波利亚及其解题理论_李忠如38页PPT
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组合数学课件-第四章第三节波利亚(Polya)定理
换句话说，如果一个封闭曲线与区域内的任意直线都没有交点，那么这个封闭曲 线必然完全位于区域外。
波利亚定理的重要性
波利亚定理在几何学中有着广泛的应 用，它可以帮助我们解决一些与图形 和空间有关的问题。
例如，在几何图形中，我们可以通过 应用波利亚定理来判断一个点是否在 某个区域内，或者判断一个封闭曲线 是否与某个区域相交。
第二步
根据已知条件和数学原理，推导出与结论 相关的中间结论，这是证明的关键环节。
B
C
第三步
通过逻辑推理和数学推导，逐步推导出最终 结论，这一步需要严谨的逻辑推理和精确的 数学表达。
第四步
对推导出的结论进行验证，确保其正确性和 可靠性，这一步也是证明的重要环节。
D
定理证明的结论
波利亚定理的证明结论是：在一定条件下，一个数学问题可 以通过逐步转化和化简，最终转化为一个更简单或更易于解 决的问题，从而找到问题的解。
03
多变量版本的波利亚定理
该定理将单变量版本的波利亚定理扩展到多变量函数，提供了解决多变
量问题的新工具。
定理在其他数学领域的应用
在几何学中的应用
波利亚定理在几何学中有着广泛的应用，例如在计算几何形状的 面积和体积，解决几何问题等方面。
在组合数学中的应用
波利亚定理在组合数学中有着重要的应用，例如在解决组合问题、 计数问题、排列问题等方面。
B
C
波利亚定理的证明方法有多种，其中最常用 的是数学归纳法。
波利亚定理在数学教育中也具有重要意义， 它有助于培养学生的逻辑推理能力和数学思 维能力。
D
对波利亚定理的展望
随着数学的发展，波利亚定理的应用范围将不断扩大， 将有更多的数学问题可以通过波利亚定理得到解决。
波利亚定理的重要性
波利亚定理在几何学中有着广泛的应 用，它可以帮助我们解决一些与图形 和空间有关的问题。
例如，在几何图形中，我们可以通过 应用波利亚定理来判断一个点是否在 某个区域内，或者判断一个封闭曲线 是否与某个区域相交。
第二步
根据已知条件和数学原理，推导出与结论 相关的中间结论，这是证明的关键环节。
B
C
第三步
通过逻辑推理和数学推导，逐步推导出最终 结论，这一步需要严谨的逻辑推理和精确的 数学表达。
第四步
对推导出的结论进行验证，确保其正确性和 可靠性，这一步也是证明的重要环节。
D
定理证明的结论
波利亚定理的证明结论是：在一定条件下，一个数学问题可 以通过逐步转化和化简，最终转化为一个更简单或更易于解 决的问题，从而找到问题的解。
03
多变量版本的波利亚定理
该定理将单变量版本的波利亚定理扩展到多变量函数，提供了解决多变
量问题的新工具。
定理在其他数学领域的应用
在几何学中的应用
波利亚定理在几何学中有着广泛的应用，例如在计算几何形状的 面积和体积，解决几何问题等方面。
在组合数学中的应用
波利亚定理在组合数学中有着重要的应用，例如在解决组合问题、 计数问题、排列问题等方面。
B
C
波利亚定理的证明方法有多种，其中最常用 的是数学归纳法。
波利亚定理在数学教育中也具有重要意义， 它有助于培养学生的逻辑推理能力和数学思 维能力。
D
对波利亚定理的展望
随着数学的发展，波利亚定理的应用范围将不断扩大， 将有更多的数学问题可以通过波利亚定理得到解决。
波利亚-怎样解题ppt课件
2、反思解题思路。做完一道题后，应考虑能否根据该题的基 本特征与特殊因素，进行多角度的观察、联想，找到更多的思 维通路，也即培养学生数学思维的广阔性。
9
• 波利亚的《怎样解题》被译成16种文字，仅 平装本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔 登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致 词中说：“每个大学生，每个学者，特别是 每个老师都应该读读这本引人入胜的书”。
• 我想，波利亚关于怎样解题的思想对于广大 中学生同样也是非常需要的和有益的。
10
长、宽、高 这个问题的条件是否充分，能否确定未知数x？充分，如果知
道a,b,c,就能确定长方体，知道长方体就可以确定对角线。
26
2.拟定计划
