连续介质力学第六章

(6.3-4)
黎曼定理
它们是必要条件，是否充分条 件呢？即，这些方程一起，能 保证连续介质中存在一组单值 连续函数u1(x, y, z), u2(x, y, z), u3(x, y, z)吗？ 为回答此问题，来看以下例子， 如图6.1
Fig 6.1 关于协调性要求的说明。左图由顺序相接的矩形微元组 关于协调性要求的说明。 他们在未变形状态下构成一个连续域。 成，他们在未变形状态下构成一个连续域。若对每个小矩形给定 了应变，并且他们就按此给定值变形， 了应变，并且他们就按此给定值变形，则当把这些变形后的小矩 形接在一起时，就有可能出现中图或右图所示的情况。 形接在一起时，就有可能出现中图或右图所示的情况。 课文中讨论的充分条件对防止出现这些情况是必要的。 课文中讨论的充分条件对防止出现这些情况是必要的。
若是小变形，最后一个问题可表示为对如下微分方程 组积分的数学问题
∂u = f ( x, y ) ∂x ∂u = g ( x, y ) ∂y
(= exx )
(= eyy )
(= 2exy )
∂u ∂u + = 2 h ( x, y ) ∂x ∂y
将第一个方程对y微分两次，第二个方程对x微分 两次，第三个方程对x,y各微分一次，有
连续介质力学
第六章 速度场和协调条件
• 6.1 速度场 • 6.2 协调条件 • 6.3 三维应变分量的协调性
6.1
速度场
• 什么是速度场？
速度场是由每一时刻、每一点上的速度矢 量组成的物理场。这里的速度场是指流体 流动前沿的矢量速度分布。 矢量描述：
v(x,y,z)
分量形式表示 u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) 指标符号表示
vi ( x1 , x2 , x3 )
对连续流动，考虑连续可微函数
vi ( x1 , x2 , x3 )
某瞬时质点P、Q分别位于
xi + dxi
xi
和
这两点速度差为
写成
∂vi 1 ∂vi ∂v j 1 ∂vj ∂vi = ( + )− ( − ) ∂xi 2 ∂x j ∂xi 2 ∂xi ∂xj
由以上式子即可以证明
eij , kl + ekl ,ij − e jl , ik − eik , jl = 0
(6.3-3)
这就是小变形情况的圣维南协调方程。
由以上式子可以得到81个 方程，其中只有6个是基本方程
∂ e yz ∂ e xy ∂ 2 e xx ∂ e zx ∂ (− ) = + + ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y∂z ∂ 2 e yy ∂ e xy ∂ e yz ∂ e zx ∂ (− ) = + + ∂y ∂y ∂z ∂x ∂z∂x ∂ 2e ∂ e xy ∂ e yz ∂ e zx ∂ zz = (− + + ) ∂z ∂z ∂x ∂y ∂x∂y ∂ 2 e xy ∂ 2 e yy ∂ 2 e xx 2 = + 2 ∂x∂y ∂y ∂x 2 ∂ 2 e yy ∂ 2 e yz ∂ 2 e zz = + 2 2 ∂y∂z ∂z ∂y 2 ∂ 2 e zx ∂ 2 e xx ∂ 2 e zz = + 2 2 ∂z∂y ∂x ∂z 2
2
是不能积分的，除非满足以下条件
∂f ∂g = ∂y ∂x
考虑平面应变状态，如火箭固体 推进剂药柱可能存在这种状态。 某工程师实验测得一组数据
exx = f ( x, y ), eyy = ( x, y ), exy = h( x, y ), ezz = ezx = ezy = 0
它们是否相容，若相容，能由这 些数据计算位移 u(x,y)和v(x,y) ?
1 ∂vj ∂vi Ωij ≡ ( − ) 2 ∂xi ∂xj
定义变形率张量 Vij 和自旋张量 Ωij
则有
1 ∂vi ∂v j Vij ≡ ( + ) 2 ∂x j ∂xi
∂vi = Vij − Ωij ∂xi
Vij 是对称的， ij是反对称的 Ω
Vij = V ji Ωij = −Ω ji
Ω 因此， ij只有三个独立分量并存在一个与 Ωij 对偶的 矢量 Ω ，使得
6.3 三维应变分量的协调性 上节讨论的问题推广到三维空间，那么如
1 ∂ui ∂u j eij = ( + ) 2 ∂x j ∂xi
何积分方程组可以得到
(6.3-1)
ui
呢？
对方程(6.3-1)求导,得
e ij , kl 1 = ( u i , jkl + u j , ikl ) 2
(6.3-2)
其中逗号后面的指标k和l表示依次对 x k 和 xl 求导，交换下标，有
e k l ,ij e
jl ,ik
e ik , jl
1 = ( u k ,lij + u l , k ij ) 2 1 = ( u j ,lik + u l , jik ) 2 1 = ( u i , k jl + u k ,ijl ) 2
Ω k ≡ ε kij Ωij − − − −Ω = curlv
6.2 协调条件
对一个未知函数 u(x,y),给出两个偏微分方程
∂u ∂u = x + 3 y, = x2 ∂x ∂y
这些方程是不能求解的，因为它们互不相容。若 ∂ u 计算这两个方程的二阶偏导数 ∂x∂y ,就可以清楚看 出来了，前者得到3, 后者得到 2x, 它们并不相等. 因此，当给定偏微分方程组时，可积性问题就产 生了。偏微分方程
∂ 3u ∂2 f = 2 2 ∂x∂y ∂y
∂v ∂ g = 2 2 ∂y∂x ∂x
3 2
∂2 f ∂2 g ∂ 2h + 2 =2 2 ∂y ∂x ∂x∂y
2
∂u ∂v ∂ h + 2 =2 ∂x∂y 2 ∂x ∂y ∂x∂y
3 3
∂ exx + =2 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂ 2 eyy
按此推理，可构造一个物体内任意点 A开始的线积分沿着任意两条不同路 径来计算位移（u1,u2,u3),并要求两个 结果相同。 塞萨罗已证明：若由任意路径包围的 区域是单连通的，方程(6.3-4) 正是 唯一解的充分条件，但若是多连通的， 就需要附加的充分条件。
THANKS!
∂ 2 exy
类似讨论应用于流体的二维速度场。应变率张量的分量可测定， 如若流体是双折射的，可以用光学双折射方法。或者已经由理 论分析得到一组应变率，为检查相容性，必须有
∂ Vxx + =2 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y
2
∂ 2Vyy
∂ 2Vxy
双折射：光束入射到各向异性的晶体，分解为两束光而沿不同方向折射 的现象。它们为振动方向互相垂直的线偏振光。光在非均质体中传播时， 其传播速度和折射率值随振动方向不同而改变，其折射率值不止一个。 光波入射非均质体，除特殊方向以外，都要发生双折射，分解成振动方 向互相垂直，传播速度不同，折射率不等的两种偏振光，此现象称为双 折射。