焦点分别为 ,左右项点分别为 ,点 是 上的动点.
(1)若点 在第一象限，且 ,求点 的坐标;
(2)点 与 不重合，直线 分别交 轴于 两点，求证: ;
【答案】
【解析】本题有正方形,故可以建系计算平面向量数量积,将 转换为向量坐标运算,再数形结合转换为圆与正方形的交点,再分析实数 的取值范围即可.
【详解】
以点 为坐标原点,建立如图平面直角坐标系
则 , ,设 则 ,
又 有 化简得
其几何意义为以 为圆心,半径的平方为 的圆.
又在正方形 的边上恰有 个不同的点 满足: ,
故 ,
故ห้องสมุดไป่ตู้
所以
分析可得 ,所以函数
周期为3.故
【点睛】
本题主要考查二倍角公式与三角函数周期性,属于中等题型.
19．已知某种气垫船的最大航速是 海里小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比.若船速为 海里小时,则船每小时的燃料费用为 元，其余费用(不论船速为多少)都是每小时 元。甲乙两地相距 海里，船从甲地匀速航行到乙地.
得 , .所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查立体几何中的解三角形问题,底面分成两个三角形,故可以利用互补的两个角度的余弦值互为相反数,再利用余弦定理求解即可.
14．已知集合 都含有 个元素， 含有 个元素，集合 含有 个元素，且满足: ，则满足条件的集合 共有__________个
【答案】1084
【解析】先分析 的元素总数为20,再利用总的情况 减去只在 中选取的总情况数 即可.
【详解】
(1)由题意
又 ,又因为 ,所以
故 不是 数列.
(2)由题得当 时,因为 是 数列故
①
又 是 数列故
②
③
②+③-①得 ,即
故 从第3项其为等差数列,设公差为 .则因为 ,
则 ,
又 故 ,
故 也满足等差数列通项公式.
所以 是等差数列.
【点睛】
本题主要考查新定义与数列结合的问题.直接根据题目给的数列递推公式代入化简求证是否为 数列即可.同时第二问要证明等差需要构造出 的结构,注意结合题目中所给信息即可.同时注意 的取值范围,属于难题.
由题得该圆柱底面为4,高为3,故底面半径为2,则表面积
故答案为：
【点睛】
本题主要考查圆柱的表面积问题,属于基础题型.
10．已知 ，其中 ， ， 是虚数单位，则 的值为________.
【答案】5
【解析】【详解】
由 得 ，即 .
故答案为：5
11．在 的二项式中，有且只有第五项的二项式系数最大，则 _________．
由 有 ,故 在 处取得最小值.
所以 ,即 ,故最小值
故答案为：
【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题,属于基础题型.
9．一圆柱的主视图与左视图都是长为 ,高为 的矩形，则此圆柱的表面积为__________．
【答案】
【解析】分析可得圆柱底面半径为2,高为3,再计算上下底面与侧面积之和即可.
【详解】
21．对于给定的正整数 ，若无穷数列 对于任意的 都满足: ,则称数列 ,是 数列.
(1)若 ,判断 是否为 数列,说明理由;
(2)若数列 既是 数列又是 数列，求证:数列 是等差数列.
【答案】(1) 不为 数列；(2)见解析
【解析】(1)直接根据 数列的定义写出满足的关系式,再分析是否成立即可.
(2)根据等差数列的定义以及题目所给的 数列 数列满足的条件,拼凑出 再分析 的情况即可.
【答案】
【解析】取 上一点 再计算 到 的距离即可.
【详解】
由 过 ,且平行线间的距离处处相等,故 与 的距离
故答案为：
【点睛】
本题主要考查线线间的距离,可直接在一条线上取点求到另一直线的距离即可.
7．已知点 在函数 的图像上， 的反函数为 ,则 _____．
【答案】
【解析】先代入 求得 表达式,再根据反函数的性质求 即可.
2019届上海市格致中学三模数学试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 ，当 为常数， 为参数，方程表示的曲线为 :当 为参数， 为常数时，方程表示的曲线为 .下列关于 ， 叙述正确的是（）.
A． 与 没有公共点B． 与 有且只有一个公共点
C． 与 有且只有两个公共点D． 与 至少有三个公共点