首先，教师愿意向学生暴露自己的思维过程。 当学生问到某些较困难的问题时，他们愿意 和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。
其次，教师应指导学生对数学解题过程进行 分析、归纳，把解题过程概括、提炼，形成 数学学习最重要的内容——数学的思想和方 法。
数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自 然、认识自然的活动。
传统的应用题条件不多不少，数量结构明显，使得学生用于 数学抽象的思考较少，到了最低限度，学生的信息处理能力、 独立思考能力受到了压抑。而新教材在解决实际问题的教学 中，需要教师鼓励学生利用已有的生活经验进行解题。
教师要根据题目的特点和学生的思维发展水平使学生掌握一 些常用的解题策略。
31
《怎样解题》表—回顾
你能否检验这个论证？你能否用别的方法导 出这个结果？你能不能一下子看出它来？你 能不能将这一结果或方法用于其他问题？
32
在解题后，教师可以训练学生进行以下三方面的 反思：
1、反思审题过程。对审题过程进行反思，就是在解题活动完 成后，对自己最初审题时在理解题意过程中是这样“获取信息” 进行再思考。
9
• 波利亚的《怎样解题》被译成16种文字，仅 平装本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔 登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致 词中说：“每个大学生，每个学者，特别是 每个老师都应该读读这本引人入胜的书”。
• 我想，波利亚关于怎样解题的思想对于广大 中学生同样也是非常需要的和有益的。
10
长、宽、高 这个问题的条件是否充分，能否确定未知数x？充分，如果知
道a,b,c,就能确定长方体，知道长方体就可以确定对角线。
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2.拟定计划
首先，教师愿意向学生暴露自己的思维过程。 当学生问到某些较困难的问题时，他们愿意 和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。
其次，教师应指导学生对数学解题过程进行 分析、归纳，把解题过程概括、提炼，形成 数学学习最重要的内容——数学的思想和方 法。
数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自 然、认识自然的活动。
传统的应用题条件不多不少，数量结构明显，使得学生用于 数学抽象的思考较少，到了最低限度，学生的信息处理能力、 独立思考能力受到了压抑。而新教材在解决实际问题的教学 中，需要教师鼓励学生利用已有的生活经验进行解题。
教师要根据题目的特点和学生的思维发展水平使学生掌握一 些常用的解题策略。
31
《怎样解题》表—回顾
你能否检验这个论证？你能否用别的方法导 出这个结果？你能不能一下子看出它来？你 能不能将这一结果或方法用于其他问题？
32
在解题后，教师可以训练学生进行以下三方面的 反思：
1、反思审题过程。对审题过程进行反思，就是在解题活动完 成后，对自己最初审题时在理解题意过程中是这样“获取信息” 进行再思考。
2、波利亚及其解题理论
拟定计划
• 例4
设a (0,1), b (0,1), 求证 : a 2 b 2 (1 a ) 2 b 2 (1 a ) 2 (1 b) 2 a 2 (1 b) 2 2 2
拟定计划
• 从左式四个表达式特征可以看出，它们表示 两点间的距离。 • 构造点A(1,0),B(1,1),C(0,1),D(0,0),四边形 ABCD为正方形 • P(a,b)
执行计划
13)把你想好的解题过程具体地用术语,符号, 图形,式子表述出来. 14)修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方 案. 15)解题要求是:严密具有逻辑性.
检验回顾
16)你能拟定其它解题方案吗? 17)你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用 它的方法吗? 18)你能找到什么方法检验你的结果吗?
实现计划
• 在解题中，这一步是最容易的，如果计划 是完善的，实现计划往往是‚例行公事‛， 作一些机械性的计算，但计划往往是不完 善的，所以又往往需要回到上一步，出现 一些反复．此外，计算或操作中也许有困 难存在，甚至会遇到难以逾越的困难，这 时原来计划必须推倒重来．
检验与回顾
• 解题，如同在黑暗中走进一间陌生的房间．回顾， 则好像打开了电灯．这时一切都清楚了：在以前的 探索中，哪几步走错了，哪几步不必要，应当怎样 走，等等．朦胧变成了自觉． • 正如波利亚所说，这是‚领会方法的最佳时机‛， ‚当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是 新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探 究他刚才克服困难的实质，他可以对自己提出许多 有用的问题：‘关键在哪里？重要的困难是什么？ 什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有觉察 到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应 该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍 可供下次遇到类似问题时应用？’
波利亚及其解题理论
画图，引入适当的符号 将条件的不同部分分开
拟订方案
1)你以前见过它吗？ 2)你是否见过同样的题目以一种形式上稍有不同的形式出现？ 3) 你是否知道与此有关的题目吗？ 4) 你知道一条可能有用的定理吗？ 5) 有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目,你能利用它 吗? 6) 如果你不能解这个题,可先解一个有关的题,你能否想出一个 较易下手的,较一般的,特殊的,类似的题?
解题必须实践
• 解题是一种实践性的技能，就像游泳、 滑雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和 实践学到它……你想学会游泳，你就 必须下水，你想成为解题的能手，你 就必须去解题． ——波利亚
参考资料
• 波利亚著《怎样解题--数学教学法的新 面貌》(涂泓 冯承天译).上海：上海科 技教育出版社,2002年. • 冯光庭编著的《高中数学新课程高效 创新教学法》武汉大学出版社
波利亚的数学学习原则
•主动学习原则 •最佳动机原则 •阶段序进原则
波利亚关于解题的研究
理 解 题 目
拟 订 方 案
执 行 方 案
回 顾
理解题目
你必需理解题目
1) 未知量是什么？ 2) 已知数据是什么？ 3) 条件是什么？ 4) 条件有可能满足吗？ 5) 条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？
波利亚的数学教育思想
• 波利亚对数学、数学教育的目标和价值有独特的认识，其 教育思想的核心是“数学教育的目的是什么？”即“中小 学生为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途 径学好数学？“ • 波利亚认为教会学生解题就是教会学生思考、培养他们独 立探索的一条有效途径，解题是人类最富创造特征的一项 活动。
波利亚及其解题理论
Hale Waihona Puke 学习内容1、波利亚的生平 2、波利亚的教育思想 3、波利亚的数学学习原则 4、波利亚的解题思路（重点）
中学数学解题经典研究 ppt课件
7
PPT课件
鸡兔同笼问题：一个农夫有若干鸡和兔子，它们 共有 50 个头 140 只脚，问鸡和兔子各有多少只？
未知量是 (x, y)，已知量是…… “部分条件”是……
x y 50
(1)
2x 4y 140
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(2)
求解这个二元一次方程组…… 这里，我们碰到的是一个“多元的”未知量。
8
1991.3；
• 数学解题学引论
1996.10.
[M] 西安. 陕西
师范大学出版社，
1997.6
4
PPT课件
观点是指观察事物所处的位置或采取的态度。 解题教学中的解题观点是指对“怎样解题”、“为
什么这样解题”的整体认识和基本态度。
《怎样解题》
乔治 ·波利亚《数学与猜想》
《数学的发现》
PPT课件
26
PPT课件
检验与回顾
解题，如同在黑暗中走进一间陌生的房间．回顾，
则好像打开了电灯．这时一切都清楚了：在以前的
探索中，哪几步走错了，哪几步不必要，应当怎样 走，等等．朦胧变成了自觉．
正如波利亚所说，这是“领会方法的最佳时机”，
“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是
新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探
问题. 是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否
考虑了包含在问题中的所有必要的概念?
24
PPT课件
3. 实现计划
实现你的求解计划,检验每一步骤. 你能否清楚地看出这一步骤是正确
的?你能否证明这一步骤是正确的?
25
PPT课件
4. 回顾
能否检验这个论证? 你能否用别的方法导出结果? 能不能一下子看出它来? 能不能把这结果或方法用于其他问题?
2021波利亚的解题理论与中学教学.完整资料PPT
题，首先让他复述，切不可急急忙忙地把 10．引入适当字母，向根本量靠拢．
2、你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
解答告诉他．因为比解答更重要的是解法 启发法的目的是要学习发现和创造和规那么
://wenku. 关于波利亚解题表的解释
，即如何从走向未知，而将题目中的“信 息〞重新编排，适当整理，正是走向未知 的第一步．
四、回忆
1. 能否检验这个论证? 2. 你能否用别的方法导出结果? 3. 能不能一下子看出它来? 4. 能不能把这结果或方法用于其他问题
?
1个例子
例1 k＞a＞b＞c＞0，求证： k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0
读题，读题，反复读题，这是解题时首先要认真 做的事，切莫无视
弄清问题
正如波利亚所说，这是“领会方法的最正确时机〞，“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回忆他所做的 一切，可能有利于探究他刚刚抑制困难的实质，他可以对自己提出许多有用的问题：‘关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我 可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习 的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？’ 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? 关于波利亚解题表的解释
问题应当用自己的语言重新表达．通 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.
〔１〕要对自己所教课程有假设趣；
过复述，可以发现学生是否理解了题意， 你能否用别的方法导出结果?
波利亚的‘‘启发法’’和 ‘‘合情推理’’
有没有忽略重要的局部．凡有学生来问问 ://wenku.
2、你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
解答告诉他．因为比解答更重要的是解法 启发法的目的是要学习发现和创造和规那么
://wenku. 关于波利亚解题表的解释
，即如何从走向未知，而将题目中的“信 息〞重新编排，适当整理，正是走向未知 的第一步．
四、回忆
1. 能否检验这个论证? 2. 你能否用别的方法导出结果? 3. 能不能一下子看出它来? 4. 能不能把这结果或方法用于其他问题
?
1个例子
例1 k＞a＞b＞c＞0，求证： k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0
读题，读题，反复读题，这是解题时首先要认真 做的事，切莫无视
弄清问题
正如波利亚所说，这是“领会方法的最正确时机〞，“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回忆他所做的 一切，可能有利于探究他刚刚抑制困难的实质，他可以对自己提出许多有用的问题：‘关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我 可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习 的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？’ 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? 关于波利亚解题表的解释
问题应当用自己的语言重新表达．通 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.
〔１〕要对自己所教课程有假设趣；
过复述，可以发现学生是否理解了题意， 你能否用别的方法导出结果?
波利亚的‘‘启发法’’和 ‘‘合情推理’’
有没有忽略重要的局部．凡有学生来问问 ://wenku.
波利亚与怎样解题-四年级ppt课件
反对这种类型 “协助〞的缘由。 (1)假设学生已接近于问题的处理，他能
短少条件。 多余条件。
7．拟定方案 现实上，求解一个问题的主要成果是想象
出一个解题方案的思绪。这个思绪能够是 逐渐构成的。
假设我们对该论题知识贫乏，是不容易产 生好念头的。假设我们完全没有知识，那 么根本不能够产生好念头。
一个好念头的根底是过去的阅历和已有的 知识。仅仅靠记忆缺乏以产生好念头。
例如，知8与2求另一个数6的运算，知8 与6求另一个数2的运算，就是加法的逆运 算——减法。在自然数集合中，加法和乘法 总可实施。
减法运算5-3=2，虽然有2+3=5，但 2+5≠3，故减法运算，求被减数，加法是 减法的逆运算；求减数，那么加法不是减 法的逆运算。
所以减法是加法的逆运算，除法是乘 法的逆运算。但是，加法不是减法的逆运 算，乘法也不是除法的逆运算。
上述一些问题有几个益处。 首先，公式经过这么多的检验，这一现实不能不使一个聪明
的学消费生深化的印象。
学生以前就置信公式是正确的，由于公式是他仔细推导出来 的。但是如今经过这么多检验，他就更坚信无疑了，这种自 信心的添加来源于一种“实验的数据〞。正是由于上述问题， 公式的细节获得了新的意义，而且和不同的现实联络起来了。 这样，公式就更容易记住，学生的知识得以稳定。
加法减法是互逆运算吗？
1、什么是逆运算？
〔1〕在某个集合M中，对于恣意两个有序 元素a、b，根据某种法那么，可在M中找到 独一确定的元素c与它们对应，这种对应法 那么称为“运算〞。
例如，在自然数集合中，〔6，2〕
这对数按照某种法那么与8对应，这种法那
么就是自然数的加法运算；
〔2〕假设知c与a、b中的一个，求另一个元 素，那么这样的运算称为上述运算的“逆 运算〞。
《波利亚解题理论》
• 教师应更新教育观念 ,摆出良好姿态 数学家乔治· 波利亚在他的《怎样解题》一书中 自始至终体现出对学生的关怀和设身处地地为学 生考虑的思想。因此，我们以后作为教师应转变 教育思想,树立起为学生服务观 念, 摆出良好姿态面对我们 的学生，我们要相信每个学生 都是有能力学好的。
• 这就要求教师要做到：
五 对波利亚“怎样解题”表的评 价
• 波利亚“怎样解题”表具有巨大的理论价 值。解题表中不仅蕴含着重要的思想方 法——化归、变换的思想方法，而且是各 种数学思想方法的源泉，在教学中利用解 题表，学生的自学能力有较快的提高，独 立思考校和进行创造性活动的能力也逐步 增强。 。
六 波利亚《怎样解题》启示
——你可以改述这个问题吗?回到定义！ ——你若能解决这个问题，试先解决 一个有关的问题。你能想出一个更 容易着手的有关问题吗？一个更一 般的问题？一个更特殊的问题？一 个类似的问题？你能解决问题的一 部分吗？ ——你用了全部的计划 ——实行你的解决计划，校核每一步骤。
（一）必须了解问题 ——未知数是什么？已知数是什么？ 条件是什么？ ——可能满足什么条件 ——画一个图，引入适当的符号。
拟订计划
（二）找出已知数和未知数之间的 关系。假使你不能找出关系，就得 考虑辅助问题，最后应该想出一个 计划。
——你以前见过它吗？ ——你知道什么有关的问题吗？ ——注视未知数!试想出一个有相同 或相似的未知数的熟悉问题。
讲解 第三步：实现计划: • 证明: 过直线a任作一个平面γ, 和平面α相交于直 线b 直线a∥平面α a∥b 直线a ⊥平面β b⊥平面β
γ β
a b
α
而平面α过直线b，则 平面α⊥平面β. • 检查：直线和平面平行的性质定理， 直线和直线 平行的性质定理，平面和平面垂直的判定定理， 三个定理清晰保证每步成立。
• 这就要求教师要做到：
五 对波利亚“怎样解题”表的评 价
• 波利亚“怎样解题”表具有巨大的理论价 值。解题表中不仅蕴含着重要的思想方 法——化归、变换的思想方法，而且是各 种数学思想方法的源泉，在教学中利用解 题表，学生的自学能力有较快的提高，独 立思考校和进行创造性活动的能力也逐步 增强。 。
六 波利亚《怎样解题》启示
——你可以改述这个问题吗?回到定义！ ——你若能解决这个问题，试先解决 一个有关的问题。你能想出一个更 容易着手的有关问题吗？一个更一 般的问题？一个更特殊的问题？一 个类似的问题？你能解决问题的一 部分吗？ ——你用了全部的计划 ——实行你的解决计划，校核每一步骤。
（一）必须了解问题 ——未知数是什么？已知数是什么？ 条件是什么？ ——可能满足什么条件 ——画一个图，引入适当的符号。
拟订计划
（二）找出已知数和未知数之间的 关系。假使你不能找出关系，就得 考虑辅助问题，最后应该想出一个 计划。
——你以前见过它吗？ ——你知道什么有关的问题吗？ ——注视未知数!试想出一个有相同 或相似的未知数的熟悉问题。
讲解 第三步：实现计划: • 证明: 过直线a任作一个平面γ, 和平面α相交于直 线b 直线a∥平面α a∥b 直线a ⊥平面β b⊥平面β
γ β
a b
α
而平面α过直线b，则 平面α⊥平面β. • 检查：直线和平面平行的性质定理， 直线和直线 平行的性质定理，平面和平面垂直的判定定理， 三个定理清晰保证每步成立。
波利亚的解题理论
回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.
是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包 含在问题中的所有必要的概念?
3. 实现计划
实现你的求解计划,检验每一步骤.
你能否清楚地看出这一步骤是正确的?
你能否证明这一步骤是正确的?
4. 回顾
能否检验这个论证?
解题过程： 第1弄清问题 条件(已知)： (1) c=10； (2) cosA/cosB=b/a=4/3 ； (3)点P为△ABC内切圆上的动点． 问题(未知)： 求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的 最小值和最大值．
16
第2拟订计划
回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见 过相关的问题：
(1)已知三角形的某些边角关系，判断三角形 的形状、解三角形等(知三求一，已知的三个 边角元素中至少有一个是边)，题目基本符 合． (2)如果三角形可以确定，那么此题就是求这 个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶 点的距离的平方和的最值问题．
17
第4 回顾
（1）在方法上，本题是使用“解析法”解决 三角问题的一个成功案例. （2）在数学思想上，本题是数形结合数学思 想的一个成功应用. （3）在基础知识的使用上，本题主要用到了 “余弦定理”、“勾股定理”、“参数方程” 和“三角函数的性质”等.
你能否用别的方法导出结果?
能不能一下子看出它来?
能不能把这结果或方法用于其他问题?
例
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分
别是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/c=4/3，点P 为△ABC内切圆上的一个动点．求点P到顶点 A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值．
波利亚的解题理论PPT课件
• (8) 把条件的各个部分分开，你能否把它
们写下来?
19
第19页/共36页
• 第2 找出已知数与未知数之间的关系；如果找 不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题： 你应该最终得出一个求解的计划——拟定计 划．
• (1) 你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? • (2) 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? • (3) 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题．
• 第2拟订计划
• 回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见过相关的问题： • (1)已知三角形的某些边角关系，判断三角形的形状、解三角形等(知三求三，
已知的三个边角元素中至少有一个是边)，题目基本符合． • (2)如果三角形可以确定，那么此题就是求这个三角形的某个特征曲线上的动
点到三个顶点的距离的平方和的最值问题．
第18页/共36页
怎样解题表的解释
• 第1 你必须了解问题(弄清问题)
• (1) 未知数是什么?
• (2) 已知数据是什么?
• (3) 条件是什么?
• (4) 满足条件是否可能?
• (5) 要确定未知数，条件是否充分?
• (6) 或者它是否不充分？或者它是多余的？ 或者是矛盾的？
• (7) 画张图，引入适当的符号．
第33页/共36页
变更题目的常用方法——题目
分解与组合——穷举法,中途点 • 等价的题目 回到定义
等价变换 映射到别的领域 简化 • 特殊的题目 约化 极端情形
一般化 • 更一般的题目 —— 强化 充分题
必要题 基本题 • 相关的题目 辅助题 类 似第3题4页/共36页
问题解决与数学思维的培 养
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45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
波利亚及其解题理论_李忠如
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
波利亚及其解题理论_李忠如
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人Thank you